广东省中山市华侨中学2025-2026学年高三上学期周测数学试题(1.11)（（2026.1.11）

中山市华侨中学高三数学晚测（2026.1.11) 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.A={xy=log4-x)},B={x-1<x<3}则AnB=() A.(-2,-1) B.(-2,3) C.(-1,2) D.(-1,3) 2.若=0+)=i225,则z=() c D岁 3.记等比数列{a}的前n项之积为Ta,则“a·4>1”是“T2>1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知方程 ,y 一=1表示椭圆，则实数m的取值范围是() 2m-3'4-1 B利 3 37、 C.(号4) 5.若向量a=1,m),万=(2，-1)，且a1b,则cos(a-b,)=() B.V② 10 2 D.、 10 2 6.己知1OA日O丽1=3，|AB=3,点C4,2),0为坐标原点，则12C+CB1的最小值是() A.6 B.2w5 C.5 D.4W5 3 3 7若2ae,tma cosa 3-sina 则mea-孕=(） A.-4W6+7 B.4V6-7 C.-4V2+7W5 D.4W2-75 18 18 18 18 8.己知函数f(x)=elna-r(a>1),若f(x)≥0恒成立，则实数a的值为() A.e B.√e C.e2 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是() A.x=-T是函数f(w)=sim2x的一条对称轴 4 B.x>1是x2+2x-3>0的充要条件 第1页，共4页 C.已知D(X)=3,则D(3X+2)=27 D.(x+1)的展开式中x2项的系数为5 10.某次校园音乐大赛，8位评委分别给某选手打出的分数如下表： 评委 1 2 4 6 8 分数 8.5 8.2 8.8 8.6 8.6 8.4 8.3 8.6 统计8位评委的分数为原始数据，去掉一个最高分，去掉一个最低分后统计6位评委的分数为有效数据，则() A.原始数据的40%分位数为8.6 B.原始数据的均分等于有效数据的均分 C.若原始数据的方差为s2，剔除一个8.5分后得到新数据的方差为s,则s2=s2 D.原始数据中剔除某个分数后的极差不大于原始数据的极差 11.己知f(x)=x3-6x2+11x-6,则下列选项中正确的是() A.x=1是函数y=f(x)的零点 Bf)的极大值点为2-V5 3 C.f(x)的图象关于点(2,0)中心对称 D.x>5,使得2f)f4-9<6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.哪吒之《魔童闹海》票房大卖，其中蕴含的很多人生道理引起共鸣，如哪吒与命运抗争地顽强，李靖对哪吒不 离不弃托底的关爱。因此哪吒系列手办盲盒深受欢迎，其中共有包含哪吒，敖丙，哪吒父母，四大龙王共8个人物 手办，小明从8个盲盒中（⑧个盲盒内的人物一定不同）任意抽取3个盲盒，则包含哪吒和至多一位龙王的概率 是一 13.如图，向量g,g,ā的起点与终点均在正方形网格的格点上，请用基底g,名表示ā=一 14.一条直线与函数y=hx和y=e的图象分别相切于点P(x,)和点2(x2,),则(：-1)(x,+1)的值为 第2页，共4页 四、解答题：本题共3小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题15分)已知函数f(x)=nx--2(a≠0). (①)讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)有最大值M,且M>a-4,求实数a的取值范围. 16.（本小题15分)某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 外观 红色外观 蓝色外观 内饰 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 (①)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模 型，求P(B)和P(B|A),并判断事件A和事件B是否独立： (②)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出一下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色； 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高； 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元： 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 第3页，共4页 17.(本小题17分) 如图所示，正四棱锥P-ABCD中，点E是棱PB的中点，AB=4. E D B (I)证明：PD∥平面AEC: (2②已知异面直线PD与AB所成角的余弦值为V 13 (ⅰ)求二面角P-AC-E的正弦值： (i)在线段AD上是否存在点R,使BP1平面PBC,若存在，求 的值；若不存在，说明理由. AD 第4页，共4页 中山市华侨中学高三数学晚测（2026.1.11)答案和解析 1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A解：若aa,>1,则有T2=aa,a2=(a,a)°>1，故充分性成立；若T2>1, 即44242>1，即(a,a)°>1，则a4>1或44<-1，故必要性不成立；所以“a,·4>1”是“T2>1”的充分不 必要条件.4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】C解：由OA曰OB=3,AB|=3√2，得ABP-OAP+|OBP, 故OA⊥OB,从而设A(3cos6,3sin),，因OB⊥OA且|OB=3,故B(-3si6,3cos), 而+s-0i-o5-c)20+亚s0c201远c, 3 3 其中201+O5=2cos0-in0,29in0+cos8),从而 04+OB V(2cos6-sin8)2+(2sin0+cos8)2=√5， 3 3 故201+O丽在以原点为圆心，半径为5的圆上，而0C=4,2),所以点C到原点的距离为√+2=25， 3 则圆上点到该点的距离最小值为25-5=V5,故1201，+O丽-0C1的最小值为V5. 3 7.【答案】D8.【答案】A解：函数f(x)=ela-ax(a>1)的定义域为R, :f()=e1na-a,显然单调递增且有唯一零点，令f()=0有，=n(), 当x∈(-m,x)时，f'()<0,f()单调递减；当x∈(x。,+o)时，f(x)>0,f(x)单调递增， 2fk,0,即有a-ana20,<e,令8（网=0a>0,g@=na Ina Ina anm2,aea,e)时，g(a)<0, 8(@单调递减：ae(e,+o)时，g'(a>0,g(@单调递增，∴g(a>ge)=e,又as -≤e,.∴.a=e. Ina 9【答案】4C解：对于选项函数0=s血2x的对称轴满足2x=受+k低e,解得x=年( (k∈Z), 42 当&=0时。牙因此=牙是f()=s加2x的条时务植，4正编： 对于选项B:解不等式x2+2x-3>0,即(x+3)(x-1)>0,解得x<-3或x>1,故“x>1”是“x2+2x-3>0” 的充分不必要条件，B错误；对于选项C:根据方差性质，若D()=3,则D(3X+2)=32×D()=9x3=27,C 正确；对于选项D:二项式(c+1)的展开式通项为T1=Cx-1(k=0,1,5),令5-k=2,得k=3,故x2项的 系数为C=10,D错误. 10.【答案】BD解：原始分数从小到大排序：8.2,8.3,8.4,8.5,8.6,8.6,8.6,8.8，去掉的最低分为：8.2，最高分为：8.8， 对于A,数据共有8个，所以8×40%-3.2，则原始数据的40%分位数为8.5，故A错误： 对于B,原始数据平均分为82+83+8.4+8.5+8.6+8.6+86+88=85， 8 有效数据平均分为83+84+8.5+86+86+86=8.5，所以原始数据的均分等于有效数据的均分，故B正确； 6 第1页，共4页 对于C,原始数据的方差为=82-85+83-8.5+84-85}+85-82+86-85驴x3+88-85)-026 8 8 剔除一个8.5分后得到新数据的平均数为8.5，则方差为 =2二8)+8.3-8.5)+84-85)+8.6-85)x3+8.8-8）-026,2与s不相等，故C错误 7 对于D,原始数据的极差为：8.8-8.2=0.6，若剔除的数据不是8.2或8.8，则极差不变，若剔除的数据是8.2或8.8， 则极差会变小，故D正确 11.【答案】ABC解：将x=1代入f(x),得f)=1-6×12+11×1-6=0,故x=1是f(x)的零点，A正确； 对于选项B:求导得f)=3r-12x+11,令/)=0，解得x=2±5 3 当<2-5时，)>0；当2-5<2+5时，fm<0,故x=2-5是极大值点，B正确： 3 3 3 3 对于选项C:验证中心对称定义f(2+)+f(2-=0，,因为f(x)=(x-1)(x-2)(x-3), 故f(2+a)=1+a)a(a-1)=d-a,f(2-a)=1-a(-a(-1-a)=-d+a, 从而f(2+四+f(2-=0,故f(x)关于(2,0)中心对称，C正确： 对于选项D:由c知f4-=f),故)4-)-f国生f四=f0, 2 当x>5>2+5时，>0，f)单调递增，且/⑤=24>6，故x>5时，m>24>6,D错误 3 解：从8个百盒中选3个的组合数为C8X2X56,需调足“包含哪吧”且”至多 分两类讨论，①(0位龙王)：包含哪吒，剩余2个从非龙王非哪吒的3个（敖丙、哪吒父母）中选，有C?=3种， ②Q1位龙王)：包含哪吒，剩余2个为1位龙王(4个中选1)和1位非龙王非哪吒(3个中选1)，有C4×C=4×3=12 15 种.符合条件的有3+12=15种，所以所求概率为 56 3【答案)2+4e,14.【答案】2解：因为f田=血x,8)=e,所以∫w)；g= 则y=mx在点P(5,)处的切线方程为y-nx=1(x-x),即y=上x+nx-1, 1 X y=e在点2(x,2)处的切线方程为：y-e=e(x-x,),即y=ex+e(1-x,), 由已知 1=e” 元e,由=e,得5=e,故n5-1=1ne-1=-5-1, X Inx-1=e (1-x,) 故1=0-x),解得飞= 飞+1，所以G)=11=2 x2+1 书2+1’ 千74+0=-2 因此-16，+D=(2 第2页，共4页 15解：)f()的定义域为(0，+0)，由fx)=nx-m-2(a≠0)可得f(w)=1-a, 当a<0时，f()>0,所以f)在(0，+0)上单调递增：当a>0时，令f(付=0，得x= a 所以当xe0,时，f()>0,f)单调递增；当x∈+)时，f<0,f)单调递减， 综上所述：当a<0时，f(x)在(0，+o)上单调递增： 当a>0时，f(x)在 0,- 上单调递增，在 上单调递减： (2)由I)知，当a<0时，在(0，+∞)上单调递增，无最大值， 当a>0时，f在0，上单调递，在，+上单调递减所以当x=1时，)取得最大值，即 a a f=f白）=ln2-a.-2=m2-3=-ha-3,因此有-na-3>a-4,得1na+a-1<0, a 设g(a)=lna+a-1,则g(a回=上+1>0，所以g(@在(0，+∞)内单调递增， 又g()=0,所以g(<g),得0<a<1,故实数a的取值范围是(0,1). 16解：Q)若小明取到红色外观的模型，则分棕色内饰10个，米色内饰2个，则对应的概率P0=10+2_12 2525 若小明取到棕色内饰，分红色外观10个，蓝色外观10个，则对应的概率P(8)=10+10_204 2525-5 102 取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有10个，即P(AB) P(AB)55 255则PB10=A0立6 25 PA0PB)=12×4-48≠2 5X了255，PPB)≠PAB),即事件A和事件B不独立 (2②由题意知X=800,50,30,则外观和内饰均为同色的概率P4)=C5+C品+C+C=47 C 1501 外观和内饰都异色的概率P(4)=C品C+CS_1 6’仅外观或农内饰同色的概率P(A)=1-50石=5， P(A)>P(A)>P(A), 所以一等奖为外观和内饰都异色，二等奖为外观和内饰均为同色，三等奖为仅外观或仅内饰同色； 则X的分布列为： X 800 500 300 47 39 6 150 75 第3页，共4页 则B(0=800×2+500×47+300x39-446. 150 75 17.解：①)证明：连接AC,BD,ACOBD=O,连接OE,因为O是BD中点，点E是棱PB的中点， 则OE∥PD,因为PDE平面AEC,OEC平面AEC,所以PD∥平面AEC: (2)(i)在正四棱锥P-ABCD中，PO⊥平面ABCD,AC⊥BD,所以OP,OA,OB两两垂直， 以O为坐标原点，OA,OB,OP所在直线分别为x,y,二轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-, 由AB=4,则OA=OB=OC=OD=22, 设OP=2t,t>0,则P(0,0,21),D(0,-2W2,0),A(2V2,0,0),C(-2V2,0,0),E(0,2,t), 所以P历=0，-2W2-2)AB=(25,5,0,又异面直线PD与4B所成角的余弦值为V6 3 PD.AE 所以水os历，引- V65 P可西8+4×V10+3,解得1=V3,放P0,025),s(0,反，， 4+2t2 所以CcA=(4W2,0,0),C2=(22,2,5),设平面4CB的法向量为i=(k,y,z), nC函=22++5e=0得2v+5z:0取y=5,得r=0.:=-2. i.CA=4√2x=0 [x=0 则 故平面ACE的一个法向量为n=(0,√3，-√2)，易得平面PAC的一个法向量为m=(0,1,0), 设二面角P-4CE的面角为0，所以6os0-,为m9=VM-os0-0. m设线段AD上存在点了，且4织=0≤， AD P(0,0,2V3),C(-2√2,0,0)，A(2V2,0,0),E(0,V2,5),B(0,22,0),D(0,-2√2,0)， AF=1AD=(-2W2,-22,0)=(←22元，-2V2元，0)，A亚=（-22，V2,V3), E厘=AF-A亚=（-221+2√2，-22-V2,V3), 又因为CB=(2W2,22,0）,CP=(22,0,23),EF1平面PBC,所以E丽.CB=0,EF.C乎=0， 以22-2W21+2W2)+22(2W2-v=0,解得2 所以 2W2(2W21+2W2)+2W3×(←V3)=0 当A=}时，EFLBC,EFLCP,.CPOBC-=C,CP,BCc平面PBC,所以BF⊥平面PBC, 所以当AF1 =二时，EF⊥平面PBC AD 4 第4页，共4页