专题03 幂、指数与对数（12个题型）（高效培优期末专项训练）数学沪教版2019高一必修第一册

专题03 幂、指数与对数（12个题型） 考点01 利用根式有意义求取值范围 考点02 利用根式性质化简或计算 考点03 根式与指数幂的相互转化 考点04 利用分数指数幂运算性质化简求值 考点05 指数运算的综合运用 考点06 指数应用问题 考点07 对数的概念 考点08 指数式与对数式的互化 考点09 对数运算法则 考点10 利用换底公式化简与求值 考点11 对数运算的综合运用 考点12 利用对数解决实际问题 考点01 利用根式有意义求取值范围 1．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】， ，解得. 2．，则实数a的取值范围 【答案】 【解析】由题设得，，所以 所以，． 3．若有意义，则的取值范围是（  ） A． B．∪ C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，解得.故选：D 考点02 利用根式性质化简或计算 4．已知，化简： . 【答案】 【解析】因为，， 所以，. 5．化简： ． 【答案】 【解析】， 6.已知实数满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 考点03 根式与指数幂的相互转化 7．将化成有理数指数幂的形式为 ． 【答案】 【解析】． 8．将化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【解析】由题意. 9.下列等式成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 考点04 利用分数指数幂运算性质化简求值 10. =                     【答案】0 【解析】 . 11.（= 【答案】 【解析】 12.计算，结果是（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 考点05 指数运算的综合运用 13．已知（且），则 【答案】 【解析】； 14．设，，则 【答案】3 【解析】因为，， 则，可得， 所以. 15．已知，则 ． 【答案】/ 【解析】因为，两边同时平方得，即， 对两边同时平方得，即， 所以． 16．已知，则 . 【答案】/ 【解析】因为， 所以，故， 故， 又， 所以， 所以. 考点06 指数应用问题 17.某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时． 【答案】24 【解析】由题意得，即， 所以该食品在的保鲜时间是： ． 18.人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从级别跃升到乃至级别．国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为2010年增长到．若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的 倍. 【答案】1.5/ 【解析】由题意，，所以，所以， 所以2022年全球产生的数据量为，则2023年全球产生的数据量， 所以2023年全球产生的数据量是2022年的倍. 19．某企业计划对生产线进行技术升级，第一年投入研发资金50万元，之后每年投入资金是上一年的1.2倍，则该企业连续8年投入研发的总资金是 万元.（结果保留整数） 【答案】825 【解析】第一年投入研发资金50万元， 第二年投入研发资金万元， 第三年投入研发资金万元， 第四年投入研发资金万元 第五年投入研发资金万元 第六年投入研发资金万元 第七年投入研发资金万元 第八年投入研发资金万元 所以该企业连续8年投入研发的总资金是万元 考点07 对数的概念 20.在中，实数的取值范围是_________  【答案】或 【解析】由对数的定义可知， 解得，且， 21.若代数式有意义，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D 22.对数中实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 考点08 指数式与对数式的互化 23．若，且，则 ． 【答案】 【解析】若，则，，由， 可得：， 解得：; 24．若，则 ． 【答案】2 【解析】由，得， 所以. 25．已知，且，则 ． 【答案】 【解析】因为，则，，所以，， 所以，解得. 考点09 对数运算法则 26． . 【答案】2 【解析】 ， 27．计算： ． 【答案】1 【解析】 ． 28． ． 【答案】 【解析】由题意可得. 考点10 利用换底公式化简与求值 29．的值为 ． 【答案】4 【解析】原式. 30．求值： 【答案】2 【解析】原式. 31． . 【答案】 【解析】 考点11 对数运算的综合运用 32．计算： ． 【答案】２ 【解析】原式 ． 33．已知，，用含、的式子表示 ． 【答案】 【解析】，， 则，故，， 则. 34．已知，则用表示 【答案】 【解析】由，可得， 则. 考点12 利用对数解决实际问题 35．物体在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ₁℃，空气的温度是θ₀℃，tmin后物体的温度θ℃满足关系式： 其中k 是正常数.现有90℃的物体放在 10℃的空气中冷却，3min后物体的温度为50℃，则此物体的温度降为20℃还需 min. 【答案】 【解析】由题意得：，当，时，，代入 得：，解得：； 设物体的温度从90℃降为20℃，所需时间为，即此时，，，代入得：，，解得：min； 所以，此物体的温度降为20℃还需min. 36．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 (单位: )和燃料的质量  (单位: )、火箭 (除燃料外)的质量(单位:)的函数关系表达式为 . 当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大速度可以达到 . 【答案】15 【解析】令，则，所以，所以. 故当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度可以达到. 37.某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过 年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 【答案】50 【解析】由，可得，故． 当时，，即，当时，， 两式相除可得 38．噪声污染问题越来越受到重视．声压级（Sound pressure level）是描述声音强度的物理量，基于声音的压力变化来测量，单位为分贝，定义声压级为，其中常数是听觉下限阈值，是实际声波压强，一般情况下适合人休息的声音不超过40，声音超过70会有损神经，设声压级为40时对应的声波压强为，声压级为70时对应的声波压强为，则 ．（结果精确到0.1） 【答案】 【解析】由题意可知，，， 则，，则. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 幂、指数与对数（12个题型） 考点01 利用根式有意义求取值范围 考点02 利用根式性质化简或计算 考点03 根式与指数幂的相互转化 考点04 利用分数指数幂运算性质化简求值 考点05 指数运算的综合运用 考点06 指数应用问题 考点07 对数的概念 考点08 指数式与对数式的互化 考点09 对数运算法则 考点10 利用换底公式化简与求值 考点11 对数运算的综合运用 考点12 利用对数解决实际问题 考点01 利用根式有意义求取值范围 1．若，则实数的取值范围是 ． 2．，则实数a的取值范围 3．若有意义，则的取值范围是（  ） A． B．∪ C． D． 考点02 利用根式性质化简或计算 4．已知，化简： . 5．化简： ． 6.已知实数满足，则（  ） A． B． C． D． 考点03 根式与指数幂的相互转化 7．将化成有理数指数幂的形式为 ． 8．将化为有理数指数幂的形式为 . 9.下列等式成立的是（  ） A． B． C． D． 考点04 利用分数指数幂运算性质化简求值 10. =                     11.（= 12.计算，结果是（  ） A．1 B． C． D． 考点05 指数运算的综合运用 13．已知（且），则 14．设，，则 15．已知，则 ． 16．已知，则 . 考点06 指数应用问题 17.某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时． 18.人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从级别跃升到乃至级别．国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为2010年增长到．若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的 倍. 19．某企业计划对生产线进行技术升级，第一年投入研发资金50万元，之后每年投入资金是上一年的1.2倍，则该企业连续8年投入研发的总资金是 万元.（结果保留整数） 考点07 对数的概念 20.在中，实数的取值范围是_________  21.若代数式有意义，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 22.对数中实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 考点08 指数式与对数式的互化 23．若，且，则 ． 24．若，则 ． 25．已知，且，则 ． 考点09 对数运算法则 26． . 27．计算： ． 28． ． 考点10 利用换底公式化简与求值 29．的值为 ． 30．求值： 31． . 考点11 对数运算的综合运用 32．计算： ． 33．已知，，用含、的式子表示 ． 34．已知，则用表示 考点12 利用对数解决实际问题 35．物体在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ₁℃，空气的温度是θ₀℃，tmin后物体的温度θ℃满足关系式： 其中k 是正常数.现有90℃的物体放在 10℃的空气中冷却，3min后物体的温度为50℃，则此物体的温度降为20℃还需 min. 36．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 (单位: )和燃料的质量  (单位: )、火箭 (除燃料外)的质量(单位:)的函数关系表达式为 . 当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大速度可以达到 . 37.某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过 年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：） 38．噪声污染问题越来越受到重视．声压级（Sound pressure level）是描述声音强度的物理量，基于声音的压力变化来测量，单位为分贝，定义声压级为，其中常数是听觉下限阈值，是实际声波压强，一般情况下适合人休息的声音不超过40，声音超过70会有损神经，设声压级为40时对应的声波压强为，声压级为70时对应的声波压强为，则 ．（结果精确到0.1） 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $