专题02 等式与不等式（17个题型）（高效培优期末专项训练）数学沪教版2019高一必修第一册

专题02 等式与不等式（17个题型） 考点01 比较大小 考点02 不等式性质 考点03 不等式性质的应用 考点04 对基本不等式的理解 考点05 基本不等式求积的最大值 考点06 基本不等式求和的最小值 考点07 利用基本不等式求最值——配凑法 考点08 利用基本不等式求最值——常数代换法 考点09 不含参一元二次不等式的解法 考点10 分式不等式的解法 考点11 含绝对值不等式的解法 考点12 解含参的一元二次不等式 考点13 三角不等式 考点14 利用三个“二次”关系求参 考点15 不等式恒成立与有解问题 考点16 实际问题中的一元二次不等式和基本不等式的应用 考点17 不等式与其他章节的融合 考点01 比较大小 1．设，，则与的大小关系是 【答案】 【解析】，， 则， 则. 2．已知且，则与的大小关系为 ． 【答案】 【解析】， 因为且， 所以，所以，即． 3．，则从小到大的排列是 . 【答案】 【解析】， ，故， ，故 又，，故 ， 故答案为：． 考点02 不等式性质 4.如果，那么下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：因为，所以，则，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，故D错误，故选：C 设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 5.若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，不妨取，，，，则，B错； 对于C选项，取，则，C错； 对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对，故选D. 考点03 不等式性质的应用 6．设实数满足：，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，所以， 又因为，所以，即， 所以的取值范围是. 7．已知实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设， 则，解得， 因为，， 所以， 8.已知，，则的最小值是 . 【答案】 【解析】设，则，解得， 所以，，因此，的最小值是. 考点04 对基本不等式的理解 9．下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 【答案】C 【解析】当时，函数无最小值，故A错误； 函数，当且仅当时取等号，明显不成立，故B错误； 当时，函数，当且仅当时取等号，故C正确, D错误. 故选：C. 10．下面四个推导过程正确的有（    ） A．若a，b为正实数，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】A中，∵a，b为正实数，∴，则， 当且仅当时等号成立，故A正确； B中，∵，当时，， 当且仅当，即时等号成立，故B不正确； C中，由，得，则， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故C不正确； D中，对任意的，都有，即， 当且仅当时等号成立，所以D不正确． 故选：A 11．下列结论中，正确的结论有（    ） A．如果，那么取得最大值时的值为 B．如果，，，那么的最小值为6 C．函数的最小值为2 D．如果，，且，那么的最小值为2 【答案】A 【解析】对于A,因为， 当且仅当时取得等号，所以A正确； 对于B,因为，所以， 因为，即，当且仅当，即时取得等号. 所以，整理得， 解得或（舍），所以B错误； 对于C,因为, 当且仅当即，无解，即取不到等号，所以C错误; 对于D，， 因为 ， 当且仅当，且，即， 此时，故D错误. 故选：A. 考点05 基本不等式求积的最大值 12.已知实数满足，则的最大值为 . 【答案】1 【解析】因实数满足，则，当且仅当时取“=”， 由且解得或， 所以当或时，取最大值1. 13.已知，则的最大值为 ． 【答案】4 【解析】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以的最大值为4. 14.设正实数满足，则下列结论不正确的是（    ）. A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【解析】A：∵， ∴， 当且仅当即时等号成立，故A正确． B：，得， ，所以， 当且仅当即时等号成立，故B正确． C：，∴，当且仅当时，等号成立，故C错误； D：，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：C． 考点06 基本不等式求和的最小值 15.函数（）的最小值是 . 【答案】 【解析】由，故， 当且仅当时，等号成立. 16.已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【解析】由得， 又，，所以，当且仅当即时等号成立， 17.设实数，当代数式取最小值时，的值为 . 【答案】/ 【解析】因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立. 考点07 利用基本不等式求最值——配凑法 18.已知，则的最大值是 . 【答案】 【解析】因，则，， 又， 当且仅当，即时，取得最小值4， 此时取得最大值为. 19.（2021·上海·高考真题）已知函数的最小值为，则 . 【答案】 【解析】，当且仅当时等号满足， 20.函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【解析】，，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最大值为，故选B. 考点08 利用基本不等式求最值——常数代换法 21.（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 22.（2025·江苏无锡·模拟）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【解析】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故选D 23．在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为． 考点09 不含参一元二次不等式的解法 24．不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】∵，∴， ∴ 即不等式的解集为． 25．解不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由，得， 解得：或， 即不等式的解集为， 26．不等式的解集为 （用区间表示）． 【答案】 【解析】，解得， 不等式的解集为． 27．的解集为 【答案】 【解析】因为， 对于，即，解得； 对于，即，解得或； 可得或，所以不等式的解集为. 考点10 分式不等式的解法 28．不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由不等式，可得，解得， 所以不等式的解集为. 29．不等式的解集为 . 【答案】 【解析】将不等式变形为，通分后得，即. 求解得或，所以不等式的解集为：. 30．分式不等式的解集为 【答案】或或 【解析】∵，∴， ∴或或. 考点11 含绝对值不等式的解法 31．不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由，得，解得， 即不等式的解集为， 32．不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由. 所以原不等式的解集为. 33．已知关于的不等式的解集为，则的值是 ． 【答案】 【解析】由关于的不等式的解集为，得， 由，得，解得， 所以不等式的解集为， 即，则，解得， 所以. 34．不等式的解集为 . 【答案】 【解析】因为， 等价于或，解得或无解， 所以不等式的解集为. 考点12 解含参的一元二次不等式 35．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【解析】因为不等式的解集为， 所以，，即， 所以， 解得，即不等式的解集为. 36．若0<a<1，则不等式(a－x) >0的解集是 ． 【答案】 【解析】原不等式即， 由，得，所以． 所以不等式的解集为． 37．解关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0(其中a为常数且). 【解】由x2-(a+1)x+a<0可得(x-a)(x-1)<0. 当a<1时，解得a<x<1；当a=1时，解集为；当a>1时，解得1<x<a. 综上所述，当a<1时，原不等式的解集为(a，1)；当a=1时，原不等式的解集为；当a>1时，原不等式的解集为(1，a). 考点13 三角不等式 38．若不等式对于任意的实数恒成立，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】因为，当且仅当，即时取等号， 又不等式对于任意的实数恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 39．若不等式恒成立，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】因不等式恒成立， 则当时，因 ； 当时，，所以； 当时， 综上，函数的最小值为2，故，即a的取值范围是. 40．已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 【答案】 【解析】恒成立，等价于， 又，. 41．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】表示数轴上的对应点到和对应点的距离之和，其最小值为， 由题意的解集为， 可得恒成立，所以， 所以的范围是， 考点14 利用三个“二次”关系求参 42．已知，关于的不等式的解集为，则 ． 【答案】 【解析】不等式的解集为， 对应方程的根为和， 根据韦达定理，． 43．一元二次不等式的解集是，则 ． 【答案】 【解析】的解集是，不等式的二次项系数为，抛物线开口向上， 不等式解集是方程两根之间的区间， 方程的两根为：， ，解得， ． 44．关于的方程的两个根为 ，则 . 【答案】/3.5 【解析】由题意，，所以， 考点15 不等式恒成立与有解问题 45．若不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为不等式对一切实数x都成立， 若，则不恒成立，不合题意； 若，则，解得 ， 故实数 的取值范围为. 46．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，原式即为，恒成立. 当时，由可得恒成立，即. 而，当且仅当即时取等号，所以． 综上所述， 47．已知函数，对任意，恒成立，则实数 a 的取值范围为 【答案】 【解析】对任意恒成立，即 对任意恒成立，则， 令，则在上单调递增， 所以，故， 则实数 a 的取值范围为. 48．已知关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，不等式可化为对一切实数都成立，符合题意； 当时，因为不等式对一切实数都成立， 所以，解得， 综上所述：实数的取值范围是. 49．关于的不等式在区间上有实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于在区间上有实数解，则在区间上有实数解， 故， 由于在单调递增，故当时，取最小值3， 因此， 考点16 实际问题中的一元二次不等式和基本不等式的应用 50．某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是 . 【答案】15 【解析】设销售价格提高元，其中， 则，解得， 故销售价格最高为元. 51．某文创店购进一批冰箱贴，若按每个25元的价格销售，每日能售出50个；若售价在25元基础上每提高1元，日销售量则对应减少2个.为确保这批冰箱贴每日销售总收入不低于1200元，其销售价格最高是 元. 【答案】30 【解析】设每件售价为元，则， 即，即， 解得，又，所以. 所以销售价格最高是30元. 52．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【解析】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 53．用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是 ． 【答案】 【解析】设长方体长为m，高为m，则有，即． ∵，当且仅当时，取等号 ∴，即，解得 ∴ ∴，当且仅当时，等号成立 ∴车厢的最大容积是 考点17 不等式与其他章节的融合 54．已知直线过函数图象的定点，则最小值为 ． 【答案】 【解析】函数的定点为， 故直线满足（）. 将化为，则 . 由基本不等式，，当且仅当即时取等号. 结合，解得，，此时. 所以最小值为 55．记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的取值范围为 . 【答案】 【解析】由是二次函数，对称轴为， 再由偶函数的性质可得，， 而该函数图象与轴交点的纵坐标为， 根据，因此，即， 取等号条件分别为或， 所以该函数图象与轴交点的纵坐标的取值范围为. 56．已知函数，设，若对于任意，存在，使得不等式成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】若对于任意，存在，使得不等式成立， 则恒成立， 令，当时，， 所以，所以当时，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，则在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 57．全集，已知集合．若“”是“”的必要非充分条件，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由“”是“”的必要非充分条件，则是的真子集， ， 若，解得，即， 则有且不能同时取等，解得； 若，解得，即， 则有且不能同时取等，解得； 综上可得，的取值范围是. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等式与不等式（17个题型） 考点01 比较大小 考点02 不等式性质 考点03 不等式性质的应用 考点04 对基本不等式的理解 考点05 基本不等式求积的最大值 考点06 基本不等式求和的最小值 考点07 利用基本不等式求最值——配凑法 考点08 利用基本不等式求最值——常数代换法 考点09 不含参一元二次不等式的解法 考点10 分式不等式的解法 考点11 含绝对值不等式的解法 考点12 解含参的一元二次不等式 考点13 三角不等式 考点14 利用三个“二次”关系求参 考点15 不等式恒成立与有解问题 考点16 实际问题中的一元二次不等式和基本不等式的应用 考点17 不等式与其他章节的融合 考点01 比较大小 1．设，，则与的大小关系是 2．已知且，则与的大小关系为 ． 3．，则从小到大的排列是 . 考点02 不等式性质 4.如果，那么下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 5.若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 考点03 不等式性质的应用 6．设实数满足：，则的取值范围是 . 7．已知实数满足，则的取值范围是 . 8.已知，，则的最小值是 . 考点04 对基本不等式的理解 9．下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 10．下面四个推导过程正确的有（    ） A．若a，b为正实数，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．下列结论中，正确的结论有（    ） A．如果，那么取得最大值时的值为 B．如果，，，那么的最小值为6 C．函数的最小值为2 D．如果，，且，那么的最小值为2 考点05 基本不等式求积的最大值 12.已知实数满足，则的最大值为 . 13.已知，则的最大值为 ． 14.设正实数满足，则下列结论不正确的是（    ）. A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 考点06 基本不等式求和的最小值 15.函数（）的最小值是 . 16.已知，，且，则的最小值为 ． 17.设实数，当代数式取最小值时，的值为 . 考点07 利用基本不等式求最值——配凑法 18.已知，则的最大值是 . 19.（2021·上海·高考真题）已知函数的最小值为，则 . 20.函数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 考点08 利用基本不等式求最值——常数代换法 21.（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 22.（2025·江苏无锡·模拟）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 23．在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ． 考点09 不含参一元二次不等式的解法 24．不等式的解集为 ． 25．解不等式的解集为 . 26．不等式的解集为 （用区间表示）． 27．的解集为 考点10 分式不等式的解法 28．不等式的解集为 . 29．不等式的解集为 . 30．分式不等式的解集为 考点11 含绝对值不等式的解法 31．不等式的解集为 ． 32．不等式的解集为 . 33．已知关于的不等式的解集为，则的值是 ． 34．不等式的解集为 . 考点12 解含参的一元二次不等式 35．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 . 36．若0<a<1，则不等式(a－x) >0的解集是 ． 37．解关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0(其中a为常数且). 考点13 三角不等式 38．若不等式对于任意的实数恒成立，则实数的取值范围为 39．若不等式恒成立，则a的取值范围是 . 40．已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 41．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 考点14 利用三个“二次”关系求参 42．已知，关于的不等式的解集为，则 ． 43．一元二次不等式的解集是，则 ． 44．关于的方程的两个根为 ，则 . 考点15 不等式恒成立与有解问题 45．若不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为 . 46．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 47．已知函数，对任意，恒成立，则实数 a 的取值范围为 48．已知关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 ． 49．关于的不等式在区间上有实数解，则实数的取值范围是 ． 考点16 实际问题中的一元二次不等式和基本不等式的应用 50．某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是 . 51．某文创店购进一批冰箱贴，若按每个25元的价格销售，每日能售出50个；若售价在25元基础上每提高1元，日销售量则对应减少2个.为确保这批冰箱贴每日销售总收入不低于1200元，其销售价格最高是 元. 52．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 53．用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是 ． 考点17 不等式与其他章节的融合 54．已知直线过函数图象的定点，则最小值为 ． 55．记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的取值范围为 . 56．已知函数，设，若对于任意，存在，使得不等式成立，则的取值范围为 ． 57．全集，已知集合．若“”是“”的必要非充分条件，则的取值范围是 ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $