专题02 等式与不等式（期末复习讲义）高一数学上学期沪教版必修第一册

该高中数学期末复习讲义以表格形式系统梳理10个核心考点，明确复习目标与考情规律，结合22个知识点构建“考点-知识点-易错点”框架，通过例题解析和思维导图呈现等式与不等式的内在联系，突出一元二次不等式、基本不等式等重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，如“解含参一元二次不等式”“基本不等式妙用‘1’”等题型，结合解题技巧培养运算能力与推理意识。基础通关练与重难突破练满足不同学生需求，易错点提醒帮助学生精准避错，助力教师实施分层教学与高效复习。

专题02 等式与不等式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律（上海沪教版） 考点1 不等式的性质 掌握不等式的对称性、传递性、可加性、可乘性等核心性质，能用作差法比较实数（式）大小，准确判断不等式变形的正误 基础必考点，常出选择题/填空题前半部分，分值4分；易忽略乘除负数变号规则，多次同向相加扩大取值范围，特殊值法取值不当导致误判 考点2 一元二次方程根与系数的关系 掌握一元二次方程两根之和、两根之积的公式，能根据根的特征求参数值，结合根的范围分析参数取值 基础考点，选择题/填空题前半部分高频，分值4分；易忽略方程有实根的前提（判别式≥0），符号混淆导致计算错误 考点3 一元二次不等式 理解“三个二次”（二次函数、方程、不等式）的内在联系，能结合图像求解含参/不含参一元二次不等式，用区间/集合表示解集 重点核心考点，选择题/填空题后半部分（5分）或大题前三题（14分）；易未将二次项系数化正，分类讨论不完整，解集表示不规范 考点4 分式不等式 掌握简单分式不等式的解法（移项通分转化为整式不等式），明确分母不为0的限制条件，能求解含参分式不等式 中档考点，选择题/填空题后半部分（5分）或大题前三题（14分）；易直接去分母忽略分母符号，未转化为标准形式就求解，漏验分母不为0 考点5 绝对值不等式 理解绝对值不等式的几何意义，掌握|ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法，会用零点分段法求解含两个绝对值的不等式 中档考点，选择题/填空题后半部分（5分）；易在零点分段时漏区间，忽略绝对值的非负性，三角不等式等号成立条件判断失误 考点6 基本不等式（求最值） 掌握基本不等式的适用条件（一正二定三相等），能通过凑项、常数代换、二次商式变形等技巧求最值 重点难点考点，大题后两题（18分）；易忽略“一正二定三相等”前提，多次用不等式时等号条件冲突，变形凑定出错 考点7 条件等式求最值 能利用“1的代换”“消元法”等处理含条件等式的最值问题，结合基本不等式或函数单调性求解，验证等号成立条件 难点考点，大题后两题（18分）；易无法转化条件等式，忽视变量的正性限制，等号成立时变量值不符合条件 考点8 不等式恒成立/有解问题 能结合判别式、函数最值、数形结合思想，求解含参数的不等式恒成立或有解问题，明确分类讨论标准 难点考点，大题后两题（18分）；易忽略二次项系数为0的情况，分类讨论不全面，未结合函数图像分析最值 考点9 基本不等式的实际应用 能从实际情境（如面积最小、费用最低、利润最大等）抽象出不等式模型，经历“审题-建模-求解-检验”流程，解决优化类问题 重点考点，大题前三题（14分）或后两题（18分）；易误解“至少”“最多”等关键词对应的不等号，忽略实际变量的取值限制（如正数、整数） 考点10 三角不等式 理解三角不等式的核心性质（|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|），能利用其求最值、证明不等式，判断等号成立条件 中档考点，选择题/填空题后半部分（5分）；易混淆三角不等式的不等号方向，忽视等号成立的前提条件 知识点01 等式的性质 用等号“=”把两个表达式连接起来,所得的式子称为等式 等式具有以下性质: （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． 分解因式： ； ． 【答案】 【分析】将利用“十”字相乘法求解；将转化为利用完全平方公式求解. 【详解】， =； ， ， ， ， 故答案为：， 1.除以0错误：两边除以含字母的式子未验证字母不为0； 2.操作不一致：加减/乘除的数/式两边不同； 3.符号失误：移项或变形时忽略符号变化； 4.无据变形：超出性质范围（如直接两边平方）。 知识点02 方程的解、方程的解集与一元一次方程的解 含有未知数的等式称为方程.使得方程左右两边相等的未知数的值,称为方程的解,以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集. 一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1 且两边都为整式的等式 方程的解一般指能使一个含未知 数的等式成立的未知数的值，是一个数.而方程的解集是该等式所有解组成的集合，是一个集合. 根本概念是不一样的. 求关于x的方程的解集，其中a是常数. 【答案】答案见解析 【分析】将变形为，对一次项系数是否为0进行分类谈论即可求出结果. 【详解】因为，则 当时，方程无解，即解集为； 当时，，即解集为. 综上：当时，方程的解集为；当时，方程的解集为. 1．概念混淆：将＂解＂（单个／多个数值）与＂解集＂（集合形式）等同； 2．解集书写错：漏写 \｛\} (如把解集 \{ 2 写成 2）或多元素未规范列举； 3．去分母漏乘：一元一次方程去分母时，常数项未乘最简公分母； 4．符号失误：去括号／移项时未变号（如－2（ ）误拆为 ）； 5．含参误判： 未讨论 的情况（ 时， 无数解， 无解）。 知识点03 二元一次方程组的解集 由两个二元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解 对二元一次方程组的理解 (1) 方程组各方程中,相同的字母必须代表同一数量 (2)通过解方程组得到一组数值，将这组数值分别代入方程组中的每个方程，当这组数值满足其中的所有方程时，该组数值是此方程组的解(其解可能有无数多组解、无解或一组解);否则它就不是此方程组的解 1．格式错误：解集未用＂有序数对 + 集合＂形式（如误写 ，应为 ）； 2．个数误判：同解方程判无解，或矛盾方程判有解； 3．检验遗漏：未代回原方程组验证解的正确性； 4．含参讨论不全：未分析系数成比例情况（无解／无数解）； 5．计算失误：去括号／移项符号错，导致解错进而解集错误。 知识点04 恒等式的概念 数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式．例如 与 ，对于任一组实数 ，都有 ，所以 与 是恒等的 1．与方程混淆：误将恒等式（所有允许值成立）当作普通方程； 2．判断片面：仅代个别值相等即判为恒等式（需所有允许值成立）； 3．忽略定义域：未考虑字母取值限制（如 非恒等式）； 4．变形误判：因运算错误（如展开／化简错）误判恒成立。 知识点05一元二次方程的解集 一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根.如果一元二次方程的两个根相等,那么这两个根叫做重根 (1)应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式,然后确定a、b、c的值, (2)此判别式只适用于一元二次方程,当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论 （3）当 时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根． 若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得和，再进行化简整理即可. 【详解】由题意：、为一元二次方程的两根， 所以，. 所以. 故答案为： 1．格式错误：重根重复写（如 ）或漏写集合符号； 2．判别式误判： 仍写实根解集（应为 ）； 3．计算失误：求根公式／因式分解错导致根错； 4．含参讨论不全：未考虑二次项系数为 0 （变一元一次方程）； 5．互异性忽略：解集未去重（重根仅保留一个）。 知识点06韦达定理 . 应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形 变形一 变形二 变形三 变形四 1．忽略适用条件：（非二次方程）或 （无实根）仍误用； 2．符号失误： 漏写负号，误记为 ； 3．含参讨论不全：未兼顾 与 的双重条件； 4．重根误判：认为相等实根不适用韦达定理（实际仍成立）。 知识点07实数(代数式)大小的比较 对于两个实数 、 ， 如果 是正数，就称 大于 ，记为 ； 如果 是负数，就称 小于 ，记为 ； 如果 是零，就称 等于 ，记为 ．这就是说 这是研究一切不等式的基础. 显然,对于任意给定的两个实数 已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法，计算化简，即可得答案. 【详解】由题意 ， 当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 1．作差／作商法误用：作差未判正负，作商忽略分母不为 0 及正负性； 2．平方变形不当：负数平方后比较，误将平方结果大小等同于原数大小； 3．同乘负数漏变号：两边同乘负数未反转不等号方向； 4．特殊值片面：仅代 1 个值下结论（如 a 与 ，需分区间讨论）； 5．化简失误：代数式合并同类项／因式分解错，导致比较基准错误； 6．负数比较颠倒：忽略＂负数绝对值大则值小＂。 知识点08不等式的性质 （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 b c；如果 ，且 ，那么 ． 性质名称 性质内容 移项法则 同向可加性 同向可加性的推论 同向同正可乘性 ， 同向同正可乘性的推论 ， 正数乘方性 正数可开方性 如果，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据给定条件，利用不等式性质逐项判断即得. 【详解】由，得，，，，A正确，BCD错误. 故选：A 1．乘除变号漏记：两边乘除负数时，未反转不等号方向； 2．乘除 0 错误：用 0 乘除不等式（变为等式，破坏不等关系）； 3．同向运算混淆：同向不等式可加不可减，误将＂相加＂当＂相减＂； 4．传递性缺失：未满足＂ 且 ，直接推 ； 5．等式性质迁移：盲目两边平方（需两边非负）、开方，忽略不等式特殊性； 6．同向相乘无前提：非正数的同向不等式盲目相乘（需均为正数才成立）。 知识点09数(式)比较大小的方法 1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法 ①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论,③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得出结论. 2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若 ，则 ；若 ，那么 ．其中 是介于 与 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 已知，，那么，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质求解. 【详解】， ， . 即. 故选：C. 1.作差/作商法：作差未判正负，作商忽略除式非0及正负性； 2. 平方法滥用：未验证两边非负（如负数平方后误比原数大小）； 3. 特殊值片面：仅取单一值，未覆盖字母所有取值范围（如漏验负数、0）； 4. 忽略定义域：代数式比较未考虑字母取值限制（如含分母、根号的情况）； 5. 性质迁移错：误用不等式性质（如同向相减、乘除负数未反号）。 知识点10用比较法证明不等式 证明不等式主要利用作差比较法和作商比较法.若要证明的不等式为几个多项式的和或差,则采用作差比较法;若要证明的不等式为几个多项式的积或商,则采用作商比较法. 采用作差比较法，将不等式左右两边的式子作差，然后将其进行适当的变形、放缩,再利用不等式的传递性、可加性来证明结论.运用作差比较法证明不等式时，作差后变形的结果都应是几个因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，，故CD错误； 因为，，所以即恒成立，故A正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：A 1．作差未化简：差式未分解／合并同类项，无法判断正负； 2．作商缺前提：未验证除式非 0 且为正（导致商的大小与原数关系颠倒）； 3．化简失误：因式分解、符号处理错误，导致差／商的正负判断偏差； 4．逻辑断层：未说明差 ／商 的依据（如未结合配方、不等式性质）； 5．特殊值替代：用个别值验证差／商正负，而非严格代数推导； 6．作商结论错：商 时直接判原数大，忽略除式为负的情况。 知识点11常用不等式(定理) 定理 对任意的实数,总有，且等号当且仅当时成立. 当且仅当的逻辑关系是充分必要条件．当且仅当 时等式成立．指的是若不等式中的相等成立必有 ，反之当 时，才能有不等式中的相等成立． 1．基本不等式漏条件：忽略＂一正二定三相等＂（负数用、和／积不定、相等条件不满足）； 2．绝对值不等式误解： 漏解 ，或 误取 ； 3．同向不等式滥用：非正数同向相乘（需均为正数才成立）； 4．定理逆向错用：基本不等式逆向未验证适用条件； 5．均值不等式＂定＂混淆：求和最小未保证积定，求积最大未保证和定。 知识点12一元一次不等式的求解 在含有未知数的不等式中,能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集,求一元一次不等式解集的过程称为一元一次不等式的求解或解一元一次不等式. 形如 的式子叫做一元一次不等式，有四种形式：、、 、 . 若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 ． 【答案】0 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】先化简不等式组，依题意表示得出的范围，再取最大整数值即可. 【详解】由可得，要使不等式组的解集非空， 需使，所以，故满足条件的最大整数0. 故答案为：0. 1．去分母漏乘：常数项未乘最简公分母； 2．去括号符号错：负号分配律误用（如－3（ ）拆为 ）； 3．移项未变号：从不等号一端移到另一端符号不变； 4．乘除负数漏反号：两边乘除负数时，未反转不等号方向； 5．解集书写误：区间／集合格式错误（如漏写 ｛}、不等号方向颠倒) ; 6．含参讨论不全：未分析未知数系数为 0 的情况（变常数不等式）。 知识点13一元一次不等式组的求解 将含有相同未知数的多个不等式联立起来,就得到不等式组，求一元一次不等式组解集的过程称为一元一次不等式组的求解. 1.单个不等式求解错（去分母漏乘、乘除负数未反号）； 2. 解集法则混淆（同大/同小/交叉情况判断错）； 3. 边界值含混（漏看等号、数轴标注错误）； 4. 交集找错（误将并集当作公共部分）； 5. 解集书写不规范（区间/集合表示错误）； 6. 含参讨论不全（未分析参数对不等号/解集的影响）。 知识点14特殊一元二次不等式的求解 定义 设a , b , c为实数，且 ，形如 或 的不等式统称为一元二次不等式． 特别地，形如 的求解，遵循＂大于分两边，小于夹中间＂的原则． （1）＂元＂是指不等式中所要求解的未知数．一元就是指未．知数个数为 1 ，这里即 ，但不等式中也可以包含其他字母，如 、、 等，这里的 、、 为系数，即为常数． （2）＂次＂是指不等式的最高次项的次数，这里的最高次项为 ，次数为 2 ，即二次．注意二次项系数不为 0 ，即 ．若 ，则二次项不存在，不等式实质为一元一次不等式 （其中 ）．在解题的要注意，若未说明二次项系数不为 0 ，则需分类讨论，求不等式的解集． 1．忽略 a 的符号：未先化二次项系数为正，导致解集方向颠倒； 2． 误判： 时漏写顶点（如 解集为 ）； 3． 未转化：仍按二次不等式求解（实际为一元一次不等式）； 4．边界等号漏／多：混淆＂$>$＂与＂＂、＂$<$＂与 ＂，漏含或多含顶点； 5．因式分解符号错： 时未先变号，直接判断因式乘积符号； 6．含参讨论不全：未覆盖 a 正负、 的所有情况。 知识点15利用一元二次方程的判别式讨论一元二次不等式的解集 设方程 的判别式 0 或 ，其两根记为 、 ，且 ，一元二次不等式的求解结果总结成下表： 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 已知关于的一元二次不等式的解集为，则 ． 【答案】1 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式解集求参，再计算求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以，所以， 则. 故答案为：1. 1．忽略 a 的符号：未化二次项系数为正，导致解集方向颠倒； 2． 判断失误： 误判为全体实数， 未按 a 正负分空集／全体实数； 3．等号漏处理：混淆＂$>$＂与＂＂，漏含或多含 时的单根； 4．含参讨论不全：未分析 （非二次不等式）或 的三种情况； 5．逻辑颠倒：先定解集方向再看 ，未按＂a 正负 根况 → 解集＂顺序。 知识点16二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系 一元二次方程 的两根为 、 且 ，其解按照 可分三种情况．相应地，二次函数 的图像与 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 或 的解集． 类别 . 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 . 1．忽略 a 的符号：未化 ，导致解集方向颠倒； 2． 对应失误： 时解集判断错误； 3．条件混淆：方程实根（ ）与不等式恒成立（ ）弄混； 4．边界等号错：未对应函数图像与方程根的含否； 5．含参讨论不全：漏 或 的三种情况； 6．解集图像颠倒：开口方向与＂两根外／间＂对应错误。 知识点17分式不等式与基本不等式 形如 或 （其中 、 为整式且 不为 0) 的不等式称为分式不等式． 解分式不等式先将分式不等式通过移项、通分把右边化为零，左边化为 、 是关于 的表达式且 0）的形式，然后同解变形．分式不等式的同解变形如下表： 分式不等式 同解不等式(组) 与 同解; 与同解 与 同解; 与同解 与 同解 与 同解 不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式不等式 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，由此可求结果. 【详解】因为，解得， 所以解集为， 故选：B. 一、分式不等式 1．忽略分母不为 0 ； 2．盲目去分母（未判分母正负）； 3． 误转 （需 ）； 4．边界误含分母为 0 的情况。 二、基本不等式 1．缺＂一正二定三相等＂（异号、和／积不定、漏验等号）； 2．分式形式化简错误导致条件判断偏差。 知识点18利用分式不等式求解实际问题 将实际问题转化为数学模型,在转化的过程中注意实际问题的限制条件. 1.忽略实际取值限制（分母不为0、非负/整数解）； 2. 不等关系列错（混淆“至少”“不超过”等关键词）； 3. 盲目去分母（未判断分母正负）； 4. 未检验解的实际合理性（如负数解未舍去）； 5. 含参问题未结合实际意义讨论参数范围。 知识点19绝对值不等式 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 例如， 都是绝对值不等式． 代数意义：|x|= 几何意义：|x|表示数轴上表示数 的点到原点的距离． 1．忽略 a 的正负（ 时解集特殊）； 2．解的逻辑错（ 误写＂且＂， 误写＂或＂）； 3．去绝对值符号错（如 漏变号）； 4．边界等号漏／多（混淆 > 与 与 ）； 5．多绝对值漏讨论分界点； 6．实际问题未舍不合理解。 知识点20含绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式 与 的解集 一般地，当 时，有 ，因此，不等式 的解集是 ； 或 ，因此，不等式 的解集是 ． 2． 和 型不等式的解法 （1）若 ，则 等价于 等价于 或 ，然后根据 、 的值求解即可． （2）若 ，则 的解集为 的解集为 ． 3． 和 型不等式的解法 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 法二:利用“分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想 1．漏判常数符号（ 时解集特殊，如 解集为 ）； 2．去绝对值符号错（如 误转 ）； 3．解集逻辑混淆（ 用＂且＂， 用＂或＂）； 4．边界等号漏／多（混淆>与 、< 与 ）； 5．多绝对值漏分分界点讨论； 6．化简失误（去括号／移项符号错）。 知识点21平均值不等式 1.算术平均值与几何平均值 对于正数 、 ，称 是 、 的算术平均值，并称 是 、的几何平均值． 2.平均值不等式 定理（平均值不等式）两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数 、 ，有 ，且等号当且仅当时成立 三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个命题（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对任意正实数a和b，有，当且仅当时等号成立 D．如果，那么 【答案】C 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】确定选项ABD的推导依据，利用几何意义解释选项C即可. 【详解】选项ABD是不等式的性质，不能由给定的图形解释； 对于C，设小直角三角形的直角边长分别为，大正方形的边长为， 大正方形的面积为，个小直角三角形的面积之和为， 由图知，当且仅当时等号成立. 故选：C 1.缺“一正”：变量为负仍套用公式； 2. 无“二定”：和/积非定值盲目求最值； 3. 漏“三相等”：未验证等号成立条件； 4. 变形错误：逆向使用未满足核心条件； 5. 多次使用矛盾：多步套用后等号条件不一致； 6. 公式记忆偏差：误写系数（如漏2）或形式。 知识点22利用平均值不等式及常用不等式求代数式的最大(小)值 1.最值定理 已知 ，则 （1）若 （常数），则当且仅当 时， 有最小值 ．简记：积定和最小． （2）若 （常数），则当且仅当 时，a b有最大值 ．简记:和定积最大. 2.重要不等式链 （1）若 ，则 ． （2）若 ，则 ，其中 叫做a、b的调和平均值， 叫做 a 、 b的平方平均值．此不等式链常以 的形式出现． 1.缺“一正二定三相等”核心条件； 2. 多次套用等号成立条件矛盾； 3. 常用不等式（柯西、排序等）结构/公式误用； 4. 忽略变量隐含取值限制（非正、分母为0等）； 5. 凑定值变形错误（破坏等价性）； 6. 混淆“和定积最大”“积定和最小”逻辑。 知识点23三角不等式 当 、 两数至少有一个为 0 时，可得 ．当 、 两数所表示的点在原点的同侧时，可得 ． 当 、 两数所表示的点在原点的两侧时，可得 ． 定理（三角不等式）两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数 、 ，有 ，且等号当且仅当时成立. 9．设，则方程的解集为 . 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】根据给定条件，利用绝对值的三角不等式求解即得. 【详解】依题意，， 当且仅当，即时取等号， 所以方程的解集为. 故答案为： 1.忽略等号条件（同号／异号／至少一个为 0 的要求）； 2.± 号与不等号错配（如误写 ）； 3.逆向使用无依据（盲目由 反推）； 4.多变量扩展时漏判等号条件； 5.与普通绝对值不等式解法混淆。 题型一 解不含参数的一元二次不等式（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心步骤：先将不等式化为标准形式 （或 ），再求对应一元二次方程的根（因式分解法、求根公式法）。 2．解集判断： 若 （开口向上），大于 0 的解集为＂两根之外＂，小于 0 的解集为＂两根之间＂； 若 （开口向下），先化为 的形式（两边同乘 -1 ，不等号反向）再求解。 3．特殊情况： 判别式 时， 则不等式 解集为 解集为 ； 二次项系数为 0 时，退化为一元一次不等式求解。 4．辅助工具：数轴标根法，将根标在数轴上，根据开口方向标注解集范围。 【典例1】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，集合 ，求 . 【变式1】（24-25高一上·上海静安·期末）设函数是定义在上的奇函数，当时,，则不等式的解集为（    ） A．() B．[] C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 【变式3】（24-25高一上·上海普陀·期末）设集合 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 题型二 解含有参数的一元二次不等式（重点） 解｜题｜技｜巧 1．分类讨论优先级： 先讨论二次项系数 （退化为一次不等式）和 （二次不等式）； 时，讨论判别式 （判断方程是否有根）； 时，讨论两根大小（比较 与 ，需结合参数范围）。 2．解集表达：根据参数分类结果，分情况写出解集，避免遗漏参数取值范围。 3．易错点：注意参数对不等号方向、根的存在性及大小的影响，避免未讨论参数直接求解。 4．结合集合：若与集合包含关系、交集等结合，需根据集合条件进一步限定参数范围。 【典例2】（上海市金山区2024-2025学年高一上学期期末数学试题）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·上海·期末）已知，设集合，集合. (1)分别求集合A和B； (2)若，求a的取值范围. 【变式2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【变式3】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知是定义在上的函数，给定数集.若对任意的，当时，均有，则称函数在集合上封闭. (1)若，分别判断在和上是否封闭？并说明理由； (2)若在上封闭，当时，，解不等式； (3)证明：“在上封闭，且在上封闭”的必要条件是“在上封闭”. 题型三 一元二次不等式恒成立问题（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心思路：转化为二次函数图象与 轴的位置关系，结合开口方向和判别式。 2．恒成立条件： 对任意 恒成立： 时 且 ； 对任意 恒成立： 时 且 。 3．区间恒成立：若限定 ，需结合二次函数在区间上的单调性，求最值后列不等式（如最小值 、最大值 ）。 4．分离参数法：将参数单独放在不等式一侧，转化为＂参数 或 ）函数最值＂求解（适用于参数易分离的情况）。 【典例3】（24-25高一上·上海虹口·期末）设. (1)若，不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)若，函数在上的最小值为，求的值. 【变式1】已知函数. (1)若函数的图象过原点，求的解析式； (2)若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围. 【变式2】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知． (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围． (2)设、是方程的两个根，若，求实数的值； 题型四 基本不等式求和的最小值（重点） 解｜题｜技｜巧 1．适用条件：＂一正二定三相等＂，即变量为正实数、和或积为定值、等号成立条件满足。 2．核心公式：（ ，当且仅当 时取等号）。 3．构造定值： 凑项法：如 ，变形为 ，利用基本不等式； 凑系数法：如 ，调整系数使 为定值。 4．易错点：忽略等号成立条件（需验证变量是否能取到相等值），或未保证变量为正。 【典例4】已知正实数满足，则的最小值为 . 【变式1】（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是 ． 【变式2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知都是正实数，且. (1)求证：； (2)求的最小值. 【变式3】（24-25高一上·上海虹口·期末）设，已知是上的奇函数. (1)求的值，并判断函数的单调性； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 题型五 不等式的性质（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心性质：牢记同向可加（ ）、正数同向可乘（ 、乘除负数不等号反向。 2．判断方法： 直接利用性质推导，或举反例排除错误选项（如判断＂＂，可举 ）； 作差法：比较 与 0 的大小，正数则 ，负数则 。 3．实际应用：结合函数单调性（如指数、对数函数），将不等式转化为自变量的大小关系。 4．注意事项：避免＂两边同时乘除含参代数式＂（需先判断正负），避免传递性错误（如 不能直接得 。 【典例5】（20-21高一上·上海浦东新·月考）如果，那么下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海闵行·期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【变式2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知为实数，满足，则等号成立的条件是 . 【变式3】（24-25高一上·上海松江·期末）根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响. 若用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中 . 当不变，与均变为原来的2倍时，有关于的两个命题: ①存在和，使得变为原来的 2 倍； ② 若，则最多可变为原来的 2 倍. 则下列说法正确的是（     ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 题型六 基本不等式妙用“1”（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心思路：已知 ，求 的最值，将所求表达式乘以＂ 1 ＂（即 ）展开后用基本不等式。 2．步骤： 变形已知条件，得到＂ 1 ＂的表达式； 所求表达式 ＂ 1 ＂，展开后整理为＂定值 + 含根号项＂； 利用 求最值，验证等号成立条件（需满足 且含根号项的变量相等）。 3．常见模型：如 ，求 ，变形为 。 4．灵活变形：若已知条件不是＂ 1 ＂，可转化为＂ 1 ＂（如 ，变形为 ）。 【典例6】（24-25高一上·上海虹口·期末）设正实数满足，则下列结论不正确的是（    ）. A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【变式1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是 . 【变式2】（24-25高一上·上海静安·期末）已知函数过定点，则的最小值为 【变式3】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，若实数且，则的最小值是 ． 题型七 分式不等式（重点） 解｜题｜技｜巧 1．转化原则：将分式不等式转化为整式不等式，注意分母不为 0 。 ； 号 ； 同理。 2．步骤： 移项通分，将不等式化为标准分式形式（右边为 0 ）； 因式分解分子分母，求根后用数轴标根法（注意挖去使分母为 0 的根）； 标注解集范围，确保不包含分母为 0 的点。 3．易错点：直接去分母（未判断分母正负，导致不等号方向错误），或遗漏分母不为 0 的限制条件。 【典例7】（上海市嘉定区第一中学2024届高三上学期10月月考数学试题）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式1】（24-25高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 【变式2】（24-25高一上·上海静安·期末）已知 (1)设，，判断集合A与集合B的包含关系并说明理由； (2)用反证法证明，a，b，c，d至少有一个不小于1，至少有一个不大于1. 【变式3】已知集合，． (1)若，求和B； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 题型八 韦达定理（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心公式：对于一元二次方程 ，若根为 ，则 2．应用场景： 求根的代数式值 如 ； 结合判别式 ，求参数取值范围（如已知根的符号、两根之和／积的范围）； 构造一元二次方程（已知两根关系，设方程为 。 3．注意事项：使用前需验证方程有实根（ ），避免无实根时误用韦达定理。 【典例8】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 【变式1】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式2】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． (1)求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【变式3】考查关于x的方程． (1)若该方程的两个实数根，满足，求实数t的值； (2)若该方程在区间上有且仅有一个实数根，求实数t的取值范围． 【变式4】已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若关于的方程有两个不相等的正实数根、，求的取值范围和的取值范围. 题型九 绝对值不等式（重点） 解｜题｜技｜巧 1．基本性质： ； 或 ； 绝对值三角不等式： 。 2．求解方法： 简单绝对值不等式：直接利用上述性质求解； 复杂绝对值不等式（如 ）：分类讨论去掉绝对值符号（找绝对值内表达式为 0 的临界点，分区间讨论）。 3．恒成立与有解问题： 恒成立： 恒成立 ； 恒成立 ； 有解： 有解 ； 有解 。 4．辅助工具：利用绝对值的几何意义（数轴上点到点的距离）简化求解（如 表示数轴上 到 1和 2 的距离之和）。 【典例9】（24-25高一上·上海金山·期末）已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 【变式1】若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 . 【变式2】（24-25高一上·上海长宁·期末）若对任意，都有，则实数的最大值为 【变式3】关于x的方程的解集为 ． 题型十 基本不等式的应用（难点） 【典例10】如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 (1)求关于的函数表达式 (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 【变式1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）目前，光伏产业已经发展成我国少有的全产业链自主可控，并在全球范围内具备领先优势的产业.现有某光伏产业公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，每年的总收入为50万元，前（为正整数）年维修、保养费用总和为万元，设使用年后该设备的盈利额为万元. (1)写出与之间的函数关系式，并求从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方穼处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为） 【变式2】（24-25高一上·上海宝山·期末）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元． (1)设仓库前面墙体的长为x米（），试将甲工程队的整体报价y表示为x的函数； (2)当仓库前面墙体的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？ (3)现有乙工程队也参与此仓库改造竞标，其给出的整体报价为元，其中，不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，求实数k的取值范围． 【变式3】（24-25高一上·上海长宁·期末）若函数在其定义域内给定区间上存在实数使得，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点： (1)判断函数是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由： (2)设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的实数对； (3)若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围； 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一上·上海虹口·期末）不等式的解集为 . 2．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知非零实数a、b满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列说法正确的是（    ） A．方程的两个实数根满足 B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C．已知方程的两个实数根，则 D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则 4．（24-25高一上·上海长宁·期末）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 5．（24-25高一上·上海松江·期末）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种新的污水净化设备. 这种净水设备的购置费（单位:万元）与设备的占地面积（单位:平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业需缴纳的总水费（单位:万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位:万元）. (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值. 6．（24-25高一上·上海松江·期中）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？ 7．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知某线路运行的地铁发车时间间隔（单位：分钟）满足：．经测算，该地铁每班平均载客人次（单位：人次）与发车时间间隔满足：． (1)计算的值，并说明其的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．若对任意，均有，则实数a的取值范围为 ． 2．设全集为，集合，. (1)求集合、； (2)若，求实数的取值范围. 3．设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·上海普陀·期末）（1）解不等式． （2）函数的单调区间和对称中心． 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于两个实数，，规定， (1)证明：关于的不等式解集为； (2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； (3)设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 1 / 63 学科网（北京）股份有限公司 $等式与方程 不等式基础 等式与不等式 不等式求解 重要不等式定 不等式应用 传递性：a=b,b=c→a=C 等式性质 加法性质：a=b→a+c=b+c L乘法性质：a=b→ac=bC 方程：含有未知数的等式 方程的解：使方程成立的未知数的值 方程相关概念 方程的解集：所有解组成的集合 元一次方程：形如ax+b=0(a≠0) 求根公式：x=一b吐-4ac 2a 判别式△=b-4ac 一元二次方程 -E1+x2=-b/a 根与系数的关系（韦达定理）： Lx1·x2=c/a x12+x22=(x1+x2)2-2x12 常见变形： |x1-x2=√[(a1+x2)2-4x12] 恒等式一概念：无论变量如何取值都成立的等式 实数比较大小一基本方法：作差法(b-a>0台b>a) 传递性：a>b,b>c→a>c 加法性质：a>b→a+c>b+c a>b,c>0→ac>bc 不等式性质 十乘法性质： -a>b,c<0→ac 同向可加性：a>b,c>d→a+c>b+d 同向正数可乘性：a>b>0,c>d>0→ac>bd 一元一次不等式（组)一解法：变形、移项、化系数为1（注意乘除负数时方向改变） 标准形式：ac2+bx+c>0(<0,≥0，≤0) 一元二次不等式 C化a>0 求解步骤： 一求对应方程根 心根据图像写解集（大于取两边，小于取中间） f(x)/g(x)>0÷f(x)g(x)>0 分式不等式一解法：转化为整式不等式（注意分母不为零） Lf(x)/g(x)<0÷f(x)g(x)<0 |l<a(a>0)台-a<x<a 基本类型： 绝对值不等式 lxl>a(a>0)÷x<-a或x>a 解法：分类讨论、几何意义、公式法 高次不等式一解法：数轴标根法（穿针引线法） 公式：a2+b2≥2ab(a,b∈R) 基本不等式 均值不等式：对于a,b>0一(a+b)/2≥√ab(算术平均≥几何平均) 理 扩展（均值不等式链）：对于a,b>0一√[(a2+)/2≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b) 绝对值三角不等式一la-Ibl≤la士bl≤la+bl 比较大小与证明一主要方法：作差法、作商法、综合法、分析法 应用基本不等式求最值 最值问题 十原则：“一正、二定、三相等” 类型：和定积最大，积定和最小 一恒成立：求最大值或最小值满足条件 恒成立与有解问题 ·有解：存在解使不等式成立 专题02 等式与不等式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律（上海沪教版） 考点1 不等式的性质 掌握不等式的对称性、传递性、可加性、可乘性等核心性质，能用作差法比较实数（式）大小，准确判断不等式变形的正误 基础必考点，常出选择题/填空题前半部分，分值4分；易忽略乘除负数变号规则，多次同向相加扩大取值范围，特殊值法取值不当导致误判 考点2 一元二次方程根与系数的关系 掌握一元二次方程两根之和、两根之积的公式，能根据根的特征求参数值，结合根的范围分析参数取值 基础考点，选择题/填空题前半部分高频，分值4分；易忽略方程有实根的前提（判别式≥0），符号混淆导致计算错误 考点3 一元二次不等式 理解“三个二次”（二次函数、方程、不等式）的内在联系，能结合图像求解含参/不含参一元二次不等式，用区间/集合表示解集 重点核心考点，选择题/填空题后半部分（5分）或大题前三题（14分）；易未将二次项系数化正，分类讨论不完整，解集表示不规范 考点4 分式不等式 掌握简单分式不等式的解法（移项通分转化为整式不等式），明确分母不为0的限制条件，能求解含参分式不等式 中档考点，选择题/填空题后半部分（5分）或大题前三题（14分）；易直接去分母忽略分母符号，未转化为标准形式就求解，漏验分母不为0 考点5 绝对值不等式 理解绝对值不等式的几何意义，掌握|ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法，会用零点分段法求解含两个绝对值的不等式 中档考点，选择题/填空题后半部分（5分）；易在零点分段时漏区间，忽略绝对值的非负性，三角不等式等号成立条件判断失误 考点6 基本不等式（求最值） 掌握基本不等式的适用条件（一正二定三相等），能通过凑项、常数代换、二次商式变形等技巧求最值 重点难点考点，大题后两题（18分）；易忽略“一正二定三相等”前提，多次用不等式时等号条件冲突，变形凑定出错 考点7 条件等式求最值 能利用“1的代换”“消元法”等处理含条件等式的最值问题，结合基本不等式或函数单调性求解，验证等号成立条件 难点考点，大题后两题（18分）；易无法转化条件等式，忽视变量的正性限制，等号成立时变量值不符合条件 考点8 不等式恒成立/有解问题 能结合判别式、函数最值、数形结合思想，求解含参数的不等式恒成立或有解问题，明确分类讨论标准 难点考点，大题后两题（18分）；易忽略二次项系数为0的情况，分类讨论不全面，未结合函数图像分析最值 考点9 基本不等式的实际应用 能从实际情境（如面积最小、费用最低、利润最大等）抽象出不等式模型，经历“审题-建模-求解-检验”流程，解决优化类问题 重点考点，大题前三题（14分）或后两题（18分）；易误解“至少”“最多”等关键词对应的不等号，忽略实际变量的取值限制（如正数、整数） 考点10 三角不等式 理解三角不等式的核心性质（|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|），能利用其求最值、证明不等式，判断等号成立条件 中档考点，选择题/填空题后半部分（5分）；易混淆三角不等式的不等号方向，忽视等号成立的前提条件 知识点01 等式的性质 用等号“=”把两个表达式连接起来,所得的式子称为等式 等式具有以下性质: （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． 分解因式： ； ． 【答案】 【分析】将利用“十”字相乘法求解；将转化为利用完全平方公式求解. 【详解】， =； ， ， ， ， 故答案为：， 1.除以0错误：两边除以含字母的式子未验证字母不为0； 2.操作不一致：加减/乘除的数/式两边不同； 3.符号失误：移项或变形时忽略符号变化； 4.无据变形：超出性质范围（如直接两边平方）。 知识点02 方程的解、方程的解集与一元一次方程的解 含有未知数的等式称为方程.使得方程左右两边相等的未知数的值,称为方程的解,以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集. 一元一次方程是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1 且两边都为整式的等式 方程的解一般指能使一个含未知 数的等式成立的未知数的值，是一个数.而方程的解集是该等式所有解组成的集合，是一个集合. 根本概念是不一样的. 求关于x的方程的解集，其中a是常数. 【答案】答案见解析 【分析】将变形为，对一次项系数是否为0进行分类谈论即可求出结果. 【详解】因为，则 当时，方程无解，即解集为； 当时，，即解集为. 综上：当时，方程的解集为；当时，方程的解集为. 1．概念混淆：将＂解＂（单个／多个数值）与＂解集＂（集合形式）等同； 2．解集书写错：漏写 \｛\} (如把解集 \{ 2 写成 2）或多元素未规范列举； 3．去分母漏乘：一元一次方程去分母时，常数项未乘最简公分母； 4．符号失误：去括号／移项时未变号（如－2（ ）误拆为 ）； 5．含参误判： 未讨论 的情况（ 时， 无数解， 无解）。 知识点03 二元一次方程组的解集 由两个二元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解 对二元一次方程组的理解 (1) 方程组各方程中,相同的字母必须代表同一数量 (2)通过解方程组得到一组数值，将这组数值分别代入方程组中的每个方程，当这组数值满足其中的所有方程时，该组数值是此方程组的解(其解可能有无数多组解、无解或一组解);否则它就不是此方程组的解 1．格式错误：解集未用＂有序数对 + 集合＂形式（如误写 ，应为 ）； 2．个数误判：同解方程判无解，或矛盾方程判有解； 3．检验遗漏：未代回原方程组验证解的正确性； 4．含参讨论不全：未分析系数成比例情况（无解／无数解）； 5．计算失误：去括号／移项符号错，导致解错进而解集错误。 知识点04 恒等式的概念 数学上，恒等式是无论其变量如何取值，等式永远成立的算式．例如 与 ，对于任一组实数 ，都有 ，所以 与 是恒等的 1．与方程混淆：误将恒等式（所有允许值成立）当作普通方程； 2．判断片面：仅代个别值相等即判为恒等式（需所有允许值成立）； 3．忽略定义域：未考虑字母取值限制（如 非恒等式）； 4．变形误判：因运算错误（如展开／化简错）误判恒成立。 知识点05一元二次方程的解集 一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根.如果一元二次方程的两个根相等,那么这两个根叫做重根 (1)应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式,然后确定a、b、c的值, (2)此判别式只适用于一元二次方程,当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论 （3）当 时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根． 若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得和，再进行化简整理即可. 【详解】由题意：、为一元二次方程的两根， 所以，. 所以. 故答案为： 1．格式错误：重根重复写（如 ）或漏写集合符号； 2．判别式误判： 仍写实根解集（应为 ）； 3．计算失误：求根公式／因式分解错导致根错； 4．含参讨论不全：未考虑二次项系数为 0 （变一元一次方程）； 5．互异性忽略：解集未去重（重根仅保留一个）。 知识点06韦达定理 . 应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形 变形一 变形二 变形三 变形四 1．忽略适用条件：（非二次方程）或 （无实根）仍误用； 2．符号失误： 漏写负号，误记为 ； 3．含参讨论不全：未兼顾 与 的双重条件； 4．重根误判：认为相等实根不适用韦达定理（实际仍成立）。 知识点07实数(代数式)大小的比较 对于两个实数 、 ， 如果 是正数，就称 大于 ，记为 ； 如果 是负数，就称 小于 ，记为 ； 如果 是零，就称 等于 ，记为 ．这就是说 这是研究一切不等式的基础. 显然,对于任意给定的两个实数 已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法，计算化简，即可得答案. 【详解】由题意 ， 当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 1．作差／作商法误用：作差未判正负，作商忽略分母不为 0 及正负性； 2．平方变形不当：负数平方后比较，误将平方结果大小等同于原数大小； 3．同乘负数漏变号：两边同乘负数未反转不等号方向； 4．特殊值片面：仅代 1 个值下结论（如 a 与 ，需分区间讨论）； 5．化简失误：代数式合并同类项／因式分解错，导致比较基准错误； 6．负数比较颠倒：忽略＂负数绝对值大则值小＂。 知识点08不等式的性质 （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 b c；如果 ，且 ，那么 ． 性质名称 性质内容 移项法则 同向可加性 同向可加性的推论 同向同正可乘性 ， 同向同正可乘性的推论 ， 正数乘方性 正数可开方性 如果，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据给定条件，利用不等式性质逐项判断即得. 【详解】由，得，，，，A正确，BCD错误. 故选：A 1．乘除变号漏记：两边乘除负数时，未反转不等号方向； 2．乘除 0 错误：用 0 乘除不等式（变为等式，破坏不等关系）； 3．同向运算混淆：同向不等式可加不可减，误将＂相加＂当＂相减＂； 4．传递性缺失：未满足＂ 且 ，直接推 ； 5．等式性质迁移：盲目两边平方（需两边非负）、开方，忽略不等式特殊性； 6．同向相乘无前提：非正数的同向不等式盲目相乘（需均为正数才成立）。 知识点09数(式)比较大小的方法 1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法 ①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论,③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得出结论. 2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若 ，则 ；若 ，那么 ．其中 是介于 与 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 已知，，那么，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质求解. 【详解】， ， . 即. 故选：C. 1.作差/作商法：作差未判正负，作商忽略除式非0及正负性； 2. 平方法滥用：未验证两边非负（如负数平方后误比原数大小）； 3. 特殊值片面：仅取单一值，未覆盖字母所有取值范围（如漏验负数、0）； 4. 忽略定义域：代数式比较未考虑字母取值限制（如含分母、根号的情况）； 5. 性质迁移错：误用不等式性质（如同向相减、乘除负数未反号）。 知识点10用比较法证明不等式 证明不等式主要利用作差比较法和作商比较法.若要证明的不等式为几个多项式的和或差,则采用作差比较法;若要证明的不等式为几个多项式的积或商,则采用作商比较法. 采用作差比较法，将不等式左右两边的式子作差，然后将其进行适当的变形、放缩,再利用不等式的传递性、可加性来证明结论.运用作差比较法证明不等式时，作差后变形的结果都应是几个因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，，故CD错误； 因为，，所以即恒成立，故A正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：A 1．作差未化简：差式未分解／合并同类项，无法判断正负； 2．作商缺前提：未验证除式非 0 且为正（导致商的大小与原数关系颠倒）； 3．化简失误：因式分解、符号处理错误，导致差／商的正负判断偏差； 4．逻辑断层：未说明差 ／商 的依据（如未结合配方、不等式性质）； 5．特殊值替代：用个别值验证差／商正负，而非严格代数推导； 6．作商结论错：商 时直接判原数大，忽略除式为负的情况。 知识点11常用不等式(定理) 定理 对任意的实数,总有，且等号当且仅当时成立. 当且仅当的逻辑关系是充分必要条件．当且仅当 时等式成立．指的是若不等式中的相等成立必有 ，反之当 时，才能有不等式中的相等成立． 1．基本不等式漏条件：忽略＂一正二定三相等＂（负数用、和／积不定、相等条件不满足）； 2．绝对值不等式误解： 漏解 ，或 误取 ； 3．同向不等式滥用：非正数同向相乘（需均为正数才成立）； 4．定理逆向错用：基本不等式逆向未验证适用条件； 5．均值不等式＂定＂混淆：求和最小未保证积定，求积最大未保证和定。 知识点12一元一次不等式的求解 在含有未知数的不等式中,能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集,求一元一次不等式解集的过程称为一元一次不等式的求解或解一元一次不等式. 形如 的式子叫做一元一次不等式，有四种形式：、、 、 . 若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 ． 【答案】0 【知识点】解含参数的一元一次不等式 【分析】先化简不等式组，依题意表示得出的范围，再取最大整数值即可. 【详解】由可得，要使不等式组的解集非空， 需使，所以，故满足条件的最大整数0. 故答案为：0. 1．去分母漏乘：常数项未乘最简公分母； 2．去括号符号错：负号分配律误用（如－3（ ）拆为 ）； 3．移项未变号：从不等号一端移到另一端符号不变； 4．乘除负数漏反号：两边乘除负数时，未反转不等号方向； 5．解集书写误：区间／集合格式错误（如漏写 ｛}、不等号方向颠倒) ; 6．含参讨论不全：未分析未知数系数为 0 的情况（变常数不等式）。 知识点13一元一次不等式组的求解 将含有相同未知数的多个不等式联立起来,就得到不等式组，求一元一次不等式组解集的过程称为一元一次不等式组的求解. 1.单个不等式求解错（去分母漏乘、乘除负数未反号）； 2. 解集法则混淆（同大/同小/交叉情况判断错）； 3. 边界值含混（漏看等号、数轴标注错误）； 4. 交集找错（误将并集当作公共部分）； 5. 解集书写不规范（区间/集合表示错误）； 6. 含参讨论不全（未分析参数对不等号/解集的影响）。 知识点14特殊一元二次不等式的求解 定义 设a , b , c为实数，且 ，形如 或 的不等式统称为一元二次不等式． 特别地，形如 的求解，遵循＂大于分两边，小于夹中间＂的原则． （1）＂元＂是指不等式中所要求解的未知数．一元就是指未．知数个数为 1 ，这里即 ，但不等式中也可以包含其他字母，如 、、 等，这里的 、、 为系数，即为常数． （2）＂次＂是指不等式的最高次项的次数，这里的最高次项为 ，次数为 2 ，即二次．注意二次项系数不为 0 ，即 ．若 ，则二次项不存在，不等式实质为一元一次不等式 （其中 ）．在解题的要注意，若未说明二次项系数不为 0 ，则需分类讨论，求不等式的解集． 1．忽略 a 的符号：未先化二次项系数为正，导致解集方向颠倒； 2． 误判： 时漏写顶点（如 解集为 ）； 3． 未转化：仍按二次不等式求解（实际为一元一次不等式）； 4．边界等号漏／多：混淆＂$>$＂与＂＂、＂$<$＂与 ＂，漏含或多含顶点； 5．因式分解符号错： 时未先变号，直接判断因式乘积符号； 6．含参讨论不全：未覆盖 a 正负、 的所有情况。 知识点15利用一元二次方程的判别式讨论一元二次不等式的解集 设方程 的判别式 0 或 ，其两根记为 、 ，且 ，一元二次不等式的求解结果总结成下表： 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 已知关于的一元二次不等式的解集为，则 ． 【答案】1 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式解集求参，再计算求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以，所以， 则. 故答案为：1. 1．忽略 a 的符号：未化二次项系数为正，导致解集方向颠倒； 2． 判断失误： 误判为全体实数， 未按 a 正负分空集／全体实数； 3．等号漏处理：混淆＂$>$＂与＂＂，漏含或多含 时的单根； 4．含参讨论不全：未分析 （非二次不等式）或 的三种情况； 5．逻辑颠倒：先定解集方向再看 ，未按＂a 正负 根况 → 解集＂顺序。 知识点16二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系 一元二次方程 的两根为 、 且 ，其解按照 可分三种情况．相应地，二次函数 的图像与 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 或 的解集． 类别 . 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 . 1．忽略 a 的符号：未化 ，导致解集方向颠倒； 2． 对应失误： 时解集判断错误； 3．条件混淆：方程实根（ ）与不等式恒成立（ ）弄混； 4．边界等号错：未对应函数图像与方程根的含否； 5．含参讨论不全：漏 或 的三种情况； 6．解集图像颠倒：开口方向与＂两根外／间＂对应错误。 知识点17分式不等式与基本不等式 形如 或 （其中 、 为整式且 不为 0) 的不等式称为分式不等式． 解分式不等式先将分式不等式通过移项、通分把右边化为零，左边化为 、 是关于 的表达式且 0）的形式，然后同解变形．分式不等式的同解变形如下表： 分式不等式 同解不等式(组) 与 同解; 与同解 与 同解; 与同解 与 同解 与 同解 不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式不等式 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，由此可求结果. 【详解】因为，解得， 所以解集为， 故选：B. 一、分式不等式 1．忽略分母不为 0 ； 2．盲目去分母（未判分母正负）； 3． 误转 （需 ）； 4．边界误含分母为 0 的情况。 二、基本不等式 1．缺＂一正二定三相等＂（异号、和／积不定、漏验等号）； 2．分式形式化简错误导致条件判断偏差。 知识点18利用分式不等式求解实际问题 将实际问题转化为数学模型,在转化的过程中注意实际问题的限制条件. 1.忽略实际取值限制（分母不为0、非负/整数解）； 2. 不等关系列错（混淆“至少”“不超过”等关键词）； 3. 盲目去分母（未判断分母正负）； 4. 未检验解的实际合理性（如负数解未舍去）； 5. 含参问题未结合实际意义讨论参数范围。 知识点19绝对值不等式 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 例如， 都是绝对值不等式． 代数意义：|x|= 几何意义：|x|表示数轴上表示数 的点到原点的距离． 1．忽略 a 的正负（ 时解集特殊）； 2．解的逻辑错（ 误写＂且＂， 误写＂或＂）； 3．去绝对值符号错（如 漏变号）； 4．边界等号漏／多（混淆 > 与 与 ）； 5．多绝对值漏讨论分界点； 6．实际问题未舍不合理解。 知识点20含绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式 与 的解集 一般地，当 时，有 ，因此，不等式 的解集是 ； 或 ，因此，不等式 的解集是 ． 2． 和 型不等式的解法 （1）若 ，则 等价于 等价于 或 ，然后根据 、 的值求解即可． （2）若 ，则 的解集为 的解集为 ． 3． 和 型不等式的解法 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 法二:利用“分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想 1．漏判常数符号（ 时解集特殊，如 解集为 ）； 2．去绝对值符号错（如 误转 ）； 3．解集逻辑混淆（ 用＂且＂， 用＂或＂）； 4．边界等号漏／多（混淆>与 、< 与 ）； 5．多绝对值漏分分界点讨论； 6．化简失误（去括号／移项符号错）。 知识点21平均值不等式 1.算术平均值与几何平均值 对于正数 、 ，称 是 、 的算术平均值，并称 是 、的几何平均值． 2.平均值不等式 定理（平均值不等式）两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数 、 ，有 ，且等号当且仅当时成立 三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个命题（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对任意正实数a和b，有，当且仅当时等号成立 D．如果，那么 【答案】C 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】确定选项ABD的推导依据，利用几何意义解释选项C即可. 【详解】选项ABD是不等式的性质，不能由给定的图形解释； 对于C，设小直角三角形的直角边长分别为，大正方形的边长为， 大正方形的面积为，个小直角三角形的面积之和为， 由图知，当且仅当时等号成立. 故选：C 1.缺“一正”：变量为负仍套用公式； 2. 无“二定”：和/积非定值盲目求最值； 3. 漏“三相等”：未验证等号成立条件； 4. 变形错误：逆向使用未满足核心条件； 5. 多次使用矛盾：多步套用后等号条件不一致； 6. 公式记忆偏差：误写系数（如漏2）或形式。 知识点22利用平均值不等式及常用不等式求代数式的最大(小)值 1.最值定理 已知 ，则 （1）若 （常数），则当且仅当 时， 有最小值 ．简记：积定和最小． （2）若 （常数），则当且仅当 时，a b有最大值 ．简记:和定积最大. 2.重要不等式链 （1）若 ，则 ． （2）若 ，则 ，其中 叫做a、b的调和平均值， 叫做 a 、 b的平方平均值．此不等式链常以 的形式出现． 1.缺“一正二定三相等”核心条件； 2. 多次套用等号成立条件矛盾； 3. 常用不等式（柯西、排序等）结构/公式误用； 4. 忽略变量隐含取值限制（非正、分母为0等）； 5. 凑定值变形错误（破坏等价性）； 6. 混淆“和定积最大”“积定和最小”逻辑。 知识点23三角不等式 当 、 两数至少有一个为 0 时，可得 ．当 、 两数所表示的点在原点的同侧时，可得 ． 当 、 两数所表示的点在原点的两侧时，可得 ． 定理（三角不等式）两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数 、 ，有 ，且等号当且仅当时成立. 9．设，则方程的解集为 . 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】根据给定条件，利用绝对值的三角不等式求解即得. 【详解】依题意，， 当且仅当，即时取等号， 所以方程的解集为. 故答案为： 1.忽略等号条件（同号／异号／至少一个为 0 的要求）； 2.± 号与不等号错配（如误写 ）； 3.逆向使用无依据（盲目由 反推）； 4.多变量扩展时漏判等号条件； 5.与普通绝对值不等式解法混淆。 题型一 解不含参数的一元二次不等式（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心步骤：先将不等式化为标准形式 （或 ），再求对应一元二次方程的根（因式分解法、求根公式法）。 2．解集判断： 若 （开口向上），大于 0 的解集为＂两根之外＂，小于 0 的解集为＂两根之间＂； 若 （开口向下），先化为 的形式（两边同乘 -1 ，不等号反向）再求解。 3．特殊情况： 判别式 时， 则不等式 解集为 解集为 ； 二次项系数为 0 时，退化为一元一次不等式求解。 4．辅助工具：数轴标根法，将根标在数轴上，根据开口方向标注解集范围。 【典例1】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，集合 ，求 . 【答案】， 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】解分式不等式及含绝对值不等式，再由集合的交集、并集得解. 【详解】因为， 所以或，即， 因为， 所以， 所以，. 【变式1】（24-25高一上·上海静安·期末）设函数是定义在上的奇函数，当时,，则不等式的解集为（    ） A．() B．[] C． D． 【答案】C 【知识点】由奇偶性求函数解析式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据奇函数的性质求解，即可分类讨论代入求解. 【详解】设，则,故， 故， 当且，即，则，解得， 当且时，即， ，解得， 当且时，即， ，解得， 当且，此时不存在， 综上可得， 故选：C 【变式2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、绝对值三角不等式 【分析】利用绝对值三角不等式求左侧最小值，结合恒成立有，即可求参数范围. 【详解】由，当且仅当时取等号， 所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海普陀·期末）设集合 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）解分式不等式、一元二次不等式求集合，再应用集合的并补运算求集合； （2）讨论参数a求对应集合，结合集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）由题设，则，可得， 所以， 或， 所以，则； （2）由或， 由， 当，则，满足； 当，则，满足； 当，则，不满足； 综上，. 题型二 解含有参数的一元二次不等式（重点） 解｜题｜技｜巧 1．分类讨论优先级： 先讨论二次项系数 （退化为一次不等式）和 （二次不等式）； 时，讨论判别式 （判断方程是否有根）； 时，讨论两根大小（比较 与 ，需结合参数范围）。 2．解集表达：根据参数分类结果，分情况写出解集，避免遗漏参数取值范围。 3．易错点：注意参数对不等号方向、根的存在性及大小的影响，避免未讨论参数直接求解。 4．结合集合：若与集合包含关系、交集等结合，需根据集合条件进一步限定参数范围。 【典例2】（上海市金山区2024-2025学年高一上学期期末数学试题）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·上海·期末）已知，设集合，集合. (1)分别求集合A和B； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、解含有参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）解分式不等式得到，结合，求出或； （2）根据交集的结果得到包含关系，从而得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1）, 解得，故， 因为，所以，故， 故或； （2）因为，所以， 故或， 结合，解得或， 故a的取值范围是. 【变式2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）由，则，，代入集合，求出的取值范围，再求交集即可； （2）由集合，令，得方程的两个根为，通过讨论两个根的大小，求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则，代入， 得，即，解得， 因为，则，所以， 所以若，求实数的取值范围为. （2）当时，方程的两个根为， 当，即时，集合， 因为，，所以，解得，则； 当，即时，集合，满足； 当，即时，集合， 因为，，所以，此时， 综上，实数的取值范围为. 【变式3】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知是定义在上的函数，给定数集.若对任意的，当时，均有，则称函数在集合上封闭. (1)若，分别判断在和上是否封闭？并说明理由； (2)若在上封闭，当时，，解不等式； (3)证明：“在上封闭，且在上封闭”的必要条件是“在上封闭”. 【答案】(1)在上封闭，在上不封闭，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】必要条件、解不含参数的一元二次不等式、函数新定义 【分析】（1）根据新定义，任取判断是否在上，取判断是否在上，即可得结论； （2）根据已知得，进而有只在、上有解，分类讨论求解不等式即可； （3）根据已知有，，且任取，都有成立，再结合封闭的定义及必要性定义证明结论. 【详解】（1）在上封闭，在上不封闭，理由如下， 任取，则， 所以在上封闭， 取，则，此时， 所以在上不封闭. （2）在上封闭，则任意，都有， 所以， 当时，，此时， 所以时，， 所以只在、上有解， 当，，可得， 当，，则，可得或， 综上，的解集为. （3）在上封闭，易得，所以，， 在上封闭，则任取，都有成立， 若，则，故， 即，故， 所以在上封闭， 综上，“在上封闭，且在上封闭”的必要条件是“在上封闭” 【点睛】关键点点睛：第二、三问，根据封闭的定义分别得到、，为关键. 题型三 一元二次不等式恒成立问题（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心思路：转化为二次函数图象与 轴的位置关系，结合开口方向和判别式。 2．恒成立条件： 对任意 恒成立： 时 且 ； 对任意 恒成立： 时 且 。 3．区间恒成立：若限定 ，需结合二次函数在区间上的单调性，求最值后列不等式（如最小值 、最大值 ）。 4．分离参数法：将参数单独放在不等式一侧，转化为＂参数 或 ）函数最值＂求解（适用于参数易分离的情况）。 【典例3】（24-25高一上·上海虹口·期末）设. (1)若，不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)若，函数在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)； (2)3. 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）把代入，利用一元二次型不等式恒成立求出范围. （2）把代入，分类讨论求解二次函数在上的最小值问题. 【详解】（1）当时，函数 不等式对一切实数恒成立， 当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. （2）当时，，其图象的对称轴为， 当，即时，函数在上单调递增， ，解得，不符合要求； 当，即时，函数在上单调递减， ，解得，不符合要求； 当，即时，，解得或，则， 所以的值是3. 【变式1】已知函数. (1)若函数的图象过原点，求的解析式； (2)若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【知识点】求二次函数的解析式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由题设且，即可求参数值，进而写出解析式； （2）由偶函数性质得，问题化为在R上恒成立，根据求参数范围. 【详解】（1）由题设，而，则，可得或， 当时，；当时，. （2）由题设，则， 所以恒成立，即， 所以，即在R上恒成立， 所以，即，可得. 【变式2】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知． (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围． (2)设、是方程的两个根，若，求实数的值； 【答案】(1)； (2)或. 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）问题化为在R上恒成立，利用即可求参数范围； （2）由题意、是方程的两个根，应用韦达定理并结合列方程求参数值，注意验证. 【详解】（1）由题意，在R上恒成立，则， 所以，可得， 所以实数的取值范围为； （2）由题设，、是方程的两个根， 则，，， 由，即， 所以，可得或. 经验证，或均满足， 所以或. 题型四 基本不等式求和的最小值（重点） 解｜题｜技｜巧 1．适用条件：＂一正二定三相等＂，即变量为正实数、和或积为定值、等号成立条件满足。 2．核心公式：（ ，当且仅当 时取等号）。 3．构造定值： 凑项法：如 ，变形为 ，利用基本不等式； 凑系数法：如 ，调整系数使 为定值。 4．易错点：忽略等号成立条件（需验证变量是否能取到相等值），或未保证变量为正。 【典例4】已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】8 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据结合基本不等式即可得解. 【详解】解：因为， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 【变式1】（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】条件可转化为在上恒成立，利用基本不等式求的最小值，由此可得结论. 【详解】因为在上恒成立，又， 所以在上恒成立， 所以，其中， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知都是正实数，且. (1)求证：； (2)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【知识点】由不等式的性质证明不等式、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据题意利用不等式的性质即可证明； （2）令，则，运用基本不等式可求得最小值. 【详解】（1）因为，所以，因为都是正实数，所以，所以，得证； （2）由（1）得，，令，则， 当且仅当即，时，等号成立， 所以的最小值为4. 【变式3】（24-25高一上·上海虹口·期末）设，已知是上的奇函数. (1)求的值，并判断函数的单调性； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，函数是上的增函数 (2) 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、基本不等式求和的最小值、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用奇函数的定义求出，再借助指数函数的单调性判断的单调性 （2）由（1）及已知，等价变形给定不等式，分离参数并利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】（1）由函数是上的奇函数，得， 则，而，解得， 函数，函数都是上的增函数，因此函数是上的增函数， 所以，函数是上的增函数. （2）由（1）知，函数是上单调递增的奇函数， 对任意，不等式 ，而，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 题型五 不等式的性质（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心性质：牢记同向可加（ ）、正数同向可乘（ 、乘除负数不等号反向。 2．判断方法： 直接利用性质推导，或举反例排除错误选项（如判断＂＂，可举 ）； 作差法：比较 与 0 的大小，正数则 ，负数则 。 3．实际应用：结合函数单调性（如指数、对数函数），将不等式转化为自变量的大小关系。 4．注意事项：避免＂两边同时乘除含参代数式＂（需先判断正负），避免传递性错误（如 不能直接得 。 【典例5】（20-21高一上·上海浦东新·月考）如果，那么下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式的性质证明不等式、由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质和取特殊值即可得答案. 【详解】因为，故由不等式的性质得，故C选项正确； 对于A选项，当时满足，但不成立，故A选项错误； 对于B选项，由于，但，故B选项错误； 对于D选项，由于，但，故D选项错误. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·上海闵行·期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】A 【知识点】判断命题的真假、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】对于A、B选项，利用不等式的性质可判断原命题的真假；对于C、D选项，取特殊值可判断原命题的真假. 【详解】对于A，若，则，显然成立，选项A正确； 对于B，若，当时，，当时，，选项B错误； 对于C，令，满足，，但是， 不满足，选项C错误； 对于D，令，满足，，但是， 不满足，选项D错误， 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知为实数，满足，则等号成立的条件是 . 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】利用平方数的性质及已知确定等号成立条件. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以等号成立的条件是. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海松江·期末）根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响. 若用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中 . 当不变，与均变为原来的2倍时，有关于的两个命题: ①存在和，使得变为原来的 2 倍； ② 若，则最多可变为原来的 2 倍. 则下列说法正确的是（     ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】C 【知识点】判断指数函数的单调性、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】由，当不变，与均变为原来的2倍时，，再分别分析判断命题①②即可. 【详解】在中，当不变，与均变为原来的2倍时，， 对于①，若变为原来的2倍，则，即有， 当，时，，则， 因此无解，即不存在和，使得变为原来的2倍，①错误； 对于②，由，得， 因此，解得， 当且仅当，即时取等号，， 所以最多可变为原来的2倍，②正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据给定的信息，求出变换后与变换前的比值表达式是求解的关键. 题型六 基本不等式妙用“1”（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心思路：已知 ，求 的最值，将所求表达式乘以＂ 1 ＂（即 ）展开后用基本不等式。 2．步骤： 变形已知条件，得到＂ 1 ＂的表达式； 所求表达式 ＂ 1 ＂，展开后整理为＂定值 + 含根号项＂； 利用 求最值，验证等号成立条件（需满足 且含根号项的变量相等）。 3．常见模型：如 ，求 ，变形为 。 4．灵活变形：若已知条件不是＂ 1 ＂，可转化为＂ 1 ＂（如 ，变形为 ）。 【典例6】（24-25高一上·上海虹口·期末）设正实数满足，则下列结论不正确的是（    ）. A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式的应用，结合选项计算即可判断. 【详解】A：∵， ∴， 当且仅当即时等号成立，故A正确． B：，得， ，所以， 当且仅当即时等号成立，故B正确． C：，∴，当且仅当时，等号成立，故C错误； D：，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：C． 【变式1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是 . 【答案】2 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由基本不等式的乘“1”法求解即可； 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是2. 故答案为：2. 【变式2】（24-25高一上·上海静安·期末）已知函数过定点，则的最小值为 【答案】2 【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先利用函数过定点得到，再根据，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为函数过定点， 所以，化简可得， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2， 故答案为：2. 【变式3】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，若实数且，则的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】函数奇偶性的应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先证明为奇函数，由可得，利用基本不等式常数代换技巧求解的最小值. 【详解】函数，定义域为R， ，则为奇函数， 若实数且，函数单调递增， 则有，即， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 题型七 分式不等式（重点） 解｜题｜技｜巧 1．转化原则：将分式不等式转化为整式不等式，注意分母不为 0 。 ； 号 ； 同理。 2．步骤： 移项通分，将不等式化为标准分式形式（右边为 0 ）； 因式分解分子分母，求根后用数轴标根法（注意挖去使分母为 0 的根）； 标注解集范围，确保不包含分母为 0 的点。 3．易错点：直接去分母（未判断分母正负，导致不等号方向错误），或遗漏分母不为 0 的限制条件。 【典例7】（上海市嘉定区第一中学2024届高三上学期10月月考数学试题）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、分式不等式 【分析】化简分式不等式，即可根据充分不必要条件的定义判断. 【详解】由可得，解得或， “”可以推出“或”，“或”不能推出“”，例如， 故“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 【变式1】（24-25高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】分式不等式 【分析】利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】不等式等价于，解得或， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海静安·期末）已知 (1)设，，判断集合A与集合B的包含关系并说明理由； (2)用反证法证明，a，b，c，d至少有一个不小于1，至少有一个不大于1. 【答案】(1)B是A的真子集，理由见解析 (2)证明见解析 【知识点】判断两个集合的包含关系、分式不等式、反证法证明、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由分式不等式以及绝对值的定义，可得集合，结合集合之间的包含关系，可得答案； （2）写出题干命题的否定，求得不等式组的解集，可得答案. 【详解】（1）由，可得，解得或，则或； 由，，可得，解得或，则或. 所以. （2）假设：都小于或都大于， 令，即，可得，则，解得或； 令，即，可得或，解得或； 令，即，解得；令，即，解得. 所以由不等式组，解得；由不等式组，解得， 与假设矛盾，故原命题正确. 【变式3】已知集合，． (1)若，求和B； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、分式不等式、公式法解绝对值不等式 【分析】（1）分别求出集合A和集合B即可. (2) 因为“”是“”的充分不必要条件，所以,即可求出a的取值范围. 【详解】（1）当时，化为，则， ，； 化为，则， 所以 （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 又， 所以且等号不同时成立， 解得，即的取值范围为． 题型八 韦达定理（重点） 解｜题｜技｜巧 1．核心公式：对于一元二次方程 ，若根为 ，则 2．应用场景： 求根的代数式值 如 ； 结合判别式 ，求参数取值范围（如已知根的符号、两根之和／积的范围）； 构造一元二次方程（已知两根关系，设方程为 。 3．注意事项：使用前需验证方程有实根（ ），避免无实根时误用韦达定理。 【典例8】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 【答案】3 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】由韦达定理得到，，进而求解即可. 【详解】因为方程的两个根为、， 由韦达定理得，，， 所以. 故答案为：3. 【变式1】（24-25高一上·上海奉贤·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】利用韦达定理可求得所求代数式的值. 【详解】因为、是方程的两个实数根，由韦达定理可得，， 因此，. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·上海闵行·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． (1)求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）由判别式大于0可得； （2）由韦达定理求解． 【详解】（1）由题意，解得或， 的范围是． （2）由题意，， 所以，解得， 又，所以，即． 【变式3】考查关于x的方程． (1)若该方程的两个实数根，满足，求实数t的值； (2)若该方程在区间上有且仅有一个实数根，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次方程根的分布问题、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）根据根的判别式及韦达定理求解即可； （2）化简方程为，令，转化问题为方程有且仅有一个实数根，进而结合对勾函数图象求解即可. 【详解】（1）由题意，得，即或， 因为，所以， 解得或4（舍去）， 所以. （2）由，， 即 即， 令， 则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，；时，；时，，如图， 所以要使方程只有一个实数根， 则或， 解得或， 所以实数t的取值范围为．    【变式4】已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若关于的方程有两个不相等的正实数根、，求的取值范围和的取值范围. 【答案】(1) (2)， 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）当时，利用二次不等式的解法解不等式，可得其解集； （2）利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解出的取值范围，利用韦达定理可得出关于的函数关系式，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，由，解得或， 所以，当时，不等式的解集为. （2）关于的方程有两个不相等的正实数根、， 所以，，解得， 因为， 因为，则，故. 故的取值范围为. 题型九 绝对值不等式（重点） 解｜题｜技｜巧 1．基本性质： ； 或 ； 绝对值三角不等式： 。 2．求解方法： 简单绝对值不等式：直接利用上述性质求解； 复杂绝对值不等式（如 ）：分类讨论去掉绝对值符号（找绝对值内表达式为 0 的临界点，分区间讨论）。 3．恒成立与有解问题： 恒成立： 恒成立 ； 恒成立 ； 有解： 有解 ； 有解 。 4．辅助工具：利用绝对值的几何意义（数轴上点到点的距离）简化求解（如 表示数轴上 到 1和 2 的距离之和）。 【典例9】（24-25高一上·上海金山·期末）已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】根据绝对值不等式求解最值即可求解. 【详解】恒成立，等价于， 又，. 故答案为： 【变式1】若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】根据绝对值的性质，求出的最大值，则，解不等式即可得出答案. 【详解】因为， 关于的不等式有解， 即，所以，解得： 则实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海长宁·期末）若对任意，都有，则实数的最大值为 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】利用绝对值不等式的性质求出的最小值，再根据已知条件确定实数的最大值. 【详解】根据绝对值不等式. 对于，这里，，则. 当且仅当时等号成立，所以的最小值是. 因为对任意，都有恒成立. 这就意味着要不大于的最小值. 而最小值是，所以，那么实数的最大值就是. 故答案为：3. 【变式3】关于x的方程的解集为 ． 【答案】； 【知识点】分类讨论解绝对值不等式 【分析】分，，和，讨论求解. 【详解】解：当时，原不等式为，解得，不成立； 当时，原不等式为，解得，不成立； 当时，原不等式为，恒成立； 当时，原不等式为，解得，不成立； 所以原不等式的解集为， 故答案为： 题型十 基本不等式的应用（难点） 【典例10】如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 (1)求关于的函数表达式 (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 【答案】(1) (2)海报长，宽时，用纸量最少. 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）表示出矩形宣传栏的长和宽，然后根据面积公式可得； （2）由（1）可得，然后利用基本不等式将（1）中等式转化为关于的一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， 所以有， 整理得. （2）由（1）知，即， 因为，所以由基本不等式可得， 令，则，解得（舍去）或. 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为. 【变式1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）目前，光伏产业已经发展成我国少有的全产业链自主可控，并在全球范围内具备领先优势的产业.现有某光伏产业公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，每年的总收入为50万元，前（为正整数）年维修、保养费用总和为万元，设使用年后该设备的盈利额为万元. (1)写出与之间的函数关系式，并求从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方穼处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为） 【答案】(1)，，从第3年开始，该设备开始盈利 (2)应选用方案一，理由见解析 【知识点】求二次函数的值域或最值、利用二次函数模型解决实际问题、一元二次不等式的实际应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据题意可得解析式以及列不等式，即可求解； （2）方案一运用基本不等式可求得总利润，方案二运用二次函数求得最值，综合比较可求得结果. 【详解】（1）由题意得，， 令，则， 又，所以， 故从第3年开始，该设备开始盈利； （2）方案一：年平均盈利额， 当且仅当时，即当时，上式等号成立， 故到第7年，该设备的年平均盈利额达到最大值， 此时卖掉此设备后，该企业可获得的总利润为万元； 方案二：盈利总额， 当时，取最大值，故到第10年，该设备的盈利总额达到最大值102， 此时卖掉此设备后，该企业可获得的总利润为； 因为两种方案企业获得的总利润相同，而方案一用时较短，故应选用方案一. 【变式2】（24-25高一上·上海宝山·期末）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元． (1)设仓库前面墙体的长为x米（），试将甲工程队的整体报价y表示为x的函数； (2)当仓库前面墙体的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？ (3)现有乙工程队也参与此仓库改造竞标，其给出的整体报价为元，其中，不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，求实数k的取值范围． 【答案】(1)， (2)当仓库前面墙体的长度为米时，甲工程队的整体报价最低，是元. (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据甲的报价方案，利用墙体面积，转化为关于的函数关系，即可求解； （2）根据基本不等式计算即可； （3）根据（1）的结果，转化为不等式，参变分离后，转化为求函数最值问题，即可求解. 【详解】（1）由题意可得：甲队的报价为元，； （2）甲队的报价为. 当且仅当，即，解得（满足）时等号成立. 所以当仓库前面墙体的长度为米时，甲工程队的整体报价最低，是元. （3）乙队给出的整体报价为元，若乙队要确保竞标成功， 则恒成立， ，，设， 则，又在为增函数， 则，则，即，又，则， 即实数的取值范围是． 【变式3】（24-25高一上·上海长宁·期末）若函数在其定义域内给定区间上存在实数使得，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点： (1)判断函数是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由： (2)设函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的实数对； (3)若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围； 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)或 (3) 【知识点】对勾函数求最值、函数新定义 【分析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到，求出，即可判断出结果； （2）先由题意，得到，推出，结合题中条件，即可得出结果. （3）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在，使，利用换元法，结合对勾函数的性质，即可求出结果； 【详解】（1）由题意可知，由于， 则不是是区间上的“平均值函数”； （2）因为函数是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点， 所以， 即， 所以，又因为，， 所以或或， 因为1是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得， 所以满足条件的数对有或. （3）因为函数是区间上的“平均值函数”， 所以存在，使， 即，即 ， 令， 所以， 由于，故单调递增，所以， ， 因此，； 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一上·上海虹口·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】把分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】由题意，所以解集为. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知非零实数a、b满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】运用不等式的性质，结合特殊值法和作差法比较大小，对每个选项逐一分析判断其是否一定成立. 【详解】对于A选项，对于，即.当，时，，，此时，所以不一定成立.故A错误. 对于B选项，对于.当，时，满足，此时，，，所以不一定成立. 故B错误. 对于C选项，对于.因为，又恒大于，已知，即，所以，即一定成立. 故C正确. 对于D选项，对于.当，时，满足，但，，，所以不一定成立.故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列说法正确的是（    ） A．方程的两个实数根满足 B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C．已知方程的两个实数根，则 D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则 【答案】D 【知识点】一元二次方程根的分布问题、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据判别式判断A、B；整理方程求解可得判断C；求一元二次方程的解判断D. 【详解】A：由中，即方程无实根，错； B：由方程知不一定恒成立，故方程不一定有两个不等的实根，错； C：由，显然，错； D：由题设中，对. 故选：D 4．（24-25高一上·上海长宁·期末）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】交集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）先分别求出当时集合和集合，再求它们的交集； （2）根据充分不必要条件可知以是的真子集，由此确定实数的取值范围. 【详解】（1）已知集合，当时，，即. 等价于，所以集合. 对于集合，这是一个分式不等式. 分式不等式等价于. 解不等式，可得，所以集合. 由前面求出的，， 所以. （2）由集合，解不等式可得， 即，所以集合. 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集. 则有（等号不同时成立）. 解第一个不等式，得；解第二个不等式，得. 综上，实数的取值范围是. 5．（24-25高一上·上海松江·期末）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种新的污水净化设备. 这种净水设备的购置费（单位:万元）与设备的占地面积（单位:平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业需缴纳的总水费（单位:万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位:万元）. (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值. 【答案】(1) (2)设备占地面积为15m2时，的值最小，最小值为7万元 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）表达出，从而得到不等式，求出，得到答案； （2）利用基本不等式求出最小值，并得到等号成立的条件，即的值. 【详解】（1）由题意得， 令即， 整理得：， 即，解得， 所以设备占地面积的取值范围为. （2），由基本不等式得 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以设备占地面积为15m2时，的值最小，最小值为7万元. 6．（24-25高一上·上海松江·期中）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？ 【答案】(1)，2； (2)108 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用求得函数关系式，并利用基本不等式求得最短时间. （2）化简不等式，利用分离常数法，结合一元二次不等式的解法求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得， 所以， 当时，， （秒， 即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒． （2）根据题意要求对于任意，恒成立， 即对于任意，，即恒成立， 由，得，所以即，解得 ，所以， 因为， 故要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在108千米小时． 7．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知某线路运行的地铁发车时间间隔（单位：分钟）满足：．经测算，该地铁每班平均载客人次（单位：人次）与发车时间间隔满足：． (1)计算的值，并说明其的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益． 【答案】(1)，答案见解析 (2)当发车时间间隔为6分钟时，每分钟的净收益最大，每分钟的净收益最大为120元 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、分段函数模型的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据的解析式代入求得，其意义为间隔时间的载客量.（2）将的解析式代入即可求得的解析式.根据基本不等式性质及函数单调性可求得收益的最大值及取得最大收益时的间隔发车时间. 【详解】（1）由函数的解析式可得：， 其实际意义是：当地铁的发车时间隔为10分钟时，地铁载客量为1200，这也是地铁的最大载客量； （2）①当时， 当且仅当，即时，等号成立， ②当时，. 当且仅当时等号成立， 故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的净收益最大为120元． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．若对任意，均有，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求绝对值不等式中参数值或范围、绝对值三角不等式 【分析】由绝对值三角不等式可得在恒成立，即有或在恒成立，分别求解即可得答案. 【详解】解：因为在绝对值三角不等式中，当同号时有， 又因为， 所以在恒成立， 所以或在恒成立， 即有或在恒成立， 由，解得， 由，解得， 综上所述实数a的取值范围为. 故答案为： 2．设全集为，集合，. (1)求集合、； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】描述法表示集合、根据集合的包含关系求参数、分式不等式、公式法解绝对值不等式 【分析】（1）解不等式可得集合，利用分式不等式的解法可得集合； （2）利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】（1）由得，解得，则， 由可得，等价于， 解得，则. （2）因为，则，解得，因此，实数的取值范围是. 3．设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】作出f(x)的图像，当时，，当时，.令，则，则该关于t的方程有两个解、，设＜，则，.令，则，据此求出a的范围，从而求出b的范围． 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 则f(x)图像如图所示： 当时，，当时，． 令，则， ∵关于x的方程恰有六个解， ∴关于t的方程有两个解、，设＜， 则，， 令，则， ∴且， 要存在a满足条件，则，解得． 故答案为：． 4．（24-25高一上·上海普陀·期末）（1）解不等式． （2）函数的单调区间和对称中心． 【答案】（1）不等式的解集为； （2）函数的单调递增区间有和，没有单调递减区间；对称中心为. 【知识点】求函数的单调区间、判断或证明函数的对称性、公式法解绝对值不等式 【分析】（1）根据绝对值的性质解不等式即可； （2）设，利用单调性的定义求函数的单调区间，设，再证明为奇函数，由此确定的对称中心. 【详解】（1）因为， 所以或， 所以或， 所以不等式的解集为； （2）设， 函数的定义域为， 任取，， 则， 因为，所以， 因为，所以，故， 所以，所以函数在上单调递增， 任取，， 则， 因为，所以， 因为，所以，故， 所以，所以函数在上单调递增， 所以函数的单调递增区间有和，没有单调递减区间； 设，则， 因为函数的定义域为， 故函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以函数为奇函数， 所以函数的对称中心为， 所以函数的对称中心为. 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于两个实数，，规定， (1)证明：关于的不等式解集为； (2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； (3)设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解集都包含于，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或或 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、绝对值的三角不等式应用、分类讨论解绝对值不等式、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式即可证明； （2）解集非空转化为最大值大于1解不等式即可； （3）先解一元二次不等式和绝对值不等式确定，再分和两种情况讨论求解可得的值. 【详解】（1）不等式化为， 当时，，解得，又，所以； 当时，，符合题意，则； 当时，，解得，又，所以； 综上所述：，即关于的不等式解集为. （2）不等式即解集非空， 记，则， ，当等号成立. 故，解得或，故实数的取值范围. （3）由得，解得； 不等式即，也即， 当时，，解得，故； 当时，，解得，故. 综上所述：. 故. 不等式即，也即， 当时，，解得，满足条件； 当时，设， 因为，所以， 所以，解得或. 当，， 当，， 当，，，符合题意， 当，， 当，，， 当，，，符合题意. 综上，或或. 【点睛】关键点点睛：对于解集非空问题即有解问题，可以分离变量转化为函数的最值问题， 即有解，有解. 1 / 63 学科网（北京）股份有限公司 $