专题03 基本不等式及其应用（期中复习讲义）（必备知识+7大题型+分层检测）高一数学上学期沪教版

专题03 基本不等式及其应用（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情分析 基本（均值）不等 式的应用 熟练掌握基本不等式的常见变形形式，能根据具体问题灵活选用合适的变形形式解决问题。 重难点，注重对基础知识的考查，更加注重 数学与实际生活的联系。 绝对值三角不等式 精准掌握绝对值三角不等式的核心内容，包括基本形式与推广形式。深入理解绝对值三角不等式的几何意义能结合具体数轴实例进行解释与应用。 高频考点，主要考查绝对值三角不等式的基 本概念、基本形式及简单应用，对绝对值三 角不等式进行灵活应用，结合分类讨论、函 数思想等方法解决问题。 知识点01 平均值不等式及其应用 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 2.平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 注意： （1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）； （2） 两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形 ①(a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)． 3.平均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 知识点02 三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 1.证明：定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明， 即，也就是，所以，等号当且仅当时成立； （方法2）由①与②两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即可证明； 2.证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成代入定理。 3.证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即； 方法2：将取成代入定理。 题型一 基本不等式的比较大小与证明 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）下列问题中，a，b是不相等的正数，比较x，y，z的表达式．下列选项正确的是（   ） 问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨； 问题乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，这两圈的平均速度为y； 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a（天平平衡），放右边时左边砝码质量为b（天平平衡），物体的实际质量为z． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由问题甲，结合圆的面积公式可得，有，即， 由问题乙，设每圈的长度为，则，整理为可得， 由问题丙，设天平左边的杠杆长为m，右边的杠杆长为n， 则，可得，即， 因为、是不相等的正数，则有，可得， 根据重要不等式可知，得， 则有，所以. 故选：B． 【典例2】（24-25高一上·上海徐汇·期中）除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法 (1)已知实数，满足. 求证：中至少有一个实数不小于1 (2)已知，，，试比较：a，b，c三者的大小关系 (3)若实数a，b，x，y满足，试比较：和的大小，并指明等号成立的条件 【详解】（1）（反证法）假设全小于1，即， 所以，这与矛盾， 故假设不成立，所以中至少有一个实数不小于1. （2）因为函数在上为减函数，又，所以，即， 又函数在上为增函数，又，所以， 所以； （3）， ， 当且仅当，即取等号， 所以， 当且仅当且同号时取等号. 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【详解】（1）因为， ， ， 所以成立； 当且仅当时，等号成立； （2）， ． 所以． 当且仅当时，等号成立． 【变式2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）若实数、、满足，则称比远离． (1)若比远离，求的取值范围； (2)对任意正数，，证明：； (3)对任意两个不相等的正数，，证明：比远离． 【详解】（1）由比远离， 则， 解得或， 所以的取值范围是； （2）由，， 则，，，当且仅当时，上述不等式等号成立， 所以，当且仅当时等号成立； （3）若证比远离， 即证， 则，且， 所以即证， 即证， 又， 所以， 即， 即比远离. 题型二 基本不等式求积的最大值和的最小值 【典例1】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以，当且仅当，即时等号成立． 所以， 其中第一个不等式的等号当且仅当时成立，第二个不等式的等号当且仅当时成立． 所以当取最小值时，有，即． 所以． 故选：D 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）用一根长为4的铁丝制成一个矩形框架，则这个框架面积的最大值是 . 【答案】 【详解】设框架的一边长为，则另一边长为， 则这个框架的面积为， 所以这个框架面积的最大值是. 故答案为：. 【典例3】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是 . 【答案】4 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立， 所以代数式的最小值为. 故答案为： 【典例4】（24-25高一上·上海奉贤·期中）设，定义． (1)若，求x的取值范围； (2)若，求x的取值范围； (3)若，记，分别比较M与a，以及M与的大小，并求M的最大值． 【详解】（1）由题意，由，得或， 解得，即x的取值范围为. （2）①当时，， 当，即时， 此时，解得； 当，即时， 此时，恒成立，则. ②当时，， 此时，不符合题意. ③当时，， 当，即时， 此时，解得； 当，即时， 此时，恒成立，则. 综上所述，x的取值范围为或. （3）由题意，， 则，. 因为，所以，当且仅当时等号成立， 当，即时，， 则，时，M取得最大值； 当时，，此时. 综上所述，M的最大值为. 【变式1】（23-24高一上·上海静安·期中）当时，的最大值是（    ） A．-8 B．-6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】由题意得：令，因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号，所以； 故最大值为：. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知一个矩形的周长为定值4，则它面积的最大值为 【答案】 【详解】设矩形的长和宽为， 因为，所以， 所以面积，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为， 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知正数、、满足，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】已知：正数、、满足，. 因为（当且仅当即时取“”）. 所以（当且仅当时取“”）. 所以（当且仅当时取“”）. 故答案为： 【变式4】（24-25高一上·上海宝山·期中）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求，的最小值；解：利用平均值不等式，得到，于是，且等号当且仅当时成立；所以当且仅当时取到最小值； (1)请你模仿例题，研究，的最小值；（提示：） (2)研究，的最小值； (3)求出当时，，的最小值. 【详解】（1）因为，模仿例题，利用， 得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. （2）因为，利用， 得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. （3）因为，且，利用， 得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. 题型三 基本不等式“1”的妙用 【典例1】（24-25高一上·上海宝山·期中）当时，的最小值是 . 【答案】 【详解】因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 【典例2】（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为正实数，满足， 当且仅当且时，即时取等号. 故答案为：. 【典例3】（24-25高一上·上海·期中）问题:正实数满足，求的最小值.其中一种解法是:，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题: (1)若正实数满足，求的最小值 (2)若实数，正实数满足，求证: (3)求代数式的最小值，并求出使得取最小值的的值. 【详解】（1）解：因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是； （2）， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，故； （3）设，由，解得， ，又，则， 构造，由，得，则， 所以由（2）得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以取最小值为，此时m的值为. 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）若正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由题意可得，， 当且仅当时，取到最小值， 所以的最小值为， 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）若，，且，则式子的最小值是 【答案】 【详解】由题设，且， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，，求证：； （2）已知实数，比较与的值的大小. 【详解】（1）因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. （2）因为， 因为，则，，当且仅当时，等号成立， 可得，即， 所以，当且仅当时，等号成立. 题型四 条件等式求最值 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）设非负实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】C 【详解】因为非负实数x，y满足， 对于选项A：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故C正确； 对于选项D：因为，为非负实数， 若的最小值是，当且仅当时成立， 但此时不满足，所以不是的最小值，故D错误； 故选：C. 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由，得，当且仅当时等号成立， 所以， 即的最小值为. 故答案为： 【变式1】（23-24高一上·上海虹口·期中）若，，，则的最小值为 ． 【答案】8 【详解】由题设，又， 当且仅当，即时等号成立，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8 【变式2】（23-24高一上·上海·期中）已知正数满足，则取到最小值时， ． 【答案】 【详解】因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以，取到最小值时，． 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·上海徐汇·期中）定义为个实数中的最小数，为个实数中的最大数. (1)设，都是正实数，且，求； (2)设，都是正实数，求的最小值. 【详解】（1）由题意得，得，即，当且仅当时等号成立， 故； （2）设，由题意得，， 则，得， 当且仅当，即时等号同时成立. 故的最小值为. 题型五 基本不等式的恒成立问题 【典例1】（23-24高一上·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】不等式恒成立，即， 因为正实数满足，所以 ， 当且仅当即，时等号成立， 则实数的取值范围. 故答案为：. 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)当正实数满足时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以，所以， 所以，解得或， 所以. （2）由条件可知，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以， 又因为恒成立， 所以，所以，解得， 综上所述，的取值范围是. 【变式1】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知不等式对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】已知正实数x，y，a为正实数， 则， 当且仅当时等号成立， 由题意不等式对任意的正实数x，y恒成立，所以， 即，解得或舍去，所以， 即正实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以， 当时，，符合题意； 当时，，解得. 综上所述，实数的取值范围为或． 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足． (1)若满足， 求证：且． (2)求证：并将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得对任意的恒成立， 求的值． (3)从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式 对任意恒成立． 【详解】（1）因为且， 所以，且， 所以且. （2）由，可得，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 则. 因为对任意的恒成立， 即为恒成立， 而，所以. 又为自然数，所以或. （3）不等式对任意恒成立， 即为恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 所以当自然数满足时，不等式 对任意恒成立． 题型六 基本（均值）不等式的应用 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）若实数、、满足，，则的最小值是 . 【答案】 【详解】由可得：， 即，当且仅当，即时取等号， 由， 可得：，又由得：， 所以，因为， 所以，当且仅当取等号， 故答案为： 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 【详解】（1）依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为的矩形， 所以. （2）依题意，，由（1）知， 当且仅当时取等号，由，解得， 所以纸张的长和宽分别为时，面积取得最大值. 【典例3】（24-25高一上·上海·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留2m宽的通道，沿前侧内墙保留4m宽的空地，    (1)写出蔬菜的种植面积关于矩形温室的长之间的关系式． (2)当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 【详解】（1）解：设蔬菜的种植面积为，矩形温室的长为， 则矩形温室的宽为,种植蔬菜矩形的长为，宽为， 所以； （2）解：因为， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 即当矩形温室的一边长为，另一边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大为 【典例4】（24-25高一上·上海·期中）已知集合 中的元素都是正整数，且 ．若对任意， 且， 都有 成立，则称集合A具有性质M． (1)判断集合是否具有性质 M； (2)已知集合具有性质 M， 且正整数 求证： 且 并求出的值； (3)已知集合A具有性质M，求证： 并写出的最大值(猜想即可，无需证明)． 【详解】（1）由题意得 所以集合是否具有性质 M， （2）证明: 因为，，则有：， 所以 ，可得：， 所以，， 所以，可得：，所以， 即 又因为为整数，所以符合条件的为4,5,6. 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 所以符合条件的为4,5,6. （3）证明: 因为，则有： 当 时， ，符合题意； 当时, 因为， 且， 所以，可得: ， 所以， 即 ， 综上所述：. 因为由上式可得，所以， 当时，取，则，可知. 又当时，，当且仅当时取等号，所以. 因此集合中元素个数的最大值为9. 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）为实现节能减排，绿色生态的目标，某单位进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理总成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月处理量为多少吨时，每月的总获利最大，并求这个最大获利值． 【详解】（1）因为（当且仅当时取“”）. 所以该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. （2）设该单位每月处理吨时，获得的利润为， 则. 所以当时，最大，为：. 故该单位每月处理量为吨时，每月的总获利最大，为元. 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米；    (1)请用表示，并写出的取值范围； (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 【详解】（1）根据题意可知，剪去的“正十字形”部分面积可表示为， 可得， 由宽小于长可得，解得； 因此 （2）若所用圆形纸片面积最小，可知圆的半径最小即可； 设圆的半径为，则圆的面积为 ； 当且仅当，即时，等号成立； 此时圆形纸片面积的最小值为（平方分米）. 【变式3】（24-25高一上·上海闵行·期中）如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M在射线上，N在射线上，且对角线过点C.已知长为4米，长为3米. (1)要使矩形花坛的面积大于54平方米，则的长应在什么范围内? (2)当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值. 【详解】（1）设，， 因为即. 所以矩形的面积为. 由，因为，所以，所以或. 即或（单位：）. （2）因为矩形的面积为. 所以，（当且仅当即时取“”）. 所以当时，矩形的面积最小，为. 题型七 绝对值三角不等式及其应用 【典例1】（23-24高一上·上海浦东新·期中）若不等式，当时总成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以不等式，当时总成立等价于， ，，，所以， 故选：C. 【典例2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，且，则的最小值是 【答案】1 【详解】由. 当时，，当且仅当等号成立 ，即此时的最小值为3； 当时，，当且仅当等号成立 ，即此时的最小值为1； 综上：的最小值是1. 故答案为：1 【典例3】（23-24高一上·上海·期中）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 即， 所以，等号成立当且仅当在和1两个数之间，规定时的取等条件为， 综上所述的最小值为， 因为关于的不等式的解集是， 所以恒成立， 所以当且仅当， 当时，不可能成立，当时，，解得. 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 【典例4】（23-24高一上·上海·期中）已知，，. (1)求ab的最大值； (2)求的最小值； (3)若不等式对于任意及条件中的任意a、b恒成立，求实数m的取值范围. 【详解】（1）因为，，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以ab的最大值为； （2）， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为； （3）由（2）得，即为， 又因， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为. 【变式1】（22-23高一上·上海黄浦·期中）若对一切恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，要使对一切恒成立， 所以. 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，若，则的取值范围为 【答案】 【详解】解：因为， ， 当且仅当，，即，时，等号成立， 所以，又， 所以时，满足，， 则，，， 所以， 故的取值范围为， 故答案为： 【变式3】（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知实数a､b､c､d，显然，定义两实数的误差为两数差的绝对值. (1)求证：； (2)若任取a，，a与c的误差､b与d的误差最大值均为0.1，求ab与cd误差的最大值，并求出此时a､b､c､d的值. 【详解】（1） . （2）因为， 由（1） ， 此时只需等号成立. 【变式4】（21-22高一上·上海嘉定·期中）（1）证明：对所有实数x恒成立，并求等号成立的条件； （2）若不等式的解集非空，求a的取值范围； （3）设关于的不等式的解集为A，试探究是否存在，使得不等式与的解都属于A，若不存在，说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 【详解】（1）由三角不等式得，当时取等号. （2）由题意得， 所以，解得或， （3）由得，故， 若，则，所以，符合题意， 若，设， 因为，所以， 所以，解得或. 当,,当, 当,,符合题意 当,,当, 当,,符合题意 综上，或或. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）下列命题中正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】D 【详解】对于A选项，当时，， 当且仅当，即当时，等号成立，A错； 对于B选项，因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 但，等号不成立，C错； 对于D选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值是，D对. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·期中）下列结论中错误的有（   ） A．若a，b为正实数，，则 B．若a，b，m为正实数，，则 C．若，则； D．当时，的最小值为 【答案】B 【详解】，为正实数，，则， 所以，A正确； ，，为正实数，，则，有，B错误； ，则，一定成立，C正确； 时，，当且仅当，即时取等号，即的最小值为，D正确． 故选：B． 二、填空题 3．（23-24高一上·上海·期中）已知正实数满足，则的最小值是 . 【答案】 【详解】正实数满足，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·期中）已知正数与的算术平均值为，则与的算术平均值的最小值为 ． 【答案】 【详解】由已知，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知：，则的最小值是 ． 【答案】2 【详解】由，得，因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值2. 故答案为：2 6．（23-24高一上·上海嘉定·期中）若，，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·期中）已知，若命题：“存在，使得”为假命题，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为命题：“存在，使得”为假命题， 则“任意，都有”为真命题， 对于，所以， 要使“任意，都有”为真命题， 则，即， 因为， 所以， 当且仅当，即，上式取等. 所以的最小值为. 故答案为：. 三、解答题 8．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知关于的不等式的解集为或. (1)求的值； (2)当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得为方程的两个根， 则，解得； （2）由（1）得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 要想恒成立，只需，解得， 故实数的取值范围是. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（23-24高一上·上海·期中）已知a、b均为正实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 当时，，此时，即充分性成立； 当时，取，此时，即必要性不成立； 综上，“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 2．（24-25高一上·上海宝山·期中）下列不等式：①；②；③；④；解集为的不等式的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于①，当时，，当且仅当时取等号， 但当时，无意义，故的解集不是，错误， 对于②，，当取到等号，解集为不是，故错误， 对于③，，当时取等号，解集为，故正确； 对于④，由于恒成立，故等价于恒成立，故解集为，正确， 故正确的有③④， 故选：C 二、填空题 3．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为若，试探究的值，则的最小值为 【答案】 【详解】由题意，可得方程有两个相异的正实根， 故有解得. 则，. 则， 当且仅当时，即时等号成立. 由可解得，于是， 即当时，取得最小值为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·期中），若，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意得，因为， 所以， 故由基本不等式，， 由绝对值不等式得，， 而由题意， 所以，， 由基本不等式等号成立的条件，当时， 当且仅当， 若， 即数轴上y到0的距离与到1的距离之和为1，则， 所以， 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式在时恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，恒成立， 所以，. 因为（当且仅当即时取“”）， 此时也取得最小值0. 所以. 故答案为： 三、解答题 6．（23-24高一上·上海·期中）已知，． (1)比较与的大小； (2)若，求的最小值． 【详解】（1）解： . 因为，，则. 当时，，此时，； 当时，，此时，. 综上所述，当时，；当时，. （2）解：因为，，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 7．（24-25高一上·上海·期中）某种型号的特殊运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，根据规定（单位：千米/小时）. 假设汽油的价格为每升6元，送货卡车每小时耗油升，司机的工资是每小时140元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用.（x精确到0.1千米/小时，总费用精确到0.01元，） 【详解】（1）卡车行驶的时间为：， 所以卡车这次行车的油费为：元，司机的工资为：元. 所以这次行车总费用为：， （2）因为（当且仅当即时取 “”）. 所以当时，总费用最低，为元. 8．（24-25高一上·上海浦东新·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米，设的长为米（）. (1)要使矩形的面积大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)求当的长度为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小面积？ 【详解】（1）因为， 所以， . ∴. ∴. 答：要使矩形的面积大于平方米，则的长的范围为. （2）  设. ∴. 当且仅当，即时等号成立. 答：当米，米时，矩形花坛的面积最小为平方米. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c是三角形的三边，对于代数式，有下列说法：①有最小值，②有最大值3，则（   ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】C 【详解】设， 则， ， 当且仅当即时等号成立，有最小值，故①对， 因为是三角形的三边，所以， ， 即， ， 即, , 即， 所以， 故，故②错， 故选：C 2．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】A 【详解】对于C，由， 整理得，，可以看作关于的一元二次方程， 所以， 即，可以看作关于的一元二次不等式， 所以，解得， 当时，，， 所以x的最大值是，故C正确； 对于B，由， 即， 即， 令，，，则， 即，即， 由，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即， 所以 即，即， 所以， 即， 即，当且仅当，即时等号成立， 对于D，所以的最大值是，故B正确； 由，即， 所以，即， 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值是，故D正确； 对于A，取，，， 则， 而， 又， 而， 所以，故A错误. 故选：A. 二、填空题 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】 ， 所以， 当且仅当时取到等号， 故答案为： 4．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，得， 由三角不等式得，， ， 即， 所以， 所以， 所以，即， 当且仅当时，取到最小值为 故答案为： 三、解答题 5．（23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【详解】（1）因为,， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足. （3）令，，由得， ， 又，所以， 构造， 由，可得，因此， 由（2）知， 取等号时，且同正， 结合，解得，即，． 所以时，取得最小值． 6．（22-23高一上·上海浦东新·期中）定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数． (1)设，都是正实数，且，求； (2)解不等式：； (3)设，都是正实数，求的最小值． 【详解】（1）由题意得，即，当且仅当时等号成立， 故； （2）令，得， 当时，当时， 而即恒成立， 故， 可化为或或， 解得，故原不等式的解集为； （3）设，由题意得， 则， 当且仅当即时等号同时成立， 故的最小值为． 7．（23-24高一上·上海松江·期中）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 【详解】（1）由题意可得：， . （2）若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的充分条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. （3）设， 则，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围. 若取到最大值，则，即， 可得，即， 所以. 8．（24-25高一上·上海·期中）勾股容方问题是数学史中一个非常著名的问题.《九章算术》勾股章有云：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”这个问题（图1）已知直角三角形两条直角边长，要求一个与直角三角形有公共直角的正方形的边长（即“勾股容方”）.记，. (1)若，正方形的边长不小于，求的取值范围； (2)图1中直角三角形斜边上的中线记为，比较线段与长度的大小，并证明你的结论； (3)事实上，直角三角形还有另一个内接正方形（图2），该正方形的一边与直角三角形斜边部分重合，即“弦中容方”.那么“斜”能否压“正”呢？请求出正方形与正方形面积，并比较它们的大小. 【详解】（1）设正方形的边长为，有 由题可知，与相似 所以有 解得 因为，，显然 所以 得 （2）,理由如下， 有题可知 由（1）可知， 由基本不等式可知， 故，当且仅当时等号成立； 所以. （3）我们比较正方形面积的大小，只需要比较其边长的大小即可； 由（1）可知正方形的边长为 所以正方形的面积为 我们设正方形的边长为，,易知 所以有 显然 所以 所以正方形面积为 因为 所以 所以 所以正方形的面积大于正方形面积 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 基本不等式及其应用（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情分析 基本（均值）不等 式的应用 熟练掌握基本不等式的常见变形形式，能根据具体问题灵活选用合适的变形形式解决问题。 重难点，注重对基础知识的考查，更加注重 数学与实际生活的联系。 绝对值三角不等式 精准掌握绝对值三角不等式的核心内容，包括基本形式与推广形式。深入理解绝对值三角不等式的几何意义能结合具体数轴实例进行解释与应用。 高频考点，主要考查绝对值三角不等式的基 本概念、基本形式及简单应用，对绝对值三 角不等式进行灵活应用，结合分类讨论、函 数思想等方法解决问题。 知识点01 平均值不等式及其应用 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 2.平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 注意： （1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）； （2） 两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形 ①(a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)． 3.平均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 知识点02 三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 1.证明：定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明， 即，也就是，所以，等号当且仅当时成立； （方法2）由①与②两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即可证明； 2.证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成代入定理。 3.证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即； 方法2：将取成代入定理。 题型一 基本不等式的比较大小与证明 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）下列问题中，a，b是不相等的正数，比较x，y，z的表达式．下列选项正确的是（   ） 问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨； 问题乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，这两圈的平均速度为y； 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a（天平平衡），放右边时左边砝码质量为b（天平平衡），物体的实际质量为z． A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·上海徐汇·期中）除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法 (1)已知实数，满足. 求证：中至少有一个实数不小于1 (2)已知，，，试比较：a，b，c三者的大小关系 (3)若实数a，b，x，y满足，试比较：和的大小，并指明等号成立的条件 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【变式2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）若实数、、满足，则称比远离． (1)若比远离，求的取值范围； (2)对任意正数，，证明：； (3)对任意两个不相等的正数，，证明：比远离． 题型二 基本不等式求积的最大值和的最小值 【典例1】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）用一根长为4的铁丝制成一个矩形框架，则这个框架面积的最大值是 . 【典例3】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是 . 【典例4】（24-25高一上·上海奉贤·期中）设，定义． (1)若，求x的取值范围； (2)若，求x的取值范围； (3)若，记，分别比较M与a，以及M与的大小，并求M的最大值． 【变式1】（23-24高一上·上海静安·期中）当时，的最大值是（    ） A．-8 B．-6 C．8 D．10 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）已知一个矩形的周长为定值4，则它面积的最大值为 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知正数、、满足，，则的最小值为 ． 【变式4】（24-25高一上·上海宝山·期中）某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求，的最小值；解：利用平均值不等式，得到，于是，且等号当且仅当时成立；所以当且仅当时取到最小值； (1)请你模仿例题，研究，的最小值；（提示：） (2)研究，的最小值； (3)求出当时，，的最小值. 题型三 基本不等式“1”的妙用 【典例1】（24-25高一上·上海宝山·期中）当时，的最小值是 . 【典例2】（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【典例3】（24-25高一上·上海·期中）问题:正实数满足，求的最小值.其中一种解法是:，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题: (1)若正实数满足，求的最小值 (2)若实数，正实数满足，求证: (3)求代数式的最小值，并求出使得取最小值的的值. 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）若正实数满足，则的最小值为 . 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）若，，且，则式子的最小值是 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，，求证：； （2）已知实数，比较与的值的大小. 题型四 条件等式求最值 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）设非负实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【变式1】（23-24高一上·上海虹口·期中）若，，，则的最小值为 ． 【变式2】（23-24高一上·上海·期中）已知正数满足，则取到最小值时， ． 【变式3】（23-24高一上·上海徐汇·期中）定义为个实数中的最小数，为个实数中的最大数. (1)设，都是正实数，且，求； (2)设，都是正实数，求的最小值. 题型五 基本不等式的恒成立问题 【典例1】（23-24高一上·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)当正实数满足时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式1】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知不等式对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的取值范围是 . 【变式2】（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知正实数x，y满足，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式3】（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足． (1)若满足， 求证：且． (2)求证：并将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得对任意的恒成立， 求的值． (3)从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式 对任意恒成立． 题型六 基本（均值）不等式的应用 【典例1】（24-25高一上·上海·期中）若实数、、满足，，则的最小值是 . 【典例2】（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 【典例3】（24-25高一上·上海·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留2m宽的通道，沿前侧内墙保留4m宽的空地，    (1)写出蔬菜的种植面积关于矩形温室的长之间的关系式． (2)当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 【典例4】（24-25高一上·上海·期中）已知集合 中的元素都是正整数，且 ．若对任意， 且， 都有 成立，则称集合A具有性质M． (1)判断集合是否具有性质 M； (2)已知集合具有性质 M， 且正整数 求证： 且 并求出的值； (3)已知集合A具有性质M，求证： 并写出的最大值(猜想即可，无需证明)． 【变式1】（24-25高一上·上海·期中）为实现节能减排，绿色生态的目标，某单位进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理总成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月处理量为多少吨时，每月的总获利最大，并求这个最大获利值． 【变式2】（24-25高一上·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米；    (1)请用表示，并写出的取值范围； (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 【变式3】（24-25高一上·上海闵行·期中）如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M在射线上，N在射线上，且对角线过点C.已知长为4米，长为3米. (1)要使矩形花坛的面积大于54平方米，则的长应在什么范围内? (2)当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值. 题型七 绝对值三角不等式及其应用 【典例1】（23-24高一上·上海浦东新·期中）若不等式，当时总成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，且，则的最小值是 【典例3】（23-24高一上·上海·期中）关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ． 【典例4】（23-24高一上·上海·期中）已知，，. (1)求ab的最大值； (2)求的最小值； (3)若不等式对于任意及条件中的任意a、b恒成立，求实数m的取值范围. 【变式1】（22-23高一上·上海黄浦·期中）若对一切恒成立，则实数的取值范围为 . 【变式2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，若，则的取值范围为 【变式3】（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知实数a､b､c､d，显然，定义两实数的误差为两数差的绝对值. (1)求证：； (2)若任取a，，a与c的误差､b与d的误差最大值均为0.1，求ab与cd误差的最大值，并求出此时a､b､c､d的值. 【变式4】（21-22高一上·上海嘉定·期中）（1）证明：对所有实数x恒成立，并求等号成立的条件； （2）若不等式的解集非空，求a的取值范围； （3）设关于的不等式的解集为A，试探究是否存在，使得不等式与的解都属于A，若不存在，说明理由，若存在，请求出满足条件的的所有值. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）下列命题中正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 2．（24-25高一上·上海·期中）下列结论中错误的有（   ） A．若a，b为正实数，，则 B．若a，b，m为正实数，，则 C．若，则； D．当时，的最小值为 二、填空题 3．（23-24高一上·上海·期中）已知正实数满足，则的最小值是 . 4．（24-25高一上·上海·期中）已知正数与的算术平均值为，则与的算术平均值的最小值为 ． 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知：，则的最小值是 ． 6．（23-24高一上·上海嘉定·期中）若，，，则的最小值为 ． 7．（24-25高一上·上海·期中）已知，若命题：“存在，使得”为假命题，则的最小值为 . 三、解答题 8．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知关于的不等式的解集为或. (1)求的值； (2)当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（23-24高一上·上海·期中）已知a、b均为正实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 2．（24-25高一上·上海宝山·期中）下列不等式：①；②；③；④；解集为的不等式的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 3．（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为若，试探究的值，则的最小值为 4．（24-25高一上·上海·期中），若，则的取值范围为 . 5．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式在时恒成立，则实数的取值范围为 ． 三、解答题 6．（23-24高一上·上海·期中）已知，． (1)比较与的大小； (2)若，求的最小值． 7．（24-25高一上·上海·期中）某种型号的特殊运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，根据规定（单位：千米/小时）. 假设汽油的价格为每升6元，送货卡车每小时耗油升，司机的工资是每小时140元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用.（x精确到0.1千米/小时，总费用精确到0.01元，） 8．（24-25高一上·上海浦东新·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米，设的长为米（）. (1)要使矩形的面积大于平方米，则的长应在什么范围内？ (2)求当的长度为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小面积？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c是三角形的三边，对于代数式，有下列说法：①有最小值，②有最大值3，则（   ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 2．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 二、填空题 3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ． 4．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若实数，满足，则的最小值为 ． 三、解答题 5．（23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 6．（22-23高一上·上海浦东新·期中）定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数． (1)设，都是正实数，且，求； (2)解不等式：； (3)设，都是正实数，求的最小值． 7．（23-24高一上·上海松江·期中）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 8．（24-25高一上·上海·期中）勾股容方问题是数学史中一个非常著名的问题.《九章算术》勾股章有云：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”这个问题（图1）已知直角三角形两条直角边长，要求一个与直角三角形有公共直角的正方形的边长（即“勾股容方”）.记，. (1)若，正方形的边长不小于，求的取值范围； (2)图1中直角三角形斜边上的中线记为，比较线段与长度的大小，并证明你的结论； (3)事实上，直角三角形还有另一个内接正方形（图2），该正方形的一边与直角三角形斜边部分重合，即“弦中容方”.那么“斜”能否压“正”呢？请求出正方形与正方形面积，并比较它们的大小. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $