专题21 平面几何（上）（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题21平面几何（上） 全国各地竞赛真题试题汇编P 一、解答题 1.(2025·吉林预赛)在直角三角形ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC,CA,AB相切与点 D,E,F,连结AD,与内切圆相交于另一点P,连结PC,PE,PF.己知PC⊥PF,求证：PE//BC. 44 D 2.(2025·江西预赛)⊙01与⊙02交于AB两点，过点B的直线分别交⊙01⊙02于点C,D,E为 线段AB上异于AB的点，点F满足FO1⊥ED,FO2⊥EC.证明：BF⊥CD. 3.(2025·广东预赛)如图，△ABC与△DBA是等腰三角形，其中AB=AC,DA=DB,AD//BC. 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E在CA延长线上，满足∠DEB=∠DAE.在AD延长线上取一点F,使得AF=BE,求证：E,F,B,C四 点共圆. D C 4.(2025·贵州预赛)△ABC是正三角形，设点D是边BC上一点，P,Q分别是△ABD,△ACD的外 心，X,Y分别是△ABD,△ACD的内心.求证：PX2+QY2=XY2 2/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(2025·江苏预赛)如图，在圆内接四边形ABCD中，点E,F在对角线BD上，满足DE=BF.若 ∠DAE=∠CAB,求证∠DCF=∠ACB. A D 6.(2024·广西预赛)如图所示，AD=CD,DP=EP,BE=CE,DP<AD<BE, ∠ADC=∠DPE= ∠BEC=90°.证明：P为线段AB的中点. 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(2023·贵州预赛)如图，设P是四边形ABCD内一点，满足 ∠BPC=2LBAC,∠PCA=∠PAD,∠PDA=∠PAC 求证：∠PBD=∠BCA-∠PCA. D B 8.(2023·吉林预赛)己知四边形ABCD内接于圆0，圆O在AC处的两条切线相交于点P,若点P不在 DB的延长线上，且PA2=PB·PD,求证：对角线BD平分AC 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.(2023·江西预赛)过平行四边形ABCD的顶点AB,D作一圆交直线AC于点E,求证： AB2+AD2=AC·AE 10.(2023·山东预赛)已知：O是△ABC的外心，D,E分别为边AC,AB上的点，线段DE,BD,CE的 中点分别为P,Q,ROH⊥DE且垂足为H.求证：P,Q,RH四点共圆. 5/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11.(2023·苏州预赛)如图，△ABC的外接圆为圆O,△0BC,△0AC的外接圆分别为圆04和圆OB ,AO的延长线与圆O4交于点D,DB的延长线与圆O交于点E.求证：EA为圆OB的切线， E 08 .OA 12.(2022·福建预赛)如图，G1G2分别是△ABC,△ACD的重心，△AG1C的外接圆与直线BD相交 于点P,且∠G1AG2=∠AG2C=90°，求证：∠APD=∠CPG1, G21 D B 6/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 13.(2022·苏州预赛)如图，I是△ABC的内心，∠A的外角平分线交BC于点D,直线BI交△ABC外 接圆于点E,直线CI与直线DE的交点为F,证明：AF//BE. 14.(2022·广西预赛)如图，已知H,AC,D四点共圆，四边形ABCD是平行四边形，F是AD与BG的交 点，HF=HD=HG.证明：AB=AF, G A 7/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 全国联赛真题试题汇编『 一、解答题 1.(2025·全国联赛B卷)如图，在△ABC中，D为边BC的中点，∠BAC平分线上的两点E,F满足 ∠AEB=∠AFC=180°-∠BAC,△AFB的外接圆与△AEC的外接圆交于A及另一点P,证明： AP,D三点共线， A 2.(2024·全国联赛B卷)如图，在凸四边形ABCD中，AC平分∠BAD,且AC2=AB·AD,点E,F分 别在边BCCD上，满足甏=器.过点C,B,F的圆w与过点C,D,E的圆w2交于C及另一点T.证明：点 T在直线AC上. T 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(2023·全国联赛B卷)如图，△ABC的外心为0，在边AB上取一点D,延长OD至点E,使得 AO,B,E四点共圆.若OD=2,AD=3BD=4,CD=5,证明：△ABE与△CDE的周长相等. 0 C D 4.(2022·全国联赛A卷)如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD上一点P满 足∠APB=2LCPD,线段AP上两点X,Y满足LAXB=2LADB,∠AYD=2LABD.证明：BD=2XY X 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(2022·全国联赛B卷)如图，设AB,C,D四点在圆ω上顺次排列，其中AC经过ω的圆心0，线段 BD上一点P满足LAPC=∠BPC,线段AP上两点X,Y满足AO,X,B四点共圆，AY,O,D四点共圆.证 明：BD=2XY· B ) D 6.(2022·全国联赛A1卷)如图，在锐角△ABC中，H为垂心，BD,CE为高，M为边BC的中点，在 线段BM,DE上各取一点P,Q,并在线段PQ上取一点R,使得器=器=股.设L为△AHR的垂心.证 明：直线QM平分线段RL C D H M R E 10/10学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题21平面几何（上） 全国各地竞赛真题试题汇编口 一、解答题 1,(2025·吉林预赛)在直角三角形ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC,CA,AB相切与点D,E,F,连 结AD,与内切圆相交于另一点P,连结PC,PE,PF.己知PC⊥PF,求证：PE/BC. B D 【详解】连结DE,DF,则△BDF是等腰直角三角形. 于是∠FPD=∠FDB=45°，故∠DPC=45° 又LPDC=PD,所以△PFD-APDC,所器- .① 又由∠AFP=∠ADF,∠AEP=∠ADE, 所以，△AFP~△ADF,△AEP一△ADE, 于是是=能=器=品改由①得是=畏② 因为∠EPD=∠EDC,结合②得，△EPD~△EDC, 所以，△EPD也是等腰三角形， 于是∠PED=∠EPD=∠EDC,所以PE/IBC. B D 2.(2025·江西预赛)⊙O1与⊙02交于A,B两点，过点B的直线分别交⊙01，⊙02于点C,D,E为线段AB 上异于A,B的点，点F满足FO1⊥ED,FO2⊥EC.证明：BF⊥CD. 【详解】如图，设⊙01，⊙02的半径分别为r1r2,平面上点P对⊙0(i=1,2)的幂为k(P)=0P2-r. 由题E在⊙01与⊙02的根轴AB上，所以k1(E)=k2(E),再由等差幂线定理得 01D2-01E2=FD2-FE2,02C2-02E2=FC2-FE2, 1/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以 FD2-FC2=01D2-02C2-(01E2-02E2) =(01D2-r12)-(02C2-r22)-[(01E2-12)-(02E2-r22)] =k(D)-k2(C)-[k1(E)-k2(E)] DB.DC-CB.CD=BD2-BC2, 即有FD2-FC2=BD2-BC2,所以BF⊥CD. 0 3.(2025·广东预赛)如图，△ABC与△DBA是等腰三角形，其中AB=AC,DA=DB,AD//BC.E在CA延 长线上，满足∠DEB=∠DAE,在AD延长线上取一点F,使得AF=BE,求证：E,F,B,C四点共圆， E D B 【详解】易知∠DAB=∠DAE=∠DEB=∠DBA(D是△ABE的布洛点且在A的角平分线上)· 延长AF交⊙ADE于P,易知△ABE,△DBP,△EDP相似， 又注意EP,BP所对的圆周角相等，故1=影=器邵=品即BE2=AB,AE。 由条件知AF2=BE2=AB·AE,结合∠EAF=∠FAB知△EAF~△FAB, 因此∠FEA=∠BFA=π-∠FBC,故EFBC四点共圆. 4.(2025·贵州预赛)△ABC是正三角形，设点D是边BC上一点，P,Q分别是△ABD,△ACD的外心，X,Y 分别是△ABD,△ACD的内心.求证：PX2+QY2=XY2 【详解】如下图所示，连接AP,XD,AX,PD,AY,AQ,QD,YD. 因为P是△ABD的外心，所以AP=PD,∠APD=2∠B=120°， 故∠PAD=∠PDA=30°. 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 因为X是△ABD的内心，所以LAXD=90+号=120=∠APD, 故A,PX,D四点共圆. 从而∠PXD=180°-∠PAD=150. 同理，A,Q,Y,D四点共圆，且∠QYD=150°. 所以∠PDQ=∠PDA+∠QDA=30°+30°=60°， 因为DX平分∠ADB,DY平分∠ADC, 所以∠XDY=90°，DX⊥DY. 所以∠XDP=30°-∠YDQ=∠DQY. 易知△PAD=△QAD,所以DQ=DP,从而△PXD=△QYD. 因此PX=DY,QY=DX,又DX⊥DY, 所以PX2+QY2=DY2+DX2=XY2. 0 C 5,(2025·江苏预赛)如图，在圆内接四边形ABCD中，点E,F在对角线BD上，满足DE=BF.若∠DAE=∠ CAB,求证∠DCF=∠ACB A D F B 【详解】在圆中有∠ADE=∠ACB,而由条件，∠DAE=∠CAB,故△DAE~△CAB,于是品=台 结合DB=BF得品-答或写成是=影再由國中∠DAC=∠FBC得△DAC=△PBC, 从而∠DCA=∠FCB,故∠DCF=∠DCA+∠ACF=∠FCB+∠ACF=∠ACB. 6.(2024·广西预赛)如图所示，AD=CD,DP=EP,BE=CE,DP<AD<BE, ∠ADC=∠DPE=∠BEC=90°.证明：P为线段AB的中点. 3/13 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】如图所示，延长DP至点F,使得PF=PD,连接FE,FB,AP,BP (1)DE=EF,CE=BE,∠CED=∠BEF=45,故△CED兰△BEF. 因此，CD=BF,∠CDE=∠BFE (2)若CD//PE,则A、D、P和B、F、P分别三点共线，又D、P、F三点共线，故A、P、B三点共 线 由AD=CD=BF和DP=PF得AP=AD+DP=BF+PF=BP.因此，P为线段AB的中点. (3)若CD与PE不平行，AD=CD=BF,DP=FP, ∠ADP=∠ADC+∠CDE-∠EDP=90°+∠CDE-45°=∠CDE+45°=∠BFE+∠PFE=∠BFP, 故△ADP△BFP.因此，AP=BP,∠APD=∠BPF. 由于点A、B在直线DF的两侧，而D、P、F三点共线，∠APD=∠BPF,故A、P、B三点共线，即点P在 线段AB上 因为AP=PB,所以P为线段AB的中点， -B 7.(2023·贵州预赛)如图，设P是四边形ABCD内一点，满足 ∠BPC=2∠BAC,∠PCA=∠PAD,∠PDA=∠PAC. 求证：∠PBD=|∠BCA-∠PCA, D B 【详解】如图，AB的中垂线交AC于点E,则∠BEC=2LBAC=∠BPC→B,C,P,E四点共圆. ∠PAC=∠PDA→AC是圆APD的切线，延长EP交圆APD于点F, 于是EB2=EAP=EP.EF=器=器△EBP~△EFB →LEFB=∠EBP=∠ECP=∠PAD=∠PFD→B,D,F三点共线 所以∠BCA-∠PCA=∠BPE-∠PFD=∠BPE-∠PFB=∠PBD, 4/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E8 D 8.(2023·吉林预赛)已知四边形ABCD内接于圆O,圆O在A,C处的两条切线相交于点P.若点P不在DB的 延长线上，且PA2=PB·PD,求证：对角线BD平分AC. 【详解】如图，设PD交⊙O于点E,则PA2=PE·PD=PB·PD→PE=PB. 于是△POB兰△POE=∠OPB=∠OPE, 显然∠0PA=∠0PC=∠1=∠2， 结合路-咒△APB~△DPC-提=器 同电△APD~△BPG=品=提 ①×②得需=0提-胎咒=1SaBn=5ABc0 所以对角线BD平分AC. D 9.(2023·江西预赛)过平行四边形ABCD的顶点A,B,D作一圆交直线AC于点E.求证：AB2+AD2=AC AE. 【详解】如图，连接BD,BE,DE. 则∠DEB=180°-∠BAD=∠ABC,∠DAC=∠DBE=∠ACB, 于是△DEB~△ABC-8器=器=盼 在圆内接四边形ABED中，应用托勒密定理有AB·DE+DA·EB=AE·BD, 结合DA=BC得AB2+AD2=AC·AE. 5/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 10.(2023·山东预赛)已知：O是△ABC的外心，D,E分别为边AC,AB上的点，线段DE,BD,CE的中点分别 为P,Q,R,OH⊥DE且垂足为H.求证：P,Q,R,H四点共圆. 【详解】如图，△ADE的内角分别为A,D,E. 则P,Q,R,H四点共圆（半径为r) 台PQ·HR=PR·HQ+PH·QR =2 rPQsin∠HPR=2 rPRsin∠HPQ+2 rPHsin∠QPR EBsinD DCsinE 2PHsinA 台AE·EB=AD·DC+2DE·PH 设△ABC外接圆的半径为R,于是AE·EB=ME·EN=R2-OE2, 同理可得AD·DC=R2-0D2, 代入上式得0D2-0E2=2DE·PH 另一方面，HD2-HE2=(HD+HE)(HD-HE)=2DE·PH, 所以OD2-0E2=HD2-HE2台0H1DE. 综上，P,QR,H四点共圆 AD 11.(2023·苏州预赛)如图，△ABC的外接圆为圆0，△OBC,△OAC的外接圆分别为圆04和圆0B,A0 的延长线与圆OA交于点D,DB的延长线与圆O交于点E,求证：EA为圆OB的切线， 6/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OA 0 【详解】如图，连接CE.则∠1=∠BAC,∠3=∠4=∠5=90°-∠BAC, 于是∠1+∠3=90°→AD1CE, 又∠5=∠6→∠3=∠6→AD是CE的垂直平分线， 所以∠7=∠0AC=∠8=AE为圆0B的切线， 0 OB B 36 D 12,(2022·福建预赛)如图，G1,G2分别是△ABC,△ACD的重心，△AG1C的外接圆与直线BD相交于点 P,且∠G1AG2=∠AG2C=90°，求证：∠APD=∠CPG1· G 【详解】如图，E为AC的中点，延长BG1交CA,CG2于点E,F,延长DG2交AC于点E,延长CG2交BD于点Q,连 接AF,AQ AG:/CG2△CEFg△AEG1=EP=BG1-FG1=G1B=G为PB的中点，器-器=GG/BD, 于是G1G2为△FQB的中位线=FG2=G2Q. 又AG2⊥QC→AQ=AF,而AFCG1为平行四边形→AF=G1C, 因此AG1CQ为等腰梯形→A,G1,C,Q四点共圆 所以∠APD=LACQ=∠CAG1=∠CPG1: 7/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G G. D 13.(2022·苏州预赛)如图，I是△ABC的内心，∠A的外角平分线交BC于点D,直线BI交△ABC外接圆 于点E,直线CI与直线DE的交点为F,证明：AF/BE, B D 【详解】设BC=a,CA=bAB=c,对△B1C和直线EFD应用梅涅劳斯定理得2·胥品=1(+) 而品=是由鸡爪定患得CB=B,△GEB~△PAB=需-治 代入()式得是胃胎=验胃=1→背=验是=器AF1/BE 14.(2022·广西预赛)如图，已知H,A,C,D四点共圆，四边形ABCD是平行四边形，F是AD与BG的交点，HF =HD=HG.证明：AB=AF, G 【详解】如图，E,K为FD,DG的中点，连接HE,HK,HA,HC 由AB/CG÷△ABF~△DGF=架-8S-是==g 又∠3=4Rt△HCK~Rt△HAE=器=脂则噪=器， 结合∠3=∠4得△HCD~△HAF→∠CHD=∠AHF→∠DHK=∠FHE=∠EHD. 于是△EHD兰△KHD→DK=DE=EF→AB=AF. E 8/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 全国联赛真题试题汇编？ 一、解答题 1.(2025·全国联赛B卷)如图，在△ABC中，D为边BC的中点，∠BAC平分线上的两点E,F满足∠AEB=∠ AFC=180°-∠BAC,△AFB的外接圆与△AEC的外接圆交于A及另一点P,证明：A,P,D三点共线. D 【详解】用A,B,C分别记△ABC的三个内角，a,b,c分别表示角A,B,C所对边的长，由条件知∠BAE=∠FAC= 兰结合LAEB=∠CFA=180-A,可知∠EBA=ACP=兰所以品=S=2cos号 设△AFB的外接圆与△AEC的外接圆分别再次交边BC于点S和T. 连接FS,则∠CSF=LBAF=2并且 ∠SFC=360°-∠CFA-∠AFS=(180°-∠CFA)+(180°-∠AFS=A+B, 故由正弦定程知哈-品器学-器 于是GS-晋cF=器总-警b=警 sinc sinA a 同理得BT=,所以BT=CS, 结合DB=DC,可得DS=DT,所以DB·DS=DC·DT,即点D在△AFB的外接圆与△AEC的外接圆的根轴 上，故A,P,D三点共线， 2.(2024·全国联赛B卷)如图，在凸四边形ABCD中，AC平分∠BAD,且AC2=AB·AD,点E,F分别在边 BC,CD上，满足巽=瓷.过点CB,F的圆a1与过点C,DE的圆a2交于C及另一点T.证明：点T在直线AC上. 9/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 02 D 【详解】设BA与圆w1交于点B、Q,DA与圆w2交于点D、P,PE与AB交于点M,QF与AD交于点N. 由于AC平分∠BAD,且AC2=AB·AD,则△ABC一△ACD, 于是∠PEB=∠CDP=∠ACB,则PE//AC, 同理可得QF//AC,则QF/PE//AC, 所以∠P=∠CAD=∠BAC=∠AMP,则AP=AM, 同理可得AQ=AN,故器-能=器=怨 则MN/BD==签AM,AD=AN,AB=AP.AD=AQAB, 由圆幂定理知，点A对圆w1和圆w2的幂相等，即A在圆w1与圆w2的根轴上， 又CT为圆w1与圆ω2的根轴，故点T在直线AC上， 0 N E C 3.(2023·全国联赛B卷)如图，△ABC的外心为O,在边AB上取一点D,延长OD至点E,使得A,O,B,E四 点共圆.若OD=2,AD=3,BD=4,CD=5,证明：△ABE与△CDE的周长相等. 0 10/13