专题09 数列（上）-等差与等比数列（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题09 数列（上） 一、填空题 1．（2025·山东预赛）在递增的等差数列中，若依次成等比数列，则整数的值为_____． 2．（2025·江苏预赛）设等差数列的公差为是其前项和．已知，则_____． 3．（2025·浙江预赛）若等差数列满足：，其中为数列前7项的和，则使得的的最大值为_____． 4．（2023·上海预赛）正整数构成一个严格递增的等比数列，且满足，则_____，公比_____． 5．（2023·新疆预赛）对于数列，记，则数列为数列的一阶差数列，记，则数列为数列的二阶差数列．以此类推，可得到数列的阶差数列．若的阶差数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列．已知数列是二阶等差数列，，且二阶差数列中，，则_____． 6．（2022·福建预赛）已知各项均为正数的等比数列中，．数列满足：对任意正整数，有，则_____． 7．（2022·甘肃预赛）已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比是小于1的正有理数，若，且是正整数，则_____． 8．（2022·苏州预赛）若等差数列满足，则的值为_____． 二、解答题 9．（2025·广西预赛）已知；数列满足，其中；数列满足．求的最大值与最小值． 10．（2025·江苏预赛）设数列满足：．证明：当时，． 11．（2024·吉林预赛）已知数列满足：，，．求证：． 12．（2024·江苏预赛）已知为等差数列，为等比数列，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 13．（2023·贵州预赛）设是正项等差数列，公差为，前项和为均为正整数．若，，且，证明： （1）； （2）． 14．（2023·苏州预赛）已知正数数列满足：． 求证：（1）； （2）． 15．（2023·重庆预赛）已知为正实数，数列满足：．若对任意的，都有，求的最小值． 一、填空题 1．（2025·全国联赛A卷）若，，成等差数列，则正数的值为_____． 2．（2025·全国联赛B卷）若成等比数列，则正数的值为_____． 3．（2024·全国联赛A卷）设无穷等比数列的公比满足．若的各项和等于各项的平方和，则的取值范围是_____． 4．（2022·全国联赛A1卷）若等差数列及正整数满足：，且 则的值为_____． 5．（2022·全国联赛A2卷）若无穷等比数列的各项和为1，各项的绝对值之和为2，则首项的值为_____． 6．（2022·全国联赛B1卷）若等差数列的各项非零，且，则的值为_____． 二、解答题 7．（2024·全国联赛A卷）给定正整数．求最大的实数，使得存在一个公比为的实数等比数列，满足对所有正整数成立．（表示实数到与它最近整数的距离．） 8．（2024·全国联赛B卷）设无穷等比数列的公比满足．若的各项和等于各项的平方和，求的取值范围． 9．（2022·全国联赛A卷）给定正整数．设正项等差数列与正项等比数列满足：的首项等于的公比，的首项等于的公差，且．求的最小值，并确定当取到最小值时与的比值． 10．（2022·全国联赛B卷）设正数满足：成公差为的等差数列，成公比为的等比数列，且．求的最小值，并确定当取到最小值时的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 数列（上） 一、填空题 1．（2025·山东预赛）在递增的等差数列中，若依次成等比数列，则整数的值为_____． 【答案】9． 【详解】设且公差是，则由依次成等比数列可知： 又因为依次成等比数列，从而，所以故． 2．（2025·江苏预赛）设等差数列的公差为是其前项和．已知，则_____． 【答案】2． 【详解】使用将变为2025，即，从而，得． 3．（2025·浙江预赛）若等差数列满足：，其中为数列前7项的和，则使得的的最大值为_____． 【答案】7 【详解】设等差数列的公差为，由，得． 由得，将代入得，，故的最大值为7． 4．（2023·上海预赛）正整数构成一个严格递增的等比数列，且满足，则_____，公比_____． 【答案】； 【详解】由于211是质数不是整数，且． 设，则． 当时，， 等号成立时满足题意． 5．（2023·新疆预赛）对于数列，记，则数列为数列的一阶差数列，记，则数列为数列的二阶差数列．以此类推，可得到数列的阶差数列．若的阶差数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列．已知数列是二阶等差数列，，且二阶差数列中，，则_____． 【答案】2023 【详解】 ． 联立 所以． 6．（2022·福建预赛）已知各项均为正数的等比数列中，．数列满足：对任意正整数，有，则_____． 【答案】 【详解】 而， 又，所以． 7．（2022·甘肃预赛）已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比是小于1的正有理数，若，且是正整数，则_____． 【答案】 【详解】，设，其中．则 ，若，则，矛盾； 从而只能．所以． 8．（2022·苏州预赛）若等差数列满足，则的值为_____． 【答案】 【详解】设的公差为，则． 二、解答题 9．（2025·广西预赛）已知；数列满足，其中；数列满足．求的最大值与最小值． 【详解】由及， 可得，从而． ．若，则，从而． 因此，．于是． 令则．当时，为递减数列． 当时，． 因此，当时，最小；当时，最大． 10．（2025·江苏预赛）设数列满足：．证明：当时，． 【详解】若记，则，得，于是对有，两者相减得，注意该式对不成立．令，则有， 将递推式两边平方后移项得，从而时 结合知，即． 由条件知时有 而时显然成立．故．综上得证． 11．（2024·吉林预赛）已知数列满足：，，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】由，得，又，， 所以是首项为2，公差为1的等差数列，检验时成立， 所以． 令，得． 由可得，，又，， 所以，当且仅当时，等号成立． 又，所以． 12．（2024·江苏预赛）已知为等差数列，为等比数列，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【详解】（1）设的公差为的公比为，依题意， （2）设 ，则． 所以． 13．（2023·贵州预赛）设是正项等差数列，公差为，前项和为均为正整数．若，，且，证明： （1）； （2）． 【答案】证明见解析 【详解】（1）记，则 ， 由于 所以． （2），则 ， 由于 所以． 14．（2023·苏州预赛）已知正数数列满足：． 求证：（1）； （2）． 【答案】证明见解析 【详解】（1）． 下面用数学归纳法证明：对恒成立． 时，，结论成立；假设时结论成立， 即． 则时， 且， 于是，即时结论也成立． 综上，对恒成立，且等号成立时当且仅当． 所以． （2）由（1）知时， 所以． 15．（2023·重庆预赛）已知为正实数，数列满足：．若对任意的，都有，求的最小值． 【答案】1 【详解】，设， 当时，， 由数学归纳法原理知，对任意均成立． 又数列单调递增，于是 从而当时，． 另一方面， ． 由前述知，， 因此时，的上确界为1． 综上，的最小值为1． 一、填空题 1．（2025·全国联赛A卷）若，，成等差数列，则正数的值为_____． 【答案】9． 【详解】设，则成等差数列，即，解得，故． 2．（2025·全国联赛B卷）若成等比数列，则正数的值为_____． 【答案】3或． 【详解】设，则成等比数列．所以，化简得，解得或．相应有或． 3．（2024·全国联赛A卷）设无穷等比数列的公比满足．若的各项和等于各项的平方和，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】因为数列的各项和为，注意到各项的平方依次构成首项为、公比为的等比数列，于是的各项和为． 由条件知，化简得． 当时，． 4．（2022·全国联赛A1卷）若等差数列及正整数满足：，且 则的值为_____． 【答案】 【详解】设的公差为，则 结合条件可知，得． 所以． 5．（2022·全国联赛A2卷）若无穷等比数列的各项和为1，各项的绝对值之和为2，则首项的值为_____． 【答案】 【详解】设的公比为，根据条件，显然有，且 由前一式知，进而，得，则． 6．（2022·全国联赛B1卷）若等差数列的各项非零，且，则的值为_____． 【答案】 【详解】设的公差为，则，即． 令，从而． 二、解答题 7．（2024·全国联赛A卷）给定正整数．求最大的实数，使得存在一个公比为的实数等比数列，满足对所有正整数成立．（表示实数到与它最近整数的距离．） 【答案】当为奇数时，所求的最大值为；当为偶数时，所求的最大值为 【详解】情形1：为奇数． 对任意实数，显然有，故满足要求的不超过． 又取的首项，注意到对任意正整数，均有为奇数，因此．这意味着满足要求．从而满足要求的的最大值为． 情形2：为偶数． 设．对任意实数，我们证明与中必有一数不超过，从而． 事实上，设，其中是与最近的整数（之一），且． 注意到，对任意实数及任意整数，均有，以及． 若，则． 若，则，即，此时 另一方面，取，则对任意正整数，有，由二项式展开可知，其中为整数，故．这意味着满足要求． 从而满足要求的的最大值为． 综上，当为奇数时，所求的最大值为；当为偶数时，所求的最大值为． 8．（2024·全国联赛B卷）设无穷等比数列的公比满足．若的各项和等于各项的平方和，求的取值范围． 【答案】 【解析】设，则是以为首项，为公比的等比数列． 设的前项和为的前项和为．则． 由题意知，即，整理得，因为，即， 所以． 9．（2022·全国联赛A卷）给定正整数．设正项等差数列与正项等比数列满足：的首项等于的公比，的首项等于的公差，且．求的最小值，并确定当取到最小值时与的比值． 【答案】的最小值为，此时 【详解】根据条件，可设的首项为，公差为的首项为，公比为，其中，则． 记，则由上式知 利用元平均值不等式，得 即有． 当，即时，等号成立，此时（即）取到最小值，相应有，故 10．（2022·全国联赛B卷）设正数满足：成公差为的等差数列，成公比为的等比数列，且．求的最小值，并确定当取到最小值时的值． 【答案】的最小值为，此时 【详解】记，其中． 由条件知，并且记，则有，所以 利用平均值不等式，得 即有． 当，即时，等号成立，此时（即）取到最小值，相应有，故 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $