专题08 立体几何（上）-空间几何体的体积及棱柱、棱锥相关问题（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题08 立体几何（上） 一、单选题 1．（2024·吉林预赛）在正四面体中，棱的中点和面的中心的连线为，棱的中点和面的中心的连线为，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设棱长为，如图，取，取的中点为，连接， 可得， 故，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以MN与PQ所成角为（或其补角）， 连接，在中，， 由余弦定理得，， 又在中，， 由余弦定理得，， 所以与所成角的余弦值为， 故选：A． 2．（2022·贵州预赛）平面与长方体的六个面所成的角分别为，则的值为 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】如图，考虑的法向量，过作长方体各面与原长方体各面平行，则与长方体各面所成角的余弦和即为所求．由于． 同理可验证当与长方体部分表面平行时，结论也成立．所以选． 二、填空题 3．（2025·山东预赛）在长方体中，已知，则四面体的体积为_____． 【答案】2． 【详解】对长方体进行割补可知： 4．（2025·重庆预赛）四面体满足，，设的中点分别为，则点到直线的距离为_____． 【答案】 【详解】利用勾股定理可算得，故在等腰中可算得点到直线的距离为． 5．（2025·贵州预赛）在正三棱锥中，，过的平面将其体积平分．则棱与平面所成角的余弦值为_____． 【详解】设的外接圆半径为，则由正弦定理知， 设到底面的距离为，则，故 设的中点为，则，故 设到平面的距离为，则由等体积法知，则 所以棱与平面所成角的余弦值为． 6．（2025·江苏预赛）在四边形中，．沿直线将折起，形成三棱锥．已知二面角的大小为，则三棱锥的体积为_____． 【答案】． 【详解】没有翻折时，由条件各线段关系易知是以为直角的等腰直角三角形，是以为的等腰三角形．翻折之后，到了新的位置，其原位置我们记为，则到直线的垂足满足，而三棱锥的高是到的距离，等于．在底面上，记，则，得，从而，于是三棱锥的高为，又底面的面积为，故体积为 7．（2024·新疆预赛）在空间四边形中，，则_____． 【答案】22 【解析】以为基底，则 所以 得 因此． 8．（2022·贵州预赛）甲烷分子CH4的四个氢原子位于棱长为1的正四面体的四个顶点，碳原子C位于正四面体的中心，记四个氢原子分别为，则_____． 【答案】 【详解】由于 而， 所以． 9．（2024·广东预赛）已知四面体，点在内，满足的面积之比为，在线段上，直线交平面于点，且，则四面体与的体积之比为_____． 【答案】12 【详解】如图，设， 注意到 则． 而， 于是， 所以． 10．（2024·江苏预赛）三棱锥中，三条侧棱两两不等，且相互之间的夹角都是．若底面的三边分别为，则该三棱锥的体积为_____． 【答案】 【详解】设，依题意， ②-③得． 代入②得． 如图，，过点作平面的垂线，则垂足落在的角平分线上． 由于， 于是， 所以． 11．（2024·贵州预赛）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平行平面截帐篷，所得的截面四边形均为正方形，则该帐篷的体积为_____． 【答案】 【详解】设底面的中心为，截面的中心为，，则正方形的边长 所以该帐篷的体积为 12．（2024·四川预赛）将棱长为1的正方体的上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为 ． 【答案】 【详解】 如图作出原正方体，与，的交点分别为，，与的交点为， 上底面非重叠部分是8个全等的等腰直角三角形， 设每个等腰直角三角形的边长为， 则，所以， 所以， 设该十面体的体积为， ． 13．（2024·福建预赛）在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，点在棱上．若平面与底面所成角的余弦值为，则平面截正方体所得截面多边形的周长为_____． 【答案】 【详解】如图，平面， 平面平面平面． 设，，则， 于是，从而三点共线，即截面多边形为． 易计算得，所以截面多边形的周长为． 14．（2024·广西预赛）正三棱锥中，，．设是直线上一点，面与直线的夹角为，则线段的长度是 ． 【答案】 【详解】设为的中点，点在直线上且为，的公垂线段． 由，， 可得，． 设，则，所以， ，所以， 解得，所以， 所以． 因为，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 所以为边在面上的射影，从而由， ，可得． 因此，． 15．（2024·新疆预赛）在棱长为2的正方体中，点为的中点，点为底面内一点，则满足的点的轨迹长度为_____． 【答案】 【解析】取中点，连接，因为此几何体是正方体，所以 平面，则，由，，则，所以满足的点的轨迹即为正方形内到点距离为2的点的轨迹．所以弧长． 16．（2023·福建预赛）在菱形中，，将沿折起得到．若二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 【答案】 【详解】为的中点，作平面，建立直角坐标系如图所示． 设，则为正三角形， 于是， ． 所以． 17．（2023·广西预赛）椭圆围绕轴旋转一周得到旋转曲面．设是上的一点，则_____． 【答案】3 【详解】如图，设椭圆与轴交于点，作轴于点，作轴交椭圆于点，则点在以为圆心，为半径的圆上． 于是． 18．（2023·贵州预赛）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，设二面角的大小分别为，则_____． 【答案】2 【详解】点在平面上的射影为的垂心，则 于是 从而． 所以． 19．（2023·上海预赛）已知长方体中，是平面上一点，且，则满足上述条件的所有点所围成的平面区域的面积等于_____． 【答案】 【详解】如图，的中点为，由，则点在以为球心，为半径的球面上． 易知平面平面平面平面， 又， 于是，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆． 所以点所围成的平面区域的面积等于． 20．（2022·新疆预赛）已知二面角的平面角为为直线上的两点，射线在平面内，射线在平面内，已知，则等于_____． 【答案】 【详解】如图，取，则． 设 ． 于是在中， 21．（2022·浙江预赛）在棱长为1的正方体中，是的中点，是的中点，则到过三点的平面的距离为_____． 【答案】 【详解】如图，作平面，则， 又． 则， 于是， 从而． 所以到过三点的平面的距离为． 22．（2022·福建预赛）为长方体的对角线上一点，平面平面，若，则二面角的正切值为_____． 【答案】2 【详解】如图，设为上、下底面的中心，则，于是．过作于，过作于，连接． 则为二面角的平面角． 由． 23．（2022·吉林预赛）在棱长均为2的直四棱柱中，，分别为棱的中点，则四面体的体积为_____． 【答案】 【详解】如图，设的中点为，则 ，连接，平面，且，所以． 24．（2023·新疆预赛）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，点分别在棱上．当空间四边形的周长最小时，二面角的余弦值为_____． 【答案】 【详解】延长至点，点和点关于点对称， 则等号成立时四点共线． 于是． 作于点，连接，则为二面角的平面角． 在中，， 所以二面角的余弦值为． 25．（2023·浙江预赛）已知四面体，点为的重心，在线段上，满足．连接交所在的平面于点，则_____． 【答案】 【详解】延长交于点，则为的中点，平面平面，从而三点共线． 则， 于是为的重心，所以． 26．（2023·重庆预赛）棱长为的正四面体中，已知，若点为的重心，则四面体的体积为_____． 【答案】 【详解】如图，设 设，则． 于是 三、解答题 27．（2025·山东预赛）考虑一个四面体， （1）若该四面体各棱长均为1或2，但不是正四面体，求该四面体体积的所有可能值； （2）给定两正实数和，若存在一个四面体，它恰有两条棱长为，且该两棱共点，其余各棱长均为，试用和表示该四面体的体积，并求的取值范围． 【详解】（1）若一个非正四面体仅有两种棱长，由于1，1，2不能构成三角形，所以一共有3种可能性： ①三条棱长为2，即以1，，1为底面，其余三条棱为2，2，2，则此时四面体的体积为； ②五条棱长为2，即以2，2，2为底面，其余三条棱为2，2，1，则此时四面体体积为； ③四条棱长为2，即四个面都是等腰三角形，底面2为腰，1为底边，则此时四面体体积为． （2）不妨设，作于点，则，且，在中，由余弦定理可得： 所以， 因此，此时四面体的体积为， 根据题意，四面体存在，因此，设，则不等式转化为： ，解得：，又，从而． 综上所述，的取值范围是． 28．（2022·甘肃预赛）四棱锥中，底面是边长为1的正方形，且面交于点． (1)求证：直线面； (2)当三棱锥的体积取到最大值时，求四棱锥的表面积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】(1)连接，则面，又面． (2)设与交于点，连接．设，， 则，等号成立时． 由面得 此时， 于是， 所以四棱锥的表面积为． 一、填空题 1．（2024·全国联赛A卷）在三棱锥中，若底面，且棱的长分别为1，2，3，4，则该三棱锥的体积为_____． 【答案】 【详解】由条件知． 因此，进而． 在中，，故． 所以． 又该三棱锥的高为，故其体积为． 2．（2024·全国联赛B卷）四面体中，，且的长分别为1，2，3，4，则四面体的体积为_____． 【答案】 【解析】，设与的夹角为，则 ，得．过点作，则面，作交于点，则，从而面．则． 3．（2023·全国联赛B卷）设与为两个正四棱锥，且，点在线段上，且．将异面直线所成的角记为，则的最大可能值为_____． 【答案】 【详解】设正方形的中心为，由条件知垂直平面于点，又，由射影定理知．显然在之间． 以为原点，方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，不妨设． 易知，因此． 所以． 当时，取到最大可能值． 4．（2022·全国联赛A卷）若四棱锥的棱的长均为，其他各条棱长均为1，则该四棱锥的体积为_____． 【答案】 【详解】设为在底面上的射影，． 由于，故，则为圆内接四边形． 又，故是以为对称轴的等形，于是有为中点，从而，解得． 所以该四棱锥的体积为． 5．（2022·全国联赛A1卷）已知四面体满足，且该四面体的体积为6，则异面直线与所成的角的大小为_____． 【答案】或 【详解】作平面于点，则四面体的体积． 由，得，所以． 又，故． 由，得平面，所以． 构造正方形，则在直线上，且由平面知． 由于，故为异面直线与所成角的平面角． 若(如左图)，则，此时；若(如右图)，则，此时． 因此，所求角的大小为或． 6．（2022·全国联赛A2卷）在正方体中，分别为棱的中点，过三点作该正方体的截面，已知截面是一个多边形，则在顶点处的内角的余弦值为_____． 【答案】 【详解】如图，设分别与的延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，则截面为五边形． 不妨设正方体的棱长为3． 易知，则．同理有．结合，可知四边形为平行四边形，． 又，所以在顶点处的内角的余弦值为 7．（2022·全国联赛B卷）若正四棱锥的各条棱长均相等，为棱的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为_____． 【答案】 【详解】取的中点，则，故异面直线与所成的角的大小为(或其补角)． 不妨设正四棱锥的各条棱长均为2． 易知，故，于是． 又，故，即所求值为． 8．（2022·全国联赛B1卷）已知正三棱柱的所有棱长都相等，棱的中点分别为，则异面直线与所成的角的余弦值为_____． 【答案】 【详解】如图，连接，则，故异面直线与所成的角为(或其补角)． 不妨设正三棱柱的所有棱长都为2．在中，显然有，又由平面知，故．由余弦定理得 即所求的余弦值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 立体几何（上） 一、单选题 1．（2024·吉林预赛）在正四面体中，棱的中点和面的中心的连线为，棱的中点和面的中心的连线为，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·贵州预赛）平面与长方体的六个面所成的角分别为，则的值为 A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题 3．（2025·山东预赛）在长方体中，已知，则四面体的体积为_____． 4．（2025·重庆预赛）四面体满足，，设的中点分别为，则点到直线的距离为_____． 5．（2025·贵州预赛）在正三棱锥中，，过的平面将其体积平分．则棱与平面所成角的余弦值为_____． 6．（2025·江苏预赛）在四边形中，．沿直线将折起，形成三棱锥．已知二面角的大小为，则三棱锥的体积为_____． 7．（2024·新疆预赛）在空间四边形中，，则_____． 8．（2022·贵州预赛）甲烷分子CH4的四个氢原子位于棱长为1的正四面体的四个顶点，碳原子C位于正四面体的中心，记四个氢原子分别为，则_____． 9．（2024·广东预赛）已知四面体，点在内，满足的面积之比为，在线段上，直线交平面于点，且，则四面体与的体积之比为_____． 10．（2024·江苏预赛）三棱锥中，三条侧棱两两不等，且相互之间的夹角都是．若底面的三边分别为，则该三棱锥的体积为_____． 11．（2024·贵州预赛）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平行平面截帐篷，所得的截面四边形均为正方形，则该帐篷的体积为_____． 12．（2024·四川预赛）将棱长为1的正方体的上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为 ． 13．（2024·福建预赛）在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，点在棱上．若平面与底面所成角的余弦值为，则平面截正方体所得截面多边形的周长为_____． 14．（2024·广西预赛）正三棱锥中，，．设是直线上一点，面与直线的夹角为，则线段的长度是 ． 15．（2024·新疆预赛）在棱长为2的正方体中，点为的中点，点为底面内一点，则满足的点的轨迹长度为_____． 16．（2023·福建预赛）在菱形中，，将沿折起得到．若二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 17．（2023·广西预赛）椭圆围绕轴旋转一周得到旋转曲面．设是上的一点，则_____． 18．（2023·贵州预赛）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，设二面角的大小分别为，则_____． 19．（2023·上海预赛）已知长方体中，是平面上一点，且，则满足上述条件的所有点所围成的平面区域的面积等于_____． 20．（2022·新疆预赛）已知二面角的平面角为为直线上的两点，射线在平面内，射线在平面内，已知，则等于_____． 21．（2022·浙江预赛）在棱长为1的正方体中，是的中点，是的中点，则到过三点的平面的距离为_____． 22．（2022·福建预赛）为长方体的对角线上一点，平面平面，若，则二面角的正切值为_____． 23．（2022·吉林预赛）在棱长均为2的直四棱柱中，，分别为棱的中点，则四面体的体积为_____． 24．（2023·新疆预赛）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，点分别在棱上．当空间四边形的周长最小时，二面角的余弦值为_____． 25．（2023·浙江预赛）已知四面体，点为的重心，在线段上，满足．连接交所在的平面于点，则_____． 26．（2023·重庆预赛）棱长为的正四面体中，已知，若点为的重心，则四面体的体积为_____． 三、解答题 27．（2025·山东预赛）考虑一个四面体， （1）若该四面体各棱长均为1或2，但不是正四面体，求该四面体体积的所有可能值； （2）给定两正实数和，若存在一个四面体，它恰有两条棱长为，且该两棱共点，其余各棱长均为，试用和表示该四面体的体积，并求的取值范围． 28．（2022·甘肃预赛）四棱锥中，底面是边长为1的正方形，且面交于点． (1)求证：直线面； (2)当三棱锥的体积取到最大值时，求四棱锥的表面积． 一、填空题 1．（2024·全国联赛A卷）在三棱锥中，若底面，且棱的长分别为1，2，3，4，则该三棱锥的体积为_____． 2．（2024·全国联赛B卷）四面体中，，且的长分别为1，2，3，4，则四面体的体积为_____． 3．（2023·全国联赛B卷）设与为两个正四棱锥，且，点在线段上，且．将异面直线所成的角记为，则的最大可能值为_____． 4．（2022·全国联赛A卷）若四棱锥的棱的长均为，其他各条棱长均为1，则该四棱锥的体积为_____． 5．（2022·全国联赛A1卷）已知四面体满足，且该四面体的体积为6，则异面直线与所成的角的大小为_____． 6．（2022·全国联赛A2卷）在正方体中，分别为棱的中点，过三点作该正方体的截面，已知截面是一个多边形，则在顶点处的内角的余弦值为_____． 7．（2022·全国联赛B卷）若正四棱锥的各条棱长均相等，为棱的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为_____． 8．（2022·全国联赛B1卷）已知正三棱柱的所有棱长都相等，棱的中点分别为，则异面直线与所成的角的余弦值为_____． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $