精品解析：黑龙江省哈尔滨市阿城区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷

数学学科试题 一、选择题；（每小题3分，共计30分） 1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若增加六斗粮食记作，则减少三斗粮食记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：若增加六斗粮食记作，则减少三斗粮食记作， 故选：B． 2. 砚台与笔、墨、纸是传统的文房四宝．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，且能够看到的线用实线，看不到的线用虚线画出是解题关键．根据俯视图是从上面看到的图形判断即可． 【详解】解：从上面看到的图形是正方形中有一个圆，且正方形和圆不相切，如图所示： 故选：C． 3. 截至2025年6月30日，《哪吒之魔童闹海》全球总票房已突破159亿元．数据15900000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故答案为：C． 4. 中国的货币不仅历史悠久而且种类繁多，形成了独具一格的货币文化．以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分货币图形，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 5. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据运算法则计算即可． 【详解】A、，故原选项错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转角的求解，根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解． 【详解】解：根据题意：旋转角是． 故选：C． 7. 验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度． A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 8. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使美化后整个图形的面积恰好是原画面面积的2倍，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据原画的长、宽及四周彩纸的宽，可得出原画四周镶上彩纸后的长为，宽为，再结合原画四周镶上彩纸后的面积等于原画面面积的2倍，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：原画面是长为，宽为的矩形，且彩纸的宽度为， 原画四周镶上彩纸后的长为，宽为． 根据题意得：， 即． 故选：D． 9. 如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 点D为弦中点 D. 点E为劣弧的中点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线作图、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据作图推出，得出，即可作答． 【详解】解：由作图可知， ∴，即点为劣弧的中点． 故选：D． 10. 如图，在菱形中，其边长为，，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于点E、F，且点E在点F的上方）从点A出发，沿方向以每秒的速度向右平移．若的面积为，直线的运动时间为秒，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，菱形的性质，三角形的面积计算，解直角三角形；由题意可知，分类讨论：当点E在边上，即时，；当点E在边上，即时，，据此分别写出解析式，对照选项即可得出结果. 【详解】解：由题意可知， 当点E在边上时，如图所示： ∵，， ∴， ∴ 即 ∵，菱形的边长为， ∴点E移动到点B时，，， ∴当点E在边上时，， ∴（） 当点E在边上，如图所示： ∴ 即（）. 综上：，y与x的函数关系是分段的，当时y与x的函数关系是二次函数，当时y与x的函数关系是一次函数. 故选：A. 二、填空题：（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____________________． 【答案】x≠7． 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：由有意义，得 x-7≠0， 解得x≠7， 故答案为：x≠7． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 因式分解：_____________ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：x3-4x2+4x =x（x2-4x+4） =x（x-2）2． 故答案为：x（x-2）2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 13. 分式方程的解为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 去分母化为整式方程，解整式方程，再检验整式方程的解是否为增根，即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 故答案为：． 14. 观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可． 【详解】解：∵a，，，，…， ∴第n个单项式的系数是1； ∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…， ∴第n个式子是． ∴第100个式子是． 故答案为：． 15. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的判别式，据此列方程，解方程可得答案． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴方程的判别式：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键． 16. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点A，B，N在同一水平线上，和均为直角，AM与BC交于点D，测得，，，则信号塔的高度为_______． 【答案】15.3 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用；由可得，即可求出. 【详解】解：∵点A，B，N在同一水平线上，和均为直角， ∴ ∴ ∴ ∵，，， ∴ ∴ 故答案为：15.3. 17. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到2名同学都是男生的概率______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率．根据题意列表表示抽取的等可能性，再根据题意选出符合条件的情况，再求解即可． 【详解】解：根据题意得： ， 根据列表可知共有12种情况，符合题意得有6种情况， ∴设被抽到2名同学都是男生为事件A， 即：， 故答案为：． 18. 如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点D．若，，则_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 由切线的性质得出，证明得出，则，最后由勾股定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形的是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 19. 中，，，点D在直线上，连接，若，则的度数为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，分点D在直线上，点D在延长线上两种情况讨论即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， 如图，当点D在直线上时， ∵， ∴， ∴； 如图，当点D在延长线上时， ∵，， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 20. 如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，，以下结论：①；②；③当点E在的延长线上时，；④在旋转过程中，当点D到的距离最短时，的面积为．上述结论中，所有正确结论的序号是：_______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题根据题意证明，可判断①，由三角形外角性质可判断②，证明，根据相似的性质算出，可判断③，取中点F，连接，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，记与的下方交点为点，当运动到点时，点D到的距离最短，求出，证明，再由即可求解． 【详解】解：和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ，，，, ， ， ，， 故①正确； 设， ， ， ， ， ， ， 故②正确； 当点在的延长线上时，如图所示， 同理可得， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故③正确； 取中点F，连接， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，记与的下方交点为点，如图，     ∴当运动到点时，点D到的距离最短，如图： ∵， ∴， ∵点为的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的定义等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分；25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值，其中x＝2sin60°－tan45° 【答案】, 【解析】 【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 【详解】原式 把代入， 考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键. 22. 如图，在由边长为1个单位长度小正方形组成的网格中，点A、B、C、D均为格点（网格线的交点），请仅用无刻度的直尺完成下列画图． （1）将线段绕点A顺时针旋转得到线段，画出线段，直接写出的值． （2）在上找一点F，使（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，画旋转图形，勾股定理及其逆定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据网格的特点找到点E的位置，画出对应的图形，过点A作于H，利用勾股定理求出的长，再根据正弦的定义可得答案； （2）如图所示，取格点H，连接交于F，则点F即为所求；可证明是等腰直角三角形，则． 【小问1详解】 解：如图所示，线段即为所求， 如图所示，过点A作于H， 由网格的特点可得， 则，且点E在上， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，点F即为所求． 23. 某社区对生活垃圾用红、蓝、绿、灰四色收集桶进行分类收集，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机采访了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数），在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为　　　　　． （3）若该校有1500名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到绿色收集桶的人数． 【答案】（1）100名 （2）补全统计图见解析， （3）225人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的关联，用样本估计总体； （1）由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形，用乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例，即可求出“灰”所在扇形的圆心角的度数； （3）用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到绿色收集桶的人数占被调查人数的比例即可. 【小问1详解】 解：（名） 答：此次调查一共随机采访了100名学生. 【小问2详解】 解：绿色部分的人数为：（人） 在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为，补全统计图如下： 故答案为：. 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校学生将用过的餐巾纸投放到绿色收集桶的人数为225人. 24. 定义：对于四边形上若存在一点O，使得且，则称这样的四边形是“等垂四边形”，点O为四边形的“等垂点”． （1）如图1，四边形是“等垂四边形”，O是它的“等垂点”，分别过点B、C作的垂线，垂足分别为G、H．求证：； （2）如图2，在中，，，，点B、C为中不在同一边上的两点，且点B为所在边的三等分点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是“等垂四边形”，O在上，O是它的“等垂点”，请直接写出所有满足要求的线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）线段OA的长为3或或 【解析】 【分析】（1）证明，则，，即可得到结论； （2）分四种情况：点B在上，点C在上，且点B更靠近点A；点B在上，点C在上，且点B更靠近点M；点B在上，点C在上，且点B更靠近点D；点B在上，点C在上，且点B更靠近点M，分别画出对应的示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 证明：，． ， ． ∵四边形是“等垂四边形”，是它的“等垂点”． ，． ， ． ． ，． ； 【小问2详解】 解：如图所示，当点B在上，点C在上，且点B更靠近点A时， ∵点B是的三等分点， ∴； 如图所示，过点C作于H， 同理可证明， ∴， 在中，， 在中，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点B上，点C在上，且点B更靠近点M时， ∵点B是的三等分点， ∴； 如图所示，过点C作于H， 同理可证明， ∴， 在中，， 中，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点B在上，点C在上，且点B更靠近点D时， 在中，由勾股定理得， ∵点B是的三等分点， ∴； 如图所示，过点B作于H， 同理可证明， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 如图所示，当点B在上，点C在上，且点B更靠近点M时， ∵点B是的三等分点， ∴； 如图所示，过点B作于H， 在中，， 在中，， ∵点B在上， ∴， ∴此种情况不成立； 综上所述，的长为3或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 25. 每年的冬季，哈尔滨都吸引了大量游客，某摊位在冰雪大世界销售两种特色陶瓷工艺品：A款青花瓷杯和B款摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． （1）求每个A款青花瓷杯和每个B款摆件的售价各是多少元； （2）该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1050元，则至少需要带多少个A款青花瓷杯？ 【答案】（1）每个A款青花瓷杯的售价为80元，每个B款摆件的售价为50元 （2）至少需要带10个A款青花瓷杯 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）设每个A款青花瓷杯的售价为x元，每个B款摆件的售价为y元，根据第一天、第二天的销售额列出方程组求解即可； （2）设需要带a个A款青花瓷杯，根据A款、B款的单价列出不等式求解即可. 【小问1详解】 解：设每个A款青花瓷杯的售价为x元，每个B款摆件的售价为y元， ，解得：， 答：每个A款青花瓷杯的售价为80元，每个B款摆件的售价为50元. 【小问2详解】 解：设需要带a个A款青花瓷杯， 解得： 答：至少需要带10个A款青花瓷杯． 26. 已知：五边形内接于，连接相交于点F，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点M、H，过点E作的切线交的延长线于点N，连接，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）可证明，则可证明，据此可证明结论； （3）可证明，得到；证明，得到；证明，得到；连接并延长交于R，连接，证明，得到，设，，则，可求出，，则，，利用勾股定理可求出，，，则，进而得到，则；可证明H、O、D都在线段的垂直平分线上，则H、O、D在一条直线上，求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 证明：如图1所示，连接， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 证明：由（1）得， ， ∴， ∴， ∴， ； 【小问3详解】 解：由（2）可得， ∴， ； 又∵， ∴， ∴； ， ∴， 又∵，， ∴， ； 连接并延长交于R，连接， 是的切线， ， 为直径， ， ∴， ； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，，则， ∵， ， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴H、O、D都在线段的垂直平分线上， ∴H、O、D在一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，弧，弦和圆周角之间的关系，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形，相似三角形和直角三角形是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标，点C坐标． （1）求a、c的值； （2）如图1，点P在第一象限对称轴右侧的抛物线上，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点E为抛物线顶点，轴于点F，过点P作轴于点D，与分别交于点R、H，过点H作于点G，连接，点N在的延长线上，连接分别交、抛物线于点M、Q，若，，求点Q的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）Q的横坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得抛物线解析式，则可求出点B的坐标，求出点P的坐标，根据求解即可； （3）求出对称轴为直线，顶点E，证明和四边形是矩形，推出；在延长线截取，连接，过A作于点W，可证明，得到，导角证明，得到，可得直线的解析式为；可证明，推出E、G、B三点共线，同理可求出直线的解析式为，设，过M作轴于点S，过N作轴于点T，证明，得到，则可推出，求出，同理可得直线的解析式为，令，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，． ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线解析式为， 在中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ∵点P在第一象限对称轴右侧的抛物线上，且点P的横坐标为t， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）可知抛物线解析式为， ∴对称轴为直线，顶点E的坐标为； ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴； 如图所示，在延长线截取，连接，过A作于点W， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴ ∴直线的解析式为； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴E、G、B三点共线， 同理可求出直线的解析式为， 设 过M作轴于点S，过N作轴于点T， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵点N在直线上， ∴， 解得， ∴ 同理可得直线的解析式为， 令，解得（舍）或， ∴点Q的横坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线推出，进而证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科试题 一、选择题；（每小题3分，共计30分） 1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若增加六斗粮食记作，则减少三斗粮食记作（ ） A. B. C. D. 2. 砚台与笔、墨、纸是传统的文房四宝．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2025年6月30日，《哪吒之魔童闹海》全球总票房已突破159亿元．数据15900000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 中国的货币不仅历史悠久而且种类繁多，形成了独具一格的货币文化．以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分货币图形，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中正确的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（ ） A. B. C. D. 7. 验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度． A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 8. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使美化后整个图形的面积恰好是原画面面积的2倍，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 点D为弦中点 D. 点E为劣弧的中点 10. 如图，在菱形中，其边长为，，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于点E、F，且点E在点F的上方）从点A出发，沿方向以每秒的速度向右平移．若的面积为，直线的运动时间为秒，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____________________． 12. 因式分解：_____________ ． 13. 分式方程的解为 _______． 14. 观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为______． 15. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 16. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点A，B，N在同一水平线上，和均为直角，AM与BC交于点D，测得，，，则信号塔的高度为_______． 17. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到2名同学都是男生的概率______． 18. 如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点D．若，，则_________________． 19. 中，，，点D在直线上，连接，若，则的度数为_______． 20. 如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，，以下结论：①；②；③当点E在的延长线上时，；④在旋转过程中，当点D到的距离最短时，的面积为．上述结论中，所有正确结论的序号是：_______． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分；25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值，其中x＝2sin60°－tan45° 22. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D均为格点（网格线的交点），请仅用无刻度的直尺完成下列画图． （1）将线段绕点A顺时针旋转得到线段，画出线段，直接写出的值． （2）上找一点F，使（保留作图痕迹，不写作法）． 23. 某社区对生活垃圾用红、蓝、绿、灰四色收集桶进行分类收集，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查一共随机采访了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数），在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为　　　　　． （3）若该校有1500名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到绿色收集桶的人数． 24. 定义：对于四边形上若存在一点O，使得且，则称这样的四边形是“等垂四边形”，点O为四边形的“等垂点”． （1）如图1，四边形是“等垂四边形”，O是它的“等垂点”，分别过点B、C作的垂线，垂足分别为G、H．求证：； （2）如图2，在中，，，，点B、C为中不在同一边上的两点，且点B为所在边的三等分点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是“等垂四边形”，O在上，O是它的“等垂点”，请直接写出所有满足要求的线段的长． 25. 每年冬季，哈尔滨都吸引了大量游客，某摊位在冰雪大世界销售两种特色陶瓷工艺品：A款青花瓷杯和B款摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． （1）求每个A款青花瓷杯和每个B款摆件售价各是多少元； （2）该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1050元，则至少需要带多少个A款青花瓷杯？ 26. 已知：五边形内接于，连接相交于点F，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点M、H，过点E作的切线交的延长线于点N，连接，若，，，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标，点C坐标． （1）求a、c的值； （2）如图1，点P在第一象限对称轴右侧的抛物线上，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）条件下，点E为抛物线顶点，轴于点F，过点P作轴于点D，与分别交于点R、H，过点H作于点G，连接，点N在的延长线上，连接分别交、抛物线于点M、Q，若，，求点Q的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $