第七单元 第1课时 公因数和最大公因数(分层作业)数学青岛版五四制四年级下册

第七单元 第1课时 公因数和最大公因数 分层作业 1.几个数公有的因数，叫做这几个数的（ ）；其中最大的一个，叫做这几个数的（ ）。 2.12的因数有（ ），18的因数有（ ），12和18的公因数有（ ），它们的最大公因数是（ ）。 3.求两个数的最大公因数，一般可以用（ ）法和（ ）法。 4.如果较小数是较大数的因数，那么（ ）就是这两个数的最大公因数。 5.如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是（ ）。 6.相邻的两个自然数（0除外）的最大公因数是（ ）。 7.用短除法求最大公因数时，最后把所有的（ ）连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。 8.15和25的最大公因数是（ ），7和13的最大公因数是（ ），16和48的最大公因数是（ ）。 1．若a÷b＝2（a，b为大于0的自然数），则a和b的最大公因数是（    ）。 A．a B．b C．0 D．无法确定 2．小刚家的厨房长30分米，宽24分米，铺地板砖选择边长（    ）分米的正方形地板砖不用切割。 A．4 B．5 C．6 D．8 3．非零自然数a和b，如果a＝6b，那么a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )。 4．如果a÷b＝5（a、b均为非零自然数），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 5．72名女生和48名男生分组活动，每个小组分得的男生同样多、女生同样多（都正好分完，没有剩余）。最多能分成( )个小组。 6．男生48人、女生36人分别站成若干排。要使每排的人数相同，每排最多有多少人？ 7．一间浴室长1.8米，宽1.44米。现在要给浴室地面铺上正方形瓷砖，正方形瓷砖的边长最长是多少厘米？ 8．下面两根小棒，要把它们截成同样长的小段，不能有剩余，每小段小棒最长是多少厘米？一共可以截成几小段？ 9．把一张长是24厘米、宽是18厘米的长方形纸分成大小相同的正方形，且纸没有剩余。最少可以分成几个小正方形？ 10．用正方形地砖铺一间长24米，宽27米的房间，要使用的地砖都是整块的，最大可以用边长是多少米的地砖？要用这样的地砖多少块？ 11．刘老师将自己做的71块饼干，40块糖果平均分给环保小分队的成员。结果多出1块饼干，糖果还差2颗。这个环保小分队最多有多少名同学？ 12．王老师买了32支笔和24本笔记本，平均奖励给班里的“三好学生”，刚好全部奖完。王老师班里最多有多少名“三好学生”？每人奖励几支笔和几本笔记本？ 13．五（1）班有40人，五（2）班有32人，两个班学生分组参加一项活动，要求不同班级每组的人数相同，并且不能有剩余的学生，每组最多有多少人？这时两个班共分成多少组？ 14．请你猜一猜． （1）一个数既是45的因数，又是60的因数，这个数最大是几？ （2）一个两位数，既是5的倍数，又是6的倍数，这个两位数最大是多少？ 15．现有一种长45厘米，宽30厘米的长方形纸若干张。 （1）将这些纸拼成一个正方形，正方形的边长最短是多少厘米？至少要用多少张这样的长方形纸？ （2）将其中一张裁成正方形纸片，且纸不能有剩余，最少可以裁多少张正方形纸片？ 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．B 【分析】当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数是较小的那个数。据此解答。 【详解】由题意得，a÷b＝2（a，b为大于0的自然数），说明a是b的2倍且a＞b，所以a和b的最大公因数是b。 故答案为：B 2．C 【分析】求选择边长是多少分米的正方形地板砖比较合适，只要边长是24和30的公因数即可，由此解答即可。 【详解】30＝2×3×5，24＝2×2×2×3 在4、5、6、8这四个数中，只有6是24和30的公因数，所以选择边长是6分米的正方形地板砖不用切割。 故答案为：C 3． b a 【分析】根据题意，a＝6b，即a÷b＝6，说明a和b是倍数关系，且a＞b，根据“当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”进行解答。 【详解】非零自然数a和b，如果a＝6b，那么a和b的最大公因数是b，a和b的最小公倍数是a。 4． b a 【分析】当两个整数成倍数关系时，较大的整数是这两个整数的最小公倍数，较小的整数是这两个整数的最大公因数；据此即可解答。 【详解】根据分析可知，如果a÷b＝5（a、b均为非零自然数），那么a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 5．24 【分析】每个小组分得的男生同样多、女生同样多（都正好分完，没有剩余），由此可知组数是72的因数，同时也是48的因数，因为要使组数最多，所以组数是72与48的最大公因数，哪两个自然数的积是72，那么这两个数就是72的因数，同理找出48的因数，接着用列举法将72、48的因数列举出来，找出最大公因数即可。 【详解】72的因数有：1、72、2、36、3、24、4、18、6、12、8、9。 48的因数有：1、48、2、24、3、16、4、12、6、8。 72与48的最大公因数是24。 最多能分成24组。 6．12人 【分析】要使每排人数相同且最多，需找出男生和女生人数的最大公因数。分解48和36的质因数，找出公共质因数相乘即得最大公因数。 【详解】分解质因数： 最大公因数为： 答：每排最多有12人。 7．36厘米 【分析】1.8米＝180厘米，1.44米＝144厘米，把180和144分别分解质因数，由此即可得出答案。 【详解】1.8米=180厘米，1.44米=144厘米， 144＝2×2×3×2×2×2×3 180＝2×2×3×3×5 所以180与144的最大公因数是2×2×3×3＝36 即边长是36厘米 答：正方形瓷砖的边长最长是36厘米。 【点睛】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，数字大的可以用短除解答。 8．4厘米；15小段 【分析】根据题意可知，要求每段小棒最长的长度，就是求16和44的最大公因数。采用质因数分解法解答即可。 【详解】16＝2×2×2×2，44＝2×2×2， 则16和44的最大公因数是2×2＝4。 所以每小段木棒最长是4厘米。 16÷4＋44÷4 ＝4＋11 ＝15（小段） 答：每小段木棒最长是4厘米，一共可以截成15小段。 【点睛】解答公因数问题的关键是：从因数的意义入手来分析，把原题进行转化。 9．12个 【分析】要分成大小相等的小正方形，且没有剩余，就是小正方形的边长是24和18的公因数，要求分的最少就是求24和18的最大公因数为小正方形的边长，然后用长方形纸的长和宽分别除以小正方形的边长，就是长方形纸的长边最少可以分几个，宽边最少可以分几个，最后把它们乘起来即可。 【详解】24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 24和18的最大公因数是2×3＝6 正方形的边长是6厘米。 （24÷6）×（18÷6） ＝4×3 ＝12（个） 答：把一张长是24厘米、宽是18厘米的长方形纸分成大小相同的正方形，且纸没有剩余。最少可以12个小正方形。 10．3米，72块 【分析】地砖的边长应该是地面长和宽的最大公约数，即24和27的最大公约数；再利用长方形的面积公式求出地面的面积，用地面的面积除以一块地砖的面积，就是所需地砖的块数。 【详解】因为24＝3×8，27＝3×9， 所以最大地砖的边长应是3米。 24×27÷（3×3） ＝648÷9 ＝72（块） 答：最大可以用边长是多3米的地砖，要用这样的地砖72块。 11．14名 【分析】多出1块饼干，糖果还差2颗，也就是71块饼干减去1块饼干，结果正好是小分队人数的倍数；40块糖果加上2颗糖果，结果也正好是小分队人数的倍数；说明小分队的人数是（71－1）和（40＋2）的公因数，求这个环保小分队最多有多少名同学，也就是求（71－1）和（40＋2）的最大公因数；用短除法可以计算出两个数的最大公因数，短除法：把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止；然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数；据此解答。 【详解】71－1＝70（块） 40＋2＝42（颗） 2×7＝14（名） 答：这个环保小分队最多有14名同学。 12．8名；4支；3本 【分析】求出笔和笔记本数量的最大公因数，就是最多有多少名“三好学生”。再用笔和笔记本的总数分别除以人数，就是每人奖励几支笔和几本笔记本。 【详解】32＝2×2×2×2×2 24＝2×2×2×3 2×2×2＝8（名） 32÷8＝4（支） 24÷8＝3（本） 答：最多有8名“三好学生”。每人奖励4支笔和3本笔记本。 13．8人；9组 【分析】根据“各班每组的人数都相同，并且不能有剩余的学生”、“每组最多”可知，就是求40和32的最大公因数，由此解答即可。 【详解】40＝2×2×2×5； 32＝2×2×2×2×2； 40和32的最大公因数：2×2×2＝8； （40＋32）÷8 ＝72÷8 ＝9（组） 答：每组最多有8人；这时两个班共分成9组。 【点睛】解答本题的关键是根据题目中的已知信息确定就是求40和32的最大公因数。 14．15；90 【详解】试题分析：（1）即求45和60的最大公因数，把45和60进行分解质因数，求两个数的最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积； （2）同时是6和5的倍数必须满足：末尾是0或5，并且各个数位上的和能被3整除；此题求的是同时是6和5的倍数的最大两位数，末尾是0，那么十位最大是9，进而得出结论． 解：（1）45=3×3×5， 60=2×2×3×5， 所以45和60的最大公因数是：3×5=15． 答：这个数最大是15； （2）由分析可知：该两位数的个位是0，十位是9，即两位数最大是90． 点评：考查了求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答． 15．（1）90厘米；6张 （2）6张 【分析】（1）对于拼成正方形的问题，需要找到45和30的最小公倍数，用最小公倍数作为正方形的边长，然后求出至少要用多少张这样的长方形纸； （2）对于裁成正方形且无剩余的问题，需要找到45和30的最大公因数，用最大公因数作为正方形的边长，然后求出最少可以裁多少张正方形纸片。 【详解】（1）45＝3×3×5 30＝2×3×5 45和30的最小公倍数为2×3×3×5＝90 （90÷45）×（90÷30） ＝2×3 ＝6（张） 答：正方形的边长最短是90厘米，至少要用6张这样的长方形纸。 （2）45＝3×3×5 30＝2×3×5 45和30的最大公因数为3×5＝15 （45÷15）×（30÷15） ＝3×2 ＝6（张） 答：最少可以裁6张正方形纸片。 【点睛】本题考查最小公倍数和最大公因数的应用。对于将长方形纸拼成正方形问题，要明确正方形的边长应是长方形长和宽的最小公倍数，这样才能保证使用的长方形纸张数最少；对于把长方形纸裁成无剩余正方形的问题，正方形的边长应为长方形长和宽的最大公因数，以此确定能裁出的最少正方形纸片数。 $