第20期 双曲线及其性质-【数理报】2026年高考数学一轮复习学案

16.(15分)已知双曲线C:。-存 x2 x2 v2 =1(a>0,b>0)的 条渐 分)P知双曲线C-存=1(a>≥0，b> 19(17分)设双曲线c:号-茶=1(a>0,6>0)的右顶点为 近线斜率为号，且双曲线C经过点M(2,1)。 (4,)M,3).(-2,-)2.得) ）中恰有三点在 A,虚轴长为反，两准线间的距离为5 (1)求双曲线C的方程： 双曲线C上. (1)求双曲线C的方程； (2)斜率为- 分的直线1与双曲线C交于异于M的不同两点4， (1)求双曲线C的方程； (2)设动直线1与双曲线C交于P,Q两，点，点A到动直线1的距 (2)过点(3,0)的直线1交双曲线C于P,Q两点，过点P作直线 离为d,若AP1AQ,求d的最大值 B,直线MA,MB的斜率分别为k1,2.若1+k2=1,求直线l的方程 x=1的垂线，垂足为A,证明：直线AQ过定点， 高考数学一 轮 总复 7,(5分)已知双曲线C,为 =1(a>0,b>0)的实轴长 习 为2，直线y=5x为C的一条渐近线 达标检测 (1)求C的方程； 高考数学一轮总复习达标检测 (2)若过点(2,0)的直线与C交于P,Q两点，在x轴上是否存在 定点M,使得MP.Md为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在， 请说明理由. 参考答案见下期 本版责任编辑：崔明 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 2025年11月18日·星期二 高考数学 报纸发行质量反馈电话： 数评橘 第20期总第1164期 0351-5271248 第一轮复习 平面三角形与空 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707F)邮发代号：21-284 间四面体的类比 专题辅导· (二) 双曲线及其性质 命题趋势 (1)三角形：正 高考对双曲线的考查主要有双曲线的定义；双曲线的性质；直 三角形的外心、内 心、垂心合一。 专题解读 线与双曲线的位置关系，同时在压轴题中会和别的曲线综合考查。 预计2026年高考对其的考查不会变，四种题型都会涉及， 四面体：正四面 ⊙山西张艳 不不“会业会不北不不不心不不北不必不心不不心不必谷“北北北以 体的外心、内心、垂 心合一。 考点精析 所以双曲线的方程为， 8 =1 (1)若T的离心率为2，求b; (2)三角形：正 故选(C). (2)若6=26，△M,P为等腰三角形，且 3 三角形内任一点到 考点一、双曲线的定义及其应用 三边距离之和为正 点评：本题主要考查双曲线的标准方程、焦点P在第一象限，求点P的坐标； 例1已知双曲线的两个焦点分别为(0,4)， 三角形的高。 点三角形，同时考查运算求解能力和数形结合 (3)连接Q0(0为坐标原，点)并延长交T (0,-4),点(-6,4)在该双曲线上，则该双曲 四面体：正四面 思想 于点R,若AR·A2P=1,求b的取值范围 体内任一点到四个 线的离心率为 考点三、双曲线的几何性质 面的距离之和为正 (A)4 (B)3 解析：(1)由双曲线的方程知 四面体的高。 (C)2 (D)√2 例3若直线y=k(x-3)与双曲线 -y a=1,c=√1+b (3)三角形：三 解析：根据双曲线的定义，得 因为离心率为2， =1只有一个公共点，则k的一个取值为 角形两边之和大于 2a=1√/(-6-0)2+(4-4)2 所以=个+ =2,得b=√5 第三边。 1 四面体：四面体 -√(-6-0)2+(4+4)1 解析：由题意，知该双曲线的渐近线方程为 =1 三面面积之和大于 y=±2x,直线y=k(x-3)过定点(3,0).因为 （2)当6=26时，双曲线r:- =16-101=4, 3 8 第四面面积。 根据焦点坐标可知c=4, 且4(1,0). (4)三角形：三 点(3,0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与 角形同底等高面积 所以离心率e= =2. 因为点P在第一象限，所以∠PA,M为钝角 双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的 又△MA,P为等腰三角形， 相等。 点评：本题通过应用双曲线的定义和性质， 所以1A2P1=1A2M1=3. 四面体：四面体 渐近线平行，所以k=±子 可以避免较为复杂的坐标计算，从而减少计算 同底等高体积相等。 设点P(x0yo),且x0>0,0>0, (5)三角形：三 量，节省考试时间。 点评：本题主要考查双曲线的方程及性质， 当定点P在双曲线内，过点P且与双曲线只有一 「√(x-1)2+=3, 角形具有物理上的 考点二、双曲线的标准方程 个交点的直线有两条，且这两条直线与渐近线 则 稳定性，被广泛用于 2 =1(a>0,b>0)平行；过点P且与双曲线有两个交，点的直线有 ，3=1, 例2已知双曲线 6-8 平面建筑。 a b2 无数条，与双曲线无交点的直线有0条 四面体：四面体 的左、右焦点分别为F,F2,P是双曲线右支上 得2， 所以P(2,22) 具有高度的稳定性 y%=22, 一点，且直线PF,的斜率为2，△PF,F,是面积为 例4设双曲线c号-茶-1(a>0,5>0 被广泛用于大型空 (3)由双曲线的方程知 8的直角三角形，则双曲线的方程为 （）的左、右焦点分别为F,F2,过F2作平行于y轴 间建筑，如大跨度的 A1(-1,0),4(1,0), 体育馆、候车厅、大 (A) =1 的直线交C于A,B两点，若1F,A|=13,IAB1 8-2 且由题意知Q,R关于原点对称 8 4 型门楼、电视塔等。 =10,则C的离心率为 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则R(-x2,-y2) (6)三角形：三 (C) 2-8 =1 (D) =1 48 解析：由！AB|=10及双曲线的对称性得 设直线PQ的方程为x=my-2. 角形有余弦定理 解析：由题意可知，∠FPF,=90°， 1AB,1=4BL=5,因为1AR,1=13, 联立直线与双曲线的方程得 =b2 c2-2bccos A 2 又直线PF,的斜率为2， 所以2a=lAF,I-lAF2|=13-5=8 x=my-2, 四面体：四面体 有类似的余弦定理 IPFI 可得an LPF,F,=PR,=2, 2c =1 F F2 I le2、 京1， cos a cos Bcosy 根据双曲线定义IPF,I-lPF21=2a, =√AF,2-AF27 消去x得(b2m2-1)y2-4bmy+3b2=0, sin Bsin ycos A 其中A为二面角 得|PFI=4a,IPF2I=2a =√/132-52=12. 且m2-1≠0，即m2≠ b2 C-AD -B,a PFIIPF2I 所以a=4,c=6, 由根与系数的关系得 ∠BDC,B=∠CDA 362 =∠ADB,如图。 xa x2a4, 则c的离心率e=台== 4b'm 1+2=m-=6m- 点评：本题考查双曲线的定义、离心率、对 又S△m=8,所以a2=2, 称性，考查运算求解能力， 因为A=(-x2+1,-y2), 所以1F,F212=1PF,12+1PF212 考点四、直线与双曲线的位置关系 A,P=(x1-1,y), =(4a)2+(2a)2 =20a2=40. 例5已知双曲线「：2-茶=1(6>0)，左 由A1R·A2P=1, 得(-3+1)(x1-1)-yy2=1, 又1F,F212=42,所以c2=10, 右顶点分别为A,A2,过点M(-2,0)的直线交 所以(x2-1)(x-1)+y2=-1, 又a2+b2=c2,所以b2=8, 双曲线T于P,Q两点， (下转第2版) 2 素养专练 数理极 (上接第1版) 考题预测 圆(x-√5)2+y2=3截得的弦长为 ( 即(my2-3)(my1-3)+y13=-1, ⊙数理报社试题研究中心 ()9 (B)1 整理得(m2+1)yy-3m(y1+2)+10=0, 所以(m2+1）‘8-3mm- 3b2 4b2m +10 1若方程 m-1+m-4=3表示焦点在)轴 (C)23 (D)2 3 IHO 上的双曲线，则m的取值范围是 ( 2 =0, (A)(1,2) (B)(2,+0) 5点尸是双猫线6号-若=1a>0.>0 整理得b2m2+362-10=0, (名四来) (C)(-∞，-2) (D)(-2,2) 右支上一点，F,F2分别是双曲线C的左，右焦点， 拟=93=o] 2与鞘园C若+后=1共焦点且过点(1，同 M为△PF,F2的内心，若双曲线C的离心率e= 3 又m2 的双曲线的标准方程为 (）2,且Sam,=Sawm,+ASa5,则A=() 62 (B)y2-2x2=1 1062 (a2-黄=1 ( (B) 所以R≠，10 1 +3 362+1 0号-号-1 (D) 2-x2=1 (C)1 (D)2 得2≠3， 3.若点P是双油线c号-方=1上一点5： 6.设B是双曲线C:行-京=1(a>0,b> 所以e(0,3)U(3,]又b>0, F2分别为C的左、右焦点，则“IPF2I=5”是0)的右焦点，0为坐标原点，过F2的直线交双曲线 soo (I'd)d ⊙ “|PFI=9”的 的右支于点P,N,直线PO交双曲线C于另一点M 故6的取值围是(0，)U(5,], (A)充分不必要条件 若IMF2I=31PF2I,且∠MF,N=60°，则双曲线 (B)必要不充分条件 C的离心率为 ( 点评：本题考查双曲线的方程及性质、直线与 (C)充要条件 (A)3 (B)2 双曲线的位置关系、双曲线中的取值范围问题、向 (D)既不充分也不必要条件 量的数量积运算，考查学生的逻辑推理能力、运算 (c) (D) 求解能力和数形结合思想。 4已知双曲线C:一云-1，其一条新近线被 2 参考答案见下期 第19期2版参考答案 (2)证明：由(1)得， 即-11m+21 I nl 经过点F且斜率为k(k≠0)的直线方程为y=kx+1, I入Ilnl 1.B:2.C:3.D4.A:55;6.5,21]. =12-m 「=kx+1, 化简得A-1山 1n21 联立{ 得(4+3k2)x2+6kx-9=0, 1m2-41 2 第19期3版参考答案 -、单项选择题1~4BDAB5~8BCCA 4=362+4×9×(4+3k2)=144(1+2)>0恒成立， 因为+号=1，所以4-m2=2, 二、多项选择题9.ACD;10.BC;11.BCD. 设M(x1,y1),N(x2y2), 三填空题12号或号：13.2；14.3万-5 所以A=方解得A=2(舍)或A=号 则1MNI=+F1x-1=+F×4+3F 四、解答题 所以存在X=子，使得∠DE=∠DBF 15(山)#圆C的方程为号+号-1 =12(1+2) 6k 4+3,4+6=4+3 19.解：(1)由题意得1QM1+lQN1=1QMI+IQP1= I MP I =4 2 =I MNI (2)x-y+1=0或x-y-1=0. 设线段MW的中点为T(x,yo) 16《)稀圆E的方程为子+号=1 则=5= 3k 根据椭圆的定义得点Q的轨迹E是以M,N为焦点的椭 4 2 43=+1=4+3 圆.所以a=2,c=1,所以b=√3. (2)证明：设直线1的方程为x=my+2 易知线段MN的垂直平分线的斜率为-。， 故所求轨迹方程为片+号=1 A(x1,y1),B(x2y2),则C(x1,-y1), -(V) 所以线段MW的垂直平分线的方程为 联立片+号=l整理得(2m+1)y+8my+4:0, (2)由题意知S4m=2Sm=2×分X1AB1·d= 0算4) 4 d1ABI(d为，点O到直线l的距离)」 Lx my +2, 1 设I的方程为y=kx+1, 4 则1+为=2nmi为=2m+ -8m 令x=0,得)=4+3即H0,4+3 y=kx+1, 1 联立方程x2 消去y整理得 4=(8m)2-4×4(2m2+1）=16(2m2-1)>0, 所以H=143=3+ 4+3k2 所以m>2 3(1+k2) (3+4k2)x2+8kx-8=0,设A(x1,y1),B(2,y2), 4+3k2 -8k 直线BC的方程为y+1=点+1(x-x), 所=合以微为定造 则新+为=3+4派=3+4报 -8 X2一龙 4+3k2 由椭圆的对称性知，若存在定点，则必在x轴上 则1AB1=√个+反·√(x1+2)2-4x 18.解：(1)由已知1AB1=4得2a=4,即a=2. 当y=0时， 因为后=号所以=6=V-2:E =46·1+2F.个+ x=(3-) x1y2 +x2y 3+4k2 y2+y1 +1= y2+y1 又d= =(m+2)y+(m2+2)y 航以精图C的方程为片+专-1 +F y2+y1 (2)假设存在满足题意的实数入， _2my+2+2）=2m2+2 由(1)得A(-2,0),B(2,0). 所以Sam=d1AB1=46、+2R 3+4k2 y+y y1+y2 E(m,n),F(m,-n)N(xx,yx) 令√个+2h=t,由2≥0，得t≥1， (02)7 2m‘2m+1 则A=(xw+2,yw),4正=(m+2,n). +2=-1+2=1, 因为IANI=AIAEI,由题知点N不与点A,E重合， 所以SAD= -8m 6=46,(t≥1) 2t2+1 妆 2m2+1 所以A=AAE(0<A<1), 即直线BC过定点(1,0). 即(xw+2,yx)=A(m+2,n) 所以xw=Am+2入-2，yv=入n 易证y=21+在(1，+)递增。 17.(1)解：设P(x,y),由已知得 恒 屋+(y-了=分1y-41,整理得号 即N(Am+2入-2，An). 4 =1, 因为∠NDE=∠DBF,所以tan∠NDE=tan∠DBF 所以2+}≥3，从而S≤45， 31 用 枚面线C的方程为片+亏=1 所以m-Am-2A+21 Iλnl =12-m 所以△ABD的面积S的最大值为4,6 C上任意一点，则 (A)y=±2x (B)=± 14.已知双曲线C:x2- 2 =1(b>0)的焦点到渐近线的距离为 (A)I PF I-1 PF21=23 (C)y=±√2x Dy是 √2，直线1与C交于A,B两点，若线段AB的中点为N(1,2),则直线 (B)双曲线C的浙近线方程为y=±， 1的斜率为 高 考 -=1的焦点在x轴上，若该双曲线的 四、解答题：本题共5小题，共77分 考 数 2已知双曲线 a-3+1-a (心)双线c的离心率为 数 学 15.(13分)直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B 焦距为4，则a等于 ( ) 学 (D)IPF+PFI≥2B 两点 蛇 (A)1 (C)4 (D)10 10.已知直线y=x+1与双曲线琴-号 号~存=1(6>0)的图象相 (1)求线段AB的长； 轮 总 总 复 习 3.双线 (2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？ =1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距 复 切，双曲线的左、右顶点分别为A1,A2,左、右焦点分别为F,F2,若 习 达 离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 ( ) P(4,%)是双曲线上一点，则下列说法正确的有 达 你 检 (A)V5 (B)5 (C)√2 (D)2 (A)b=5 标检 测 4.设E1,R,是双曲线Cx2-号 (B)y0=±3 测 3 =1的两个焦点，0为坐标原点， (C)直线P4,和直线PA,的斜率的荣积为号 点P在C上且IOP1=2,则△PF,F,的面积为 ( ) (A名 (B)3 (D)2 (D)sin∠F,PF2= 4 5.已知双曲线x2-my2=1(m>0)的左、右焦点分别为F,F2, 11.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双 直线1经过F,且与双曲线右支相交于A,B两点，若IABI=2,则 曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由 △ABF,的周长为 ( ) 此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹 (A)6 (B)7 角已知F,5分别为双曲线C:号-？2=1的左右焦点，过C右支 (C)8 (D)不能确定 上 点A(o)(。>)作直线1交x轴于点M(3,0）,交y轴于 6.已知F是双曲线C:x2- 8 ·=1的右焦点，P是C的左支上 点N,则 点，A(0,万)，则PA1+1PF1的最小值为 ( ) 3 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (A)C的渐近线方程为y=± 3 7.已知直线)=3x+1与双曲线C:号 x2 63 =1(a>0,b>0) (B)点N的坐标为0号】高考数学第一轮复习第18~21期 教评柄 答案详解 2025~2026学年 高考数学第一轮复习 第18~21期(2025年11月) 第18期2版 所以切线的斜率太：宁 考题预测 所以切线方程为y-1=之(x-1), 1.D;2.D3.C;4.A;5.BD; 即x-2y+1=0. 6(24)7[3] 5.圆C的方程x2+y2+4y=0可化为x2+(y+2)2=4, 由.C店=0知，圆心到直线的距离为2×巨-2， 2 第18期3版 即2=12+m,即m=0或m=-4. 高考数学一轮总复习达标检测（十八） 2 一、单项选择题 x2+y2-4y-6=0, 6.联立{ 1~4 BCAC 5-8 ACAD 2+y2-6x+8y=0, 提示： 两式相减可得x-2y-1=0, 1.由题意可知，圆O的圆心为O1(1,0),半径r1=1, 所以公共弦所在直线的方程为x-2y-1=0, 圆02的圆心为02(0,2)，半径r2=2, 圆01：x2+y2-4y-6=0可化为 又r2-1<002=5<T1+2, 圆01：x2+(y-2)2=10, 所以圆01和圆02的位置关系是相交 所以圆心为0(0,2)，半径r=√10， 2.圆C的标准方程为(x-1)2+(y-a)2=1, 则圆心0，(0,2)到公共弦的距离d=0-4-1山=5. 圆心为C(1,a),半径r=1, √+4 因为圆C:x2+y2-2x-2ay+a2=0截直线x-2y+1= 故公共弦长d=2√P-=2√0-5=25. 0所得弦长为2， 7.设点M的坐标为(x,y), 所以直线x-2y+1=0过圆心C, 由点M是线段PQ的中点，可得Q(2x-1,2y) 所以1-2a+1=0,解得a=1. 因为点Q在圆上，所以(2x-1)2+(2y)2=4, 3.直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1)， 即(x-2）+y=1 因为12+(1-1)2=1<5， 8.由直线l1的方程是mx-y=0得直线l1过定点A(0,0), 所以点(1,1)在圆C:x2+(y-1)2=5的内部， 直线l2的方程是x+my+4-2m=0, 所以直线与圆C相交. 即(x+4)+m(y-2)=0, 4.圆E:x2+y2-4x+2y=0的圆心为E(2,-1), 所以直线2过定点B(-4,2), 半径r=5, 又m×1+(-1)×m=0,所以l⊥l2, 因为12+12-4×1+2×1=0. 所以C在以AB为直径的圆上， 所以点P在图E上，又r==-2, 1AB1=√(-4)2+22=25， 高考数学第一轮复习第18~21期 由圆的性质知，点C到直线AB的距离的最大值等于圆的 圆心(5,5)到点B的距离为/34，圆的半径为4， 半径，即1AB1=5, 所以1PB1=1P2B1=√34-16=18=32， 故(C)(D)均正确. 所以△ABC面积的最大值为7×25×5=5. 故选(A)(C)(D). 二、多项选择题 11.由实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0, 9.ABD;10.ACD;11.ABD. 可得点(x,y)在圆(x-2)2+(y-1)2=1上，如图2， 提示： 9.对于(A),(1-1)2+(-3)2=9>1, 所以点M在圆C外，(A)对； 对于(B),直线l:(x-2)-my=0, 1234x 易知直线1过定点A(2,0),(B)对； 对于(C),因为(2-1)2+02=1，点A在圆C上， 图2 所以直线l与圆C相交或相切，(C)错； 二表示点(x,y)与坐标原点连线的斜率， 对于(D),当直线I与点M,A连线垂直时，点M到直线l的 设过坐标原点的圆的切线方程为y=kx, 距离最大，且最大值为1MA1=√(1-2)2+(-3-0)2= 0,(D)对 则2=1，解得k=0或6=专 +1 故选(A)(B)(D). 所以÷e[0,],所以(）=÷（任）=0， 10由题意可知，直线AB的方程为子+子=1， 故(A),(B)正确； 即x+2y-4=0, x2+y表示圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的平方， 则圆心(5,5)到直线AB的距离 圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的最大值为|OC1+1, d=15+2x5=41=5>4, 又10C1=22+1下=5， √12+22 5 所以x2+y2的最大值为6+25，故(C)错误； 所以直线AB与圆(x-5)2+(y-5)2=16相离， 易得圆(x-2)2+(y-1)2=1的参数方程为 所以点P到直线极的距离的取值范围是[，5-4， [x=2+cos0, 0为参数， 5+4,因为-4e(01).5+4e(89 Ly =1 sin 0, 所以x+y=2+cos0+1+sin0 所以(A)正确，(B)错误. 过点B作圆的两条切线，切点分别为P,P2, =3+2m(0+平)≤3+厄， 如图1，当点P在切点P,的位置时，∠PBA最小， 故(D)正确， 当点P在切点P2的位置时，∠PBA最大 故选(A)(B)(D). 易知IP1BI=1P2BI, 三、填空题 12.(x-1)2+(y+1)2=5;13.[4,6];14.35-1. 提示： 12.设点M的坐标为(a,1-2a), 因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上， 012346789x 所以点M到两点的距离相等且为半径， 图1 所以√(a-3)2+(1-2a)7=√a+(-2a)=r, 2 高考数学第一轮复习第18~21期 解得a=1,所以M(1,-1),r=5, 所以圆M过定点(0，-3). 所以⊙M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 16解：(1)选①.设圆N的方程为(x-a)2+(y-b)2=2. 13.易知直线y=x+1恒过点P(0,1), rl al=r, a=2, 圆C:(x-2)2+y2=9的圆心为C(2,0),半径r=3. 由题意可得 a2+62=r2, 解得b=0, 当直线经过圆心时，弦长IAB1取得最大值，为2×3=6； l(2-a)2+(2-b)2=r2, r=2, 当直线与PC所在直线垂直时，弦长[ABI取得最小值， 则圆N的方程为(x-2)2+y2=4. 为2×√9-5=4，因此4≤|AB1≤6. 选②.直线mx-y-2m=0恒过(2,0)， 14.如图3，曲线C:x2+y2-6x-2y+9=0是以C(3,1) 而圆V恒被直线mx-y-2m=0(m∈R)平分， 为圆心，1为半径的圆， 即mx-y-2m=0恒过圆心，所以圆心为(2,0)， 可设圆N的方程为(x-2)2+y2=2, M(-1,2 由圆N经过A(0,0),得2=4， 则圆V的方程为(x-2)2+y2=4. 选③.由条件易知C(4,0), x+2y+2=0 设圆N的方程为2+y2+Dx+y+F=0(D+E-4F>0), 图3 8+2D+2E=0, 设M关于直线x+2y+2=0的对称点为H(m,n), 由题意可得F=0,且有 16+4D=0, in-2 m+1 =2, m=-3, 「D=-4. 则 解得 解得 则圆N的方程为x2+y2-4x=0, m,1+2×+2+2=0. ln=-2, LE=0. 2 2 即(x-2)2+y2=4. 即H(-3,-2),连接PH,PC, (2)因为(4-2)2+32=13>4， 则IPMI+IPNI≥IPMI+IPCI-1 所以点P在圆N外 =I PHI +I PCI-1 若切线斜率存在，设切线的斜率为k, ≥1HC1-1=35-1, 则切线方程为y-3=k(x-4), 当且仅当P,H,C三点共线时，等号成立， 即kx-y-4h+3=0. 所以1PM1+1PN1的最小值为35-1. 所以2k-46+31=-26+3L=2, 四、解答题 2+1 √+I 15.解：(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D 解得k=音 +E2-4F>0). 所以切线方程为5x-12y+16=0. 因为圆M为△ABC的外接圆， 若切线斜率不存在，切线方程为x=4,满足题意 所以圆M过点A(0,a),B(-√3a,0),C(3a,0), 综上，过点P(4,3)的圆N的切线方程为 ,a2+aE+F=0, D=0, 5x-12y+16=0或x=4, 所以3a-√3aD+F=0,解得{E=3-a, 且切线长为13-01=3. 3a+/3aD+F=0, F=-3a. 17.解：(1)根据题意，得点P在圆C外，分两种情况讨论： 所以圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0. 当直线的斜率不存在时， (2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0. 过点P(1,2)的直线方程是x=1, 3+y=0, 。解得0， 与圆C:x2+y2=1相切，满足题意； 由 Lx2+y2+3y=0 y=-3. 当直线I的斜率存在时， —3 高考数学第一轮复习第18~21期 设直线的方程为y-2=k(x-1), =-1, 即kx-y-k+2=0,因为直线与圆C相切， 所以k1+k2是定值，且定值为一1. 所以圆心(0,0)到直线1的距离为2-L =1, 19.解：(1)由题可设圆M的方程为(x-a)2+y2=2, 爬+I r(1-a)2+7=2, 解得=子，此时，直线1的方程为3-+5=0 则万.3 解得a=4,r=4, -a∵万 =-1, 所以满足条件的直线1的方程是x=1或3x-4y+5=0. 所以圆M的方程为(x-4)2+y2=16. (2)根据题意，若IAB1=√2， 则圆心(0,0)到直线m的距离 (2)由题意知，LA0B=受. 设直线OA的斜率为k(k≠0)， 2 则直线OA的方程为y=kx, 结合(1)知直线m的斜率一定存在. 「y=kx, 联立 设直线m的方程为y-2=n(x-1), (x-4)2+y2=16, 即nx-y-n+2=0, 得(1+2)x2-8x=0, 则d1-号，解得m=1或m=7 「x= n2+1 「x=0, 1+, 解得 或 所以满足条件的直线m的方程是 y=0 y=1+ x-y+1=0或7x-y-5=0. 18.解：(1)依题意，得直线l:y-4=x-2, 即4e) 即y=x+2, 又直线0B的斜率为-六 则圆心(0,0)到直线1的距离d=2=万， 即叫 所以IMW1=24-2=2√2. (2)依题意，直线1的斜率存在且不为零， 由题可知C(8,8k),D(8,-冬) 设M(x1,y1),N(xy2),y-4=k(x-2), OA·OBOA.OB 因此h0.od =o o0 y-4=k(x-2), 联立 消去y,并整理得 8 x+y2=4, 1 (1+2)x2-4k(k-2)x+(2k-4)2-4=0, 驰=- 8=1+ 则+-是24 同理OB 2 1+k2 里0D=1+P, Y2 所以点 k2 k+k=-2+-2 以发+2张+12+士 +2 (-2)+4,(x2-2)+4 N x1-2 x2-2 当且仅当1k1=1时，等号成立. 4 4 =2k+1-2+-2 又袋>0，所以暖的取值施用是(o,} 4(x1+x2-4) =2k+k-2+)+4 第19期2版 4[- 考题预测 =2k+2-42-4-2.4(k-2+4 1+k2 1+k2 1.B:2G:3.D,4.A,55;6[5,21. 一4 高考数学第一轮复习第18~21期 第19期3版 6.由 y=红+山，得(2+2+4x+1=0, x2+2y2=1, 高考数学一轮总复习达标检测（十九） 因为直线与椭圆有公共点， 一、单项选择题 所以4=16k2-4(2k2+1)≥0， 1~4 BDAB 5~8 BCCA 解得长≤-号或长≥号 提示： 1将椭圆+4=1化为亡+号 7.设A(x1,y),B(x2y2), 1, 4 则a=1,6=分e=尽-6=马 1 则 +=1， 故焦距为2c=√5. 7-k>0, 所以￡+-0. 62 2.由题意可知{k-5>0, 故4=- 2(x1+x 7-k≠k-5, 1一2 a2(y1+2) 解得5<k<7且k≠6， 由题意可得，+有=4,1+为=2二=- 1 x1-X2 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 3由题意得6：县又=e,8>1, 则宁子所以宁 a=2 8.由 c 所以行=。可-分解得a:25(负位合去) sin LPF F2 sinLPF2F' a sin∠PF,F_IPF,IIPF,I 4.因为PF·PF=0,所以∠F,PF2=90°， 得C a -sinPFF,=I PFT=2a-1 PFT' 由椭圆方程可知，c2=5-1=4→c=2, 得1E,1=2e又1pR1ea-ca+o, 所以1PF,12+1PF212=1F,F212=42=16, 易知IPF1I+PF21=2a=25, 所以a-c≤2a<a+c, a c IPF 12+1 PF2 12+21 PF 1.I PF2 I 所以a2-c2<2ac<(a+c)2, =16+21PF1I·IPF21=20, 故e2+2e-1>0,又ee(0,1), 所以I PF I.1 PF2I=2. 所以e∈(2-1,1). 5.由题意得，离心率e=二= 二、多项选择题 a 9.ACD:10.BC:11.BCD. 解得=则=， 提示： 因为A,A2分别为C的左、右顶点， 所以A1(-a,0),A2(a,0), 9已知得，号=6=1， 又B为C的上顶点，所以B(0,b), 又a2=2+c2,故a2=3. 所以BA=(-a,-b),BA=(a,-b), 因为椭圆的焦点在y轴上， 因为BA·BA=-1,所以-a2+2=-1, 所以椭圆C的方程为子+？=1. 将=802代入，解得。2=9，公=8， 易知1PQ1=2 225 做精西C的方轻为片+专=1 △PF2Q的周长为4a=45. 5 高考数学第一轮复习第18~21期 故选(A)(C)(D). x-2V② 10.由题意得a=2,b=3,c=1,F(-1,0),F2(1,0), 如图1所示. 图2 0 因此C上到l的距离为1的点只有3个，故(D)正确. 故选(B)(C)(D). 三、填空题 图1 对于(A),IPFI+lPF2I=2a=4, 2是或8；1B.25；1435-5 故△PF,F2的周长为4+2=6，故(A)错误； 提示： 对于(B),根据椭圆的性质可知， 12.当0<m<2时，焦点在x轴上，此时a2=2,b2=m, △PE,面积的最大值为行×2×厅=厅， 所以c2=a2-b2=2-m, = 1 故(B)正确； 所以e2三c2=2m=41 2 对于(C),连接P0,易知1PA+PA1=21Pd1, 解得m= 子行合题意： 设P(2cos0,√5sin0), 当m>2时，焦点在y轴上，此时a2=m,b2=2, 则1pd1=√4cos20+3sim20=√3+cos20≥5， 所以c2=a2-b2=m-2, 所以1PA+PA1=25,故(C)正确： 3=m-2二4， 对于(D因为5=宁×441X1=211=2, 所以e2= m 所以1=1，因为点P在椭圆上，所以至+上 解得m= ，作合题意 4+3=1, 解得x。= 26,故(D)错误. 放正数m的值是子或号 3 13.由题可得A(b,0),B(0,2), 故选(B)(C) 因为0<b<2,所以a=2,c=√4-b. [y =x+m, 11.联立 因为△ABF是等腰三角形， x2 2 6+2=1 所以由椭圆的性质可知F是椭圆的下焦点， 得4x2+6mx+3m2-6=0,则4=12(8-m2). 所以1BFI=IABI,即2+√4-b=4+, 令4=12(8-m2)≥0，则-22≤m≤22， 解得62=23. 故(A)错误； 14.因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上， 令4=12(8-m2)>0,则1m1<22,故(B)正确； 由图3可知，椭圆的短半轴长b=2, 令l与C相切，则4=12(8-m2)=0, 解得m=±22，直线y=x+32与直线y=x-22的 距离4=13五-2)1=5，故(0)正确： 2 图3 如图2，直线y=x-√2与直线y=x-22和直线y=x 在△ABC中，由正弦定理得 2a 4 间的距离均为1， in75°=sin60, 6 高考数学第一轮复习第18~21期 6 -8m 4 解得a=2+ 则1+为=2m2+h=2m2+ 4=(8m)2-4×4(2m2+1）=16(2m2-1)>0, 则e2=1 =35-5 所以m2>2 1 四、解答题 15解：1）因为椭圆c号+号=1(a>6>0)过点 直线BC的方程为y+y1= 2+(x-) X2-x1 a 62 由椭圆的对称性知，若存在定点，则必在x轴上· (5,0),(0,2),所以a=5,b=2, 当y=0时， 所以稀圆C的方程为号+兰=1 x=3+ y2+y1 (2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,少1)，B(x2,y2). =5为+2当 [y =x+m, 2+y1 由{ 消去y得5x2+6mx+3m2-6=0, =(my+2)+(m5+2)y 3+2=1 y2+y1 则4=36m2-20(3m2-6)>0,得m2<5, =2m5+2(+2) y2+y1 由一元二次方程根与系数的关系得 6=36 2myy+2 名+为2=- y1+y2 51 4 所以1AB1=2·√（x1+2)2-4xx 2m2+1+2 -8m -4.3m2-6 2m2+1 5 =-1+2=1, -45.5-m_8 即直线BC过定点(1,0)， 5 5 17.(1)解：设P(x,y),由已知得 解得m2=1,即m=±1，符合题意 所以直线1的方程为y=x±1， 屋+0-了=1y-41, 即x-y+1=0或x-y-1=0. 2 6解因为精圆公若·号=1(a>6>0的复轴 整理得号+片-山， 放自线C的方型为片+号=1 长为22，离心率为e=气， (2)证明：由(1)得， 2b=22, 经过点F且斜率为k(k≠O)的直线方程为y=kx+1, 则{e=￡=巨解得{ a2=4, ry kx 1, a 2 b2=2. 联立{ —工g4+3±6一。一 2 a2-b2=c2, 所以框周上的方程为片+号=1 4=36k2+4×9×(4+3k2)=144(1+2)>0恒成立， 设M(x1,y),N(2,2), (2)证明：设直线l的方程为x=my+2, 则1MW1=1+11-2 A(x1,y1),B(x22),则C(x1,-y1), 22 =√个+×4+3级 联立 4 =1, 2 整理得(2m2+1)y2+8my+4=0, =12(1+2) =my+2, 4+362, 7 高考数学第一轮复习第18~21期 6k x1+x2=- 4+3k2, 所以出分解得X=2(合)或A= 3 设线段MN的中点为T(xo,yo), 所以存在A=子，使得∠DE=∠DBR 则。=当十西三-于 3k 4+3g%=k0+1= 4 2 4+3k2 19.解：(1)由题意得IQM1+lQWI=IQM1+1QPI= 易知线段MN的垂直平分线的斜率为-石， 1 I MPI =4>2 =I MNI, 根据椭圆的定义得点Q的轨迹E是以M,N为焦点的椭圆， 所以线段MN的垂直平分线的方程为 所以a=2,c=1,所以b=3. 4 故所求轨迹方程为号+号：山 4y2 令x=0,得y=4即(0十) (2)由题意知Sam=25am=2×子XAB1·d= 所以1FH川=1-4+3 1 3(1+k2) 4+3k2, d1AB1(d为，点O到直线l的距离) 3(1+2) 设l的方程为y=kx+1, 所以=子 4+32 1 [y kx +1, 联立方程{ 4+32 消去y整理得 4+3=1 所以为定直 (3+4h2)x2+8kx-8=0, 18.解：(1)由已知1AB1=4得2a=4,即a=2. 设A(1y1),B(2,y2）, 因为后=受所以c=E,6=V公-7=厄 -8k -8 a 则+名=3+4状西6=3+4报 所以稀圆C的方程为号+号=1 则IAB1=√I+2·√(x+2)-4 (2)假设存在满足题意的实数入， =46·+2派·个+ 3+4k2 由(1)得A(-2,0),B(2,0. 1 E(m,n)F(m,n),N(xx,yx), 又d= √1+2 则A=(y+2,y),A尼=(m+2,n). 所以SaD=d1AB1=4y6·+2R 因为IANI=入IAEI,由题知点N不与点A,E重合， 3+4k2 所以A=AAE(0<入<1)， 令√1+2k=t,由2≥0，得t≥1， 即(xw+2,yw）=A(m+2,n) 46=46（t≥1)， 所以xy=入m+2入-2，yw=An, 所以S6m=2升2+ 即N(Am+2A-2,An). 因为∠NDE=∠DBF, 易证y=24+在(1，+如)递增， 所以tan∠NDE=tan∠DBF 所以24+片≥3，从面Sm≤5。 t I n I 所以m-Am-2A+21=2m, I入nl 即A-11m+2L。1nl 所以△ABD的面积S的最大值为45 3 I A l I nl =12-m1 化简得A1业=1n1 第20期2版 1入11m2-41 考题预测 因为搭+号-1，所以4-2， 1.C;2.C;3.A;4.C;5.D;6.C. 一8 高考数学第一轮复习第18~21期 所以IPFI=1PFI+2, 第20期3版 从而1PAI+PFI=IPAI+川PFI+2≥IAFI+2, 高考数学一轮总复习达标检测（二十） 又1AF1=√32+（万）2=4， 一、单项选择题 所以IPAI+PFI≥6，因此IPAI+PFI的最小值为6， 1~4 CCAB 5 ~8 CBDD 此时点P在线段AF,与双曲线左支的交点处 提示： 1双曲线兰 7因为直线y=3x+1与双线C:号云-1(0>0.6 =1(a≠0)的焦点在y轴上， a >0)相交，且仅有1个交点， 所以渐近线的斜率6=±L=±万， I al 所以直线=3数+1与双鱼线C号-茶=1a>06> 则渐近线方程为y=±√2x 0)的渐近线y=名平行， 包.根据题意可知，双曲线的标准方程为。二。三1 1 由双曲线的焦距为4，得c=2, a 则有c2=a-3+a-1=4,解得a=4. 3.由题意得b=2a,又c2=b2+a2, 所以双线C的离心。=√+（台） 所以c2=5a2,所以e=5. 8易知直线)=x与函数y=的图象的两交点的坐标为 4.由条件a=1,b=3,得c=a2+6=2, (1,1),(-1,-1), 则1FF21=2c=4, 则旋转后的双曲线两顶点间的距离为 又10P1=2=Rl, √(1+1)2+(1+1)7=22， 所以△PFF2是以P为直角顶点的直角三角形 所以将函数y=文的图象绕原点逆时针旋转牙得到的双 于是得IPF,I2+1PF2I2=1FF212=16. 又由双曲线的定义得IPF,I-lPF2I1=2a=2, 南线的方程为号-号=1 两边平方得IPF1I2+|PF2I2-2IPF,IIPF2I=4, 二、多项选择题 所以1 PE I PE2I=6. 9.CD;10.ABD;11.ACD. 放S5=1 PFM PE,1=之x6=3 提示： 9.由题易知a=5,b=1,c=a+b=2. 5.双曲线x2-my2=1(m>0)的实半轴长a=1, II PF I-I PF II 2a =23, 由双曲线的定义，可得IAF1I-1AF2I=2a=2, I BFI-I BF2 I 2a =2, 但点P在哪一支上并不确定，故(A)错误； 所以IAFI=2+IAF2I,1BFI=2+BF2I, 焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为 则△ABF,的周长为 y=±合=士厅x,故(B)错误 I AF I+I BF1+1 ABI =1 AF2I+I BF2I+6 =1AB1+6=8. 双曲线C的离心岸e=日-后=2，故©)正确： 6由双曲线方程2-苓=1可知a:16:3, 设P(x,y),则IP01=√+了=2+(3x2+3) 故右焦点F(3,0),设左焦点为F1,则F(-3,0). =√3+4x2≥5， 当点P在双曲线左支上运动时， 当x=0时，等号成立， 由双曲线定义知IPFI-IPF1=2, 因为O为FF2的中点， 9 高考数学第一轮复习第18~21期 所以1PF+PF1=12P01≥25，故(D)正确. 故选(C)(D) 10将了+1代人号-苦= 整理得(62-4)x2-8x-4-4b2=0, r4=64-4(b2-4)(-4-462)=0, 由双曲线的光学性质可知，AM平分∠F,AF2, b2-4≠0， 延长FH与AF2交于点E,则AH垂直平分FE, 即点H为FE的中点，又O是FF2的中点， 解得b=5,故(A)正确； 将点P4)代人双由线号-号=1 所以10H1=子1R,E1=0AE1-A,) 得4-号=1可得疗=9 =2IA51-A,)=a=E, 故(C)正确： 即y。=±3，故(B)正确； 对于(D),S四边形AH1F2=S△A12+S△M12 由A(-2,0),A2(2,0),得 =分x6(%1+) =告宁-益=子放0)错误： 易得双曲线的焦距为2c=2√7， =4, 1 则Sa所=2×2e%=3万， 当旦仅当%，即为=±1时，等号成立 又F(-√7,0)，F2(7,0),P(4,±3)， 所以四边形AFNF2面积的最小值为4，故(D)正确. 所以1PFI=√32+8万，1PF21=√32-8万， 故选(A)(C)(D) 所以S,=PE1PEI·sim∠F,PE 三、填空题 123或7；13.写；141 =12sin∠FPF2=3万， 提示： 可得nLF,PR,=车，故(D)正确 12.设F2是双曲线的右焦点， 故选(A)(B)(D 则ON是△PF,F,的中位线， 11.对于(A),由已知可得a=5,b=1, 所以10N1=子1P,1, 所以C的新近线方程为y=±有=±厚，故()正确 1 因为IIPF,I-PF2II=4,IPFI=10, 3 所以1PF2I=14或1PF2I=6,符合题意， 对于(B),设N(0,yw), 所以1OW1=7或IOW1=3. 则0-0=0之，整理得-，+3，=3o, 6、3 13.由题意得，F(-√6,0)，F2(6,0),故1FF21=26, 3 3x0 由题意得号-分=1，解得p=士6， 因为学-后=1，所以后=3+3， 因为P(p,1)在右支上，所以p=6,故P(6,1), 所以-(3+3y)yw+3yx=3yo,解得yw=- 1 所以1PF1=√(26)2+12=5,1PF21=1, Yo 所以点N的坐标为(0，一），放(B)错误： 故eos∠F,PR,=IPE2+PE,I2-EE12 21 PF 1.I PF2 I =25+1-24.1 对于(C),如下图，显然AM为双曲线的切线， 10 -10