第19期 椭圆及其性质-【数理报】2026年高考数学一轮复习学案

6.(15分)已知椭圆E:+号 京=1(a>6>0),椭圆E的短 817分)已知椭圆C号女 尔=1(a>b>0)的左、右顶点 19.(17分)如图2，N(1,0)是圆M:(x+1)2+y2=16内一个 定点，P是圆上任意一点.线段NP的垂直平分线和半径MP相交于 轴长为22，离心率为e= 点Q. 2 .过点M(2,0)与x轴不重合的直线l交 分别为A,B,1AB1=4,离心率为2 (1)当点P在圆上运动时，点Q的轨迹E是什么曲线？并求出其 椭圆E于不同的两点A,B,点A,C关于x轴对称 (1)求椭圆C的方程； 轨迹方程； (1)求椭圆E的方程； (2)设点D为线段AB上的动点，过D作线段AB的垂线交椭圆 (2)过点G(0,1)作直线1与曲线E交于A,B两点，点A关于原 (2)证明：直线BC过定点 C于不同的两点E和F,N为线段AE上一点，IANI=入IAE1,是 点O的对称点为D,求△ABD的面积S的最大值 否存在实数入，使得∠NDE=∠DBF?若存在，求出入的值；若不存 在，请说明理由. 图2 高考数学 轮 总 复 习 17.(15分)已知点F(0,1),直线l:y=4,P为曲线C上任意 达 点，且1PF1是P到1的距离的2 高考数学一轮总复习达标检 行 衣 (1)求曲线C的方程： 测 (2)若经过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于点M,N, 测 线段N的垂直平分线交)轴干点以，证明为定宜 参考答案见下期 本版责任编辑：崔明 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 2025年11月11日·星期二 高考数学 报纸发行质量反馈电话： 数评橘 第19期总第1163期 0351-5271248 第一轮复习 平面三角形与空 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707F)邮发代号：21-284 间四面体的类比 专题辅导 (一) 命题趋势 (1)三角形：三 椭圆及其性质 高考试题的考查形式有三种，一是求椭圆的标准方程，二是根据椭圆的方程研究椭 角形有外接圆，其圆 圆的性质，三是直线与椭圆的联立问题，有时还与向量、三角等知识进行交叉综合 心为外心，外心是各 专题解速 圆锥曲线一直是高考数学的热点内容之一，全面考查圆锥曲线的定义和性质，同时 边垂直平分线的交 考查数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理及创新思维方面的能力，高考中与椭圆有 关的解答题通常是高考的压轴题或者倒数第二题，其思维难度较大，且运算量大 点。 ○湖南胡佐平 四面体：四面体 有外接球，其球心为 考点精析 因为kp= 积公式、直线与椭圆的位置关系，考查运算求解 x1+a' -x1+a 能力 外心，外心是各棱的 考点一、椭圆的定义及其应用 所以knkw=· yi 垂直平分线的交，点。 例1已知R人是精国c号 x a -x+a a2-x 列5巴灯精酒c:导+芳=1a>6>0)的 (2)三角形：三 4=1的两 b2(a2-x2) 个焦点，点M在C上，则ME 1I ME2I的最大 = a2 右焦点为F,点M(1,弓)在C上，且MF1x轴 角形有内切圆，其圆 值为 ) a2-x2 4 (1)求C的方程； 心为内心，内心是各 (A)13 (B)12 (C)9 (D)6 。=4,所以椭圆C的离心率 (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点， 角的平分线的交点 解析：由题得a=3, N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点 内心到各边的距离 则1MF,I+lMF2I=2a=6, e=c= .故选(A). Q,证明：AQ⊥y轴 2 9 为内切圆的半径 所以IMF,IMF,I≤ (IMF 1+MF21)2 =1, 点评：本题主要考查椭圆的标准方程、离心 L 462 2S 解析：(1)由题意知 r=- =9, 率和直线的斜率，考查运算求解能力. a b c 当且仅当IMFI=IMF2I=3时，等号成立 其中S为三角 考点四、直线与椭圆的位置关系 =b2+c2, 故选(C). 形面积，a,b,c为三 点评：本题主要考查椭圆的定义、基本不等 例4已知A0,3)和P3,》 得a=2,b=3,c=1, 为椭圆C: 边长。 式，同时考查运算求解能力. 形以制圆C的方写为芳+号=1 四面体：四面体 考点二、椭圆的标准方程 +京=1(a>b>0)上两点 (2)分析知直线AB的斜率存在. 有内切球，其球心为 例2已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C (1)求C的离心率； 易知当直线AB的斜率为0时，AQ1y轴， 上任意一点P向x轴作垂线段Pp',P'为垂足 (2)若过P的直线1交C于另一点B,且 当直线AB的斜率不为0时， 内心，内心是各二面 则线段PP'的中点M的轨迹方程为 △ABP的面积为9，求1的方程. 设直线AB:x=y+4(t≠0)， 角的平分面的交点 (A)2 y 1, .9 内心到各面距离为 016+ A(x1,y1),B(x2y2),Q(1,n) -=1(y>0) 解析：(1)由题知 x=y+4, 内切球的半径R (B) 16+8=1(y>0) 9 461, 联立方程得 2 3V 4+3=1, R=S,+S,+S, 6*天 (C) =1(y>0) 4 解得=2， 消去x得(32+4)32+24y+36=0,△>0， 其中V为四面 b=3, -24t 36 所以c=√-正=B, 则1+为=3+4=3+4 体的体积，S1,S2,S 所以C的离心率e== 1 因为N为线段FP的中点，F(1,0), 为各面面积。 解析：设M(xo,o),则P(x,2o),因为点P 在曲线C上，所以x+(2yo)2=16(y。>0),即 a 所以N(3,0)由N,Q,B三点共线， (3)三角形：三 角形的三条中线交 后+年=1(>0)，所以线段PP的年点的 2)1PA1=6+(-35, 2 设点B到直线PA的距离为h, 得kw=ko,即2。 5 于一点，称为重心 轨迹方程为￡+4=1()之0)，故选(4) x2-2 5 1-2 重心到顶点的距离 则△ABP的面积为S= -IPA1·h=9, 3 -3y 点评：本题主要考查动点的轨迹方程，考查 为对应中线的2 运算求解能力. 解得h=125 得-：=n-3）,得m=2元”5 5 -3y2 四面体：四面体 考点三、椭圆的几何性质 -y1 易知直线PA:x+2y-6=0, 所以n-y=2x,-5 例3椭圆C: 2 =1(a>b>0)的左 r小x+2y-61=125 -3y2 的四条中线（顶，点与 + 设B(x,y),则 5 5 =2+4-5-1 相对面的重心的连 顶点为A,点P,Q均在C上，且关于y轴对称若 x2,2 = -2ty1y2-3(y1+y2) 线)交于一点，称为 直线AP,AQ的斜率之积为好，则C的离心率为 72+g=1, 2y2+3 重心，重心到顶点的 x=-3, -2t×36+3×24 ( 距离为对应中线的 解得厂x=0, 或 3 (A) (c (D)3 y=-3=-2, =3+4+3+4 =0 2ty2+3 2 所以n=y1,所以AQ⊥y轴. × 解析：由题得A(-a,0),设P(x1y), 所以B(0,-3)或B(-3,-3) 点评：本题考查椭圆的标准方程、直线与椭 则Q(-xy),因为点P,Q均在C上， 3 圆的位置关系，同时考查圆锥曲线中的定值问 所以语+茶=1，即-a 故1y=-3或y= 题，意在考查学生的分析问题和解决问题的能 点评：本题考查椭圆的离心率、三角形的面力以及运算求解能力. 素养专练 数理极 考题预测 3巴知椭园C菩+号=1的左右焦点分别 (A)√5-1 (B)2-1 ◎数理报社试题研究中心 为F1,F2,P为C上一点，则 ( ) (o号 (D) 2 1.若椭圆片+手=1的个焦点为0，-1 C的高率为号 5已知斜棒为2的直线经过椭四号+千-1 则m的值为 () (B)△PF,F2的周长为5 的右焦点F,与椭圆交于A,B两点，则1AB1= (A)5 (B)3 (C)∠F,PF,≤90 (C)4 (D)2 (D)1≤IPFI≤3 x2 32 2.已知R,R,是精圆c:号+兮=1的两个焦 4.已知直线x-5y+3=0经过椭圆C 6P为椭圆6+5=1上任意一点，EF为园 a N:(x-1)2+y2=4的任意一条直径，则P元.P 点，点M在C上，则IMF,IlMF2I的最大值为 ) 存=1(a>b>0)的左焦点E1,交y轴于点M, 的取值范围是」 (A)13 (B)12 交椭圆C于点N.若F,M=2MN,则椭圆C的离心 (C)9 (D)6 率为 参考答案见下期 若切线斜率存在，设切线的斜率为k, 第18期2版参考答案 y2 则切线方程为y-3=k(x-4), +与2+2 1.D;2.D;3.C;4.A;5.BD: 即kx-y-4k+3=0. _k(x1-2)+4,k(-2)+4 6(2￥)：[g2] 所以2k-4+31=I-24+3=2, 61-2 x2-2 √R+1 k2+1 =2h+4 第18期3版参考答案 解得长=员， 4(x1+2-4) 一、单项选择题 所以切线方程为5x-12y+16=0. =2k+-2(+)+4 1~4 BCAC 5~8 ACAD 若切线斜率不存在，切线方程为x=4,满足题意， 4是 二、多项选择题 综上，过点P(4,3)的圆N的切线方程为 9.ABD:10.ACD:11.ABD. 2k+2=44-2.2+4 5x-12y+16=0或x=4, 1+2 1+k2 三、填空题 且切线长为13-01=3. =-1, 12.(x-1)2+(y+1)2=5;13.[4,6];14.35-1. 17.解：(1)根据题意，得点P在圆C外，分两种情况讨论 所以k+k2是定值，且定值为-1. 四、解答题 当直线1的斜率不存在时， 19.解：(1)由题可设圆M的方程为(x-a)2+y2=r2, 15.解：(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F= 过点P(1,2)的直线方程是x=1, r(1-a)2+7=2 0(D2+E2-4F>0). 与圆C:x2+y2=1相切，满足题意： 则{万.3=-1， 解得a=4,r=4 因为圆M为△ABC的外接圆 当直线1的斜率存在时， -a万 所以圆M过点A(0,a),B(-√3a,0),C(√3a,0), 设直线I的方程为y-2=k(x-1), 所以圆M的方程为(x-4)2+y2=16, ra+aE+F=0, rD=0, 即kx-y-k+2=0,因为直线1与圆C相切 (2)由题意知，∠A0B=罗， 所以3a-√3aD+F=0,解得{E=3-a, 所以圆心(0.0)到直线1的距离为2-二=1， 设直线OA的斜率为k(k≠0)， 3a+/3aD+F=0, F=-3a. R2+1 则直线OA的方程为y=kx, 所以圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0. 解得k=子，此时，直线1的方程为3x-4y+5=0. (2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0. 联立红， 所以满足条件的直线1的方程是x=1或3x-4y+5=0 1(x-4)2+y2=16, 。解得x0, y=-3. (2)根据题意，若IAB1=√2 得(1+2)x2-8x=0, 8 所以圆M过定点(0，-3). 则圆心(0,0)到直线m的距离 16.解：(1)选①设圆N的方程为(x-a)2+(y-b)2=2. d=P-(可=婆 解得/0， [=1+R { rl al =r, ra=2, y=0y=1+R 8k 由题意可得{a2+62=2, 解得{b=0, 结合(1)知直线m的斜率一定存在 (2-a)2+(2-b)2=r2, l=2, 设直线m的方程为y-2=n(x-1) 即4) 则圆V的方程为(x-2)2+y2=4. 即nx-y-n+2=0, 又直线0B的斜率为-， 选②.直线mx-y-2m=0恒过(2,0)， 则d=2-号，解得n=1或n=7 而圆N恒被直线mx-y-2m=0(m∈R)平分， n2+1 即) 即mx-y-2m=0恒过圆心，所以圆心为(2,0)， 所以满足条件的直线m的方程是 可设圆N的方程为(x-2)2+y2=2, x-y+1=0或7x-y-5=0. 由题可知C(8,8),(8,-) 由圆N经过A(0,0),得2=4， 18.解：(1)依题意，得直线l:y-4=x-2, 则圆N的方程为(x-2)2+y2=4. 即y=x+2, 因此子-器：脱脱·器 选③.由条件易知C(4,0), 则圆心(0,0)到直线1的距离d=2=2, 8 设圆N的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2- 1 xc 8人=1+R 4F>0), 所以1MN1=24-2=2√2. 由题意可得F=0,且有8+2D+2B=0, (2)依题意，直线的斜率存在且不为零 2 16+4D=0, 设M(x),N(x2),ly-4=k(x-2), 所=++2 2 1 公：8圆的E为+-=u 联立4r-2》·消去，并整理得 x2+y2=4, 即(x-2)2+=4. (1+k2)x2-4k(k-2)x+(2k-4)2-4=0, 当且仅当1k1=1时，等号成立 (2)因为(4-2)2+32=13>4， 所以点P在圆N外. 则+名=(k-2 1+k2 出=(2%-4)2-4 1+k2 又受>0，所以哈的取值范是(0，} 高考数学一轮总复习 (B)圣 角形，则b2的值为 (D) 4 14.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为 8已知椭圆 a+8 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2, 宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节. 达标检测（十九） 活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图1所示，该伞 半焦距为c.在椭圆上存在点P使得 伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面 考试范围：椭圆及其性质 sin∠PF,F,= sin∠PF,E,则椭 夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于 圆离心率的取值范围是 该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e,则e2= ◎数理报社试题研究中心 (A)(2-1,1) (B)[2-1,1) (C)(0,2-1) (D)(0,2-1] 第I卷选择题（共58分) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 9.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F,F2在y轴上，短轴长 1.椭圆x2+4y2=1的焦距为 为2.离心率为 ,过焦点F,作y轴的垂线交椭圆C于P,Q两点，则 图1 (9 (B)5 (C)25 (D)25 四、解答题：本题共5小题，共77分 ( 2者方程片+六-1表示稀，风实数长价取值范呢 32 A)椭圆C的方程为3+x2=) 1反13分)已知国c:号+若-1o>6>0)过点，5,0， (0,2). ( (®)椭圆C的方程为号+y=1 (1)求椭圆C的方程； 高 (A)(5,7) (B)(5,6) (2)倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A,B两点，已知1AB1= 高 考 (C)(6,7) (D)(5,6)U(6,7) 数 (C)1PQ1=23 3 学 3.设椭园C若+y=1(0>1.G:善+y2=1的离心率分别 8,求直线1的-贰方程 (D)△PF,0的周长为43 轮 为e1,e2若e2=5e1,则a= ( ) 10已如箱圆8：号+皆=1的左右焦点分别为5，，左，右顶 考数学一轮 总 (A)23 (B)2 (C)5 (D)6 复 3 点分别为A,A2,且P是椭圆上异于A,A,的点，则 9 达 4设R月为南面C:号+y=1的两个点，点P在C上.老 (A)△PF,F,的周长为4 (B)△PF,F2面积的最大值为5 标 PF·PF=0,则IPF1lPE2I= ( (C)IPA+PA1的最小值为25 检 总复习达标检测 测 (A)1 (B)2 (C)4 (D)5 (D)若△PA,4的面积为2，则点P的横坐标为±号 已知椭圆C:多+=1a>6>0)的离心率为好A4 别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若BA·BA=-1,则C的方 1.已知直线=+m与稻图c:若+号=1，则( 程为 ( (A)若C与l至少有一个公共点，则m≤22 (a后+6=1 (B)若C与1有且仅有两个公共点，则1m1<22 (C)若m=32,则C上到1的距离为5的点只有1个 0号+号-1 D+y1 (D)若m=-√2，则C上到l的距离为1的点只有3个 6.已知直线y=x+1和椭圆x2+2y2=1有公共点，则k的取 值范围是 ( 第Ⅱ卷非选择题（共92分） (A)k<-2 ?或6、2 B)-2<k< 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 或≥ (C)k≤- 12.已知椭圆号+片=1的璃心率为分，则正数m的值为 m .已知直线y+2与椭圆C+冷(u>6>0)交 1B.已知指圆后+若-=1(0<6<2)与：轴正半轴皎丁点有 于A,B两点，线段AB的中点为P(2,1),则= 与y轴正半轴交于点B,点F是椭圆的一个焦点，若△ABF是等腰三高考数学第一轮复习第18~21期 教评柄 答案详解 2025~2026学年 高考数学第一轮复习 第18~21期(2025年11月) 第18期2版 所以切线的斜率太：宁 考题预测 所以切线方程为y-1=之(x-1), 1.D;2.D3.C;4.A;5.BD; 即x-2y+1=0. 6(24)7[3] 5.圆C的方程x2+y2+4y=0可化为x2+(y+2)2=4, 由.C店=0知，圆心到直线的距离为2×巨-2， 2 第18期3版 即2=12+m,即m=0或m=-4. 高考数学一轮总复习达标检测（十八） 2 一、单项选择题 x2+y2-4y-6=0, 6.联立{ 1~4 BCAC 5-8 ACAD 2+y2-6x+8y=0, 提示： 两式相减可得x-2y-1=0, 1.由题意可知，圆O的圆心为O1(1,0),半径r1=1, 所以公共弦所在直线的方程为x-2y-1=0, 圆02的圆心为02(0,2)，半径r2=2, 圆01：x2+y2-4y-6=0可化为 又r2-1<002=5<T1+2, 圆01：x2+(y-2)2=10, 所以圆01和圆02的位置关系是相交 所以圆心为0(0,2)，半径r=√10， 2.圆C的标准方程为(x-1)2+(y-a)2=1, 则圆心0，(0,2)到公共弦的距离d=0-4-1山=5. 圆心为C(1,a),半径r=1, √+4 因为圆C:x2+y2-2x-2ay+a2=0截直线x-2y+1= 故公共弦长d=2√P-=2√0-5=25. 0所得弦长为2， 7.设点M的坐标为(x,y), 所以直线x-2y+1=0过圆心C, 由点M是线段PQ的中点，可得Q(2x-1,2y) 所以1-2a+1=0,解得a=1. 因为点Q在圆上，所以(2x-1)2+(2y)2=4, 3.直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1)， 即(x-2）+y=1 因为12+(1-1)2=1<5， 8.由直线l1的方程是mx-y=0得直线l1过定点A(0,0), 所以点(1,1)在圆C:x2+(y-1)2=5的内部， 直线l2的方程是x+my+4-2m=0, 所以直线与圆C相交. 即(x+4)+m(y-2)=0, 4.圆E:x2+y2-4x+2y=0的圆心为E(2,-1), 所以直线2过定点B(-4,2), 半径r=5, 又m×1+(-1)×m=0,所以l⊥l2, 因为12+12-4×1+2×1=0. 所以C在以AB为直径的圆上， 所以点P在图E上，又r==-2, 1AB1=√(-4)2+22=25， 高考数学第一轮复习第18~21期 由圆的性质知，点C到直线AB的距离的最大值等于圆的 圆心(5,5)到点B的距离为/34，圆的半径为4， 半径，即1AB1=5, 所以1PB1=1P2B1=√34-16=18=32， 故(C)(D)均正确. 所以△ABC面积的最大值为7×25×5=5. 故选(A)(C)(D). 二、多项选择题 11.由实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0, 9.ABD;10.ACD;11.ABD. 可得点(x,y)在圆(x-2)2+(y-1)2=1上，如图2， 提示： 9.对于(A),(1-1)2+(-3)2=9>1, 所以点M在圆C外，(A)对； 对于(B),直线l:(x-2)-my=0, 1234x 易知直线1过定点A(2,0),(B)对； 对于(C),因为(2-1)2+02=1，点A在圆C上， 图2 所以直线l与圆C相交或相切，(C)错； 二表示点(x,y)与坐标原点连线的斜率， 对于(D),当直线I与点M,A连线垂直时，点M到直线l的 设过坐标原点的圆的切线方程为y=kx, 距离最大，且最大值为1MA1=√(1-2)2+(-3-0)2= 0,(D)对 则2=1，解得k=0或6=专 +1 故选(A)(B)(D). 所以÷e[0,],所以(）=÷（任）=0， 10由题意可知，直线AB的方程为子+子=1， 故(A),(B)正确； 即x+2y-4=0, x2+y表示圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的平方， 则圆心(5,5)到直线AB的距离 圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的最大值为|OC1+1, d=15+2x5=41=5>4, 又10C1=22+1下=5， √12+22 5 所以x2+y2的最大值为6+25，故(C)错误； 所以直线AB与圆(x-5)2+(y-5)2=16相离， 易得圆(x-2)2+(y-1)2=1的参数方程为 所以点P到直线极的距离的取值范围是[，5-4， [x=2+cos0, 0为参数， 5+4,因为-4e(01).5+4e(89 Ly =1 sin 0, 所以x+y=2+cos0+1+sin0 所以(A)正确，(B)错误. 过点B作圆的两条切线，切点分别为P,P2, =3+2m(0+平)≤3+厄， 如图1，当点P在切点P,的位置时，∠PBA最小， 故(D)正确， 当点P在切点P2的位置时，∠PBA最大 故选(A)(B)(D). 易知IP1BI=1P2BI, 三、填空题 12.(x-1)2+(y+1)2=5;13.[4,6];14.35-1. 提示： 12.设点M的坐标为(a,1-2a), 因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上， 012346789x 所以点M到两点的距离相等且为半径， 图1 所以√(a-3)2+(1-2a)7=√a+(-2a)=r, 2 高考数学第一轮复习第18~21期 解得a=1,所以M(1,-1),r=5, 所以圆M过定点(0，-3). 所以⊙M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 16解：(1)选①.设圆N的方程为(x-a)2+(y-b)2=2. 13.易知直线y=x+1恒过点P(0,1), rl al=r, a=2, 圆C:(x-2)2+y2=9的圆心为C(2,0),半径r=3. 由题意可得 a2+62=r2, 解得b=0, 当直线经过圆心时，弦长IAB1取得最大值，为2×3=6； l(2-a)2+(2-b)2=r2, r=2, 当直线与PC所在直线垂直时，弦长[ABI取得最小值， 则圆N的方程为(x-2)2+y2=4. 为2×√9-5=4，因此4≤|AB1≤6. 选②.直线mx-y-2m=0恒过(2,0)， 14.如图3，曲线C:x2+y2-6x-2y+9=0是以C(3,1) 而圆V恒被直线mx-y-2m=0(m∈R)平分， 为圆心，1为半径的圆， 即mx-y-2m=0恒过圆心，所以圆心为(2,0)， 可设圆N的方程为(x-2)2+y2=2, M(-1,2 由圆N经过A(0,0),得2=4， 则圆V的方程为(x-2)2+y2=4. 选③.由条件易知C(4,0), x+2y+2=0 设圆N的方程为2+y2+Dx+y+F=0(D+E-4F>0), 图3 8+2D+2E=0, 设M关于直线x+2y+2=0的对称点为H(m,n), 由题意可得F=0,且有 16+4D=0, in-2 m+1 =2, m=-3, 「D=-4. 则 解得 解得 则圆N的方程为x2+y2-4x=0, m,1+2×+2+2=0. ln=-2, LE=0. 2 2 即(x-2)2+y2=4. 即H(-3,-2),连接PH,PC, (2)因为(4-2)2+32=13>4， 则IPMI+IPNI≥IPMI+IPCI-1 所以点P在圆N外 =I PHI +I PCI-1 若切线斜率存在，设切线的斜率为k, ≥1HC1-1=35-1, 则切线方程为y-3=k(x-4), 当且仅当P,H,C三点共线时，等号成立， 即kx-y-4h+3=0. 所以1PM1+1PN1的最小值为35-1. 所以2k-46+31=-26+3L=2, 四、解答题 2+1 √+I 15.解：(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D 解得k=音 +E2-4F>0). 所以切线方程为5x-12y+16=0. 因为圆M为△ABC的外接圆， 若切线斜率不存在，切线方程为x=4,满足题意 所以圆M过点A(0,a),B(-√3a,0),C(3a,0), 综上，过点P(4,3)的圆N的切线方程为 ,a2+aE+F=0, D=0, 5x-12y+16=0或x=4, 所以3a-√3aD+F=0,解得{E=3-a, 且切线长为13-01=3. 3a+/3aD+F=0, F=-3a. 17.解：(1)根据题意，得点P在圆C外，分两种情况讨论： 所以圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0. 当直线的斜率不存在时， (2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0. 过点P(1,2)的直线方程是x=1, 3+y=0, 。解得0， 与圆C:x2+y2=1相切，满足题意； 由 Lx2+y2+3y=0 y=-3. 当直线I的斜率存在时， —3 高考数学第一轮复习第18~21期 设直线的方程为y-2=k(x-1), =-1, 即kx-y-k+2=0,因为直线与圆C相切， 所以k1+k2是定值，且定值为一1. 所以圆心(0,0)到直线1的距离为2-L =1, 19.解：(1)由题可设圆M的方程为(x-a)2+y2=2, 爬+I r(1-a)2+7=2, 解得=子，此时，直线1的方程为3-+5=0 则万.3 解得a=4,r=4, -a∵万 =-1, 所以满足条件的直线1的方程是x=1或3x-4y+5=0. 所以圆M的方程为(x-4)2+y2=16. (2)根据题意，若IAB1=√2， 则圆心(0,0)到直线m的距离 (2)由题意知，LA0B=受. 设直线OA的斜率为k(k≠0)， 2 则直线OA的方程为y=kx, 结合(1)知直线m的斜率一定存在. 「y=kx, 联立 设直线m的方程为y-2=n(x-1), (x-4)2+y2=16, 即nx-y-n+2=0, 得(1+2)x2-8x=0, 则d1-号，解得m=1或m=7 「x= n2+1 「x=0, 1+, 解得 或 所以满足条件的直线m的方程是 y=0 y=1+ x-y+1=0或7x-y-5=0. 18.解：(1)依题意，得直线l:y-4=x-2, 即4e) 即y=x+2, 又直线0B的斜率为-六 则圆心(0,0)到直线1的距离d=2=万， 即叫 所以IMW1=24-2=2√2. (2)依题意，直线1的斜率存在且不为零， 由题可知C(8,8k),D(8,-冬) 设M(x1,y1),N(xy2),y-4=k(x-2), OA·OBOA.OB 因此h0.od =o o0 y-4=k(x-2), 联立 消去y,并整理得 8 x+y2=4, 1 (1+2)x2-4k(k-2)x+(2k-4)2-4=0, 驰=- 8=1+ 则+-是24 同理OB 2 1+k2 里0D=1+P, Y2 所以点 k2 k+k=-2+-2 以发+2张+12+士 +2 (-2)+4,(x2-2)+4 N x1-2 x2-2 当且仅当1k1=1时，等号成立. 4 4 =2k+1-2+-2 又袋>0，所以暖的取值施用是(o,} 4(x1+x2-4) =2k+k-2+)+4 第19期2版 4[- 考题预测 =2k+2-42-4-2.4(k-2+4 1+k2 1+k2 1.B:2G:3.D,4.A,55;6[5,21. 一4 高考数学第一轮复习第18~21期 第19期3版 6.由 y=红+山，得(2+2+4x+1=0, x2+2y2=1, 高考数学一轮总复习达标检测（十九） 因为直线与椭圆有公共点， 一、单项选择题 所以4=16k2-4(2k2+1)≥0， 1~4 BDAB 5~8 BCCA 解得长≤-号或长≥号 提示： 1将椭圆+4=1化为亡+号 7.设A(x1,y),B(x2y2), 1, 4 则a=1,6=分e=尽-6=马 1 则 +=1， 故焦距为2c=√5. 7-k>0, 所以￡+-0. 62 2.由题意可知{k-5>0, 故4=- 2(x1+x 7-k≠k-5, 1一2 a2(y1+2) 解得5<k<7且k≠6， 由题意可得，+有=4,1+为=2二=- 1 x1-X2 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 3由题意得6：县又=e,8>1, 则宁子所以宁 a=2 8.由 c 所以行=。可-分解得a:25(负位合去) sin LPF F2 sinLPF2F' a sin∠PF,F_IPF,IIPF,I 4.因为PF·PF=0,所以∠F,PF2=90°， 得C a -sinPFF,=I PFT=2a-1 PFT' 由椭圆方程可知，c2=5-1=4→c=2, 得1E,1=2e又1pR1ea-ca+o, 所以1PF,12+1PF212=1F,F212=42=16, 易知IPF1I+PF21=2a=25, 所以a-c≤2a<a+c, a c IPF 12+1 PF2 12+21 PF 1.I PF2 I 所以a2-c2<2ac<(a+c)2, =16+21PF1I·IPF21=20, 故e2+2e-1>0,又ee(0,1), 所以I PF I.1 PF2I=2. 所以e∈(2-1,1). 5.由题意得，离心率e=二= 二、多项选择题 a 9.ACD:10.BC:11.BCD. 解得=则=， 提示： 因为A,A2分别为C的左、右顶点， 所以A1(-a,0),A2(a,0), 9已知得，号=6=1， 又B为C的上顶点，所以B(0,b), 又a2=2+c2,故a2=3. 所以BA=(-a,-b),BA=(a,-b), 因为椭圆的焦点在y轴上， 因为BA·BA=-1,所以-a2+2=-1, 所以椭圆C的方程为子+？=1. 将=802代入，解得。2=9，公=8， 易知1PQ1=2 225 做精西C的方轻为片+专=1 △PF2Q的周长为4a=45. 5 高考数学第一轮复习第18~21期 故选(A)(C)(D). x-2V② 10.由题意得a=2,b=3,c=1,F(-1,0),F2(1,0), 如图1所示. 图2 0 因此C上到l的距离为1的点只有3个，故(D)正确. 故选(B)(C)(D). 三、填空题 图1 对于(A),IPFI+lPF2I=2a=4, 2是或8；1B.25；1435-5 故△PF,F2的周长为4+2=6，故(A)错误； 提示： 对于(B),根据椭圆的性质可知， 12.当0<m<2时，焦点在x轴上，此时a2=2,b2=m, △PE,面积的最大值为行×2×厅=厅， 所以c2=a2-b2=2-m, = 1 故(B)正确； 所以e2三c2=2m=41 2 对于(C),连接P0,易知1PA+PA1=21Pd1, 解得m= 子行合题意： 设P(2cos0,√5sin0), 当m>2时，焦点在y轴上，此时a2=m,b2=2, 则1pd1=√4cos20+3sim20=√3+cos20≥5， 所以c2=a2-b2=m-2, 所以1PA+PA1=25,故(C)正确： 3=m-2二4， 对于(D因为5=宁×441X1=211=2, 所以e2= m 所以1=1，因为点P在椭圆上，所以至+上 解得m= ，作合题意 4+3=1, 解得x。= 26,故(D)错误. 放正数m的值是子或号 3 13.由题可得A(b,0),B(0,2), 故选(B)(C) 因为0<b<2,所以a=2,c=√4-b. [y =x+m, 11.联立 因为△ABF是等腰三角形， x2 2 6+2=1 所以由椭圆的性质可知F是椭圆的下焦点， 得4x2+6mx+3m2-6=0,则4=12(8-m2). 所以1BFI=IABI,即2+√4-b=4+, 令4=12(8-m2)≥0，则-22≤m≤22， 解得62=23. 故(A)错误； 14.因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上， 令4=12(8-m2)>0,则1m1<22,故(B)正确； 由图3可知，椭圆的短半轴长b=2, 令l与C相切，则4=12(8-m2)=0, 解得m=±22，直线y=x+32与直线y=x-22的 距离4=13五-2)1=5，故(0)正确： 2 图3 如图2，直线y=x-√2与直线y=x-22和直线y=x 在△ABC中，由正弦定理得 2a 4 间的距离均为1， in75°=sin60, 6 高考数学第一轮复习第18~21期 6 -8m 4 解得a=2+ 则1+为=2m2+h=2m2+ 4=(8m)2-4×4(2m2+1）=16(2m2-1)>0, 则e2=1 =35-5 所以m2>2 1 四、解答题 15解：1）因为椭圆c号+号=1(a>6>0)过点 直线BC的方程为y+y1= 2+(x-) X2-x1 a 62 由椭圆的对称性知，若存在定点，则必在x轴上· (5,0),(0,2),所以a=5,b=2, 当y=0时， 所以稀圆C的方程为号+兰=1 x=3+ y2+y1 (2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,少1)，B(x2,y2). =5为+2当 [y =x+m, 2+y1 由{ 消去y得5x2+6mx+3m2-6=0, =(my+2)+(m5+2)y 3+2=1 y2+y1 则4=36m2-20(3m2-6)>0,得m2<5, =2m5+2(+2) y2+y1 由一元二次方程根与系数的关系得 6=36 2myy+2 名+为2=- y1+y2 51 4 所以1AB1=2·√（x1+2)2-4xx 2m2+1+2 -8m -4.3m2-6 2m2+1 5 =-1+2=1, -45.5-m_8 即直线BC过定点(1,0)， 5 5 17.(1)解：设P(x,y),由已知得 解得m2=1,即m=±1，符合题意 所以直线1的方程为y=x±1， 屋+0-了=1y-41, 即x-y+1=0或x-y-1=0. 2 6解因为精圆公若·号=1(a>6>0的复轴 整理得号+片-山， 放自线C的方型为片+号=1 长为22，离心率为e=气， (2)证明：由(1)得， 2b=22, 经过点F且斜率为k(k≠O)的直线方程为y=kx+1, 则{e=￡=巨解得{ a2=4, ry kx 1, a 2 b2=2. 联立{ —工g4+3±6一。一 2 a2-b2=c2, 所以框周上的方程为片+号=1 4=36k2+4×9×(4+3k2)=144(1+2)>0恒成立， 设M(x1,y),N(2,2), (2)证明：设直线l的方程为x=my+2, 则1MW1=1+11-2 A(x1,y1),B(x22),则C(x1,-y1), 22 =√个+×4+3级 联立 4 =1, 2 整理得(2m2+1)y2+8my+4=0, =12(1+2) =my+2, 4+362, 7 高考数学第一轮复习第18~21期 6k x1+x2=- 4+3k2, 所以出分解得X=2(合)或A= 3 设线段MN的中点为T(xo,yo), 所以存在A=子，使得∠DE=∠DBR 则。=当十西三-于 3k 4+3g%=k0+1= 4 2 4+3k2 19.解：(1)由题意得IQM1+lQWI=IQM1+1QPI= 易知线段MN的垂直平分线的斜率为-石， 1 I MPI =4>2 =I MNI, 根据椭圆的定义得点Q的轨迹E是以M,N为焦点的椭圆， 所以线段MN的垂直平分线的方程为 所以a=2,c=1,所以b=3. 4 故所求轨迹方程为号+号：山 4y2 令x=0,得y=4即(0十) (2)由题意知Sam=25am=2×子XAB1·d= 所以1FH川=1-4+3 1 3(1+k2) 4+3k2, d1AB1(d为，点O到直线l的距离) 3(1+2) 设l的方程为y=kx+1, 所以=子 4+32 1 [y kx +1, 联立方程{ 4+32 消去y整理得 4+3=1 所以为定直 (3+4h2)x2+8kx-8=0, 18.解：(1)由已知1AB1=4得2a=4,即a=2. 设A(1y1),B(2,y2）, 因为后=受所以c=E,6=V公-7=厄 -8k -8 a 则+名=3+4状西6=3+4报 所以稀圆C的方程为号+号=1 则IAB1=√I+2·√(x+2)-4 (2)假设存在满足题意的实数入， =46·+2派·个+ 3+4k2 由(1)得A(-2,0),B(2,0. 1 E(m,n)F(m,n),N(xx,yx), 又d= √1+2 则A=(y+2,y),A尼=(m+2,n). 所以SaD=d1AB1=4y6·+2R 因为IANI=入IAEI,由题知点N不与点A,E重合， 3+4k2 所以A=AAE(0<入<1)， 令√1+2k=t,由2≥0，得t≥1， 即(xw+2,yw）=A(m+2,n) 46=46（t≥1)， 所以xy=入m+2入-2，yw=An, 所以S6m=2升2+ 即N(Am+2A-2,An). 因为∠NDE=∠DBF, 易证y=24+在(1，+如)递增， 所以tan∠NDE=tan∠DBF 所以24+片≥3，从面Sm≤5。 t I n I 所以m-Am-2A+21=2m, I入nl 即A-11m+2L。1nl 所以△ABD的面积S的最大值为45 3 I A l I nl =12-m1 化简得A1业=1n1 第20期2版 1入11m2-41 考题预测 因为搭+号-1，所以4-2， 1.C;2.C;3.A;4.C;5.D;6.C. 一8 高考数学第一轮复习第18~21期 所以IPFI=1PFI+2, 第20期3版 从而1PAI+PFI=IPAI+川PFI+2≥IAFI+2, 高考数学一轮总复习达标检测（二十） 又1AF1=√32+（万）2=4， 一、单项选择题 所以IPAI+PFI≥6，因此IPAI+PFI的最小值为6， 1~4 CCAB 5 ~8 CBDD 此时点P在线段AF,与双曲线左支的交点处 提示： 1双曲线兰 7因为直线y=3x+1与双线C:号云-1(0>0.6 =1(a≠0)的焦点在y轴上， a >0)相交，且仅有1个交点， 所以渐近线的斜率6=±L=±万， I al 所以直线=3数+1与双鱼线C号-茶=1a>06> 则渐近线方程为y=±√2x 0)的渐近线y=名平行， 包.根据题意可知，双曲线的标准方程为。二。三1 1 由双曲线的焦距为4，得c=2, a 则有c2=a-3+a-1=4,解得a=4. 3.由题意得b=2a,又c2=b2+a2, 所以双线C的离心。=√+（台） 所以c2=5a2,所以e=5. 8易知直线)=x与函数y=的图象的两交点的坐标为 4.由条件a=1,b=3,得c=a2+6=2, (1,1),(-1,-1), 则1FF21=2c=4, 则旋转后的双曲线两顶点间的距离为 又10P1=2=Rl, √(1+1)2+(1+1)7=22， 所以△PFF2是以P为直角顶点的直角三角形 所以将函数y=文的图象绕原点逆时针旋转牙得到的双 于是得IPF,I2+1PF2I2=1FF212=16. 又由双曲线的定义得IPF,I-lPF2I1=2a=2, 南线的方程为号-号=1 两边平方得IPF1I2+|PF2I2-2IPF,IIPF2I=4, 二、多项选择题 所以1 PE I PE2I=6. 9.CD;10.ABD;11.ACD. 放S5=1 PFM PE,1=之x6=3 提示： 9.由题易知a=5,b=1,c=a+b=2. 5.双曲线x2-my2=1(m>0)的实半轴长a=1, II PF I-I PF II 2a =23, 由双曲线的定义，可得IAF1I-1AF2I=2a=2, I BFI-I BF2 I 2a =2, 但点P在哪一支上并不确定，故(A)错误； 所以IAFI=2+IAF2I,1BFI=2+BF2I, 焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为 则△ABF,的周长为 y=±合=士厅x,故(B)错误 I AF I+I BF1+1 ABI =1 AF2I+I BF2I+6 =1AB1+6=8. 双曲线C的离心岸e=日-后=2，故©)正确： 6由双曲线方程2-苓=1可知a:16:3, 设P(x,y),则IP01=√+了=2+(3x2+3) 故右焦点F(3,0),设左焦点为F1,则F(-3,0). =√3+4x2≥5， 当点P在双曲线左支上运动时， 当x=0时，等号成立， 由双曲线定义知IPFI-IPF1=2, 因为O为FF2的中点， 9 高考数学第一轮复习第18~21期 所以1PF+PF1=12P01≥25，故(D)正确. 故选(C)(D) 10将了+1代人号-苦= 整理得(62-4)x2-8x-4-4b2=0, r4=64-4(b2-4)(-4-462)=0, 由双曲线的光学性质可知，AM平分∠F,AF2, b2-4≠0， 延长FH与AF2交于点E,则AH垂直平分FE, 即点H为FE的中点，又O是FF2的中点， 解得b=5,故(A)正确； 将点P4)代人双由线号-号=1 所以10H1=子1R,E1=0AE1-A,) 得4-号=1可得疗=9 =2IA51-A,)=a=E, 故(C)正确： 即y。=±3，故(B)正确； 对于(D),S四边形AH1F2=S△A12+S△M12 由A(-2,0),A2(2,0),得 =分x6(%1+) =告宁-益=子放0)错误： 易得双曲线的焦距为2c=2√7， =4, 1 则Sa所=2×2e%=3万， 当旦仅当%，即为=±1时，等号成立 又F(-√7,0)，F2(7,0),P(4,±3)， 所以四边形AFNF2面积的最小值为4，故(D)正确. 所以1PFI=√32+8万，1PF21=√32-8万， 故选(A)(C)(D) 所以S,=PE1PEI·sim∠F,PE 三、填空题 123或7；13.写；141 =12sin∠FPF2=3万， 提示： 可得nLF,PR,=车，故(D)正确 12.设F2是双曲线的右焦点， 故选(A)(B)(D 则ON是△PF,F,的中位线， 11.对于(A),由已知可得a=5,b=1, 所以10N1=子1P,1, 所以C的新近线方程为y=±有=±厚，故()正确 1 因为IIPF,I-PF2II=4,IPFI=10, 3 所以1PF2I=14或1PF2I=6,符合题意， 对于(B),设N(0,yw), 所以1OW1=7或IOW1=3. 则0-0=0之，整理得-，+3，=3o, 6、3 13.由题意得，F(-√6,0)，F2(6,0),故1FF21=26, 3 3x0 由题意得号-分=1，解得p=士6， 因为学-后=1，所以后=3+3， 因为P(p,1)在右支上，所以p=6,故P(6,1), 所以-(3+3y)yw+3yx=3yo,解得yw=- 1 所以1PF1=√(26)2+12=5,1PF21=1, Yo 所以点N的坐标为(0，一），放(B)错误： 故eos∠F,PR,=IPE2+PE,I2-EE12 21 PF 1.I PF2 I =25+1-24.1 对于(C),如下图，显然AM为双曲线的切线， 10 -10