第18期 圆的方程及点、线、圆的位置关系-【数理报】2026年高考数学一轮复习学案

17.(15分)已知圆C的方程为x2+y2=1. : 18.(17分)在平面直角坐标系x0y中，Q(2,0),过点P(2,4)作 19.(17分)已知圆M与直线3x-√7y+4=0相切于点(1，N7), (1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线1的方程； 直线1与圆0：x2+y2=4交于不同的两点M,N 圆心M在x轴上 (2)直线m过点P(1,2),且与圆C交于A,B两点，若IAB1= (1)若直线1的斜率为1，求IMN1; (1)求圆M的方程： 2,求直线m的方程. (2)设直线QM,QN的斜率分别是k,k2,探索k+k2是不是定 (2)过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A,B两点，O 值，若是，求出该定值，若不是，说明理由 为坐标原点，直线OA,0B分别与直线x=8相交于C,D两点，记 MB.△0cD的面积分别是S,S·求令的取值 高考数学一轮总复习达标检测 高考数学一轮总复习达标检测 参考答案见下期 本版责任编辑：崔明 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 数评橘 2025年11月4日·星期二 高考数学 报纸发行质量反馈电话： 第 18期总第1162期 0351-5271248 第一轮复习 2025~2026学年 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F)邮发代号：21-284 高考数学编辑计划 专题辅导 第1期集合与常用逻 命题趋势 辑用语 第2期 不等关系与基 圆的方程及 1.高考中主要考查结合直线的方程用几何法或待定系数法确定 本不等式 圆的标准方程及一般方程，利用圆的性质求动点的轨迹方程，直线与 第3期 一次不 式及其解法 点、线、圆的位置关系 圆、圆与圆的位置关系等问题，其中含参数问题为命题热，点，属于基 础题，一般以填空题、选择题的形式考查，难度不大 第4期函数及其表 2常考内容：圆的方程，与圆有关的动，点的轨迹，直线与圆的位置关系等。 示、函数的基本性质 第5期基本初等函数 专题解读 3.从能力要求看，主要考查函数与方程的思想、数形结合思想以 (幂、指、对数函数)、函 及分析问题与解决问题的能力 数与方程 4.预计2026年对本部分的考查不变. ©四川蒋兆波 第6期 导数的概念与 运算 解析：如右图， 点评：本题考查直线与圆的位置关系、等差 第7期导数在研究函 考点精析 x2+y2-4x-1 0 中项，意在考查学生的逻辑思维能力和运算求 数中的应用 第8期函数与导数综 考点一、与圆有关的位置关系及其应用 得(x-2)2+y2=5, 解能力. 所以圆心坐标为(2,0) 例1圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线 考点四、直线与圆的综合问题 第9期三角函数的概 x-y+2=0的距离为 半径r=5 例6抛物线C的顶点为坐标原点0，焦点在 念、公式及三角恒等变 换 (A)2 (B)2 (C)3 (D)32 所以圆心到点(0， 2)的距离为x轴上，直线l:x=1交C于P,Q两点，且0P1 第10期三角函数的 解析：化圆的方程为标准方程得(x-1)2+(y √(2-0)2+(0+2)2=22，由于圆心与点(0，OQ.已知点M(2,0),且⊙M与1相切. 图象与性质 +3)2=10,所以该圆的圆心(1，-3)到直线x-y 5 (1)求C,⊙M的方程； 第11期平面向量与 -2)的连线平分角a&,所以sing=' +2=0的距璃为1-3》+21=。=32. 252万 (2)设A1,A2,A3是C上的三个点，直线 解三角形 12+(-1)2 2 1 A,42,A,4,均与⊙M相切.判断直线A24,与⊙M 第12期复数与三角 点评：本题考查圆的标准方程、点到直线的 4 ,所以eos号=，所以sina=2sin号 6 的位置关系，并说明理由 函数、解三角形、平面向 量综合 距离公式，考查运算求解能力. 15 解析：(1)由题可设抛物线C:y2=2x(p> 故选(B) 第13期数列的概念 4 4 例2设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于 0),P(1,o),Q(1,-o),因为0P10Q, 等差与等比数列 y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有 点评：本题主要考查直线与圆的位置关系， 所以0p.00=1-y6=1-2p=0, 第14期数列综合问 两条直线的夹角，同角三角函数的基本关系，二 题（数列求和、递推数列 公共点，则a的取值范围是 即2p=1,所以抛物线C的方程为y2=x 解析：根据题意，点A(-2,3)关于直线y= 倍角的正弦公式，考查数形结合思想以及运算 等) 又点M(2,0),且⊙M与直线1：x=1相切， 第15期空间几何体 a的对称点为'(-2,2a-3), 求解能力， 所以半径为1， 及点、线、面位置关系 考点三、圆的弦长问题 故⊙M的方程为(x-2)2+y2=1 第16期空间向量与 所以直线A'B的方程为y=3 -2x+a, 立体几何 例4已知直线ax+y-3a-4=0与圆0： (2)设A1(x1y1),A2(x2y2),A(x3,y3), 第17期直线与方程 即(a-3)x+2y-2a=0. x2+y2=6x+8y交于A,B两点，则1AB1的值 当x1=2时，直线AA2的方程为x=1 第18期圆的方程及 圆(x+3)2+(y+2)2=1的圆心坐标为 为 或x=3, 点、线、圆的位置关系 (-3,-2),半径为1， (A)25(B)50(C)5 (D)10 若直线A,42的方程为x=1, 第19期 椭圆及其性 因为直线A'B与圆(x+3)2+(y+2)2=1有 解析：圆0的标准方程为(x-3)2+(y 根据对称性不妨设A(1,1), 公共点， 则过A,与⊙M相切的另一条直线方程为 第20期 双曲线及其 4)2=25,即圆心0(3,4)，半径为5，又因为直线 性质 所以圆心(-3，-2)到直线A'B的距离 ax+y-3a-4=0即a(x-3)+y-4=0过 y=1, 第21期抛物线及其 d=-3(a-3)-4-2a≤1， 定点(3,4)，所以该直线过圆心，AB为直径，则 此时该直线与抛物线只有一个交点 性质 √/(a-3)2+22 1AB1=10,故选(D). 即不存在A,不符合题意； 第22期解析几何 第23期计数原理、排 即(5-5a)2≤(a-3)2+22,解得 点评：本题主要考查圆的方程、直线与圆的 若直线AA2的方程为x=3, 3 列组合、二项式定理 位置关系，考查学生的运算求解能力 根据对称性不妨设A(3,3),A,(3,-√3)， 第24期概率、离散型 之，所以实数a的取值范围是[兮多】 例5已知b是a,c的等差中项，直线ax+by 则过A,与⊙M相切的直线A,4的方程为 随机变量及其分布列 点评：本题主要考查直线与圆的位置关系， +c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点， 第25期统计与统立 y3= 3(x-3), 案例 点到直线的距离公式，考查数形结合思想以及 则IABI的最小值为 ( 1 3 第26期第-轮综合复 运算求解能力 1 (A)1(B)2 (C)4 (D)25 又k=二 习 -品+为万+为 考点二、圆的切线问题 解析：根据题意有2b=a+c,即a-2b+c 第2744期：专项提分 解得y3=0,x3=0,即A(0,0), =0,所以直线ax+by+c=0过点M(1,-2) (合刊) 例3过点(0，-2)与圆x2+y2-4x-1=0相 此时直线AA3与直线AA3关于x轴对称， 第4552期：满分冲刺 设圆x2+y2+4y-1=0的圆心为C,连接CM 切的两条直线的夹角为a,则sin= 所以直线A,A,与⊙M相切. 合刊) 则AB⊥CM时，IABI最小，将圆的方程化为x 当x1≠x2时，直线A1A2的方程为y-y= (A)1 (B)5 4 +(y+2)2=5,则C(0,-2),所以IMC1=1, (C)10 (D)6 所以IABI的最小值为2√5-MC1下=4， 2-(x-x）,即y= y+2y1+y32 4 4 故选(C) (下转第2版) 2 素养专练 数理极 (上接第1版) 12+y2 考题预测 4.已知直线2x+y+a=0与圆C:x2+(y 1)2=4相交于A,B两点，且△ABC为等边三角形， 由直线AA,与⊙M相切得 y1+y2 ◎数理报社试题研究中心 则实数a的值为 () 1 +1 1.圆心为(1,1)，且过原点的圆的方程是 (A)-4或2 (B)-2或4 =1,化简得2y1y2+(x1-1)x2-x1+3=0, ( (C)-1±3 (D)-1±√6 同理，由直线A,4,与⊙M相切得 (A)(x-1)2+(y-1)2=1 5.（多选)已知圆M:x2+y2-6y+5=0,圆V: 2yy3+(x1-1)x3-x1+3=0. (B)(x+1)2+(3+1)2=1 x2+y2+2y-8=0,直线1：3x-4y+m=0,则下 因为方程2yy+(x1-1)x-x1+3=0同 (C)(x+1)2+(y+1)2=2 时经过点A2和A, 列说法正确的是 () (D)(x-1)2+(y-1)2=2 所以直线A,A,的方程为 (A)圆N的圆心为(0,1) 2yy+(x1-1)x-x1+3=0, 2.已知P是圆M:x2+(y-3)2=4上的动点， (B)圆M与圆N相交 点M到直线A,4,的距离为 则P到直线l:5x-y-3=0的最短距离为 (C)当圆M与直线1相切时，m=2 12(x1-1)-x1+31-1x1+11 () (D)当m=7时，圆M截直线l所得的弦长为 c=1. √4+(x,-1)√(x,+1) (A)5 (B)3 25 所以直线A,4,与⊙M相切 (C)2 (D)1 6.已知点P(1,2)为圆x2+y2+x-4y+m=0外 综上所述，若直线A,42,A4均与⊙M相 3.已知直线ax-y+1=0(a∈R)是圆C:(x 切，则直线A,A,与⊙M相切. 一点，则实数m的取值范围是 1)2+(y-2)2=4的一条对称轴，过点A(-2, 点评：本题主要考查抛物线的定义与几何性 7.设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于 -a)向圆C作切线，切点为B,则IAB1= 质、直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关 y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有 系、点到直线的距离公式以及对抛物线方程和圆方 公共点，则a的取值范围是」 程的求解，意在考查学生的逻辑思维能力、转化与 (A)6 (B)√o 化归能力以及方程思想的应用. (C)14 (D)3N2 参考答案见下期 第17期2版参考答案 2x+5y-16=0. 17.解：(1)因为边AC上的高BE所在的直线方程为 =2(÷+号) 1.D:2.D:3.C;4.C:5.BD: x+y-6=0 6.6x-y-6=0:7.25. 所以边AC所在直线的斜率为1， ≥2x2日×g=4 所以边AC所在的直线方程为y-1=x+1, 当且仅当a=b=3时，等号成立， 第17期3版参考答案 即x-y+2=0. 此时直线（的方程为x+y-3=0, 一、单项选择题 因为边AB上的中线CM所在的直线方程为 1~4 AABC 5 ~8 ABDC 4x-5y+6=0, 9嘉黛化-2以 二、多项选择题 联60。 消去y得x2-5x+4=0,求得交点为(1,1)和(4,4) 9.ABC;10.ABD:11.AD. ly=-2. 此时y=f代x-3)在区间(1,4)上的图象在直线y=x的 三、填空题 所以C(-4,-2). 下面 2.1:138,专：4（号号） (2)设B(x,o),因为M为AB的中点， 若f(x-3)≤x恒成立，则m的最大值为4. 所以的坐标为(，，） (2)解：设曲线上关于直线y=x的对称点为A(x1,少) 四、解答题 和B(x2,y2),线段AB的中点M(x,), 15.解：(1)由题意知，直线1的斜率存在 应4x-5×+6:0. 直线AB的方程为y=-x+b. 设直线的方程为y=(x+3)+4, 2 2 其在：转y销上的酸距分别是-专-3,3+4， +%-6=0, 6 已知，得×(3+4)(-÷-3=3。 解得。=3所以603,3。 得x2+(2t+3)x+(t+1)2-b=0, Lyo =3, 4=(2t+3)2-4[(t+1)2-b]=4t+5+46>0,(*) 所以直线C的方混为y-3=:仁号×x-). 所以刘+=-2-3，。=-2+3， 2 故直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0. 化简得5x-7y+6=0. (2)设直线1在y轴上的截距为b, 18解：(1)设直线1的方程为六+六=1(a>0,6>0), 为=-0+b=2+3+6 2 则直线1的方程为y=名+6， 又因为AB的中点在直线y=x上， 因为直线过点M2,.所以子+ =1. 所以y。=x0,得b=-2t-3, 其在x轴上的截距是-6b, 代人()式得1<-子 由已知，得7×1-66·b1=3,解得6=±1， +≥2√层即1≥2层时≥4 所以直线l的方程为 当且仅当子==宁， 即：的取值范围是(×，一子) x-6y+6=0或x-6y-6=0. 16.解：(1)由题得，对角线AC的中点坐标为(1,3)， 即a=4,b=2时，等号成立 (3)证明：设P的坐标为(。，-)月 所以对角线BD的中点坐标也是(1,3). 所△408的面积5=。b有最小值4， 过点P的切线方程为+=6(x-Q), 设.有学2=1，之分=3解行 此时直线的方程是年+之=1， y=(x+t+1)2, 所以平行四边形ABCD的顶点D的坐标为(5,7). 则由 即x+2y-4=0. +子=kx-). (2)根据题意，直线AB的斜率k:=一3-(-=乞 -1-4 2)()知Aa,0).B06a>0b>02+=l 得2+[2(：+1)-x+(+1)2+6a+子=0. 则△ABC的边AB上的高所在直线的斜率为-5， 2 所以IMA1MB1=1M1M正1=-M.ME 于是有y-2=-号x-3), =-(a-2,-1)·(-2,b-1) 所以4=[2：+)--4[+1)2+a+4] =2(a-2)+b-1=2a+b-5 =k2-4(t+1+a)k-1, 即2x+5y-16=0. 所以△ABC的边AB上的高所在直线的方程为 =(a+(名+古)-5 直线l1,2的斜率k和k2是方程2-4(t+1+a)k 1=0的两根，则k,·k2=-1,所以1上2 (A)(x-3）)°+2=1 (B)2+(-3)）°=4 动点，P为直线x+2y+2=0上的一个动点，则1PM1+1PW1的最 高考数学一轮总复习 小值为 达标检测（十八） (c+(-=1 (D)(x-3)+=4 四、解答题：本题共5小题，共77分 8.已知直线，：mx-y=0(m∈R)过定点A,直线l2:x+my+ 15.(13分)已知△ABC,A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其 考试范围：圆的方程及点、线、圆的位置关系 4-2m=0过定点B,l,与l2的交点为C,则△ABC面积的最大值为 中a>0,圆M为△ABC的外接圆： (1)求圆M的方程； ◎数理报社试题研究中心 (A)10 (2)当α的值变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由. (B)10 第I卷选择题（共58分） (C)2√5 (D)5 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 1.圆01：x2+y2-2x=0和圆02：x2+y2-4y=0的位置关系 9.已知点M(1,-3),直线1：x-my-2=0和圆C:(x-1)2+ 是 ( y2=1,则 ( (A)相离 (B)相交 (A)点M在圆C外 (C)外切 (D)内切 (B)直线1过定点(2,0) 2.若圆C:x2+y2-2x-2ay+a2=0截直线x-2y+1=0所 (C)直线1与圆C相交 高 得弦长为2，则a= ( ) (D)点M到直线1的距离的最大值为I0 高 考 (A)-1 (B)0 10.已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4,0), 学 (C)1 (D)2 B(0,2),则 () 考数学 轮 3.直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置 (A)点P到直线AB的距离小于10 轮 总 关系是 ( ) (B)点P到直线AB的距离大于2 16.(15分)已知圆N经过点A(0,0),B(2,2),且 总 复 9 (A)相交 (B)相切 (C)当∠PBA最小N时，IPBI=32 (1)求圆N的方程； 达 (C)相离 (D)不确定 (D)当∠PBA最大时，IPBI=32 (2)求过点P(4,3)的圆N的线方程，并求切线长 复习达 标 4.过点P(1,1)作圆E:x2+y2-4x+2y=0的切线，则切线方 11.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,则下列说 从下列三个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答. 标 检 测 程为 ) 法正确的是 ( ①与y轴相切； 检 测 (A)x+y-2=0 ()之的最大值为号 ②圆N恒被直线mx-y-2m=0(m∈R)平分； (B)2x-y-1=0 ③过直线x+4y-4=0与直线x-2y-4=0的交点C. (C)x-2y+1=0 (B)￥的最小值为0 (D)x-2y+1=0或2x-y-1=0 (C)x2+y2的最大值为5+2 5.已知直线x-y+m=0与圆C:x2+y2+4y=0相交于A,B (D)x+y的最大值为3+2 两点，若C.c=0,则m的值为 ( (A)-4或0 (B)-4或4 第Ⅱ卷非选择题（共92分）》 (C)0或4 (D)-4或2 6.圆01：x2+y2-4y-6=0与圆02：x2+y2-6x+8y=0的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 公共弦长为 ( ) 12.设点M在直线2x+y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M (A)5 (B)√0 上，则⊙M的方程为 (C)25 (D)35 13.若直线y=kx+1与圆C:(x-2)2+y2=9相交于A,B两 7.已知点P(1,0),点Q是圆x2+2=4上的一个动点，则线段 点，则1AB1的取值范围是 PQ的中点M的轨迹方程是 ( ) 14.已知M(-1,2),N是曲线C:x2+y2-6x-2y+9=0上的高考数学第一轮复习第18~21期 教评柄 答案详解 2025~2026学年 高考数学第一轮复习 第18~21期(2025年11月) 第18期2版 所以切线的斜率太：宁 考题预测 所以切线方程为y-1=之(x-1), 1.D;2.D3.C;4.A;5.BD; 即x-2y+1=0. 6(24)7[3] 5.圆C的方程x2+y2+4y=0可化为x2+(y+2)2=4, 由.C店=0知，圆心到直线的距离为2×巨-2， 2 第18期3版 即2=12+m,即m=0或m=-4. 高考数学一轮总复习达标检测（十八） 2 一、单项选择题 x2+y2-4y-6=0, 6.联立{ 1~4 BCAC 5-8 ACAD 2+y2-6x+8y=0, 提示： 两式相减可得x-2y-1=0, 1.由题意可知，圆O的圆心为O1(1,0),半径r1=1, 所以公共弦所在直线的方程为x-2y-1=0, 圆02的圆心为02(0,2)，半径r2=2, 圆01：x2+y2-4y-6=0可化为 又r2-1<002=5<T1+2, 圆01：x2+(y-2)2=10, 所以圆01和圆02的位置关系是相交 所以圆心为0(0,2)，半径r=√10， 2.圆C的标准方程为(x-1)2+(y-a)2=1, 则圆心0，(0,2)到公共弦的距离d=0-4-1山=5. 圆心为C(1,a),半径r=1, √+4 因为圆C:x2+y2-2x-2ay+a2=0截直线x-2y+1= 故公共弦长d=2√P-=2√0-5=25. 0所得弦长为2， 7.设点M的坐标为(x,y), 所以直线x-2y+1=0过圆心C, 由点M是线段PQ的中点，可得Q(2x-1,2y) 所以1-2a+1=0,解得a=1. 因为点Q在圆上，所以(2x-1)2+(2y)2=4, 3.直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1)， 即(x-2）+y=1 因为12+(1-1)2=1<5， 8.由直线l1的方程是mx-y=0得直线l1过定点A(0,0), 所以点(1,1)在圆C:x2+(y-1)2=5的内部， 直线l2的方程是x+my+4-2m=0, 所以直线与圆C相交. 即(x+4)+m(y-2)=0, 4.圆E:x2+y2-4x+2y=0的圆心为E(2,-1), 所以直线2过定点B(-4,2), 半径r=5, 又m×1+(-1)×m=0,所以l⊥l2, 因为12+12-4×1+2×1=0. 所以C在以AB为直径的圆上， 所以点P在图E上，又r==-2, 1AB1=√(-4)2+22=25， 高考数学第一轮复习第18~21期 由圆的性质知，点C到直线AB的距离的最大值等于圆的 圆心(5,5)到点B的距离为/34，圆的半径为4， 半径，即1AB1=5, 所以1PB1=1P2B1=√34-16=18=32， 故(C)(D)均正确. 所以△ABC面积的最大值为7×25×5=5. 故选(A)(C)(D). 二、多项选择题 11.由实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0, 9.ABD;10.ACD;11.ABD. 可得点(x,y)在圆(x-2)2+(y-1)2=1上，如图2， 提示： 9.对于(A),(1-1)2+(-3)2=9>1, 所以点M在圆C外，(A)对； 对于(B),直线l:(x-2)-my=0, 1234x 易知直线1过定点A(2,0),(B)对； 对于(C),因为(2-1)2+02=1，点A在圆C上， 图2 所以直线l与圆C相交或相切，(C)错； 二表示点(x,y)与坐标原点连线的斜率， 对于(D),当直线I与点M,A连线垂直时，点M到直线l的 设过坐标原点的圆的切线方程为y=kx, 距离最大，且最大值为1MA1=√(1-2)2+(-3-0)2= 0,(D)对 则2=1，解得k=0或6=专 +1 故选(A)(B)(D). 所以÷e[0,],所以(）=÷（任）=0， 10由题意可知，直线AB的方程为子+子=1， 故(A),(B)正确； 即x+2y-4=0, x2+y表示圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的平方， 则圆心(5,5)到直线AB的距离 圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的最大值为|OC1+1, d=15+2x5=41=5>4, 又10C1=22+1下=5， √12+22 5 所以x2+y2的最大值为6+25，故(C)错误； 所以直线AB与圆(x-5)2+(y-5)2=16相离， 易得圆(x-2)2+(y-1)2=1的参数方程为 所以点P到直线极的距离的取值范围是[，5-4， [x=2+cos0, 0为参数， 5+4,因为-4e(01).5+4e(89 Ly =1 sin 0, 所以x+y=2+cos0+1+sin0 所以(A)正确，(B)错误. 过点B作圆的两条切线，切点分别为P,P2, =3+2m(0+平)≤3+厄， 如图1，当点P在切点P,的位置时，∠PBA最小， 故(D)正确， 当点P在切点P2的位置时，∠PBA最大 故选(A)(B)(D). 易知IP1BI=1P2BI, 三、填空题 12.(x-1)2+(y+1)2=5;13.[4,6];14.35-1. 提示： 12.设点M的坐标为(a,1-2a), 因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上， 012346789x 所以点M到两点的距离相等且为半径， 图1 所以√(a-3)2+(1-2a)7=√a+(-2a)=r, 2 高考数学第一轮复习第18~21期 解得a=1,所以M(1,-1),r=5, 所以圆M过定点(0，-3). 所以⊙M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 16解：(1)选①.设圆N的方程为(x-a)2+(y-b)2=2. 13.易知直线y=x+1恒过点P(0,1), rl al=r, a=2, 圆C:(x-2)2+y2=9的圆心为C(2,0),半径r=3. 由题意可得 a2+62=r2, 解得b=0, 当直线经过圆心时，弦长IAB1取得最大值，为2×3=6； l(2-a)2+(2-b)2=r2, r=2, 当直线与PC所在直线垂直时，弦长[ABI取得最小值， 则圆N的方程为(x-2)2+y2=4. 为2×√9-5=4，因此4≤|AB1≤6. 选②.直线mx-y-2m=0恒过(2,0)， 14.如图3，曲线C:x2+y2-6x-2y+9=0是以C(3,1) 而圆V恒被直线mx-y-2m=0(m∈R)平分， 为圆心，1为半径的圆， 即mx-y-2m=0恒过圆心，所以圆心为(2,0)， 可设圆N的方程为(x-2)2+y2=2, M(-1,2 由圆N经过A(0,0),得2=4， 则圆V的方程为(x-2)2+y2=4. 选③.由条件易知C(4,0), x+2y+2=0 设圆N的方程为2+y2+Dx+y+F=0(D+E-4F>0), 图3 8+2D+2E=0, 设M关于直线x+2y+2=0的对称点为H(m,n), 由题意可得F=0,且有 16+4D=0, in-2 m+1 =2, m=-3, 「D=-4. 则 解得 解得 则圆N的方程为x2+y2-4x=0, m,1+2×+2+2=0. ln=-2, LE=0. 2 2 即(x-2)2+y2=4. 即H(-3,-2),连接PH,PC, (2)因为(4-2)2+32=13>4， 则IPMI+IPNI≥IPMI+IPCI-1 所以点P在圆N外 =I PHI +I PCI-1 若切线斜率存在，设切线的斜率为k, ≥1HC1-1=35-1, 则切线方程为y-3=k(x-4), 当且仅当P,H,C三点共线时，等号成立， 即kx-y-4h+3=0. 所以1PM1+1PN1的最小值为35-1. 所以2k-46+31=-26+3L=2, 四、解答题 2+1 √+I 15.解：(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D 解得k=音 +E2-4F>0). 所以切线方程为5x-12y+16=0. 因为圆M为△ABC的外接圆， 若切线斜率不存在，切线方程为x=4,满足题意 所以圆M过点A(0,a),B(-√3a,0),C(3a,0), 综上，过点P(4,3)的圆N的切线方程为 ,a2+aE+F=0, D=0, 5x-12y+16=0或x=4, 所以3a-√3aD+F=0,解得{E=3-a, 且切线长为13-01=3. 3a+/3aD+F=0, F=-3a. 17.解：(1)根据题意，得点P在圆C外，分两种情况讨论： 所以圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0. 当直线的斜率不存在时， (2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0. 过点P(1,2)的直线方程是x=1, 3+y=0, 。解得0， 与圆C:x2+y2=1相切，满足题意； 由 Lx2+y2+3y=0 y=-3. 当直线I的斜率存在时， —3 高考数学第一轮复习第18~21期 设直线的方程为y-2=k(x-1), =-1, 即kx-y-k+2=0,因为直线与圆C相切， 所以k1+k2是定值，且定值为一1. 所以圆心(0,0)到直线1的距离为2-L =1, 19.解：(1)由题可设圆M的方程为(x-a)2+y2=2, 爬+I r(1-a)2+7=2, 解得=子，此时，直线1的方程为3-+5=0 则万.3 解得a=4,r=4, -a∵万 =-1, 所以满足条件的直线1的方程是x=1或3x-4y+5=0. 所以圆M的方程为(x-4)2+y2=16. (2)根据题意，若IAB1=√2， 则圆心(0,0)到直线m的距离 (2)由题意知，LA0B=受. 设直线OA的斜率为k(k≠0)， 2 则直线OA的方程为y=kx, 结合(1)知直线m的斜率一定存在. 「y=kx, 联立 设直线m的方程为y-2=n(x-1), (x-4)2+y2=16, 即nx-y-n+2=0, 得(1+2)x2-8x=0, 则d1-号，解得m=1或m=7 「x= n2+1 「x=0, 1+, 解得 或 所以满足条件的直线m的方程是 y=0 y=1+ x-y+1=0或7x-y-5=0. 18.解：(1)依题意，得直线l:y-4=x-2, 即4e) 即y=x+2, 又直线0B的斜率为-六 则圆心(0,0)到直线1的距离d=2=万， 即叫 所以IMW1=24-2=2√2. (2)依题意，直线1的斜率存在且不为零， 由题可知C(8,8k),D(8,-冬) 设M(x1,y1),N(xy2),y-4=k(x-2), OA·OBOA.OB 因此h0.od =o o0 y-4=k(x-2), 联立 消去y,并整理得 8 x+y2=4, 1 (1+2)x2-4k(k-2)x+(2k-4)2-4=0, 驰=- 8=1+ 则+-是24 同理OB 2 1+k2 里0D=1+P, Y2 所以点 k2 k+k=-2+-2 以发+2张+12+士 +2 (-2)+4,(x2-2)+4 N x1-2 x2-2 当且仅当1k1=1时，等号成立. 4 4 =2k+1-2+-2 又袋>0，所以暖的取值施用是(o,} 4(x1+x2-4) =2k+k-2+)+4 第19期2版 4[- 考题预测 =2k+2-42-4-2.4(k-2+4 1+k2 1+k2 1.B:2G:3.D,4.A,55;6[5,21. 一4 高考数学第一轮复习第18~21期 第19期3版 6.由 y=红+山，得(2+2+4x+1=0, x2+2y2=1, 高考数学一轮总复习达标检测（十九） 因为直线与椭圆有公共点， 一、单项选择题 所以4=16k2-4(2k2+1)≥0， 1~4 BDAB 5~8 BCCA 解得长≤-号或长≥号 提示： 1将椭圆+4=1化为亡+号 7.设A(x1,y),B(x2y2), 1, 4 则a=1,6=分e=尽-6=马 1 则 +=1， 故焦距为2c=√5. 7-k>0, 所以￡+-0. 62 2.由题意可知{k-5>0, 故4=- 2(x1+x 7-k≠k-5, 1一2 a2(y1+2) 解得5<k<7且k≠6， 由题意可得，+有=4,1+为=2二=- 1 x1-X2 所以实数k的取值范围是(5,6)U(6,7). 3由题意得6：县又=e,8>1, 则宁子所以宁 a=2 8.由 c 所以行=。可-分解得a:25(负位合去) sin LPF F2 sinLPF2F' a sin∠PF,F_IPF,IIPF,I 4.因为PF·PF=0,所以∠F,PF2=90°， 得C a -sinPFF,=I PFT=2a-1 PFT' 由椭圆方程可知，c2=5-1=4→c=2, 得1E,1=2e又1pR1ea-ca+o, 所以1PF,12+1PF212=1F,F212=42=16, 易知IPF1I+PF21=2a=25, 所以a-c≤2a<a+c, a c IPF 12+1 PF2 12+21 PF 1.I PF2 I 所以a2-c2<2ac<(a+c)2, =16+21PF1I·IPF21=20, 故e2+2e-1>0,又ee(0,1), 所以I PF I.1 PF2I=2. 所以e∈(2-1,1). 5.由题意得，离心率e=二= 二、多项选择题 a 9.ACD:10.BC:11.BCD. 解得=则=， 提示： 因为A,A2分别为C的左、右顶点， 所以A1(-a,0),A2(a,0), 9已知得，号=6=1， 又B为C的上顶点，所以B(0,b), 又a2=2+c2,故a2=3. 所以BA=(-a,-b),BA=(a,-b), 因为椭圆的焦点在y轴上， 因为BA·BA=-1,所以-a2+2=-1, 所以椭圆C的方程为子+？=1. 将=802代入，解得。2=9，公=8， 易知1PQ1=2 225 做精西C的方轻为片+专=1 △PF2Q的周长为4a=45. 5 高考数学第一轮复习第18~21期 故选(A)(C)(D). x-2V② 10.由题意得a=2,b=3,c=1,F(-1,0),F2(1,0), 如图1所示. 图2 0 因此C上到l的距离为1的点只有3个，故(D)正确. 故选(B)(C)(D). 三、填空题 图1 对于(A),IPFI+lPF2I=2a=4, 2是或8；1B.25；1435-5 故△PF,F2的周长为4+2=6，故(A)错误； 提示： 对于(B),根据椭圆的性质可知， 12.当0<m<2时，焦点在x轴上，此时a2=2,b2=m, △PE,面积的最大值为行×2×厅=厅， 所以c2=a2-b2=2-m, = 1 故(B)正确； 所以e2三c2=2m=41 2 对于(C),连接P0,易知1PA+PA1=21Pd1, 解得m= 子行合题意： 设P(2cos0,√5sin0), 当m>2时，焦点在y轴上，此时a2=m,b2=2, 则1pd1=√4cos20+3sim20=√3+cos20≥5， 所以c2=a2-b2=m-2, 所以1PA+PA1=25,故(C)正确： 3=m-2二4， 对于(D因为5=宁×441X1=211=2, 所以e2= m 所以1=1，因为点P在椭圆上，所以至+上 解得m= ，作合题意 4+3=1, 解得x。= 26,故(D)错误. 放正数m的值是子或号 3 13.由题可得A(b,0),B(0,2), 故选(B)(C) 因为0<b<2,所以a=2,c=√4-b. [y =x+m, 11.联立 因为△ABF是等腰三角形， x2 2 6+2=1 所以由椭圆的性质可知F是椭圆的下焦点， 得4x2+6mx+3m2-6=0,则4=12(8-m2). 所以1BFI=IABI,即2+√4-b=4+, 令4=12(8-m2)≥0，则-22≤m≤22， 解得62=23. 故(A)错误； 14.因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上， 令4=12(8-m2)>0,则1m1<22,故(B)正确； 由图3可知，椭圆的短半轴长b=2, 令l与C相切，则4=12(8-m2)=0, 解得m=±22，直线y=x+32与直线y=x-22的 距离4=13五-2)1=5，故(0)正确： 2 图3 如图2，直线y=x-√2与直线y=x-22和直线y=x 在△ABC中，由正弦定理得 2a 4 间的距离均为1， in75°=sin60, 6 高考数学第一轮复习第18~21期 6 -8m 4 解得a=2+ 则1+为=2m2+h=2m2+ 4=(8m)2-4×4(2m2+1）=16(2m2-1)>0, 则e2=1 =35-5 所以m2>2 1 四、解答题 15解：1）因为椭圆c号+号=1(a>6>0)过点 直线BC的方程为y+y1= 2+(x-) X2-x1 a 62 由椭圆的对称性知，若存在定点，则必在x轴上· (5,0),(0,2),所以a=5,b=2, 当y=0时， 所以稀圆C的方程为号+兰=1 x=3+ y2+y1 (2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,少1)，B(x2,y2). =5为+2当 [y =x+m, 2+y1 由{ 消去y得5x2+6mx+3m2-6=0, =(my+2)+(m5+2)y 3+2=1 y2+y1 则4=36m2-20(3m2-6)>0,得m2<5, =2m5+2(+2) y2+y1 由一元二次方程根与系数的关系得 6=36 2myy+2 名+为2=- y1+y2 51 4 所以1AB1=2·√（x1+2)2-4xx 2m2+1+2 -8m -4.3m2-6 2m2+1 5 =-1+2=1, -45.5-m_8 即直线BC过定点(1,0)， 5 5 17.(1)解：设P(x,y),由已知得 解得m2=1,即m=±1，符合题意 所以直线1的方程为y=x±1， 屋+0-了=1y-41, 即x-y+1=0或x-y-1=0. 2 6解因为精圆公若·号=1(a>6>0的复轴 整理得号+片-山， 放自线C的方型为片+号=1 长为22，离心率为e=气， (2)证明：由(1)得， 2b=22, 经过点F且斜率为k(k≠O)的直线方程为y=kx+1, 则{e=￡=巨解得{ a2=4, ry kx 1, a 2 b2=2. 联立{ —工g4+3±6一。一 2 a2-b2=c2, 所以框周上的方程为片+号=1 4=36k2+4×9×(4+3k2)=144(1+2)>0恒成立， 设M(x1,y),N(2,2), (2)证明：设直线l的方程为x=my+2, 则1MW1=1+11-2 A(x1,y1),B(x22),则C(x1,-y1), 22 =√个+×4+3级 联立 4 =1, 2 整理得(2m2+1)y2+8my+4=0, =12(1+2) =my+2, 4+362, 7 高考数学第一轮复习第18~21期 6k x1+x2=- 4+3k2, 所以出分解得X=2(合)或A= 3 设线段MN的中点为T(xo,yo), 所以存在A=子，使得∠DE=∠DBR 则。=当十西三-于 3k 4+3g%=k0+1= 4 2 4+3k2 19.解：(1)由题意得IQM1+lQWI=IQM1+1QPI= 易知线段MN的垂直平分线的斜率为-石， 1 I MPI =4>2 =I MNI, 根据椭圆的定义得点Q的轨迹E是以M,N为焦点的椭圆， 所以线段MN的垂直平分线的方程为 所以a=2,c=1,所以b=3. 4 故所求轨迹方程为号+号：山 4y2 令x=0,得y=4即(0十) (2)由题意知Sam=25am=2×子XAB1·d= 所以1FH川=1-4+3 1 3(1+k2) 4+3k2, d1AB1(d为，点O到直线l的距离) 3(1+2) 设l的方程为y=kx+1, 所以=子 4+32 1 [y kx +1, 联立方程{ 4+32 消去y整理得 4+3=1 所以为定直 (3+4h2)x2+8kx-8=0, 18.解：(1)由已知1AB1=4得2a=4,即a=2. 设A(1y1),B(2,y2）, 因为后=受所以c=E,6=V公-7=厄 -8k -8 a 则+名=3+4状西6=3+4报 所以稀圆C的方程为号+号=1 则IAB1=√I+2·√(x+2)-4 (2)假设存在满足题意的实数入， =46·+2派·个+ 3+4k2 由(1)得A(-2,0),B(2,0. 1 E(m,n)F(m,n),N(xx,yx), 又d= √1+2 则A=(y+2,y),A尼=(m+2,n). 所以SaD=d1AB1=4y6·+2R 因为IANI=入IAEI,由题知点N不与点A,E重合， 3+4k2 所以A=AAE(0<入<1)， 令√1+2k=t,由2≥0，得t≥1， 即(xw+2,yw）=A(m+2,n) 46=46（t≥1)， 所以xy=入m+2入-2，yw=An, 所以S6m=2升2+ 即N(Am+2A-2,An). 因为∠NDE=∠DBF, 易证y=24+在(1，+如)递增， 所以tan∠NDE=tan∠DBF 所以24+片≥3，从面Sm≤5。 t I n I 所以m-Am-2A+21=2m, I入nl 即A-11m+2L。1nl 所以△ABD的面积S的最大值为45 3 I A l I nl =12-m1 化简得A1业=1n1 第20期2版 1入11m2-41 考题预测 因为搭+号-1，所以4-2， 1.C;2.C;3.A;4.C;5.D;6.C. 一8 高考数学第一轮复习第18~21期 所以IPFI=1PFI+2, 第20期3版 从而1PAI+PFI=IPAI+川PFI+2≥IAFI+2, 高考数学一轮总复习达标检测（二十） 又1AF1=√32+（万）2=4， 一、单项选择题 所以IPAI+PFI≥6，因此IPAI+PFI的最小值为6， 1~4 CCAB 5 ~8 CBDD 此时点P在线段AF,与双曲线左支的交点处 提示： 1双曲线兰 7因为直线y=3x+1与双线C:号云-1(0>0.6 =1(a≠0)的焦点在y轴上， a >0)相交，且仅有1个交点， 所以渐近线的斜率6=±L=±万， I al 所以直线=3数+1与双鱼线C号-茶=1a>06> 则渐近线方程为y=±√2x 0)的渐近线y=名平行， 包.根据题意可知，双曲线的标准方程为。二。三1 1 由双曲线的焦距为4，得c=2, a 则有c2=a-3+a-1=4,解得a=4. 3.由题意得b=2a,又c2=b2+a2, 所以双线C的离心。=√+（台） 所以c2=5a2,所以e=5. 8易知直线)=x与函数y=的图象的两交点的坐标为 4.由条件a=1,b=3,得c=a2+6=2, (1,1),(-1,-1), 则1FF21=2c=4, 则旋转后的双曲线两顶点间的距离为 又10P1=2=Rl, √(1+1)2+(1+1)7=22， 所以△PFF2是以P为直角顶点的直角三角形 所以将函数y=文的图象绕原点逆时针旋转牙得到的双 于是得IPF,I2+1PF2I2=1FF212=16. 又由双曲线的定义得IPF,I-lPF2I1=2a=2, 南线的方程为号-号=1 两边平方得IPF1I2+|PF2I2-2IPF,IIPF2I=4, 二、多项选择题 所以1 PE I PE2I=6. 9.CD;10.ABD;11.ACD. 放S5=1 PFM PE,1=之x6=3 提示： 9.由题易知a=5,b=1,c=a+b=2. 5.双曲线x2-my2=1(m>0)的实半轴长a=1, II PF I-I PF II 2a =23, 由双曲线的定义，可得IAF1I-1AF2I=2a=2, I BFI-I BF2 I 2a =2, 但点P在哪一支上并不确定，故(A)错误； 所以IAFI=2+IAF2I,1BFI=2+BF2I, 焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为 则△ABF,的周长为 y=±合=士厅x,故(B)错误 I AF I+I BF1+1 ABI =1 AF2I+I BF2I+6 =1AB1+6=8. 双曲线C的离心岸e=日-后=2，故©)正确： 6由双曲线方程2-苓=1可知a:16:3, 设P(x,y),则IP01=√+了=2+(3x2+3) 故右焦点F(3,0),设左焦点为F1,则F(-3,0). =√3+4x2≥5， 当点P在双曲线左支上运动时， 当x=0时，等号成立， 由双曲线定义知IPFI-IPF1=2, 因为O为FF2的中点， 9 高考数学第一轮复习第18~21期 所以1PF+PF1=12P01≥25，故(D)正确. 故选(C)(D) 10将了+1代人号-苦= 整理得(62-4)x2-8x-4-4b2=0, r4=64-4(b2-4)(-4-462)=0, 由双曲线的光学性质可知，AM平分∠F,AF2, b2-4≠0， 延长FH与AF2交于点E,则AH垂直平分FE, 即点H为FE的中点，又O是FF2的中点， 解得b=5,故(A)正确； 将点P4)代人双由线号-号=1 所以10H1=子1R,E1=0AE1-A,) 得4-号=1可得疗=9 =2IA51-A,)=a=E, 故(C)正确： 即y。=±3，故(B)正确； 对于(D),S四边形AH1F2=S△A12+S△M12 由A(-2,0),A2(2,0),得 =分x6(%1+) =告宁-益=子放0)错误： 易得双曲线的焦距为2c=2√7， =4, 1 则Sa所=2×2e%=3万， 当旦仅当%，即为=±1时，等号成立 又F(-√7,0)，F2(7,0),P(4,±3)， 所以四边形AFNF2面积的最小值为4，故(D)正确. 所以1PFI=√32+8万，1PF21=√32-8万， 故选(A)(C)(D) 所以S,=PE1PEI·sim∠F,PE 三、填空题 123或7；13.写；141 =12sin∠FPF2=3万， 提示： 可得nLF,PR,=车，故(D)正确 12.设F2是双曲线的右焦点， 故选(A)(B)(D 则ON是△PF,F,的中位线， 11.对于(A),由已知可得a=5,b=1, 所以10N1=子1P,1, 所以C的新近线方程为y=±有=±厚，故()正确 1 因为IIPF,I-PF2II=4,IPFI=10, 3 所以1PF2I=14或1PF2I=6,符合题意， 对于(B),设N(0,yw), 所以1OW1=7或IOW1=3. 则0-0=0之，整理得-，+3，=3o, 6、3 13.由题意得，F(-√6,0)，F2(6,0),故1FF21=26, 3 3x0 由题意得号-分=1，解得p=士6， 因为学-后=1，所以后=3+3， 因为P(p,1)在右支上，所以p=6,故P(6,1), 所以-(3+3y)yw+3yx=3yo,解得yw=- 1 所以1PF1=√(26)2+12=5,1PF21=1, Yo 所以点N的坐标为(0，一），放(B)错误： 故eos∠F,PR,=IPE2+PE,I2-EE12 21 PF 1.I PF2 I =25+1-24.1 对于(C),如下图，显然AM为双曲线的切线， 10 -10