精品解析：上海市金山区金山实验中学2025--2026学年上学期八年级第二次月考卷（12月）

金山实验中学2025学年第一学期12月教学质量调研 八年级数学试卷 （完成时间：90分钟） 2025.12 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一分析各选项解答即可． 【详解】解：∵ A：被开方数含分母，不是最简； B:，可开方，不是最简； C:，被开方数含平方因数，不是最简； D:被开方数无分母且无平方因数，是最简． 故选：D． 2. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、，即，是一元二次方程，故选项符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列方程中，没有实数根的是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把各方程整理成一般形式，用根的判别式判断即可． 【详解】解：方程的，该方程有两个不相等的实数根； 方程的，该方程有两个相等实数根； 方程的，该方程有两个不相等的实数根； 方程可变形为，，该方程没有实数根． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式△=b2-4ac．△＞0时，方程有两个不相等的实数根；△=0时，方程有两个相等的实数根；△＜0时，方程没有实数根. 4. 将一元二次方程转化为的形式，则的值为（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，完全平方公式的应用， 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，确定参数a和b的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵ ∴ 即， 与比较，得, ， ∴． 故选：C． 5. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为22米．停车场内车道的宽度相等，若停车位的总占地面积为544平方米．求车道的宽度（单位：米）．设停车场内车道的宽度为米，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位可合并为一个长为米，宽为米的矩形，结合停车位的占地面积为544平方米，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为米，则停车位可合并为一个长为米，宽为米的矩形， 根据题意：． 6. 在中，，，是边上的中线，是边上的高，，．那么的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，解直角三角形， 在中，利用勾股定理求斜边，中线等于斜边一半，高利用面积法求得，点E位置通过三角函数确定，进而求，最后求周长． 【详解】解：∵， ∴ 解得． ∵是边上的中线， ∴ ∵是边上的高， ∴， ∴ 解得． 在中，， ∴即， 解得． ∵点D是中点，， ∴． ∴. ∴的周长． 故选：A． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 化简：________ 【答案】## 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质将原式变形，再根据判断的符号，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质可得， ， ， ． 8. 计算：＝______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：； 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，属于基础题目，熟练掌握运算法则是关键． 9. 写出的一个有理化因式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理化因式，平方差公式的应用， 有理化因式需使乘积不含根号，选择共轭形式即可． 【详解】解：因为，结果不含有根号， 所以对于表达式，其有理化因式为． 故答案为：． 10. 方程9x2﹣16＝0的根是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】利用直接开平方法求解即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，解题的关键是结合方程的特点选择合适、简便的方法． 11. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，将代入方程求出，再根据一元二次方程的定义求出，由此得到答案，正确理解一元二次方程的定义及方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：将代入，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 12. 在实数范围内因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 对于二次三项式，通过配方法将其转化为完全平方式与常数的差，然后利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，一元二次方程的概念，熟悉解分式方程的步骤是关键；将分式方程的分母因式分解，找到公分母，去分母后整理成一元二次方程的一般形式． 【详解】解：方程化为． 两边同乘公分母，得． 整理得：． 故答案为：． 14. 某地区PM2.5的年平均值经过测算，2015年为180，经过治理后，2017年为80，如果设PM2.5的平均值每年的降低率均为x，列出关于x的方程：_____． 【答案】180（1﹣x）2=80 【解析】 【分析】根据降低率的意义知2016年为180（1-x），2017年为180（1-x）2，结合2017年为80可得答案． 【详解】设PM2.5的平均值每年的降低率均为x， 根据题意可得180（1-x）2=80， 故答案为180（1-x）2=80． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n（一般情况下为2），增长后的量为b，则有表达式a（1+x）n=b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”． 15. 在中，，是的中线，若的周长比的周长多，则____________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的定义，求出两三角形的周长的差是解题关键．根据三角形的中线的定义可得，然后依据周长与的周长多，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如图， 是中线， ， 周长的周长， 周长与的周长多， ， ∵  ． 故答案为：． 16. 如图，在中，平分且于点D，与相交于E．，，则的周长________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．先证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，得出，根据得出答案即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 17. 2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件：①两个频率的和为8；②以这两个频率为根的一元二次方程，其一次项系数的2倍与常数项的和，等于两根的差的平方．设该一元二次方程为（其中b、c是实数），则可求得_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，由两根之和为8，可得一次项系数的值；再根据条件“一次项系数的2倍与常数项的和等于两根差的平方”，结合两根之差与和积的关系，列出方程求解即可． 【详解】解：设方程的两根为和 由根与系数的关系得： 、 由题意得： 则，即 由“一次项系数的2倍与常数项的和等于两根差的平方”得： 代入得， 整理得： 其中， 代入上式得： 解得． 故答案为：16． 18. 如图，已知，平分，点F、G分别在直线、直线上运动，那么在运动的过程中，下列说法中正确的有________（请填写序号） ①；②长度不变；③的值不变；④以O、G、E、F为顶点围成的四边形面积不变； 【答案】① 【解析】 【分析】过点E作于M，于N，根据角平分线的性质得出，根据“”证明，得出，，即可判断①正确；根据勾股定理即可判断②错误；当在的反向延长线上时，根据“”证明，得出，可得，即可判断③错误；当在的反向延长线上时，根据，再根据，，可得，即可判断④错误． 【详解】解：①、过点E作于M，于N， 平分， ， ，，， ， 又， ， ， 又，， ， ，，故①正确； ②、根据勾股定理，得 ， ， 随点F的变化不断改变， 随点F的变化不断改变，即不断改变， 长度改变，故②错误； ③、如图，当在的反向延长线上时， 平分， ， 又，， ， ， 又， ， 随点F的变化不断改变， 的值会变化，故③不正确； ④、当在的反向延长线上时， ，， ， ，，， ， ， ， 随点F的变化不断改变， 以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积会变化，故④不正确． 综上：正确的只有①． 【点睛】做题时要注意点F、G分别在直线、直线上运动． 三、计算题（本大题共5题，每小题5分，满分25分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化．根据二次根式的混合运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解： ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的运算， 先去绝对值，再化简二次根式，然后根据二次根式的加减法法则计算． 【详解】解：原式 ． 21. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程， 先整理，再配方，然后开方可得解． 【详解】解：整理，得， 配方，得， 即， 则， ∴， ∴． 22. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程， 先整理，再配方，然后开方求出解即可． 【详解】解：整理，得， 配方，得， 开方，得， ∴． 23. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握基本步骤是解题的关键；方程两边同乘，化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得：， 即， ∴， 经检验是原方程的根， ∴． 四、解答题（本大题共4题，第24题8分，25题6分，26题9分，27题10分，满分33分） 24. 已知，在等腰三角形中，．、的长是关于x的方程的两个整数根，请求出的周长． 【答案】 16 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的性质， 先根据一元二次方程根与系数的关系得，再分两种情况讨论得出答案． 【详解】解：∵的长是关于x的方程， ∴． 当时，， ∴的周长为； 当时，， ∴的周长为． 所以这个三角形的周长为16． 25. 如图，已知，，E是上的一点，，，请判断的形状，并证明． 【答案】为等腰直角三角形； 证明：∵，    ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及平行线的性质，掌握全等三角形的判定和性质是关键．根据，得，利用“HL”可证明，得到，从而得出，则． 【详解】 略 26. 学校文创社设计了一款特色笔记本，作为校园文化节的纪念品．最初以每本20元的成本价生产了一批．在试销阶段，第一个月定价为每本25元，售出120本，随后两个月对价格进行了上调，两次价格上调的百分率相同，最终第三个月定价为每本36元，此时每月售出100本． （1）这款笔记本每次（每月）的价格增长率为________； （2）文创社为了在第四个月扩大影响、清空库存，决定进行促销．学生通过市场调查发现：在第三个月销量的基础上，售价每降低1元，每月可多售出10本，请问：当降价多少时，可以使第四个月的利润达到1530元． （3）文创社现有两种销售方案： 方案A 方案B 按第（2）问中求出的售价进行销售． 在售价不低于成本的前提下，采取“每卖出一本就向校园公益基金捐赠2元”的方式销售，这一方式可以使每月销量在第（2）问的促销模型基础上再增加20本． 如果你是文创社社长，你会选择哪种方案？请从利润、清仓速度、社会效益等角度比较方案A和方案B，综合说明理由． 【答案】（1） （2）7 （3）B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用与二次函数的应用，理解题意，列出方程或函数关系式是解题的关键． （1）设每次价格增长率为r，根据价格增长模型，从25元增长到36元经过两次相同增长率，列一元二次方程求解； （2）设降价x元，根据利润公式列一元二次方程求解； （3）计算方案A的利润和销量；方案B中设售价降低x元，计算最大利润，并比较利润、清仓速度和社会效益． 【小问1详解】 解：设每次价格增长率为r， 由题意得：， ， ， （舍去）， 答：增长率为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：设降价x元，则售价为元，销量为本， 每本的利润为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 答：应降价7元，才能使第四个月的利润达到1530元； 【小问3详解】 解：方案A售价（元），销量170本，利润（元）， 方案B设售价降低x元（），售价元，销量本，每本利润元，总利润， 设利润为元，则， 配方得：， 当时利润最大为1690元，此时售价35元，销量130本， 方案B最大利润1690元元，且捐赠（元）有社会效益， 方案A清仓速度较快（销量170本＞130本），但方案B利润更高且有益社会，综合选择方案B． 27. 综合实践题 背景 【直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现】 金山实验中学即将举办“校园数学节”，向向和阳阳两位同学对几何学习非常感兴趣，在学习了八年级上册的直角三角形和角平分线后，他们俩一起对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现． 素材 如图1，是直角三角形，． 操作：向向和阳阳画出的角平分线与的垂直平分线、与交于点E． 发现：当长度不变，长度变化时，点E的位置也会随之变 化．当点E位于某个特殊位置时，的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性． 问题解决 任务1 在如图2所示的直角三角形中，向向发现：点E正好落在边上． （1）请利用尺规作图帮助向向找出点E的位置．（保留作图痕迹，不要求写作法） 任务2 （2）点E在图2的位置时，阳阳发现： ①________； ②，请证明这一发现． 任务3 （3）继续探索发现，如图3所示，C、E、D三点共线，此时向向和阳阳又有了新的发现： ①________； ②若已知，，则能用含字母a、b的式子表示线段的长度，________． 【答案】 （1）解：作的角平分线，作的垂直平分线，与相交于，点正好落在边上，如图2所示： （2）①； ②证明：在中，， ， ， ； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意作的角平分线，作的垂直平分线，与相交于，点正好落在边上， （2）①根据角平分线的定义设，根据垂直平分线的性质可得，则，根据直角三角形中两个锐角互余得出，解方程，即可求解； ②根据含度角的直角三角形的性质得出，进而结合，等量代换，即可得证； （3）过点作于点，根据角平分线的性质设，进而根据等面积法列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1） 略 （2）①解：平分， 设， , 是的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 故答案为：； ② 略 （3）①解：的垂直平分线为，、、三点共线， ， 是等腰直角三角形 ， 故答案为：； ②解：过点作于点，如图3所示： 平分，，， , 设， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了作角平分线与垂直平分线，角平分线的性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金山实验中学2025学年第一学期12月教学质量调研 八年级数学试卷 （完成时间：90分钟） 2025.12 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列方程中，没有实数根的是　　 A. B. C. D. 4. 将一元二次方程转化为的形式，则的值为（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 5. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为22米．停车场内车道的宽度相等，若停车位的总占地面积为544平方米．求车道的宽度（单位：米）．设停车场内车道的宽度为米，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，是边上的中线，是边上的高，，．那么的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 化简：________ 8. 计算：＝______． 9. 写出的一个有理化因式是________． 10. 方程9x2﹣16＝0的根是 ___． 11. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为________ 12. 在实数范围内因式分解：________． 13. 解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是________． 14. 某地区PM2.5的年平均值经过测算，2015年为180，经过治理后，2017年为80，如果设PM2.5的平均值每年的降低率均为x，列出关于x的方程：_____． 15. 在中，，是的中线，若的周长比的周长多，则____________． 16. 如图，在中，平分且于点D，与相交于E．，，则的周长________． 17. 2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率和（单位：赫兹）满足以下条件：①两个频率的和为8；②以这两个频率为根的一元二次方程，其一次项系数的2倍与常数项的和，等于两根的差的平方．设该一元二次方程为（其中b、c是实数），则可求得_______． 18. 如图，已知，平分，点F、G分别在直线、直线上运动，那么在运动的过程中，下列说法中正确的有________（请填写序号） ①；②长度不变；③的值不变；④以O、G、E、F为顶点围成的四边形面积不变； 三、计算题（本大题共5题，每小题5分，满分25分） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 解方程：． 22. 解方程：． 23. 解方程：． 四、解答题（本大题共4题，第24题8分，25题6分，26题9分，27题10分，满分33分） 24. 已知，在等腰三角形中，．、的长是关于x的方程的两个整数根，请求出的周长． 25. 如图，已知，，E是上的一点，，，请判断的形状，并证明． 26. 学校文创社设计了一款特色笔记本，作为校园文化节的纪念品．最初以每本20元的成本价生产了一批．在试销阶段，第一个月定价为每本25元，售出120本，随后两个月对价格进行了上调，两次价格上调的百分率相同，最终第三个月定价为每本36元，此时每月售出100本． （1）这款笔记本每次（每月）的价格增长率为________； （2）文创社为了在第四个月扩大影响、清空库存，决定进行促销．学生通过市场调查发现：在第三个月销量的基础上，售价每降低1元，每月可多售出10本，请问：当降价多少时，可以使第四个月的利润达到1530元． （3）文创社现有两种销售方案： 方案A 方案B 按第（2）问中求出的售价进行销售． 在售价不低于成本的前提下，采取“每卖出一本就向校园公益基金捐赠2元”的方式销售，这一方式可以使每月销量在第（2）问的促销模型基础上再增加20本． 如果你是文创社社长，你会选择哪种方案？请从利润、清仓速度、社会效益等角度比较方案A和方案B，综合说明理由． 27. 综合实践题 背景 【直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现】 金山实验中学即将举办“校园数学节”，向向和阳阳两位同学对几何学习非常感兴趣，在学习了八年级上册的直角三角形和角平分线后，他们俩一起对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现． 素材 如图1，是直角三角形，． 操作：向向和阳阳画出的角平分线与的垂直平分线、与交于点E． 发现：当长度不变，长度变化时，点E的位置也会随之变 化．当点E位于某个特殊位置时，的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性． 问题解决 任务1 在如图2所示的直角三角形中，向向发现：点E正好落在边上． （1）请利用尺规作图帮助向向找出点E的位置．（保留作图痕迹，不要求写作法） 任务2 （2）点E在图2的位置时，阳阳发现： ①________； ②，请证明这一发现． 任务3 （3）继续探索发现，如图3所示，C、E、D三点共线，此时向向和阳阳又有了新的发现： ①________； ②若已知，，则能用含字母a、b的式子表示线段的长度，________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $