2.6.3 函数的最值-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦“函数的最值”核心知识点，衔接导数求极值的前期内容，系统梳理闭区间上不超过三次的多项式函数最值求法，明确含参函数最值的分类讨论思路，构建从局部极值到整体最值的知识支架。 通过“群山穿梭”情境引入直观想象最值与极值的区别，任务驱动设计（如含参函数最值探究）培养逻辑推理与分类讨论思想，例题与对点练结合提升数学运算能力。课中助力教师引导学生深化理解，课后学生可通过变式练习查漏补缺，强化知识应用。

6.3　函数的最值 学习目标 1.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，培养数学抽象、直观想象的核心素养.　2.体会导数与最大(小)值的关系.　3.能利用导数求简单的含参函数的最值问题，提升数学运算的核心素养.　4.能利用导数研究与函数极值、最值等相关的问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　函数的最值 　　同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们要寻找最高的山峰和最低的山谷，这其实就是我们今天要探究的函数的最值. 问题　如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象. (1)观察在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？ (2)结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？ (3)函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？ 提示：(1)极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4). (2)存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3). (3)不一定，也可能是区间端点的函数值. 1.最值点 (1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都不超过f(x0). (2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都不小于f(x0). 学生用书⬇第79页 2.最值：函数的最大值和最小值统称为最值. [微提醒]　对函数最值的两点说明 (1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值.若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.(2)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件. [微思考]　函数极值与最值有何关系？ 提示：(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念.(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个.(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值. (链教材P82例4)求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]； (2)f(x)＝. 解：(1)f'(x)＝6x2－12x＝6x(x－2). 令f'(x)＝0，得x＝0或x＝2. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： x －2 (－2，0) 0 (0，2) 2 (2，4) 4 f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) －37 ↗ 极大 值3 ↘ 极小值 －5 ↗ 35 所以当x＝4时，f(x)取得最大值35， 当x＝－2时，f(x)取得最小值－37. (2)f(x)＝的定义域为R. f'(x)＝＝， 当f'(x)＝0时，x＝2. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示. x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f'(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 单调递减 所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 所以f(x)无最小值，且当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝. 求函数最值的四个步骤 第一步：求函数的定义域； 第二步：求f'(x)，解方程f'(x)＝0； 第三步：列出关于x，f(x)，f'(x)的变化表； 第四步：求极值、端点值，确定最值. 对点练1.求下列函数的最值： (1)f(x)＝x3＋x2－2x＋1，x∈[－2，1]； (2)f(x)＝(x2－1)－ln x. 解：(1)求导得f'(x)＝3x2＋x－2. 令f'(x)＝0，则x1＝－1，x2＝. 由于x1和x2都在区间[－2，1]内，所以可列表如下： x [－2，－1) －1 f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ ↘ ↗ 又f(－2)＝－1，f(1)＝，将它们与极值比较可得， 该函数在[－2，1]上的最大值为，最小值为－1. (2)由已知可得，f(x)＝(x2－1)－ln x的定义域为(0，＋∞)， 且f'(x)＝x－＝. 当x＞1时，有f'(x)＞0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增； 当0＜x＜1时，f'(x)＜0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减. 所以f(x)在x＝1处取得唯一极小值，也是最小值f(1)＝×(12－1)－ln 1＝0，f(x)没有最大值. 任务二　综合应用 应用1　求含参数的函数的最值 已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x，求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值. 解：f'(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)， 令f'(x)＝0，得x1＝－，x2＝a. ①当a＞0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f(a)＝－a3. ②当a＝0时，f'(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f(0)＝0. ③当a＜0时，f(x)在上单调递减， 在上单调递增， 所以f(x)min＝f＝a3. 综上所述，当a＞0时，f(x)的最小值为－a3； 当a＝0时，f(x)的最小值为0； 当a＜0时，f(x)的最小值为a3. [变式探究] 　(变条件)当a＞0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值. 解：f'(x)＝(3x＋a)(x－a)(a＞0)， 令f'(x)＝0，得x1＝－，x2＝a. 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在[a，2a]上单调递增. 因为f(－a)＝－a3，f＝a3， f(a)＝－a3，f(2a)＝2a3， 所以f(x)max＝f(2a)＝2a3. 学生用书⬇第80页 f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3. 含参数的函数最值问题的两类情况 1.能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题. 2.对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值. [占领思想高点]　含参数的函数最值问题体现分类讨论的数学思想. 对点练2.已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的极值； (2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值. 解：(1)由f(x)＝(x－k)ex，可得f'(x)＝(x－k＋1)ex，令f'(x)＝0，解得x＝k－1， 当x变化时，f(x)与f'(x)的变化情况如下表： x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞) f'(x) － 0 ＋ f(x) ↘ －ek－1 ↗ 所以f(x)的单调递减区间是；单调递增区间是. 所以f(x)有极小值f(k－1)＝－ek－1，无极大值. (2)当k－1≤0，即k≤1时， f'(x)＝(x－k＋1)ex≥0在x∈[0，1]上恒成立， 则函数f(x)在[0，1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k； 当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时， 由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1，1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1； 当k－1≥1，即k≥2时，f'(x)＝(x－k＋1)ex≤0在x∈[0，1]上恒成立， 则函数f(x)在[0，1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. 综上，当k≤1时，f(x)在区间[0，1]上的最小值为－k； 当1＜k＜2时，f(x)在区间[0，1]上的最小值为－ek－1； 当k≥2时，f(x)在区间[0，1]上的最小值为(1－k)e. 应用2　由最值求参数的值或取值范围 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值. 解：由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾. 求导得f'(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4). 令f'(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去). ①当a＞0，且当x变化时， f'(x)，f(x)的变化情况如下表： x －1 (－1，0) 0 (0，2) 2 f'(x) ＋ 0 － f(x) －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b 由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1，2]上的最大值， 所以f(0)＝b＝3. 又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3＜f(－1)， 所以f(2)＝－16a＋3＝－29， 解得a＝2，符合题意. ②当a＜0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1，2]上的最小值， 所以f(0)＝b＝－29. 又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29＞f(－1)， 所以f(2)＝－16a－29＝3， 解得a＝－2，符合题意. 综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29. 　　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或取值范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题. 对点练3.已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求实数k的取值范围. 解：因为h(x)＝x3＋3x2－9x＋1， 所以h'(x)＝3x2＋6x－9. 令h'(x)＝0，解得x1＝－3，x2＝1. 当x变化时，h'(x)，h(x)的变化情况如下表： x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞) h'(x) ＋ 0 － 0 ＋ h(x) ↗ 28 ↘ －4 ↗ 所以当x＝－3时，h(x)取极大值28； 当x＝1时，h(x)取极小值－4. 而h(2)＝3＜h(－3)＝28， 所以如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤－3. 所以实数k的取值范围为(－∞，－3]. [教材拓展5]　与ex，ln x有关的几类函数(源于教材P84A组T4(1)) (1)函数f＝的大致图象是(　　) (2)对于函数f＝xln x，以下判断正确的是(　　) A.f在上是减函数 B.f有极小值无极大值 C.f有两个不同的零点 D.f的图象在点处的切线的斜率为0 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)当x＜0时，f＝＜0，故B、D错误；又f'＝，当0＜x＜1时，f'＜0，当x＞1时，f'＞0，故x＞0时的图象是先下降后上升，故A错误，C正确.故选C. (2)由题意可知f'＝1＋ln x，显然f'＝1，即f处的切线的斜率为1，故D错误；令f'＞0⇒x∈，f'＜0⇒x∈，即f上单调递减，在区间上单调递增，当x＝时，f'＝0，由上可知此时f取得极小值，故A错误，B正确；令f＝xln x＝0，且x＞0，可得ln x＝0⇒x＝1，即f只有一个零点1，故C错误.故选B. 任务 再现 1.函数最值的定义.2.求函数的最值.3.由最值求参数的值或取值范围 方法 提炼 分类讨论思想、转化与化归思想 易错 警示 忽视函数的最值与极值的区别与联系 学生用书⬇第81页 1.下列结论正确的是(　　) A.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B.若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得 D.若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 答案：D 解析：函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而连续函数f(x)在[a，b]上一定存在最大值和最小值.故选D. 2.函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值和最小值分别是(　　) A.1，－1 B.1，－17 C.3，－17 D.9，－19 答案：C 解析：f'(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f'(x)＝0，解得x＝－1或1(舍去).又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3，所以最大值为3，最小值为－17.故选C. 3.函数f(x)＝的最大值为(　　) A.a B.e C.e1－a D.ea－1 答案：D 解析：f(x)＝，则f'(x)＝，所以当x＜1－a时，f'(x)＞0，当x＞1－a时，f'(x)＜0，所以f(x)在(－∞，1－a)上单调递增，在(1－a，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f＝ea－1.故选D. 4.(双空题)已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2，2]上有最小值－37，则a的值为　　　　　，f(x)在[－2，2]上的最大值为　　　　. 答案：3　3 解析：f'(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).由f'(x)＝0，解得x＝0或x＝2.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： x －2 (－2，0) 0 (0，2) 2 f'(x) ＋ 0 － 0 f(x) －40＋a ↗ 极大值a ↘ －8＋a 所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.所以当x＝0时，f(x)取得最大值3. 学科网（北京）股份有限公司 $