第02讲 导数的计算（高效培优讲义，6知识&6题型+强化训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

本讲义聚焦导数的计算这一核心知识点，系统梳理常数函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数的导数公式，进而延伸到导数定义极限计算、切线方程（在点处与过点处）、参数求解及共切线等应用题型，构建从基础公式到综合应用的学习支架。 该资料以“数学思维”与“数学语言”为特色，通过易错辨析（如区分幂函数与指数函数求导公式）、重点记忆口诀（如“正弦导余弦”）培养严谨推理能力，结合典例与变式练习（如切线方程三步求解法）规范解题表达。课中助力教师高效授课，课后学生可借即学即练与方法总结查漏补缺，强化知识应用。

第2讲 导数的计算 教学目标 1.掌握常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、核心三角函数的导数公式及适用条件. 2.能运用必考导数公式求解简单函数的导数. 3.明确公式适用的定义域限制，避免定义域失误. 教学重难点 1.重点 常数函数、幂函数、、、、、的导数公式记忆与直接应用；公式匹配判断. 2.难点 幂函数负指数、分数指数的导数应用；指数与幂函数、对数函数导数公式区分；导数符号及定义域限制. 知识点01 常数函数的导数公式 1.公式：若（为常数），则（或）. 2.适用条件：. 3.易错辨析：勿将一次函数误判为常数函数，如导数为5，非0. 4.重点记忆：常数函数导数恒为0. 5.常考结论：导数恒为0的函数为常数函数. 知识点02 幂函数的导数公式 1.公式：若（），则（或）. 2.适用条件：；为非负整数时，. 3.高频特例： （1）：，; （2）：，; （3）：（），; （4）：（），. 4.易错辨析： （1）遗漏定义域限制，如导数定义域为; （2）公式应用失误，勿忘记“指数减1”； （3）负指数幂处理错误，如导数为，非. 5.重点记忆：指数提前，原指数减1；牢记上述高频特例. 6.常考结论：若导数为，则. 【即学即练】 1．曲线在点处切线的斜率为，过点的切线方程 . 【答案】 【分析】根据导数几何意义可求得点坐标；当为切点时可直接得到切线方程；当不为切点时，假设切点坐标，写出切线方程，代入点坐标后可解得切点与重合，不合题意；综合两种情况可得最终结果. 【详解】设 ，，解得：，； 当是切点时，切线方程为：，即； 当不是切点时，设切点坐标为， 则在点处的切线方程为：， 代入点得：， ， 解得：，切点为，与重合，不合题意； 综上所述：切线方程为. 故答案为：. 2．（24-25高二下·北京·期中）曲线在点处的切线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】直接利用导数求切线斜率即可. 【详解】设切线的斜率为，由， 则，则有. 故答案为：. 知识点03 指数函数的导数公式 1.基本公式：若（且），则. 2.高频特例：，则. 3.适用条件：（且）. 4.易错辨析： （1）混淆指数与幂函数导数公式，如导数为，非; （2）时为常数函数，导数为0；时不可导. 5.重点记忆：导数等于其本身. 6.常考结论：若导数等于其本身，则. 【即学即练】 1．（2025·青海海东·三模）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由，得，求导得，则， 所以所求切线方程为，即. 故选：B 2.（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义对函数求导代入计算即可. 【详解】易知， 所以. 故选：A. 知识点04 对数函数的导数公式 1.基本公式：若（且），则. 2.高频特例：，则. 3.适用条件：. 4.易错辨析： （1）遗漏定义域限制； （2）（）导数为; （3）公式混淆，如导数为，非其他形式. 5.重点记忆：导数为. 6.常考结论：若导数为，则. 【即学即练】 1．函数，则 ． 【答案】/ 【分析】根据导数的定义结合求导公式计算即可. 【详解】， 则. 故答案为：. 2．（24-25高三上·广西河池·期末）已知函数在点处的切线与直线垂直，则 ． 【答案】 【分析】求出的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，解方程即可得到所求值. 【详解】函数的导数为，故函数在点处的切线斜率为， 因为切线与直线垂直，所以. 故答案为：. 知识点05 三角函数的导数公式 1.核心公式： （1），则（）; （2），则（）; （3），则（）. 2.易错辨析： （1）导数符号错误，勿记为; （2）遗漏定义域限制; （3）导数勿记为. 3.重点记忆：正弦导余弦，余弦导负正弦. 4.常考结论： （1），则; （2），则. 【即学即练】 1．设函数，则 . 【答案】 【分析】求导，再令即可得解. 【详解】由，得， 所以. 故答案为：. 2.（24-25高二下·天津滨海新·月考）函数，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】由即可求解. 【详解】， 所以. 故选：A 知识点06 核心公式汇总表 函数类型 函数解析式 导数公式 适用条件 常数函数 （为常数） 幂函数 （） ；为非负整数时 指数函数 （） 对数函数 （） 三角函数 【即学即练】 1．（24-25高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用常数函数的导数公式计算； （2）利用先化成指数幂的形式，然后利用幂函数的导数公式计算； （3）利用指数函数的导数公式计算； （4）利用对数函数的导数公式计算. 【详解】（1）因为，所以． （2）因为，所以． （3）因为，所以． （4）因为，所以． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列求导数运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据常见基本初等函数的求导法则得到答案. 【详解】A选项，，故A正确； B选项，，故B错误； C选项，，故C错误； D选项，，故D正确． 故选：AD 题型01 导数定义在极限中的简单计算 【典例1】（24-25高二上·浙江金华·期末）已知，则 （    ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据导数的定义可得，求得得解. 【详解】由，可得， 即，又，则， 所以. 故选：D. 【变式1】已知函数，则 ． 【答案】6 【分析】利用瞬时变化率和极限思想求得，再结合函数解析式求得即可. 【详解】因， 由可得， 故. 故答案为：6. 【变式2】已知函数，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用导数的定义，求得，列出方程，即可求解. 【详解】由函数， 则， 所以，解得. 故选：B. 【变式3】若，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用导数的定义和导数公式进行计算. 【详解】由题意可知，， . 故选：D. 一、核心考点 依托导数的极限定义求解简单极限问题，本质是对导数定义表达式的识别与凑形 二、方法技巧总结 1.牢记导数定义的核心表达式：函数在处的导数，也可等价变形为 2.极限凑形原则：观察待求极限的结构，通过等价变形（如分子分母同乘、同加某式），将其转化为导数定义的标准形式，关键是找准和（或）对应的表达式 3.常见变形类型： （1）已知，求（为常数）：变形为 （2）求：变形为 （3）求：拆分为 三、易错辨析 1.忽视导数定义的核心条件“”（或“”），盲目凑形导致错误 2.对含参数的极限变形时，符号处理失误，如将误算为，遗漏负号 四、公式规范梳理 1.导数定义标准式： 2.常见等价变形式：（） 题型02 基本初等函数的导数公式 【典例1】（25-26高二上·福建厦门·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D． 【变式1】（25-26高二上·湖南长沙·月考）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由导数的计算公式逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D错误. 故选：C. 【变式2】（24-25高二下·广东广州·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用幂函数的导数公式可求得原函数的导数； （2）利用幂函数的导数公式可求得原函数的导数； （3）利用对数函数的导数公式可求得原函数的导数； （4）利用指数函数的导数公式可求得原函数的导数； （5）化简函数解析式，利用正弦函数的导数公式可求得原函数的导数. 【详解】（1），； （2），； （3），； （4），； （5），． 【变式3】（24-25高二·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据基本初等函数的求导公式进行求导即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）∵， ∴． 一、核心考点 准确应用常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式求解函数导数，是导数应用的基础题型 二、方法技巧总结 1.公式分类记忆法：按函数类型归类记忆，避免混淆，核心公式如下： （1）常数函数：若（为常数），则 （2）幂函数：若（），则，重点掌握特例：、、、 （3）指数函数：若（），则；特例 （4）对数函数：若（），则；特例 （5）三角函数：、、 2.先化简再求导原则：对于复杂形式的初等函数，先通过代数变形转化为简单初等函数的和、差形式，再应用公式求导，如可化简为，再分别求导 3.定义域优先原则：求导前先明确原函数的定义域，导数的定义域是原函数定义域的子集，避免在非定义区间内求导导致错误 三、易错辨析 1.混淆幂函数与指数函数导数公式，如误将算为，正确结果为 2.三角函数导数符号失误，如误将算为，正确结果为 3.幂函数负指数、分数指数求导时，遗漏“指数减1”，如误将算为，正确结果为 四、公式规范梳理 1.幂函数通用公式：（，；为非负整数时） 2.指数与对数函数核心公式：、、、 3.三角函数核心公式：、、（等价于） 题型03 用导数公式求在某点处的切线方程 【典例1】（24-25高二下·四川广安·月考）曲线在处的切线斜率为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以， 所以曲线在处的切线斜率为1. 故选：C. 【变式1】（24-25高二下·江苏镇江·月考）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的导数计算切线斜率，再应用点斜式写出切线方程即可. 【详解】因为，所以，所以，且， 所以在点处的切线方程为，即得. 故选：A. 【变式2】（24-25高二下·北京顺义·月考）函数在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程即可. 【详解】因为函数，所以，所以，， 所以在点处的切线方程为，即. 故选：A. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用幂函数的导数公式对函数求导，进而写出切线方程，求出交点坐标，即可求三角形面积. 【详解】由题设，可得，即，切线方程为， 与轴的交点坐标为，与的交点坐标为， 所以围成三角形面积为 故选：C 一、核心考点 利用导数的几何意义（函数在某点的导数为该点处切线的斜率），求解函数在指定点处的切线方程 二、方法技巧总结 1.解题三步骤： （1）求导数：对原函数求导，得到导函数 （2）求斜率：将指定点的横坐标代入导函数，得到切线斜率；若不存在，说明切线垂直于轴，切线方程为 （3）写方程：已知切线过点和斜率，代入点斜式方程，可整理为斜截式（）或一般式 2.关键提醒：“在某点处”的切线，说明该点一定是切线与函数图像的公共点，即该点在切线上，可直接代入使用 3.特殊情况处理：当切线垂直于轴时，斜率不存在，切线方程不能用点斜式表示，直接写为，此时函数在该点的导数不存在（如在处的切线为） 三、易错辨析 1.未先验证指定点是否在函数图像上，直接代入求导；若点不在图像上，“在某点处”的切线不存在 2.当导数不存在时，误判为无切线，实际可能存在垂直于轴的切线 3.点斜式方程书写失误，遗漏中的，或符号错误 四、公式规范梳理 1.导数的几何意义：（为切线斜率，为切点） 2.切线方程核心公式：点斜式；垂直轴时切线方程 题型04 用导数公式求过某点的切线方程 【典例1】（24-25高二下·广东珠海·月考）已知函数. (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线过点的切线方程. 【答案】(1)4049 (2)或 【分析】（1）利用平均变化率公式即可求解； （2）利用导数求切线斜率，再设切线方程，通过定点求参数，即可求出切线方程. 【详解】（1）因为， 所以在区间上的平均变化率为 . （2）易知直线与曲线不相切，故设切点为，， 由于，所以在点外的切线方程为：， 由切线经过点得：， 即，解得或， 当时，切点为，， 此时满足题意的切线方程为，显然它过点， 当时，切点为，， 此时满足题意的切线方程为，即，显然它过点， 综上所述，满足题意的切线方程为或. 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知曲线，点是曲线上一点． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，由导数可得切线的斜率，即可根据点斜式求解直线方程， （2）设切点，根据导数得，结合两点斜率公式即可求解，进而可求解. 【详解】（1），切线的斜率， 切线方程为，即． （2）不在曲线上． 设切点为，则切线的斜率． 又切线的斜率，，即， ，， 切线方程为，即． 【变式2】（23-24高三上·黑龙江·月考）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，，求的面积（为坐标原点）； (2)求与曲线相切，并过点的直线方程. 【答案】(1)6 (2). 【分析】（1）由导数的几何意义先计算切线方程再求三角形面积即可； （2）设切点坐标结合导数的几何意义计算即可. 【详解】（1）∵，∴，又， ∴在处的切线方程为：，即， ∴可得，， ∴； （2）设过点的直线与相切于点， 由，∴，∴切线方程为： 又切线过点， ∴，解得：， ∴所求切线方程为：，即. 【变式3】求过且与曲线相切的直线方程． 【答案】或. 【分析】设切点是，由求导可得，再利用导数的几何意义结合斜率公式可得，解得 或，进而可求切线斜率，再利用点斜式即可求解. 【详解】点不在曲线上， 点不是切点，设切点是， 由，可得， ，即 ， 解得 或， 切线的斜率或 ， 切线的方程是或 ，即或. 一、核心考点 求解过函数图像外（或内）某定点的切线方程，需区分“过某点”与“在某点处”的差异，可能存在多条切线 二、方法技巧总结 1.解题四步骤： （1）设切点：设切线与函数的切点为，注意切点一定在函数图像上 （2）求斜率：对求导，得到切线斜率 （3）列方程：切线过定点，根据点斜式可得，此方程仅含未知数 （4）解方程组：求解上述方程得到的所有可能值，代入和切点坐标，再代入点斜式得到所有切线方程；若方程无解，则不存在这样的切线 2.定点位置判断： （1）若定点在函数图像上，则“过该点的切线”可能是“在该点处的切线”（1条），也可能存在其他切线（需通过方程求解验证） （2）若定点在函数图像外，可能存在2条、1条或0条切线，取决于方程解的个数 3.简化计算技巧：对于常见函数（如二次函数、幂函数），可利用导数公式快速求导，代入方程后通过因式分解等方法求解 三、易错辨析 1.混淆“过某点”与“在某点处”，直接将定点当作切点求导，导致漏解或错解 2.求解关于的方程时，遗漏根的情况，如二次方程有两个不同实根时，只取一个根，忽略另一条切线 3.当切线斜率不存在时，未单独验证是否过定点，导致漏解（如过点的切线，需考虑斜率不存在的情况是否成立） 四、公式规范梳理 1.切点设法：设切点为，斜率 2.核心方程：（为定点） 3.切线方程通式：（代入的解即可） 题型05 导数公式在切线方程中求参数 【典例1】（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知直线与曲线相切，则实数 ． 【答案】 【分析】先设切点坐标，再求曲线在切点处的导数，最后联立求解即可. 【详解】设直线 与曲线 的切点为 ， 对曲线 求导， 则曲线在切点的斜率为， 而切点同时在直线 上， 代入得：，将 代入上式： 得到，化简得，解得 ， 所以 故答案为：. 【变式1】（25-26高三上·安徽浙江·月考）若直线是曲线的切线，则 ． 【答案】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合给定切线列式求解. 【详解】设切点为，由求导得，由直线是曲线的切线， 得，则，所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·浙江金华·期末）若是曲线的切线，则 . 【答案】/0.25 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标，进而求出值. 【详解】设直线与曲线相切的切点为， 由，求导得，则，解得， 由切点在直线上，得，所以. 故答案为： 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）（1）曲线在点处的切线方程是 ． （2）已知直线是曲线的一条切线，则 ． 【答案】 【分析】（1）根据题意，利用导数的几何意义，即可求解. （2）设切点坐标为，求得，列出方程组，求得，即可求解. 【详解】（1）由函数，可得，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）设切点坐标为，由函数，可得，则， 又由，解得，所以． 故答案为：；. 一、核心考点 已知切线方程的相关条件（如过定点、斜率、与某直线平行/垂直），求解函数或切线方程中的参数值，本质是导数几何意义与方程思想的结合 二、方法技巧总结 1.分类求解策略： （1）已知切线过定点求参数：设函数含参数，按“过某点的切线方程”求解步骤，设切点，列方程，代入含的函数表达式，求解关于和的方程组，结合函数定义域确定的取值 （2）已知切线斜率求参数：由导数的几何意义，令（为已知斜率），解方程得到，再结合其他条件（如切点在函数图像上）求解参数 （3）已知切线与某直线平行/垂直求参数：两直线平行则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为（斜率均存在），先求出已知直线的斜率，再转化为“已知切线斜率求参数”问题；若其中一条直线斜率不存在，则另一条直线斜率也需不存在（垂直时需单独验证） 2.验证步骤不可少：求出参数值后，需代入原函数和切线方程验证，确保满足所有已知条件，避免增根 3.多参数问题处理：若存在多个参数，需根据已知条件建立多个方程，联立求解，注意参数之间的约束关系（如定义域、二次函数判别式等） 三、易错辨析 1.忽略参数的取值范围，如幂函数中指数为分数时的定义域限制，导致求出的参数值使函数无意义 2.两直线垂直时，遗漏斜率不存在的情况，如已知切线与轴垂直，误判为斜率之积为，实际切线斜率不存在，即导数不存在 3.联立方程求解时，计算失误导致参数值错误，未进行验证步骤 四、公式规范梳理 1.平行条件：（为两直线斜率，均存在） 2.垂直条件：（均存在）；若不存在，则（垂直） 3.核心方程：（为切线斜率）、（切线过定点） 题型06 用导数公式求共切线 【典例1】（2025高三上·四川自贡·专题练习）写出与曲线和都相切的一条直线的方程 . 【答案】或 【分析】分别设出切线与两曲线的切点，根据导数的几何意义列方程，解方程可得答案. 【详解】设切线 与 在点 处相切， 则：， 将 代入第一个方程：， 设切线 与 在点 处相切， 则：， 将 代入第一个方程： ， 联立， （1）与（2）联立得：， 再把（3）式两边取对数得：， 代入到（4），得： ， 解得：或， 再分别代入到（1）和（3）中， 得：或. 故答案为：或 【变式1】（25-26高三上·山东·期中）若直线为曲线与的公切线，则直线的方程可以为 .（写出符合条件的一个方程即可） 【答案】（或） 【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程． 【详解】直线与曲线的切点为， ，切线的斜率为， 所以切线方程为，即． 直线与曲线的切点为， ，切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 因为直线为曲线与的公切线， 所以， 由得，两边取自然对数得， 即，即， 代入得，即，解得或， 所以或， 所以的方程为或． 故答案为：（或）． 【变式2】（25-26高三上·云南昭通·月考）已知直线是曲线和曲线（且）的一条公切线，那么的值为 ． 【答案】 【分析】先根据函数和函数互为反函数得出切点在直线上，再设切点应用切线斜率计算求参. 【详解】函数和函数互为反函数，其图象关于直线对称，从而切点在直线上． 设切点坐标为，切点也在两条曲线上，并且两个函数在切点处的导函数值都是1，且和， 则列出方程， 由①得，则， 于是，代入②得，解得，从而． 故答案为：． 【变式3】（2025·山东德州·三模）已知曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合对称性可设，结合导数的几何义求得，即可得结果． 【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称， 且反比例函数的图象也关于直线对称， 可知点关于直线对称， 设，则， 设，则， 由题意可得：，解得或(舍去)， 可得，代入可得，所以． 故答案为：． 一、核心考点 求解与两个不同函数图像都相切的共切线方程，需利用两个函数的导数分别表示切线斜率，结合切线方程的一致性建立关系 二、方法技巧总结 1.解题五步骤： （1）设双切点：设共切线与第一个函数的切点为，与第二个函数的切点为 （2）求双斜率：分别对、求导，得到切线斜率 （3）写双切线方程：根据点斜式，分别写出过、两点的切线方程：、 （4）列等量关系：由于是同一条切线，两个切线方程的斜率和截距分别相等，因此得到方程组：（截距相等推导：将点斜式化为斜截式，截距） （5）求解并写方程：解上述方程组得到和的值，代入切线方程即可得到共切线方程；若方程组无解，则不存在共切线 2.简化技巧：对于常见的初等函数（如、），可先写出具体的导数公式和截距表达式，再联立方程，减少抽象运算 3.多共切线判断：通过方程组解的个数判断共切线的条数，若有两组不同的，则存在两条共切线，以此类推 三、易错辨析 1.遗漏截距相等的条件，仅利用斜率相等建立方程，导致无法唯一确定切点坐标 2.对两个函数求导时，公式应用错误，导致斜率表达式错误，进而影响后续方程组求解 3.求解方程组时，计算复杂导致失误，未验证解出的切点是否满足两个切线方程一致的条件 四、公式规范梳理 1.斜率相等条件： 2.截距相等条件： 3.共切线方程通式：（或代入的表达式） 一、单选题 1．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）若函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用导数的求导法则进行求导即可求解. 【详解】，，. 故选：B. 2．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的定义，基本初等函数的导数公式可得，再根据同角三角函数的平方关系求值即可. 【详解】记，则， 由， 可得， 即，因， 故. 故选：B. 3．（2025高二·全国·专题练习）设，， ，，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数依次求导，找到导函数的周期性即可求解. 【详解】，， ，， 可知，所以． 故选：D． 4．（25-26高三上·辽宁·开学考试）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求导公式及导数的定义求解. 【详解】由题意得，， 则． 故选：B 二、多选题 5．（24-25高二下·福建漳州·期末）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】AB 【分析】利用基本初等函数求导公示表可直接判断ABC，易知，求得其导函数直接代入计算即可知D错误. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确. 对于C，由，得，C错误； 对于D，由可知，则，D错误 故选：AB 三、填空题 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）抛物线在处的切线斜率为 ． 【答案】2 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由，得，所以， 所以抛物线在处的切线斜率为. 故答案为：. 7．（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数的导函数为偶函数，且的图象与直线相切，则可以是 ．（写出一个满足条件的函数解析式即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意可知为奇函数，且存在，使得，取基本函数分析判断即可. 【详解】因为函数的导函数为偶函数，所以为奇函数， 所以满足此条件， 因为的图象与直线相切， 所以存在，使得， 若，则， 此时取，则，，满足条件， 所以可以是. 故答案为：（答案不唯一）. 8．（25-26高三上·湖南·开学考试）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，代入点斜式直线方程求解即可. 【详解】记，则，， 所以曲线在点处的切线方程为 ，即. 故答案为： 9．（25-26高三上·上海·开学考试）曲线平行于直线的切线方程为 . 【答案】或 【分析】设出切点坐标，利用导数结合已知求出切点坐标，进而求出切线方程. 【详解】设平行于直线且与曲线相切的切点为， 由，可得曲线在点处的切线斜率为， 由切线与直线平行，得，解得， 当时，切点为，此时切线方程为，即； 当时，切点为，此时切线方程为，即， 故所求切线方程为或. 故答案为：或 10．（25-26高三上·山东德州·期中）已知函数，则曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据导数求斜率，再利用点斜式求出. 【详解】由题意得，，， 由导数的几何意义得切线斜率为， 则切线方程为，即. 故答案为： 11．（25-26高二上·上海·期中）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】先求函数的导数，再求导函数值可得. 【详解】由，所以，所以. 故答案为：. 12．（24-25高二下·福建厦门·月考）已知函数，则 . 【答案】 【分析】先求得，即可求得. 【详解】由得，， . 故答案为：. 13．（2025高二·全国·专题练习）设曲线在点处的切线为，若直线与轴、轴的交点分别为，，坐标原点为，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先利用导数求解切线方程，并求出、点坐标，进而表示出的周长，然后根据均值不等式求解最值即可. 【详解】因为，所以切线， 即，从而，， 所以的周长（）． 因为，当且仅当 ，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． 故周长的最小值为. 故答案为： 14．（25-26高三上·上海·月考）设，则 . 【答案】 【分析】先求出，再分析出就是函数在处的导数，计算即可. 【详解】因为，所以. 由导数的定义可知. 故答案为： 15．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程 . 【答案】或（写出其中一条即可） 【分析】设切点，利用导数求出切线斜率，得出切线方程，代入所过点坐标即可得解. 【详解】，设切点， 则切线方程为，即， 因为过点，所以， 解得或， 所以切线方程为或 故答案为：或（写出其中一条即可） 16．（25-26高三上·河北沧州·期中）曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则正实数 . 【答案】 【分析】先求，利用导数的几何意义得切线方程，进而求三角形面积，利用对数的换底公式结合指数与对数的互化即可求解. 【详解】由题意有：，，， 所以切线方程为：，令，令， 所以切线与坐标轴的交点为：， 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为：， 故答案为：. 17．（25-26高三上·陕西·月考）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据切线斜率与切点处导数相等求出切点坐标间的关系即可． 【详解】函数，，有，， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点， 则有，可得，， . 故答案为：2 18．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 ． 【答案】和 【分析】考点：导数的几何意义（切线斜率）、过定点的切线问题（定点未必是切点）．利用导数表示切线斜率，设出切点坐标；将定点代入切线方程，求解所有可能的切点（需注意存在多个切点的情况）；结合不同切点，得到对应的切线方程． 【详解】曲线的导数为， 设切点为，则切线斜率为， 切线方程为； 将代入切线方程，整理得， 因式分解得，解得或． 当（切点为），斜率为12，切线方程为； 当（切点为），斜率为3，切线方程为． 故答案为：和． 四、解答题 19．（24-25高二下·福建三明·期末）已知函数（，且）. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)已知，若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据求，再根据导数的几何意义求函数的切线方程. （2）先把问题转化成在区间上有解，再结合基本不等式可求的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，故.所以. 因为，. 所以函数在点处的切线方程为： ，即. （2）因为 . 由，所以. 所以关于x的不等式在区间上有解，等价于在区间上有解. 因为，当且仅当时取等号. 所以 . 所以实数的取值范围为：. 20．（25-26高二上·上海·期中）若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 【答案】(1)；； (2)；. 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求切线方程可得； （2）根据公切线的定义可求得公切点，进而可得所求结果. 【详解】（1）联立，解得或（舍去），所以交点坐标为． 对求导，可得，将代入，得切线斜率． 切线方程，即. 对求导，，将，得切线斜率． 切线方程，即. 所以交点处的切线方程为，. （2）设公切点． 对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率． 对求导，可得，则在点处的切线斜率. 因为两函数在点处存在公切线，所以，即①． 又因为点在两函数图象上，所以②． 由①得，将其代入②可得：，即，解得. 将代入（1）得：，解得. 将代入得. 所以，点的坐标为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 导数的计算 教学目标 1.掌握常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、核心三角函数的导数公式及适用条件. 2.能运用必考导数公式求解简单函数的导数. 3.明确公式适用的定义域限制，避免定义域失误. 教学重难点 1.重点 常数函数、幂函数、、、、、的导数公式记忆与直接应用；公式匹配判断. 2.难点 幂函数负指数、分数指数的导数应用；指数与幂函数、对数函数导数公式区分；导数符号及定义域限制. 知识点01 常数函数的导数公式 1.公式：若（为常数），则（或）. 2.适用条件：. 3.易错辨析：勿将一次函数误判为常数函数，如导数为5，非0. 4.重点记忆：常数函数导数恒为0. 5.常考结论：导数恒为0的函数为常数函数. 知识点02 幂函数的导数公式 1.公式：若（），则（或）. 2.适用条件：；为非负整数时，. 3.高频特例： （1）：，; （2）：，; （3）：（），; （4）：（），. 4.易错辨析： （1）遗漏定义域限制，如导数定义域为; （2）公式应用失误，勿忘记“指数减1”； （3）负指数幂处理错误，如导数为，非. 5.重点记忆：指数提前，原指数减1；牢记上述高频特例. 6.常考结论：若导数为，则. 【即学即练】 1．曲线在点处切线的斜率为，过点的切线方程 . 2．（24-25高二下·北京·期中）曲线在点处的切线的斜率为 ． 知识点03 指数函数的导数公式 1.基本公式：若（且），则. 2.高频特例：，则. 3.适用条件：（且）. 4.易错辨析： （1）混淆指数与幂函数导数公式，如导数为，非; （2）时为常数函数，导数为0；时不可导. 5.重点记忆：导数等于其本身. 6.常考结论：若导数等于其本身，则. 【即学即练】 1．（2025·青海海东·三模）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 知识点04 对数函数的导数公式 1.基本公式：若（且），则. 2.高频特例：，则. 3.适用条件：. 4.易错辨析： （1）遗漏定义域限制； （2）（）导数为; （3）公式混淆，如导数为，非其他形式. 5.重点记忆：导数为. 6.常考结论：若导数为，则. 【即学即练】 1．函数，则 ． 2．（24-25高三上·广西河池·期末）已知函数在点处的切线与直线垂直，则 ． 知识点05 三角函数的导数公式 1.核心公式： （1），则（）; （2），则（）; （3），则（）. 2.易错辨析： （1）导数符号错误，勿记为; （2）遗漏定义域限制; （3）导数勿记为. 3.重点记忆：正弦导余弦，余弦导负正弦. 4.常考结论： （1），则; （2），则. 【即学即练】 1．设函数，则 . 2.（24-25高二下·天津滨海新·月考）函数，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 知识点06 核心公式汇总表 函数类型 函数解析式 导数公式 适用条件 常数函数 （为常数） 幂函数 （） ；为非负整数时 指数函数 （） 对数函数 （） 三角函数 【即学即练】 1．（24-25高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列求导数运算正确的有（    ） A． B． C． D． 题型01 导数定义在极限中的简单计算 【典例1】（24-25高二上·浙江金华·期末）已知，则 （    ） A． B． C．1 D．0 【变式1】已知函数，则 ． 【变式2】已知函数，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 一、核心考点 依托导数的极限定义求解简单极限问题，本质是对导数定义表达式的识别与凑形 二、方法技巧总结 1.牢记导数定义的核心表达式：函数在处的导数，也可等价变形为 2.极限凑形原则：观察待求极限的结构，通过等价变形（如分子分母同乘、同加某式），将其转化为导数定义的标准形式，关键是找准和（或）对应的表达式 3.常见变形类型： （1）已知，求（为常数）：变形为 （2）求：变形为 （3）求：拆分为 三、易错辨析 1.忽视导数定义的核心条件“”（或“”），盲目凑形导致错误 2.对含参数的极限变形时，符号处理失误，如将误算为，遗漏负号 四、公式规范梳理 1.导数定义标准式： 2.常见等价变形式：（） 题型02 基本初等函数的导数公式 【典例1】（25-26高二上·福建厦门·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·湖南长沙·月考）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·广东广州·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式3】（24-25高二·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 一、核心考点 准确应用常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式求解函数导数，是导数应用的基础题型 二、方法技巧总结 1.公式分类记忆法：按函数类型归类记忆，避免混淆，核心公式如下： （1）常数函数：若（为常数），则 （2）幂函数：若（），则，重点掌握特例：、、、 （3）指数函数：若（），则；特例 （4）对数函数：若（），则；特例 （5）三角函数：、、 2.先化简再求导原则：对于复杂形式的初等函数，先通过代数变形转化为简单初等函数的和、差形式，再应用公式求导，如可化简为，再分别求导 3.定义域优先原则：求导前先明确原函数的定义域，导数的定义域是原函数定义域的子集，避免在非定义区间内求导导致错误 三、易错辨析 1.混淆幂函数与指数函数导数公式，如误将算为，正确结果为 2.三角函数导数符号失误，如误将算为，正确结果为 3.幂函数负指数、分数指数求导时，遗漏“指数减1”，如误将算为，正确结果为 四、公式规范梳理 1.幂函数通用公式：（，；为非负整数时） 2.指数与对数函数核心公式：、、、 3.三角函数核心公式：、、（等价于） 题型03 用导数公式求在某点处的切线方程 【典例1】（24-25高二下·四川广安·月考）曲线在处的切线斜率为（   ） A． B． C．1 D． 【变式1】（24-25高二下·江苏镇江·月考）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·北京顺义·月考）函数在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 一、核心考点 利用导数的几何意义（函数在某点的导数为该点处切线的斜率），求解函数在指定点处的切线方程 二、方法技巧总结 1.解题三步骤： （1）求导数：对原函数求导，得到导函数 （2）求斜率：将指定点的横坐标代入导函数，得到切线斜率；若不存在，说明切线垂直于轴，切线方程为 （3）写方程：已知切线过点和斜率，代入点斜式方程，可整理为斜截式（）或一般式 2.关键提醒：“在某点处”的切线，说明该点一定是切线与函数图像的公共点，即该点在切线上，可直接代入使用 3.特殊情况处理：当切线垂直于轴时，斜率不存在，切线方程不能用点斜式表示，直接写为，此时函数在该点的导数不存在（如在处的切线为） 三、易错辨析 1.未先验证指定点是否在函数图像上，直接代入求导；若点不在图像上，“在某点处”的切线不存在 2.当导数不存在时，误判为无切线，实际可能存在垂直于轴的切线 3.点斜式方程书写失误，遗漏中的，或符号错误 四、公式规范梳理 1.导数的几何意义：（为切线斜率，为切点） 2.切线方程核心公式：点斜式；垂直轴时切线方程 题型04 用导数公式求过某点的切线方程 【典例1】（24-25高二下·广东珠海·月考）已知函数. (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线过点的切线方程. 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知曲线，点是曲线上一点． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程． 【变式2】（23-24高三上·黑龙江·月考）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，，求的面积（为坐标原点）； (2)求与曲线相切，并过点的直线方程. 【变式3】求过且与曲线相切的直线方程． 一、核心考点 求解过函数图像外（或内）某定点的切线方程，需区分“过某点”与“在某点处”的差异，可能存在多条切线 二、方法技巧总结 1.解题四步骤： （1）设切点：设切线与函数的切点为，注意切点一定在函数图像上 （2）求斜率：对求导，得到切线斜率 （3）列方程：切线过定点，根据点斜式可得，此方程仅含未知数 （4）解方程组：求解上述方程得到的所有可能值，代入和切点坐标，再代入点斜式得到所有切线方程；若方程无解，则不存在这样的切线 2.定点位置判断： （1）若定点在函数图像上，则“过该点的切线”可能是“在该点处的切线”（1条），也可能存在其他切线（需通过方程求解验证） （2）若定点在函数图像外，可能存在2条、1条或0条切线，取决于方程解的个数 3.简化计算技巧：对于常见函数（如二次函数、幂函数），可利用导数公式快速求导，代入方程后通过因式分解等方法求解 三、易错辨析 1.混淆“过某点”与“在某点处”，直接将定点当作切点求导，导致漏解或错解 2.求解关于的方程时，遗漏根的情况，如二次方程有两个不同实根时，只取一个根，忽略另一条切线 3.当切线斜率不存在时，未单独验证是否过定点，导致漏解（如过点的切线，需考虑斜率不存在的情况是否成立） 四、公式规范梳理 1.切点设法：设切点为，斜率 2.核心方程：（为定点） 3.切线方程通式：（代入的解即可） 题型05 导数公式在切线方程中求参数 【典例1】（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知直线与曲线相切，则实数 ． 【变式1】（25-26高三上·安徽浙江·月考）若直线是曲线的切线，则 ． 【变式2】（24-25高二下·浙江金华·期末）若是曲线的切线，则 . 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）（1）曲线在点处的切线方程是 ． （2）已知直线是曲线的一条切线，则 ． 一、核心考点 已知切线方程的相关条件（如过定点、斜率、与某直线平行/垂直），求解函数或切线方程中的参数值，本质是导数几何意义与方程思想的结合 二、方法技巧总结 1.分类求解策略： （1）已知切线过定点求参数：设函数含参数，按“过某点的切线方程”求解步骤，设切点，列方程，代入含的函数表达式，求解关于和的方程组，结合函数定义域确定的取值 （2）已知切线斜率求参数：由导数的几何意义，令（为已知斜率），解方程得到，再结合其他条件（如切点在函数图像上）求解参数 （3）已知切线与某直线平行/垂直求参数：两直线平行则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为（斜率均存在），先求出已知直线的斜率，再转化为“已知切线斜率求参数”问题；若其中一条直线斜率不存在，则另一条直线斜率也需不存在（垂直时需单独验证） 2.验证步骤不可少：求出参数值后，需代入原函数和切线方程验证，确保满足所有已知条件，避免增根 3.多参数问题处理：若存在多个参数，需根据已知条件建立多个方程，联立求解，注意参数之间的约束关系（如定义域、二次函数判别式等） 三、易错辨析 1.忽略参数的取值范围，如幂函数中指数为分数时的定义域限制，导致求出的参数值使函数无意义 2.两直线垂直时，遗漏斜率不存在的情况，如已知切线与轴垂直，误判为斜率之积为，实际切线斜率不存在，即导数不存在 3.联立方程求解时，计算失误导致参数值错误，未进行验证步骤 四、公式规范梳理 1.平行条件：（为两直线斜率，均存在） 2.垂直条件：（均存在）；若不存在，则（垂直） 3.核心方程：（为切线斜率）、（切线过定点） 题型06 用导数公式求共切线 【典例1】（2025高三上·四川自贡·专题练习）写出与曲线和都相切的一条直线的方程 . 【变式1】（25-26高三上·山东·期中）若直线为曲线与的公切线，则直线的方程可以为 .（写出符合条件的一个方程即可） 【变式2】（25-26高三上·云南昭通·月考）已知直线是曲线和曲线（且）的一条公切线，那么的值为 ． 【变式3】（2025·山东德州·三模）已知曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则 ． 一、核心考点 求解与两个不同函数图像都相切的共切线方程，需利用两个函数的导数分别表示切线斜率，结合切线方程的一致性建立关系 二、方法技巧总结 1.解题五步骤： （1）设双切点：设共切线与第一个函数的切点为，与第二个函数的切点为 （2）求双斜率：分别对、求导，得到切线斜率 （3）写双切线方程：根据点斜式，分别写出过、两点的切线方程：、 （4）列等量关系：由于是同一条切线，两个切线方程的斜率和截距分别相等，因此得到方程组：（截距相等推导：将点斜式化为斜截式，截距） （5）求解并写方程：解上述方程组得到和的值，代入切线方程即可得到共切线方程；若方程组无解，则不存在共切线 2.简化技巧：对于常见的初等函数（如、），可先写出具体的导数公式和截距表达式，再联立方程，减少抽象运算 3.多共切线判断：通过方程组解的个数判断共切线的条数，若有两组不同的，则存在两条共切线，以此类推 三、易错辨析 1.遗漏截距相等的条件，仅利用斜率相等建立方程，导致无法唯一确定切点坐标 2.对两个函数求导时，公式应用错误，导致斜率表达式错误，进而影响后续方程组求解 3.求解方程组时，计算复杂导致失误，未验证解出的切点是否满足两个切线方程一致的条件 四、公式规范梳理 1.斜率相等条件： 2.截距相等条件： 3.共切线方程通式：（或代入的表达式） 一、单选题 1．（24-25高二下·甘肃嘉峪关·期中）若函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）设，， ，，，，则（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26高三上·辽宁·开学考试）若函数，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二下·福建漳州·期末）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 三、填空题 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）抛物线在处的切线斜率为 ． 7．（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数的导函数为偶函数，且的图象与直线相切，则可以是 ．（写出一个满足条件的函数解析式即可） 8．（25-26高三上·湖南·开学考试）曲线在点处的切线方程为 . 9．（25-26高三上·上海·开学考试）曲线平行于直线的切线方程为 . 10．（25-26高三上·山东德州·期中）已知函数，则曲线在处的切线方程为 ． 11．（25-26高二上·上海·期中）已知函数，则 ． 12．（24-25高二下·福建厦门·月考）已知函数，则 . 13．（2025高二·全国·专题练习）设曲线在点处的切线为，若直线与轴、轴的交点分别为，，坐标原点为，则周长的最小值为 ． 14．（25-26高三上·上海·月考）设，则 . 15．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程 . 16．（25-26高三上·河北沧州·期中）曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则正实数 . 17．（25-26高三上·陕西·月考）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 18．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为 ． 四、解答题 19．（24-25高二下·福建三明·期末）已知函数（，且）. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)已知，若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 20．（25-26高二上·上海·期中）若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $