第四单元第2课时 拼制风筝骨架（三角形三边之间的关系及三角形的内角和）(分层作业)数学青岛版四年级下册

第四单元 第2课时 拼制风筝骨架（三角形三边之间的关系及三角形的内角和） 分层作业 1.三角形任意两边之和（ ）第三边，用字母表示：若三角形三条边为a、b、c，则a+b（ ） c，a+c（ ）b，b+c（ ）a。 2.三角形任意两边之差（ ）第三边，用字母表示：若a>b>c，则a−b（ ）c。 3.若三条线段的长度分别为3cm、4cm、xcm，且能组成三角形，则x的取值范围是（ ） <x<（ ）。 4.三角形的内角和是（ ）度，用数学式子表示为：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=（ ）。 5.直角三角形的两个锐角之和是（ ）度；若直角三角形中一个锐角为35∘，则另一个锐角为（ ）度。 6.钝角三角形中，钝角的度数（ ）90∘，另外两个锐角的度数之和（ ） 90∘（填“大于”“小于”或“等于”）。 7.一个三角形中最多有（ ）个直角，最多有（ ）个钝角，最少有（ ）个锐角。 8.若一个三角形的三个内角度数比为1:2:3，则这个三角形是（ ）三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）。 1．一个三角形最小的锐角是48°，这个三角形一定是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上三种均可 2．等腰三角形其中两条边的比是5∶2，周长是108厘米，这个三角形的底是（    ）厘米。 A．9 B．12 C．18 D．24 二、填空题 3．如下图，三角形纸片被撕去了一个角。撕去的这个角的度数是( )°，原来这块纸片的形状，按角分是( )三角形。 4．一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是( )和( )，也可能是( )和( )，按角分类这个三角形是( )三角形。 5．在能围成三角形的各组小棒下面打“√”，并填空。（单位：cm）                   （         ）       （         ）          （         ）       （         ） 6．如下图，两个三角形都是等腰三角形，∠3＝25°，∠5是多少度？ 7．如下图，三角形ABC是等边三角形。已知∠1＝35°，求∠2的度数。 8．在一个三角形中，∠1的度数是∠2的3倍，∠2的度数是∠3的2倍，这个三角形中最大的一个角是多少度？这是一个什么三角形？ 9．如下图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5是多少度？这个等腰三角形按角分是什么三角形？ 10．王伯伯家有一块三角形菜地，三角形菜地的最大内角是120°，是另一个内角度数的4倍。这块三角形菜地的形状按边分是什么三角形？ 11．小猴子想做一个三角形框架，已经锯好了两根木条（如下图）。第三根木条的长度最长是多少分米？最短是多少分米？（木条长为整分米数） 12．一根铁丝刚好可以围成一个边长是8cm的等边三角形，若把它重新围成一条边长是6cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的底和腰各是多少厘米？ 13．有三根小棒，其中两根的长度分别是3cm和5cm，聪聪说：“只要第三根小棒的长度在3cm和5cm之间，那么这三根小棒就一定能围成一个三角形”。你认为聪聪说得对吗？请说明理由。 14．周末，李莉一家外出游玩，为了拍摄更加稳定的风景照片，他们使用了一个三脚架来固定相机。当三脚架展开并接触地面时，三脚架的脚会与地面形成等腰三角形。其中一个等腰三角形的周长是56厘米，有两条边的比是2∶3，那么这个等腰三角形的底边长可能会是多少厘米？写出你思考的过程。 15．手工课上，老师笑着说：“同学们，听说你们刚学了三角形和四边形的知识，那我可要考考你们了！”同学们信心满满地说：“没问题！” （1）首先，老师让大家设计一个三角形教具。下面是小宇和小恒的设计方案，这两个设计方案可行吗？为什么？ （2）然后，老师拿出了一根刚好围成一个边长是12厘米的等边三角形的铁丝，让大家用这根铁丝围成一个正方形。这个正方形的边长是多少厘米？ （3）最后，老师让大家用三角形设计风筝图案。下面是园园用3个大小不同的等边三角形设计的风筝图案。她准备用彩绳给风筝做一个装饰，有①②③三种方案，哪种方案最省彩绳？哪两种方案用的彩绳一样长？为什么？ 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．A 【分析】由题意得，一个三角形最小的锐角是48°，那么另外两个角的度数都大于48°。48°＋48°＝96°，即较小的两个角的度数之和一定大于96°。三角形的内角和为180°，180°－96°＝84°，即最大的角不会超过84°。所以这个三角形的三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形。 【详解】48°＋48°＝96° 180°－96°＝84°，即这个三角形的三个内角都是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。 故答案为：A 2．C 【分析】等腰三角形的两条腰相等，根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；两边的比是5∶2，三边比是5∶5∶2，把三边之和分成5＋5＋2＝12份；底占其中的，用三边之和×，即可求出三角形的底是多少。 【详解】5＋5＋2＝12（份） 底占其中的 底是：108×＝18（厘米） 所以这个等腰三角形的底是18厘米。 故答案为：C 3． 57 锐角 【分析】根据三角形的内角和是180°计算出撕去角的度数；再根据三角形按角分类规则判断：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 【详解】180°－66°－57° ＝114°－57° ＝57° 三个角都大于0°，小于90°。 所以撕去的这个角的度数是57°，原来这块纸片的形状，按角分是锐角三角形。 4． 70° 40° 55° 55° 锐角 【分析】根据题意，等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和等于180°。题意没有说明70° 角是顶角还是底角，需分情况讨论。无论哪种情况，所有的角都是锐角，因此为锐角三角形。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 当70°为底角时： 180°－70°×2 ＝180°－140° ＝40° 此时三个角为：70°、70°、40° 当70°为顶角时： （ 180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 此时三个角分别为：70°、55°、55° 一个等腰三角形其中一个角是70°，那么这个三角形其他两个角的度数分别是70°和40°，也可能是55°和55°，按角分类这个三角形是锐角三角形。 5．（√）（√）（    ）（    ）； 任意；大于；大于 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”来判断每组小棒能否围成三角形。 已知第一组小棒的长度均为8cm，根据三角形三边关系，需要验证任意两边之和是否大于第三边。，因此，这组小棒能围成三角形，在括号内打“√”。 已知第二组小棒长度分别为7cm，5cm，10cm。根据三角形三边关系，需要验证任意两边之和是否大于第三边。，，，因此，这组小棒能围成三角形，在括号内打“√”。 已知第三组小棒长度分别为2cm，3cm，6cm。根据三角形三边关系，需要验证任意两边之和是否大于第三边。，因此，这组小棒不能围成三角形，在括号内不打“√”。 已知第四组小棒长度分别为6cm，4cm，2cm。根据三角形三边关系，需要验证任意两边之和是否大于第三边。，因此，这组小棒不能围成三角形，在括号内不打“√”。 根据以上判断，可以总结出发现，据此解答。 【详解】由分析可知，如图所示： 我发现：三角形任意两边之和大于第三边。判断三条线段能否围成一个三角形，只需看较短的两边之和是否大于第三边。 6．140° 【分析】题目已知条件三角形为等腰三角形，从图可知，有一个角是直角，所以大三角形是等腰直角三角形。根据等腰直角三角形的性质求出与的度数，再求出∠1与∠2的度数，最后根据三角形内角和定理求出∠5的度数。 【详解】 答：∠5是140°。 【点睛】结合三角形内角和与等腰直角三角形的性质得出答案。 7． 【分析】因为三角形ABC是等边三角形，所以每个内角都是60°，即∠4＝60°。利用平角大小求出∠3，再结合内角和180°，最后求出∠2。 【详解】因为三角形ABC是等边三角形，所以， 所以， 所以 答：∠2的度数是25°。 8．120°；钝角三角形 【分析】已知∠1的度数是∠2的3倍，∠2的度数是∠3的2倍。所以，∠2＝2∠3，∠1＝6∠3，先求出∠3的度数，再进一步计算。 【详解】因为∠1＝3∠2，∠2＝2∠3， 所以∠1＝6∠3， 所以∠3＝180°÷（1＋2＋6）＝20° 所以∠2＝20°×2＝40° ∠1＝20°×（3×2）＝120° 答：这个三角形中最大的一个角是120°，这是一个钝角三角形。 9．是120°，这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【分析】因为大三角形是等边三角形，三角形内角和为180°，所以每个内角都是60°，又因为，，所以，， 根据三角形内角和为180°，可得 因为120°大于90°，所以这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【详解】 120°为钝角，所以这个等腰三角形按角分是钝角三角形。 【点睛】先利用等边三角形内角为60°及角的等量关系求出等腰三角形的两个底角，再根据三角形内角和求出，最后判断三角形类型。 10． 等腰三角形 【分析】三角形按边分，可以分为一般三角形、等腰三角形和等边三角形：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，等腰三角形两个底角的大小相等；三条边相等的三角形，是等边三角形，等边三角形三个角大小都是60°。 根据题意，已知三角形的最大内角是120°，是另一个内角度数的4倍，用120°除以4即可求出另一个内角的度数；再根据三角形内角和为180°，用180°减去已知的两个角，即可求出第三个内角的度数；根据角的大小关系，再判断这个三角形按边分，是什么三角形，据此解答。 【详解】另一个内角： 第三个内角： 30°＝30°，两个角大小相等 答：这个三角形菜地的形状按边分是等腰三角形。 11． 19dm；5dm 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两根木条的长度分别为12分米和8分米，先计算两边之和与两边之差，从而确定第三根木条长度的取值范围，再根据木条长为整分米数，得出最长和最短的长度。 【详解】（dm） （dm） 第三根木条的长度应大于4dm且小于20dm，因为木条长为整分米数，所以最长是19dm，最短是5dm。 答：第三根木条的长度最长是19分米，最短是5分米。 12．底是6cm，腰是9cm 【分析】先计算铁丝的总长度，再分两种情况讨论等腰三角形的边长，根据三角形三边关系判断哪种情况成立，从而确定底和腰的长度；据此解答。 【详解】（cm） 如果腰是6cm，那么底是 （cm） 因为，所以围不成三角形，则这个等腰三角形的底是6cm。 腰长： （cm） 答：这个等腰三角形的底是6厘米，腰长是9厘米。 13． 对；理由见详解 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两根小棒长度分别为3cm和5cm，两边之和为3＋5＝8（cm） ，两边之差为5－3＝2（cm） ；根据三角形三边关系，第三根小棒的长度需大于2cm且小于8cm；聪聪认为第三根小棒长度在3cm和5cm之间，因为3cm大于2cm，5cm小于8cm，所以3cm到5cm的范围在2cm到8cm之间，满足三角形三边关系。 【详解】聪聪说得对。 三角形的三边关系：第三边大于两边的差，小于两边的和，3＋5＝8（cm），5－3＝2（cm），第三根小棒的长度在2cm和8cm之间就能围成一个三角形，3cm和5cm之间在这个范围内，所以聪聪说得对。（理由合理即可） 【点睛】本题需根据三角形的三边关系确定第三根小棒的长度范围，再判断3cm和5cm之间是否符合要求。 14．24厘米或14厘米；思考见详解 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等，需结合“两边比是2∶3”分两种情况讨论（腰∶底＝2∶3或底∶腰＝2∶3），同时要满足“三角形三边关系（两边之和大于第三边）”。 【详解】第一种情况：三条边的比是2∶2∶3 （厘米） （厘米） 第二种情况：三条边的比是2∶3∶3 （厘米） （厘米） 答：这个等腰三角形的底边长可能会是24厘米或14厘米。 【点睛】解决等腰三角形边长问题，需结合“两边比”分腰为短边、腰为长边两种情况讨论，同时牢记“三角形三边关系（两边之和大于第三边）”，避免漏解或错解。 15．（1）这两个设计方案都不可行。理由见解析； （2）9厘米；（3）方案②最省彩绳，方案①和方案③用的彩绳一样长，因为等边三角形三条边长度相等。 【分析】（1）根据三角形内角和判断小恒的设计方案是否可行；根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边判断小宇的设计方案是否可行； （2）已知等边三角形的铁丝边长为12厘米，先求三角形的周长，再用这根铁丝围成正方形，正方形的周长和三角形的周长一样，所以用周长除以4得到正方形的边长； （3）把三种方案的彩带长度计算出来，比较三种方案，选择长度最短的方案是最省彩绳的。 【详解】（1）， （厘米）， 答：这两个设计方案都不可行。因为小恒的设计方案中，三角形的内角和大于180°；小宇的设计方案中，三角形的其中两边之和等于第三边。 （2）（厘米） 答：这个正方形的边长是9厘米。 （3）方案①：（厘米） 方案③：（厘米） 方案②：（厘米）， 答：方案②最省彩绳，方案①和方案③用的彩绳一样长，因为等边三角形三条边长度相等。 $