7.4平移（题型专练，3基础&2提升题型+培优）数学新教材人教版七年级下册

7.4平移 题型一、生活中的平移 1．下列现象中属于平移的是（   ） A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【答案】A 【分析】本题考查了平移的定义，理解平移的定义：物体在运动过程中，所有点移动相同距离和方向，形状和大小不变是解题的关键． 根据平移的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：∵平移的定义是物体在运动过程中，所有点移动相同距离和方向，形状和大小不变. 选项A：升降电梯从一楼升到五楼，是沿直线移动，电梯本身形状不变，符合平移； 选项B：卫星绕地球运动，是圆周运动，方向不断变化，不符合平移； 选项C：树叶从树上随风飘落，运动轨迹不规则，且常有旋转，不符合平移； 选项D：纸张沿着中线对折，是对称折叠，形状改变，不符合平移. ∴属于平移的是A， 故选：A． 2．下列现象：温度计中，液柱的变化；电梯上下运动；钟摆的摆动；小方块在水平地面滑动，属于平移的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平移的定义与性质，熟记平移不改变图形形状与大小是解决问题的关键．根据平移的定义与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：温度计中，液柱的变化：液柱热胀冷缩，长度改变，点之间的相对位置变化，不是平移； 电梯上下运动：电梯整体移动，所有点移动相同距离，是平移； 钟摆的摆动：钟摆沿弧线运动，有旋转，不是平移； 小方块在水平地面滑动：小方块整体滑动，所有点移动相同距离（假设无旋转），是平移． 属于平移的是和， 故选：D． 3．下列现象是数学中的平移的是（   ） A．树叶从树上落下 B．碟片在光驱中运行 C．卫星绕地球运动 D．电梯由一楼升到顶楼 【答案】D 【分析】本题考查了平移的概念，根据平移是图形沿某一直线方向移动一定的距离，可得答案． 【详解】解；A、树叶从树上落下不沿直线运动，不符合平移定义，故此选项错误； B、碟片在光驱中运行，不符合平移定义，故此选项错误； C、卫星绕地球运动不沿直线运动，不符合平移定义，故此选项错误． D、电梯由一楼升到顶楼是平移，故选项正确． 故选：D． 4．下列现象属于平移的是（    ） A．投篮时的篮球运动 B．随风飘动的树叶在空中的运动 C．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡 D．急刹车时汽车在地面上的滑动 【答案】D 【分析】本题考查生活中的平移，掌握相关知识是解决问题的关键．利用平移的定义逐项判断即可． 【详解】解：平移是指物体沿一个方向移动一定的距离，平移前后物体大小、形状不变．根据定义，A、B、C均不符合题意，急刹车时汽车在地面上的滑动是平移． 故选：D． 题型二、图形的平移 1．下列车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； B．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； C．可由圆环沿水平直线方向移动得到，符合题意； D．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； 故选：C． 2．如图所示的是某公司徽标图案．在下列选项中，能由此徽标通过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移后图形的形状、大小、方向均不改变，仅位置变化是解题的关键． 本题根据平移的性质，逐个判断选项中的图形是否与原徽标保持一致的形状、大小和方向． 【详解】解： A、图形方向与原徽标不同，不符合平移的性质，不符合题意； B、图形方向与原徽标不同，不符合平移的性质，不符合题意； C、图形方向与原徽标不同，不符合平移的性质，不符合题意； D、图形的形状、大小、方向均与原徽标一致，仅位置改变，符合平移的性质，符合题意． 故选：D． 3．下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的概念与性质，根据平移的概念即可判断． 【详解】解：选项B中的“比”字形状一样，因此可以看作是由一个“基本图形”平移得到； 故选：B． 4．图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，把图①放置在如图②所示的的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形．不同的放置方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．12种 【答案】C 【分析】此题考查了图形的变化，探寻规律要认真观察，仔细思考，善用联想解决此类问题． 先找出图形的变化部分，以及变化规律，再运用找出的规律解答问题即可． 【详解】解：如图，共有8种不同的放置方法． 故选：C． 1．如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长，宽．为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2m．小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 m． 【答案】176 【分析】本题考查平移的实际应用，掌握通过平移将曲折线段的长度转化为规则线段的长度进行计算是解题的关键． 观察小路的曲折路线，通过平移线段的方法，将横向线段的总长度转化为长方形的长，纵向线段的总长度等于，再将两部分长度相加得到总路线长． 【详解】解：利用平移的方法：路线中横向线段平移后，总长度等于长方形的长； 路线中纵向线段平移后，总长度等于； 因此，总路线长为． 故答案为：176． 2．如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走： ①为折线段，②为折线段，③为折线段． 三条路的长依次为、、，则a，b，c的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质、两点之间线段最短，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得，，则可得，再根据两点之间线段最短可得，则，由此即可得． 【详解】解：由平移的性质得：，， ∵路①为折线段：， 路②为折线段：， 由平移的性质可知：，， ∴， 由两点之间线段最短得：， ∵路②为折线段：， 路③为折线段：， ∴， 综上，． 故答案为：． 3．小红的爸爸打算在院子里种上蔬菜，已知院落为东西长，南北宽为的长方形，为了行走方便，要修筑三条道路，东西方向两条，南北方向一条，南北方向道路垂直于东西方向道路（如图a），余下的部分要种上西红柿，设道路的宽为，爸爸打算让小红算一下，用于种菜的面积是多少？小红经过分析后，考虑可以直接求出用于种菜部分的面积，若从平移的角度看，只需把道路均平移到边上去（如图b）不难发现图b中的空白的面积． (1)请你帮小红求出空白部分的面积（用含x的代数式表示）； (2)当时，求种菜的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查长方形的面积公式，整式的混合运算，关键在于平移的性质推出b图中道路的宽和长． （1）如图b，根据平移的性质，东西方向的道路的长为，宽为，则面积为，南北方向道路的面积为，院子的面积为，则空白部分的面积为，然后计算即可； （2）根据（1）所推出的结论，把代入（1）所求出的表达式，即可推出结果． 【详解】（1）∵院落为东西长，南北宽为的长方形， ∴， ∵道路的宽为， ∴东西方向的道路的长为，宽为， ∴面积为， ∴南北方向道路的面积为， ∴空白部分的面积 ． （2）∵空白部分的面积为， ∴当时，空白部分的面积 =． 4．在如图所示的方格纸中，按要求画图、填空： (1)点向右移动4格，向下移动3格到达格点（网格线的交点叫格点）；再向下移动3格，向左移动5格到达格点，请画出点，点的位置． (2)作射线，连接． (3)过点画线段的垂线，垂足为． (4)画出线段的垂直平分线，其中与的位置关系为_______，依据为______． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)图见详解 (4)图见详解，平行；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题主要考查平移、平行线的判定、线段、射线及垂线，熟练掌握平移、平行线的判定、线段、射线及垂线的定义是解题的关键； （1）根据平移的性质可进行求解； （2）根据射线及线段的定义可进行求解； （3）根据垂线的定义可进行求解； （4）根据垂线的定义及平行线的判定可进行求解． 【详解】（1）解：点，点的位置如图所示： （2）解：作射线，连接，如图所示； （3）解：过点画线段的垂线，垂足为，如图所示； （4）解：画出线段的垂直平分线，如图所示；由图可知：与的位置关系为平行，依据为同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； 故答案为平行；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 5．如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸内将三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)画出三角形，其中点的对应点分别为点； (2)这个平移过程可以看作三角形先向___________平移___________个单位长度，再向___________平移___________个单位长度； (3)若三角形经过一次平移得到三角形，求线段平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)左，，下， (3)20 【分析】本题考查平移的性质，平移作图，解题的关键是掌握平移的性质． （1）根据点和点的位置，得出平移的方向和距离，据此可解决问题； （2）根据（1）所画图形即可解决问题； （3）根据平移的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：这个平移过程可以看作先向左平移个单位，再向下平移个单位， 故答案为：左，，下，； （3）解：． 6．如图，将方格纸中的三角形先向右平移2格得到三角形，再将三角形向上平移3格得到三角形，设与相交于点． (1)按上述步骤画出经过两次平移后分别得到的三角形，并标出点． (2)图中与既平行又相等的线段有___________，图中与相等的角有___________． (3)若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，平行线的性质： （1）根据所给平移方式作图即可； （2）根据平移的性质即可得答案； （3）根据平移的性质得到，则，得到，则，由平移可知，，则，即可得到． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）图中与既平行又相等的线段有，图中与相等的角有． 故答案为：； （3）由平移可知，， ∴， ∴， ∴， 由平移可知，， ∴， ∴ 题型一、利用图形平移的性质求解 1．如图，在三角形中，，，，.将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到三角形，连接．给出下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】此题考查了平移的性质，先求解，再根据平移的性质得到相关结论，逐项判断即可． 【详解】解：∵， 将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形， ∴，，，， ∴，， ∴，故①和②正确； ∵四边形的周长， ∴四边形的周长，故③正确； ∵， ∴，故④正确， 故选：A． 42．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（    ） A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长 C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可知三个图形都转化为一个长为a，宽为b的长方形，据此可得答案． 【详解】解：利用平移，可将甲、乙、丙三个图形都转化为一个长为a，宽为b的长方形， 所以三个图形所用的铁丝长度一样． 故选：D． 43．如图，长方形中，，．若将该长方形沿方向平移一段距离，得到长方形．当将长方形平移 时，两长方形的重叠部分的面积是． 【答案】1 【分析】本题考查平移的性质与长方形面积公式，掌握平移后对应边相等，长方形面积=长×宽是解题的关键． 先根据平移的性质确定重叠部分是长方形，且其一边长等于的长度；再利用重叠部分的面积公式求出另一边长；最后结合原长方形的边长，计算出平移的距离． 【详解】解：由平移的性质可得． ∵两长方形的重叠部分的面积是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 44．如图，．将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移6 cm，得到三角形．已知，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【分析】先根据平移的性质确定对应线段的长度与平行关系，得到直角条件，再求出梯形的上下底边长，最后利用梯形面积公式计算阴影部分的面积． 【详解】解：直角三角形沿射线方向平移得到 ，且 阴影部分是梯形，以为上下底，为高 故答案为：18． 【点睛】本题考查平移的性质与梯形面积公式，掌握平移后对应线段平行且相等、梯形面积是解题的关键． 题型二、用平移解决最短路径问题 1．架桥通常会考虑多种因素，其中一个就是路线规划，确保桥两边A，B两地间的路程尽量短，以减少通行时间和成本． (1)如图①，河l的宽度忽略不计，即桥的宽度忽略不计，请你在l上画出表示桥的位置的点P，使从A地经过桥到B地的路程最短． (2)如图②，河岸m和n之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间画出表示桥的位置的线段，使桥与河岸垂直，并且从A地经过桥到B地的路程最短． (3)如图③，河岸m和n，p和q之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间、p和q之间分别画出表示桥的位置的线段和，使每座桥与相应的河岸垂直，并且从A地经过2座桥到B地的路程最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，线段的性质：两点之间线段最短． （1）连接交直线l于点P，点P即为所求； （2）作直线m，使得河宽，连接交直线n于点C，作直线m于点D，连接，线段即为所求； （3）作直线m，使得河宽，直线p，使得河宽，连接交直线n于点C，交直线q于点E，作直线m于点D，作直线p于点F，连接，，线段，即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，点P即为所求； （2）解：如图②中，线段即为所求； （3）解：如图③中，线段，即为所求． 2．【问题情景】如图1，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小，请你探究点的坐标． 【方法分析】小刚的做法是先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小．请在图1中按照小刚的方法完成作图．小刚进一步发现：连接，利用列方程，可求出点的坐标．请按照小刚的思路求出点的坐标； 【问题解决】为响应“秉承节能减排理念，共筑生态环保家园”的号召，现考虑为某化工厂设计一个工业运输用桥方案（平面示意图如图2）．假定长江两岸为互相平行的直线、，且与相距，铁路所在直线垂直于．位于点处的化工厂与相距，与铁路相距；位于点处的火车站与相距．若桥与长江两岸垂直，则在何处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短？请你完成作图，并通过计算求出桥与铁路的距离．      【答案】方法分析：图见解析，；问题解决：在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短，图见解析，桥与铁路的距离为． 【分析】方法分析：根据小刚的做法完成作图；设，根据关于轴对称得到，再结合列方程，求出的值即可； 问题解决：令互相平行的直线、与铁路所在直线相交于点、，将点向左平移至点，连接与交于点，作交于点，连接，过点作于点，则在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短；设， 根据，求出的值即可． 【详解】解：方法分析：如图，点即为所求作；      设，则， 点与点关于轴对称， ， , , ， ， 解得：， 点的坐标为； 问题解决：如图，令互相平行的直线、与铁路所在直线相交于点、，将点向左平移至点，连接与交于点，作交于点，连接，过点作于点，则，    由平移的性质可知，， 、两点之间的路径， 即在处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短； 由题意可知，，，，， ， ， 设， ， ， ， 解得：， 即桥与铁路的距离为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称最短路径问题，平移的性质，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． 3．如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置． (1)如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图． (2)如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答． （1）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． （2）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，等于河宽；连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． 【详解】（1）解：如图所示，即为两座桥的位置． （2）解：如图所示，即为两座桥的位置． 4．对于平面内的两个三角形，若将其中一个三角形沿着某个方向一次平移后，它的一个顶点落在它的对边上，则称平移后的三角形叫做原三角形的“平移三角形”，叫做“平移距离”．如图1，沿直线平移到，顶点的对应点在它的对边上，则称是的“平移三角形”，的长度叫做“平移距离”． (1)如图2，正六边形，对角线、、将其分成六个能重合的正三角形，其中是的“平移三角形”的有______________________； (2)如图3，在中，，，，． ①将图3的沿直线平移，得到它的“平移三角形”，连接．则平移距离__________，四边形的面积为____________________； ②图3中的平移距离的最大值为___________，最小值为__________． 【答案】(1)， (2)5，12；5， 【分析】本题考查平移的性质以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． （1）根据平移的性质和“平移三角形”的定义求解即可； （2） ①根据平移得到平移距离；，，，，然后利用四边形的面积为，代数求解即可； ②根据题意得到如图3，当点A和点B重合时，的平移距离最大，最大值为；过点C作交于点D，将延向下平移得到，使点C和点D重合，此时的平移距离最小，然后利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴沿方向平移到，点A和点O重合，即点A平移到对边上， ∴是的“平移三角形”； ∴沿方向平移到，点B和点O重合，即点B平移到对边上， ∴是的“平移三角形”； 综上所述，的“平移三角形”的有，； 故答案为：，； （2）解： ①∵沿直线平移，得到它的“平移三角形”， ∴平移距离； ∴，，，， ∴， ∴四边形的面积为： ； 故答案为：5；12； ②如图3，当点A和点B重合时，的平移距离最大，最大值为； 如图所示，过点C作交于点D，将沿向下平移得到，使点C和点D重合，此时的平移距离最小 ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴的平移距离的最小值为． 故答案为：5，． 1．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，，将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线，在直线上取点，使．当时，在备用图中画出图形，并求出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，或 【分析】作，根据平移的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，，求得； 分两种情况：点在直线的上方时，如图所示：当点在直线的下方时，如图，根据平移的性质和平行线的性质即可得到结论． 本题考查了作图平移变换，平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：补全图形如图所示， 证明：作， 将线段沿平移得到线段， ， ， ，, ， 即； （2）解：点在直线的上方时，如图所示： 由平移的性质得：，， ， ， ， ， 整理，得； 当点在直线的下方时，如图， ， ， 整理，得； 综上所述，与之间的数量关系为或． 2．在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线任意平移得到（的对应点分别为），连接． (1)如图1，若平移距离为，则阴影部分的周长为___________； (2)如图2，若，求的度数； (3)若以每秒的速度向右平移．设移动了秒，则为何值时，图2中的四边形的面积是的面积的3倍？ (4)在整个运动过程中，当与中一个角是另一个角的3倍时，则的度数为___________°． 【答案】(1)12 (2) (3)10秒 (4)105或52.5或17.5或35 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移可得，进而可得阴影部分的周长等于的周长，即可求解； （2）根据平移可得，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解； （3）设的边上的高为，则，由平移性质得四边形底，高为，面积为，根据四边形的面积是的面积的3倍列方程求解即可； （4）分和两种情况，根据平行线的性质以及平移的性质列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵沿着直线l平移得到，平移距离为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴阴影部分的周长为， 故答案为：12； （2）解：∵， ∴， ∵，沿着直线l平移得到， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的边上的高为，则， 由平移性质得：四边形底，高为， 所以，四边形面积为， 因为四边形的面积是的面积的3倍列方程求解即可； 所以，， 解得：， 即10秒后四边形的面积是的面积的3倍 （4）解：连接，如图，由平移知，， ∴，当与中一个角是另一个角的3倍时，与中一个角是另一个角的3倍时，设， 当时，， 若，则，解得，即， 若，则，解得， 即， 当时， 若，则，解得，即， 若，则，解得，即， ∴的度数为或或或 故答案为：105或52.5或17.5或35． 8．如图，点M是线段上一动点，点C是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段，连接，． (1)依题意补全图1，并证明：； (2)过点C作直线，在直线上取点N，使． ①如图2，当点N在直线上方时，用等式表示与的数量关系，并证明； ②当点N在直线下方时，直接用等式表示出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①，证明见解析；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可；作，根据平移的性质和平行线的判定和性质求解即可； （2）①由平移的性质得，，推出，，进而得到，设，则，，，然后根据直线，可知，求得，据此求解即可得到；②同①理即可得到． 【详解】（1）解：补全图如图所示， 作， ∴， ∵将线段沿平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，证明如下， ∵将线段沿平移得到线段， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②， 如图， ． 设， ∵， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， ∵直线， ∴， ∴，即． 3．如图1，将一副直角三角板按如图1方式摆放，其中A，C，E三点在同一条直线上，，． (1)观察猜想将图1中的三角尺沿的方向平移至图2的位置，使得点B在上．则________． (2)操作探究将图1中的三角尺绕点C按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图3，且恰好平分，与相交于点R，求的度数； (3)深化拓展 将图1中的三角尺绕点C按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转_________时，边恰好与边平行（直接写出结果）． 【答案】(1)105 (2) (3)或 【分析】本题考查平移的性质，平行线的性质，三角板间的角度计算，平角的定义，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． （1）由题意得，根据平移的性质可得，利用平行线的性质结合三角板特征可推出，由即可求解； （2）由角平分线的定义可得，易证，利用两直线平行，同旁内角互补即可求解； （3）分在内部和在外部，两种情况利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 由平移的性质得， ∴， ∴； （2）解：由题意得， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当在内部时，过点B作，设交于点N，点O为点A的起始位置， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角度为； 如图，当在外部时，过点B作，设点O为点A的起始位置，交于点N， 同理得∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角度为； 综上，当边旋转或时，边恰好与边平行． 4．如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据平移可得，，进而可得根据阴影部分周长等于的周长，即可求解； （2）根据平移可得，，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解； （3）根据，设，则，根据平行线的性质以及平移的性质得出，进而列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， ∵的周长为， ∴ ∴阴影部分的周长为 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 依题意，， ∴， （3）解： ∵，设，则 如图，连接， ∵， ∴ ∴ 解得： 即 故答案为：． 11．已知点在射线上． (1)如图，，若，，求的度数； (2)在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； (3)在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）先根据平行线的性质得到的度数，再根据直角、周角的定义即可求得的度数； （2）如图②，过O点作，根据平行线的判定和性质可得、的数量关系； （3）由已知推出，得到，结合角平分线的定义可推出，根据（2），进而推出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 证明：如图②，过O点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵由（2）知，， ∴， ∴． 5．如图，在四边形中，于点．     (1)如图，延长交的延长线于点，延长至点，连接，使得，求的度数； (2)如图，连接，，延长至点，使得平分．将三角形沿射线方向平移，使点的对应点在的延长线上，点，点的对应点分别为点，点，作于点． 若，请在图中找出一条线段的长度与相等，并说明理由； 当，，时，判断和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析；，理由见解析． 【分析】（）根据，得，又故有，从而求解； （）由平移的性质可得，又，则有，最后由线段和差即可求解； 由平分，则，设，从而有，，根据，则， 通过平移的性质可得，由平行线的性质得，，故有， 得，即，则点与点重合，又，根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短即可判断． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵三角形沿平移得三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； ，理由如下： ∵平分， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵三角形沿平移得三角形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，                          ∴， ∴，     ∴点与点重合， ∵， 根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平移的性质，垂直的定义，平行线的性质，垂线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 6．【探究】 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则 ； 【应用】如图2，已知直线，点A、 B在上，点C、D在上，连接，，其中，分别是，的平分线，，． （2）求的度数： （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了平移的性质以及角平分线的定义、平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键． （1）如图1中，作，利用平行线的性质求解即可． （2）利用平行线的定义结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案； （3）利用平行线的性质结合角平分线的定义得出以及的度数即可得出答案． 【详解】解∶（1）如图1中，作， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶，； （2）如下图2，过点E作． ∵， ∴． ∵， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴； （3）如下图3，过点E作， ∵， ∴． ∵， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，． ∵，， ∴，， ∴． 7．如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，． (1)请说明的理由． (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． 如图，当时，求的度数； 在整个运动中，当时，则的度数______． 在整个运动中，直接写出之间的等量关系． 【答案】(1)见解析； (2)；或；或或． 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，掌握平行线的判定与性质及正确作出辅助线是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，等量代换得到，然后通过平行线的判定即可得到结论； （）如图，过作交于，根据平行线的性质即可得到结论； 过作交于，根据平行线的性质即可得到结论； 结合即可得在整个运动中，之间的等量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过作交于， ∵线段沿着直线平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，过作交于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴； 如图，过作交于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，或； 如图，∵，， ∴， ∴，， ∴，即； 如图，∵，， ∴， ∴，， ∴，即； 同理，当在下方时， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，或或． 8．如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为30，边长为5． (1)数轴上点A表示的数为__________； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S． ①当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为__________； ②设移动距离． ⅰ）当时，__________； ⅱ）D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，求x的值． 【答案】(1)6 (2)①：3或9；②ⅰ）20；ⅱ） 【分析】本题考查矩形的性质，数轴上点的特点；能够将数轴上的点与矩形的边长之间的关系联系起来是解题的关键． （1）由矩形的面积即可表示点； （2）①分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，根据长方形面积公式求出，即可求解； ②ⅰ）分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，根据长方形面积公式求解即可； ⅱ）分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，分别表示出D、E表示的数，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：长方形的面积为30，边长为5． ， 点表示6； 故答案为：6； （2）解：当向左移动时，如图， ， ， 移动后的表示3； 当向右移动时，如图， ， 又 ， 移动后表示9， 故答案为：3或9； ②ⅰ）当向左移动时，如图， ， ， 当向右移动时，如图， ， ， 综上，， 故答案为：20； ⅱ）由题意知： 为线段的中点，点E在线段上，且， ，， 当向左移动时，如图， ， 表示的数为，E表示的数为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）； 当向右移动时，如图， ， 表示的数为，E表示的数为， 根据题意，得， 解得； 综上，． 试卷第2页，共38页 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4平移 题型一、生活中的平移 1．下列现象中属于平移的是（   ） A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 2．下列现象：温度计中，液柱的变化；电梯上下运动；钟摆的摆动；小方块在水平地面滑动，属于平移的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．下列现象是数学中的平移的是（   ） A．树叶从树上落下 B．碟片在光驱中运行 C．卫星绕地球运动 D．电梯由一楼升到顶楼 4．下列现象属于平移的是（    ） A．投篮时的篮球运动 B．随风飘动的树叶在空中的运动 C．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡 D．急刹车时汽车在地面上的滑动 题型二、图形的平移 1．下列车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示的是某公司徽标图案．在下列选项中，能由此徽标通过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 3．下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 4．图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，把图①放置在如图②所示的的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形．不同的放置方法共有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．12种 1．如图所示的是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长，宽．为方便游人观赏，公园特意修建了小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2m．小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 m． 2．如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走： ①为折线段，②为折线段，③为折线段． 三条路的长依次为、、，则a，b，c的大小关系为 ． 3．小红的爸爸打算在院子里种上蔬菜，已知院落为东西长，南北宽为的长方形，为了行走方便，要修筑三条道路，东西方向两条，南北方向一条，南北方向道路垂直于东西方向道路（如图a），余下的部分要种上西红柿，设道路的宽为，爸爸打算让小红算一下，用于种菜的面积是多少？小红经过分析后，考虑可以直接求出用于种菜部分的面积，若从平移的角度看，只需把道路均平移到边上去（如图b）不难发现图b中的空白的面积． (1)请你帮小红求出空白部分的面积（用含x的代数式表示）； (2)当时，求种菜的面积． 4．在如图所示的方格纸中，按要求画图、填空： (1)点向右移动4格，向下移动3格到达格点（网格线的交点叫格点）；再向下移动3格，向左移动5格到达格点，请画出点，点的位置． (2)作射线，连接． (3)过点画线段的垂线，垂足为． (4)画出线段的垂直平分线，其中与的位置关系为_______，依据为______． 5．如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸内将三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)画出三角形，其中点的对应点分别为点； (2)这个平移过程可以看作三角形先向___________平移___________个单位长度，再向___________平移___________个单位长度； (3)若三角形经过一次平移得到三角形，求线段平移过程中扫过的面积． 6．如图，将方格纸中的三角形先向右平移2格得到三角形，再将三角形向上平移3格得到三角形，设与相交于点． (1)按上述步骤画出经过两次平移后分别得到的三角形，并标出点． (2)图中与既平行又相等的线段有___________，图中与相等的角有___________． (3)若，求和的度数． 题型一、利用图形平移的性质求解 1．如图，在三角形中，，，，.将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到三角形，连接．给出下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 42．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（    ） A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长 C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长 43．如图，长方形中，，．若将该长方形沿方向平移一段距离，得到长方形．当将长方形平移 时，两长方形的重叠部分的面积是． 44．如图，．将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移6 cm，得到三角形．已知，，则阴影部分的面积为 ． 题型二、用平移解决最短路径问题 1．架桥通常会考虑多种因素，其中一个就是路线规划，确保桥两边A，B两地间的路程尽量短，以减少通行时间和成本． (1)如图①，河l的宽度忽略不计，即桥的宽度忽略不计，请你在l上画出表示桥的位置的点P，使从A地经过桥到B地的路程最短． (2)如图②，河岸m和n之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间画出表示桥的位置的线段，使桥与河岸垂直，并且从A地经过桥到B地的路程最短． (3)如图③，河岸m和n，p和q之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间、p和q之间分别画出表示桥的位置的线段和，使每座桥与相应的河岸垂直，并且从A地经过2座桥到B地的路程最短． 2．【问题情景】如图1，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小，请你探究点的坐标． 【方法分析】小刚的做法是先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小．请在图1中按照小刚的方法完成作图．小刚进一步发现：连接，利用列方程，可求出点的坐标．请按照小刚的思路求出点的坐标； 【问题解决】为响应“秉承节能减排理念，共筑生态环保家园”的号召，现考虑为某化工厂设计一个工业运输用桥方案（平面示意图如图2）．假定长江两岸为互相平行的直线、，且与相距，铁路所在直线垂直于．位于点处的化工厂与相距，与铁路相距；位于点处的火车站与相距．若桥与长江两岸垂直，则在何处修建运输桥可以使、两点之间的路径最短？请你完成作图，并通过计算求出桥与铁路的距离．      3．如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置． (1)如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图． (2)如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图． 4．对于平面内的两个三角形，若将其中一个三角形沿着某个方向一次平移后，它的一个顶点落在它的对边上，则称平移后的三角形叫做原三角形的“平移三角形”，叫做“平移距离”．如图1，沿直线平移到，顶点的对应点在它的对边上，则称是的“平移三角形”，的长度叫做“平移距离”． (1)如图2，正六边形，对角线、、将其分成六个能重合的正三角形，其中是的“平移三角形”的有______________________； (2)如图3，在中，，，，． ①将图3的沿直线平移，得到它的“平移三角形”，连接．则平移距离__________，四边形的面积为____________________； ②图3中的平移距离的最大值为___________，最小值为__________． 1．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，，将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线，在直线上取点，使．当时，在备用图中画出图形，并求出与之间的数量关系． 2．在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线任意平移得到（的对应点分别为），连接． (1)如图1，若平移距离为，则阴影部分的周长为___________； (2)如图2，若，求的度数； (3)若以每秒的速度向右平移．设移动了秒，则为何值时，图2中的四边形的面积是的面积的3倍？ (4)在整个运动过程中，当与中一个角是另一个角的3倍时，则的度数为___________°． 8．如图，点M是线段上一动点，点C是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段，连接，． (1)依题意补全图1，并证明：； (2)过点C作直线，在直线上取点N，使． ①如图2，当点N在直线上方时，用等式表示与的数量关系，并证明； ②当点N在直线下方时，直接用等式表示出与的数量关系． 3．如图1，将一副直角三角板按如图1方式摆放，其中A，C，E三点在同一条直线上，，． (1)观察猜想将图1中的三角尺沿的方向平移至图2的位置，使得点B在上．则________． (2)操作探究将图1中的三角尺绕点C按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图3，且恰好平分，与相交于点R，求的度数； (3)深化拓展 将图1中的三角尺绕点C按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转_________时，边恰好与边平行（直接写出结果）． 4．如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 11．已知点在射线上． (1)如图，，若，，求的度数； (2)在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； (3)在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 5．如图，在四边形中，于点．     (1)如图，延长交的延长线于点，延长至点，连接，使得，求的度数； (2)如图，连接，，延长至点，使得平分．将三角形沿射线方向平移，使点的对应点在的延长线上，点，点的对应点分别为点，点，作于点． 若，请在图中找出一条线段的长度与相等，并说明理由； 当，，时，判断和的大小关系，并说明理由． 6．【探究】 （1）如图1，已知直线，点A在上，点C在上，点E在两平行线之间，则 ； 【应用】如图2，已知直线，点A、 B在上，点C、D在上，连接，，其中，分别是，的平分线，，． （2）求的度数： （3）将线段沿方向平移，如图3所示，其他条件不变，求的度数． 7．如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，． (1)请说明的理由． (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． 如图，当时，求的度数； 在整个运动中，当时，则的度数______． 在整个运动中，直接写出之间的等量关系． 8．如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为30，边长为5． (1)数轴上点A表示的数为__________； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S． ①当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为__________； ②设移动距离． ⅰ）当时，__________； ⅱ）D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，求x的值． 试卷第2页，共38页 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $