7.3 定义、命题、定理（题型专练，5基础&2提升题型+培优）数学新教材人教版七年级下册

7.3 定义、命题、定理 题型一、命题与定义的判定 1．下列语句中，不是命题的是（   ） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交 【答案】C 【分析】本题考查命题的定义，熟练掌握命题的定义是解题的关键． 根据命题的定义，命题是表示判断的语句，可以判断真假的陈述句，据此逐项判断即可． 【详解】解：命题必须是陈述句且可判断真假， 选项A、B、D均为陈述句，可判断真假，是命题； 选项C为操作指令，不是陈述句，不是命题， 故选：C． 2．下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义的概念，熟练掌握定义的概念是解题的关键． 定义是描述概念或术语含义的语句，据此逐项判断即可． 【详解】解：定义是给出术语含义的语句， 选项A是公理，选项B和D是定理，均需证明， 选项C直接定义“三角形的边”为组成三角形的三条线段，符合定义特征， 故选：C． 3．在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查定义的概念；定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项D明确给出了直角三角形的定义，符合要求． 【详解】解：∵定义是明确概念含义的陈述，选项D中“有一个角是直角的三角形叫作直角三角形”符合定义的特征；   ∴选项D是定义． 其他选项A、C为操作指令，选项B为疑问句，均不是定义． 故选：D． 4．下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 【答案】(1)是命题 (2)是命题 (3)不是命题 【分析】本题考查了命题的定义，即能判断真假的陈述句；解题的关键是准确判断语句是否能判断真假；易错点是对条件和结论不明确的命题判断失误，例如错误地将疑问句或无法确定真假的语句误判为命题；依据命题是能判断真假的陈述句这一定义，逐一分析各语句是否符合定义，若语句是陈述句且可判断真假（真或假），则是命题；否则不是命题． 【详解】（1）语句“两点之间，线段最短”是一个陈述句，在几何中这是一个公理，可判断为真，因此是真命题． （2）语句“如果，那么是线段的中点”是一个陈述句，但该结论不一定成立，例如当点不共线时，但不是线段的中点，因此可判断为假，是假命题． （3）语句“一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？”是一个疑问句，无法判断真假，因此不是命题． 题型二、写出证明过程的依据 5．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 6．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 7．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 8．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 题型三、写出命题的题设和结论 9．命题“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”改写成如果 ，那么 ． 【答案】 两个三角形的两个角及其夹边分别相等 这两个三角形全等 【分析】本题考查了学生写出命题的题设与结论的能力．改写成“如果……，那么……”的形式即可． 【详解】解：原命题的条件是“两角及其夹边分别相等”，结论是“两个三角形全等”， 因此改写为“如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形的两个角及其夹边分别相等，这两个三角形全等． 10．命题“如果，那么”的条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查了命题的概念，解决本题的关键是熟练掌握命题的组成． 命题由条件和结论组成，“如果”后面是条件，“那么”后面是结论，由此可求解． 【详解】解：命题“如果，那么”中，“如果”后面的部分“”是条件． 故答案为：． 11．写出下列命题的条件和结论： (1)能被整除的数一定是偶数． (2)两直线平行，同旁内角互补． (3)平行于同一条直线的两条直线平行． 【答案】(1)条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数． (2)条件：两直线平行；结论：同旁内角互补． (3)条件：两条直线都平行于同一条直线；结论：这两条直线平行． 【分析】本题主要考查命题，条件和结论的概念，熟练掌握其概念是做题的关键． （1）根据原命题改写为“如果一个数能被整除，那么这个数一定是偶数”，即可得出答案； （2）根据原命题改写为“如果两直线平行，那么同旁内角互补”，即可得出答案； （3）根据原命题改写为“如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行”，即可得出答案． 【详解】（1）解：条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数． （2）解：条件：两直线平行；结论：同旁内角互补． （3）解：条件：两条直线都平行于同一条直线；结论：这两条直线平行． 12．下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论． (1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 【答案】(1)是命题，是真命题；改写：如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上；条件：；结论：点P在线段上； (2)是命题，假命题 (3)是命题，真命题，改写：如果，那么；条件：；结论： (4)是命题，假命题 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握命题及真假命题的定义是解题的关键； （1）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （2）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （3）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （4）根据命题及真假命题的定义可进行求解． 【详解】（1）解：是命题，且是真命题， 改写成“如果…..那么….”的形式为如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上； 条件是；结论是点P在线段上； （2）解：是命题； 当点P在直线外时，也可以满足点P到两点的距离之和大于线段的长，所以原命题是假命题； （3）解：是命题，且是真命题； 改写成“如果…..那么….”的形式为如果，那么； 条件：；结论：； （4）解：是命题， 因为当时，则有，所以原命题是假命题． 题型四、真假命题的判定 13．下列语句中，真命题有（    ） ①同旁内角互补；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③相等的角是对顶角；④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了真假命题的判断，平行线的性质，对顶角，点到直线的距离． 根据平行线的性质、对顶角的性质和点到直线距离的定义分别判断即可． 【详解】解：①∵同旁内角互补需两直线平行，未指定平行条件，∴命题①为假； ②∵内错角相等需两直线平行，未指定平行条件，∴命题②为假； ③∵相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形底角），∴命题③为假； ④∵点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，∴命题④为假. 综上，真命题个数为0， 故选：A． 14．下列命题中，是真命题的是（　　） A．内错角相等 B．对顶角相等 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及内错角、对顶角、平方根和不等式的性质。根据初中数学知识逐一分析每个选项即可． 【详解】解：A.内错角相等只有在两直线平行时才成立，该命题是假命题，不合题意． B.对顶角总是相等，该命题是真命题，符合题意． C.若，则，不一定，，该命题是假命题，不合题意． D.若，当、为负数时，可能小于，该命题是假命题，不合题意． 故选：B． 15．下列命题：其中真命题有（   ）个． ①在同一平面内，若，，则；②若，则；③平方根等于本身的数有0和1；④两直线平行，同旁内角相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，了解有关的定义及定理是解题的关键．①利用平行线的传递性；②利用平方与绝对值的关系；③考虑平方根的定义；④利用平行线的性质进行判断． 【详解】解：①在同一平面内，若，，则，正确，是真命题，符合题意； ②若，则，正确，是真命题，符合题意； ③平方根等于本身的数有，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ④两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 真命题有个，①和②． 故选：B． 16．给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④如果，，那么．其中真命题有 ．（填所有真命题的序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及余角、对顶角、补角的定义以及平行线的性质；通过举反例和定义分析即可判断． 【详解】①一个角的余角不一定大于这个角，反例：的余角是，，故①是假命题； ②如果，那么与不一定是对顶角，反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故②是假命题； ③补角的定义：如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，故③是真命题； ④根据平行线的性质，如果两条直线平行，且其中一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故④是真命题． 故答案为：③④． 题型五、命题的证明过程 17．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 18．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 19．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 20．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 题型一、逻辑推理与论证 33．布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况，即数量不足15个的黄球、白球、黑球全部摸出，再从数量超过15个的红球、绿球、蓝球中各摸出14个，此时再任意摸出1个球，即可保证有15个同色的球． 【详解】解：根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况： 最坏情况考虑：摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：个球， 故选：B． 34．某品牌汽水生产商提出可以用3个空瓶再换回1瓶汽水的优惠活动，某人买了12瓶汽水，他最多可以喝到多少瓶汽水？（可以跟人借空瓶，但借多少个就要还多少个）．（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了逻辑推论和论证． 先用12个空瓶换4瓶汽水，再用其中的3个空瓶换1瓶汽水，再借1个空瓶换1瓶汽水，最后把空瓶还回去，即可求解． 【详解】解：∵某人买了12瓶汽水， ∴可以换（瓶）汽水． 再用其中的3个空瓶换1瓶汽水， 此时有2个空瓶，可以借1瓶，凑成3个空瓶，再换1瓶汽水，再把空瓶还回去即可． ∴他最多可以喝：（瓶）． 故选：B． 35．袋中有红、黄、黑三种颜色的球各若干个，黄色球上标有数字5，黑色球上标有数字6，红色球上标的数字看不清．现从袋中拿出8个球，其中黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数．已知8个球上的数字和是39，那么红色球上标的数字是 ；拿出黑色球的个数是 ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了逻辑推理，先确定红色球个数的可能取值，再分类讨论是解题的关键；分别讨论红色球的个数，再根据黄色球和黑色球个数的限制条件列出所有可能组合，最后通过数字和计算红色球的数字并验证是否为整数即可． 【详解】解：黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数， 红色球只可能有4、5、6个， 若红色球6个，则黄色球1个，黑色球1个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球5个，黄色球1个，黑色球2个，   则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球5个，黄色球2个，黑色球1个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球4个，黄色球1个，黑色球3个， 则红色球标的数字为： ； 若红色球4个，黄色球2个，黑色球2个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球4个，黄色球3个，黑色球1个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 红色球上标的数字是4；拿出黑色球的个数是3． 故答案为：4，3． 36．有2022位同学排成一列依次报数．若前一位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的2倍；若前一位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与5的和．已知第一位同学报1，到了第100位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是5．那么第100位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了 ． 【答案】 【分析】本题考查逻辑推理与周期性问题，按照规则将前面几位同学所报数写出，可以发现从第位同学开始，每位同学为一个周期，所以第位同学报的数为；由于最后一位同学报的数是，则倒数第位只能报，倒数第位只能报或，，以此类推可知，第位同学报的数只能为，即可得出结论． 【详解】解：按照规则将前面几位同学所报数写出：，，，, , , , , , , , , , , …可以发现从第5位同学开始，每位同学为一个周期，所以第位同学报的数为； 由于最后一位同学报的数是，则倒数第位只能报，倒数第位只能报或，，以此类推可知，第位同学报的数只能为，是把前一位同学报的数加上了， 故答案为：． 题型二、代数背景的命题推理 37．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码： ． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】2401 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可． 【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确， 即密码中没有9、5、8、3四个数字； 由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确； 由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位； 若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位； 由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位． 则数字0在第三位， 即正确的密码是2401， 故答案为：2401． 38．数学游艺会上有一项“手脑并用”游戏，其规则是：五人一组如图围成一圈，第一个同学从1开始，依次循环报数，遇到“3的倍数”或“含数字3”则只拍手不报数；若有人违反规则，则游戏结束．某次游戏结束时，每个人都有拍手也有报数，每一轮（5个数）都有人拍手有人报数．小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．”则游戏结束时对应的数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数字类的逻辑推理，利用规则进行列表，从而可得答案. 【详解】解：五人依次记为，从开始报数： 如下表： （小明） （小华） 第一轮 报数 报数 拍手 报数 报数 第二轮 拍手 报数 报数 拍手 报数 第三轮 报数 拍手 拍手 报数 拍手 第四轮 报数 报数 拍手 报数 报数 第五轮 拍手 报数 拍手 拍手 报数 第六轮 报数 拍手 报数 报数 报数 ∵小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．” ∴游戏结束时对应的数字是； 故答案为： 39．小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小明：这个月有5个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月 号．（填日期） 【答案】16 【分析】本题考查推理与论证和有理数加法的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据6月有30天，再由小明条件可知，若有5个星期二，则第一个星期二必须在1日或2日；分别计算两种情况下星期二日期之和，判断是否满足小李条件（和不为75），从而确定第一个星期二为2日，进而找到第三个星期二日期即可． 【详解】解：6月有30天，若有5个星期二，则第一个星期二可能为1日或2日， 若1日为星期二，则星期二日期为1、8、15、22、29， 和为，与小李条件矛盾； 若2日为星期二，则星期二日期为2、9、16、23、30， 和为，符合小李条件． ∴第一个星期二为2日，第三个星期二为16日． 故答案为：16． 40．年月，联合国教科文组织将每年的月日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”附中今年“节”策划了五个活动，规则如下： “节”活动规则 活动前每人先发放两枚“币” 每参与一个活动消耗两枚“币” 没有“币”不能参与活动 每个活动至多参与一次 挑战成功，按右表发放奖励 挑战失败，谢谢参与 活动名称 奖励的“币”数量枚 数独 魔方 华容道 鲁班锁 汉诺塔 小达参与了所有活动． （1）若小达只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小达共挑战成功两个，且他参与的第四个活动成功，则小达最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 【答案】 汉诺塔 或或 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，正确地理解题意做出合理的结论是解题的关键． （1）由于小达参与了所有活动，则小达一共消耗了枚“币”，据此可得小达通过成功参与活动获得了枚“币”，而小达只挑战成功一个，故挑战成功的活动名称为汉诺塔； （2）根据题意可得第一次活动小达必定挑战成功，根据他参与的第四个活动成功，且他只挑战成功了次，那么他参与的第二个，第三个，第五个活动都失败，则第一次挑战成功获取的“币”数量要大于等于枚，则第一次参加的活动可以为华容道或鲁班锁或汉诺塔；据此讨论第一次参加的活动，在此基础上再讨论第四次参与的活动，用总获得“币”数量加上初始“币”数量减去参与五个活动消耗的“币”数量即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意可知，小达用活动前发放的两枚“币”参与了汉诺塔，且挑战成功，赢得枚“币”，再次参与了其余四个活动，未挑战成功， 故答案为：汉诺塔； （2）∵活动前小达有两枚“币”，每参与一个活动消耗两枚“币”，且小达参与了所有活动， 第一次活动小达必定挑战成功， 他参与的第四个活动成功，且他只挑战成功了次， 他参与的第五个，第三个，第二个活动都失败， 第一次挑战成功获取的“币”数量能够支持他参与第二，第三，第四次活动， 第一次挑战成功获取的“币”数量要大于等于枚， 第一次参加的活动可以为华容道或鲁班锁或汉诺塔； 当第一次参加的活动为华容道时， 若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为鲁班锁时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为汉诺塔时，则剩下的“币”数量为枚； 当第一次参加的活动为鲁班锁时， 若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为华容道时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为汉诺塔时，则剩下的“币”数量为枚； 当第一次参加的活动为汉诺塔时， 若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为华容道时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为鲁班锁时，则剩下的“币”数量为枚； 综上所述，小达最终剩下的“币”数量的所有可能取值为或或， 故答案为：或或． 1．甲、乙、丙3人去看100米决赛，赛前甲说：小王第一，小张第三；乙说：小李第一，小赵第四；丙说：小赵第二，小王第三．比赛结果三人各猜对一半，小王的名次是 ． 【答案】第四 【分析】本题考查了逻辑推理与论证，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三人各猜对一半的条件，通过逻辑推理逐一验证陈述的真假，最终确定小王的名次为第四． 【详解】解：甲说小王第一和小张第三，乙说小李第一和小赵第四，丙说小赵第二和小王第三． 假设甲说小王第一正确，则甲说小张第三错误；乙说小李第一错误，故乙说小赵第四正确；丙说小赵第二错误，故丙说小王第三正确，但小王第一与第三矛盾，假设不成立． 因此甲说小王第一错误，故甲说小张第三正确，即小张第三． 丙说小王第三错误（因小张第三），故丙说小赵第二正确，即小赵第二． 乙说小赵第四错误（因小赵第二），故乙说小李第一正确，即小李第一． 剩余小王第四，验证所有陈述均符合各猜对一半， 故答案为：第四． 2．下列命题： ①若，则； ②若，则关于的方程的解为； ③若不论取何值，恒成立，则； ④若，满足，则的最小值为4． 其中，正确命题的个数有 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是命题的正确，绝对值的几何意义，一元一次方程，熟知相关概念是解题关键． 根据绝对值的方程、一元一次方程以及绝对值的几何意义，逐一判断即可． 【详解】解：①若，则或，解得或，所以原命题为错误的命题； ②若，则当时，， 所以关于的方程的解为，所以原命题是正确的命题； ③，则 若不论取何值，恒成立， 则，， 可得，所以，原命题是正确的命题； ④ ， 由绝对值几何意义，表示点x到1和5的距离之和，其最小值为4； 表示点y到1和3的距离差，其取值范围为， 要是， 则取最小值，取最大值， 此时的最小值为1，的最小值为3， 故的最小值为4，则该命题是正确的命题； 正确命题有②③④，有个， 故答案为：． 3．为了丰富中小学生暑期生活，某校学生服务中心组织部分学生外出研学，其中有一项是带领学生游览某市中心公园，体验水上乐趣．该公园给出的租船相关信息如下： A 型船∶适合人，租金50元/小时； B型船：适合人，租金80元/小时； C型船∶适合人，租金120元/小时． 注：租金按小时计算，不足一小时按一小时计费． 已知参与此项活动的共有16名学生，两名教师和一名家长，要求： ①每条船上至少有1名家长或老师带队； ②游玩时间均不超过1个小时； ③所有学生都在同一时间参与此项活动． 则租船费用最低为 元；若活动开始前，恰又有一名家长赶来帮助组织活动，此时租船最低费用为 元． 【答案】 280 260 【分析】本题考查逻辑推理，当两名教师和一名家长时，先排除租用2条船的情况，结合条件得到只能租用3条船，进而推出租用1条型船，2条型船时最便宜，当增加一名家长时，分只租一种船型，租用2种船型和租用3种船型，3种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：学生，教师，家长共人，型船最多可坐8人，租2条型船共可坐人，故排除租2条船的情况， ∵两名教师和一名家长且每条船上至少有1名家长或老师带队， ∴只能租3条船， ∵租3条型船，最多可坐人，小于19人，故至少要租1条型船， 当租用3条型船时，总费用为元； 当租用2条型船，1条型船时，总费用为元； 当租用2条型船，1条型船时，总费用为元； 当租用1条型船，2条型船时，总费用为元；其它情况均不符合题意； 综上：租船费用最低为280元； 当再增加一名家长时，此时总人数变为20人，最多可租4条船， 当只租一种船型时，只租船型，，不符合题意； 只租型船，，总费用为元，不需要考虑只租型船的情况； 当租用2种船型时， ①租用船型和船型： 租用3条型船，1条型船，，不符合题意； 租用2条型船，2条型船，，总费用为元；此时费用最低，不再考虑其他情况； ②租用船型和船型： 租用3条船型和1条船型：，总费用为元，其他情况无需再进行分析； ③租用船型和船型： 2条型船，1条型船，，总费用为 元，其他情况不需要再考虑； 当租用3种船型时，租2条型船，1条型船，条型船时，，费用为元，其他情况不需再考虑； 综上：最低费用为260元； 故答案为：280，260 4．学校的科技社团承担了该校科技节的展示任务，该任务共包含A，B，C，D，E五个节目，有些节目一个人就可以独立完成，有些节目需要几个人共同合作才能完成，考虑到展示人员的身体状况及展示器材的准备需要，每个人在展示完成后至少要休息一次，已知节目名称和需要合作的人数如下表所示： 节目名称 共同合作的人数 A 5 B 4 C 3 D 2 E 1 若该社团想圆满的完成此次展示任务，最少需要 个人；如果用最少的人数完成此次任务且A节目最先展示，则符合条件的展示顺序共有 种不同的情况． 【答案】 6 2 【分析】本题考查最优方案，根据题意，每个人在展示完成后至少要休息一次，得到将人数多的节目中间用人数少的隔开可以使总人数减小，根据节目所需人数最多，得到总人数一定要大于5，进而得到人数和最少为或，按照最小为6人，且进行展示，进行讨论即可． 【详解】解：∵每个人在展示完成后至少要休息一次， ∴将人数多的节目中间用人数少的隔开可以使总人数减小， ∴相邻两节目的人数之和越小，总人数越少， ∵节目所需人数最多为5人， ∴总人数一定要大于5， ∴人数和最少为或，即最少需要6人； 例如：让节目最先展示，然后接人数最少的节目，此时节目的人进行休息，然后再接节目，中的4个人可以上节目，此时节目中剩余1人，节目的人休息，再接节目，正好用到之前剩余的2人，此时节目的4人休息，再接节目，节目中上3人即可，此时用人最少，即组和组人数之和为6； ∵用最少的人数完成此次任务且A节目最先展示，故A节目后面必须接节目， ∴后续排列的可能性为：，相邻人数和分别为，满足题意；或，相邻和依次为6、4、5、6，符合要求； 其它情况均不符合要求； 故符合条件的展示顺序共有2种不同的情况； 故答案为：6，2． 5．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图： 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ． 【答案】 鲁班锁 1，2，3 【分析】本题主要考查了逻辑推理： （1）根据小云参与了所有活动．可得小云第一个挑战必定成功，再由只挑战成功一个，可得小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，即可； （2）根据题意可得小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，然后分三种情况讨论，即可． 【详解】解：∵小云参与了所有活动． ∴小云第一个挑战必定成功， ∵小云只挑战成功一个， ∴小云第一个挑战成功需要得到4个“币”， ∴挑战成功的活动名称为鲁班锁； 故答案为：鲁班锁； （2）∵小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功， ∴小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败， 若第一次挑战华容道， 当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为； 若第一次挑战魔方， 当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战华容道时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为； 若第一次挑战鲁班锁， 当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战华容道或魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为； 综上所述，最终剩下的“币”数量的所有可能取值为1，2，3． 故答案为：1，2，3 6．设都是实数，考虑如下3个命题：①若，且，则；②若，且，则；③若，且，则．试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；对你认为不正确的命题，用反例予以否定． 【答案】②正确，①③不正确；见解析 【分析】本题主要考查了命题真假的判断，通过分析举例判断是做题的一种常见方法． 利用举反例的方法证明①和②，根据已知条件得到，化简，即可得证． 【详解】解：令，，则，则命题①不正确； 令，，则，则命题③不正确； 由，，得，则，， 故，则命题②正确． 7．已知：如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分． (1)求证：； (2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论； (3)判断下列命题是真命题还是假命题（在横线上直接填“真”或“假”）： ①“两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行”是 命题； ②“两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线相互平行”是 命题． 【答案】(1)见解析 (2)如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组内错角的平分线相互平行 (3)①真；②假 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、判断命题的真假、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，则，然后根据平行线的判定即可证明结论； （2）根据（1）证明直接写出结论即可； （3）①、②类似（1）判断即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分． ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行； （3）解：①如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ∴两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行是真命题． 故答案为：真． ②如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互垂直，则原命题是假命题． 故答案为：假． 8．（1）发现： 平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决． 请你根据上述思想解决下列问题： 如图，，点在内部时，则 （用“”、“”或“”填空） （2）探究： 如果（）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由． （3）拓展： 如图，已知，若点在直线外部时，，，满足怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（）；（）点在内部时，，则；是真命题；证明见解析；（），理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题真假，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，则有，所以，，然后利用角度和差即可求证； （）过作，证明即可； （）设交于，过作，则有，所以，，，，然后利用角度和差即可求解． 【详解】解：（）过作，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （）（）中命题的题设和结论互换后的命题是：点在内部时，，则； 互换后的命题是真命题，理由如下： 过作，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （），理由如下： 设交于，过作，如图： ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴． 试卷第2页，共38页 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 定义、命题、定理 题型一、命题与定义的判定 1．下列语句中，不是命题的是（   ） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交 2．下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等 3．在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 4．下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 题型二、写出证明过程的依据 5．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 6．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 7．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 8．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 题型三、写出命题的题设和结论 9．命题“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”改写成如果 ，那么 ． 10．命题“如果，那么”的条件为 ． 11．写出下列命题的条件和结论： (1)能被整除的数一定是偶数． (2)两直线平行，同旁内角互补． (3)平行于同一条直线的两条直线平行． 12．下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论． (1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 题型四、真假命题的判定 13．下列语句中，真命题有（    ） ①同旁内角互补；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③相等的角是对顶角；④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．下列命题中，是真命题的是（　　） A．内错角相等 B．对顶角相等 C．若，则 D．若，则 15．下列命题：其中真命题有（   ）个． ①在同一平面内，若，，则；②若，则；③平方根等于本身的数有0和1；④两直线平行，同旁内角相等． A．1 B．2 C．3 D．4 16．给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④如果，，那么．其中真命题有 ．（填所有真命题的序号） 题型五、命题的证明过程 17．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 18．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 19．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 20．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 题型一、逻辑推理与论证 33．布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 34．某品牌汽水生产商提出可以用3个空瓶再换回1瓶汽水的优惠活动，某人买了12瓶汽水，他最多可以喝到多少瓶汽水？（可以跟人借空瓶，但借多少个就要还多少个）．（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 35．袋中有红、黄、黑三种颜色的球各若干个，黄色球上标有数字5，黑色球上标有数字6，红色球上标的数字看不清．现从袋中拿出8个球，其中黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数．已知8个球上的数字和是39，那么红色球上标的数字是 ；拿出黑色球的个数是 ． 36．有2022位同学排成一列依次报数．若前一位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的2倍；若前一位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与5的和．已知第一位同学报1，到了第100位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是5．那么第100位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了 ． 题型二、代数背景的命题推理 37．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码： ． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 38．数学游艺会上有一项“手脑并用”游戏，其规则是：五人一组如图围成一圈，第一个同学从1开始，依次循环报数，遇到“3的倍数”或“含数字3”则只拍手不报数；若有人违反规则，则游戏结束．某次游戏结束时，每个人都有拍手也有报数，每一轮（5个数）都有人拍手有人报数．小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．”则游戏结束时对应的数字是 ． （小明） （小华） 第一轮 报数 报数 拍手 报数 报数 第二轮 拍手 报数 报数 拍手 报数 第三轮 报数 拍手 拍手 报数 拍手 第四轮 报数 报数 拍手 报数 报数 第五轮 拍手 报数 拍手 拍手 报数 第六轮 报数 拍手 报数 报数 报数 39．小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论： 小明：这个月有5个星期二； 小李：这个月所有星期二的日期之和不为75； 请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月 号．（填日期） 40．年月，联合国教科文组织将每年的月日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”附中今年“节”策划了五个活动，规则如下： “节”活动规则 活动前每人先发放两枚“币” 每参与一个活动消耗两枚“币” 没有“币”不能参与活动 每个活动至多参与一次 挑战成功，按右表发放奖励 挑战失败，谢谢参与 活动名称 奖励的“币”数量枚 数独 魔方 华容道 鲁班锁 汉诺塔 小达参与了所有活动． （1）若小达只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小达共挑战成功两个，且他参与的第四个活动成功，则小达最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 1．甲、乙、丙3人去看100米决赛，赛前甲说：小王第一，小张第三；乙说：小李第一，小赵第四；丙说：小赵第二，小王第三．比赛结果三人各猜对一半，小王的名次是 ． 2．下列命题： ①若，则； ②若，则关于的方程的解为； ③若不论取何值，恒成立，则； ④若，满足，则的最小值为4． 其中，正确命题的个数有 ． 3．为了丰富中小学生暑期生活，某校学生服务中心组织部分学生外出研学，其中有一项是带领学生游览某市中心公园，体验水上乐趣．该公园给出的租船相关信息如下： A 型船∶适合人，租金50元/小时； B型船：适合人，租金80元/小时； C型船∶适合人，租金120元/小时． 注：租金按小时计算，不足一小时按一小时计费． 已知参与此项活动的共有16名学生，两名教师和一名家长，要求： ①每条船上至少有1名家长或老师带队； ②游玩时间均不超过1个小时； ③所有学生都在同一时间参与此项活动． 则租船费用最低为 元；若活动开始前，恰又有一名家长赶来帮助组织活动，此时租船最低费用为 元． 4．学校的科技社团承担了该校科技节的展示任务，该任务共包含A，B，C，D，E五个节目，有些节目一个人就可以独立完成，有些节目需要几个人共同合作才能完成，考虑到展示人员的身体状况及展示器材的准备需要，每个人在展示完成后至少要休息一次，已知节目名称和需要合作的人数如下表所示： 节目名称 共同合作的人数 A 5 B 4 C 3 D 2 E 1 若该社团想圆满的完成此次展示任务，最少需要 个人；如果用最少的人数完成此次任务且A节目最先展示，则符合条件的展示顺序共有 种不同的情况． 5．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图： 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ． 6．设都是实数，考虑如下3个命题：①若，且，则；②若，且，则；③若，且，则．试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；对你认为不正确的命题，用反例予以否定． 7．已知：如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分． (1)求证：； (2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论； (3)判断下列命题是真命题还是假命题（在横线上直接填“真”或“假”）： ①“两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行”是 命题； ②“两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线相互平行”是 命题． 8．（1）发现： 平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决． 请你根据上述思想解决下列问题： 如图，，点在内部时，则 （用“”、“”或“”填空） （2）探究： 如果（）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由． （3）拓展： 如图，已知，若点在直线外部时，，，满足怎样的数量关系？说明理由． 试卷第2页，共38页 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $