精品解析：重庆市松树桥中学2026届高三上学期第四次质量检测数学试题

重庆市松树桥中学高2026届高三上期第四次质量检测 数学试题卷 【时间：120分钟 满分：150分】 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知写出集合，再由集合的交运算求集合. 【详解】由题设，则. 故选：D 2. 已知复数，则|z|＝（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘法运算结合复数的模长公式求解即可. 【详解】， 则. 故选：C. 3. 在中，若，，对角线的交点为O，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，再由求出. 【详解】． 故选：B 4. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合同角三角函数关系、诱导公式，分别从充分性、必要性两方面来说明即可. 【详解】一方面：， 另一方面：，但， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知为等差数列，，则（ ） A. 32 B. 27 C. 22 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，得到，进而可求得，即可求出结果. 【详解】因为，，得到， 所以，得到， 故选：C. 6. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种 【答案】C 【解析】 【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案. 【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种. 故选：C. 7. 已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设长方体的外接球半径为，且，根据球的表面积公式，求得，再由长方体的对角线长公式，求得，结合基本不等式，即可求得长方体体积的最大值，得到答案. 【详解】设长方体的外接球半径为，且， 因为外接球表面积为，故，即， 又因为，可得，即， 所以该长方体的体积，当且仅当时，等号成立， 所以长方体的体积的最大值为. 故选：C． 8. 已知圆，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出的距离，再由题意得到关于的不等式求得答案. 【详解】 如图，圆的半径为，圆上存在点， 过点作圆的两条切线，切点为，使得， 则，在中，， 又圆的半径等于，圆心坐标， ，， ， 由， 解得：，则的取值范围为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的方差为16 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 D. 若事件A与事件B相互独立，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性、方差的运算性质，结合互斥事件的定义、独立事件的乘法公式、并事件的概率公式逐一判断即可. 【详解】A：因为随机变量服从正态分布，且， 所以，因此本选项说法正确； B：因为样本数据，，…，的方差为4， 所以数据，，…，的方差为，因此本选项说法正确； C：事件“第一次正面朝上”时，第二次可能反面朝上， 反之事件“第二次反面朝上” 时，第一次可能正面朝上， 所以两个事件可以同时发生，不是互斥事件，因此本选项说法不正确； D：因为事件A与事件B相互独立，，， 所以， 于是，因此本选项说法正确. 故选：ABD 10. 关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A. 所有项的二项式系数和为64 B. 所有项的系数和为0 C. 常数项为 D. 系数最大的项为第3项 【答案】ABC 【解析】 【分析】原二项式可以化为，再根据二项式展开式的性质求解即可. 【详解】，得二项式的系数和为，故A正确； 令得所有项的系数和为0，故B正确； 常数项，故C正确； 由，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误. 故选：ABC 11. 若数列满足：存在，使得对任意成立，则称是“受限数列”，的最小值称为的“受限上界”.记的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是受限数列 B. 若等差数列满足，，则是受限数列 C. 若，则是受限数列，其受限上界为3 D. 若，都是受限数列，则也是受限数列 【答案】BD 【解析】 【分析】由数列新定义可得A错误；由等差中项和等差数列的性质求出，表示出新定义，然后求和可得B正确；先由与的性质求出数列的通项，表示出新定义，然后结合等比数列的求和公式可得C错误；设存在正数，，满足，，由数列新定义可得D正确. 【详解】对于A，若，则，不存在，不是受限数列，故A错误； 对于B，依题意，，则，而，故，， 易知，所以， 于是，故B正确； 对于C，因为，故当时，，解得， 当时，，， 两式相减并整理，得，故， 故，故，受限上界不是3，故C错误； 对于D，若，都是受限数列，则存在正数，，满足，， 注意到， 同理，， 记，， 则，所以，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用公式求解，即随机变量，则有，. 【详解】由于随机变量，故， 因此． 故答案为： 13. 若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率，即， 又，即，则， 故此双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 14. 若函数，为奇函数，则参数a的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据奇函数的定义可求参数的值. 【详解】当时，， 当时，，故， 而，故即， 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式及其单调增区间； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1），单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）由图象可求出的值以及函数的最小正周期的值，进而可得出的值，再由以及的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间； （2）利用根据正弦函数的图象与性质解不等式，结合即可求解. 【小问1详解】 由图象可知， 函数的最小正周期满足，故，所以， 所以， 因为，可得， 因为，故，所以，解得， 因此， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由得， 即，则有， 解得，又，所以， 综上，不等式的解集为. 16. 某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. （1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ （2）若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 【答案】（1）方案一 （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算两种方案的期望，根据期望值判断即可； （2）根据全概率公式及条件概率公式即可得解. 【小问1详解】 若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为元，则； 则，，， 所以， 若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为元，则； 则，， ， 所以 因为，故选择方案一比较合适 【小问2详解】 设“该同学抽取中奖”为事件，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，， 则，，， 所以， 故， 所以所求概率为. 17. 如图，四棱锥，平面ABCD，，，．若E点满足，平面交线段PD于F点． （1）求证：； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求D点到平面的距离． 【答案】（1）证明过程见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）先得到平面，由线面平行的性质可得线线平行； （2）建立空间直角坐标系，设，，求出两平面的法向量，利用夹角余弦值得到方程，求出，进而求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求出答案. 【小问1详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 平面交线段PD于F点，即平面平面， 又平面，所以； 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，，又，，所以， 故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 又，所以， 设，，则， 显然平面的一个法向量为， 其中，设平面的一个法向量为， 则， 设得，所以， 由题意得， 解得，负值舍去， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 设D点到平面的距离为， 则. D点到平面的距离为. 18. 已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点、，则，根据中点坐标公式可得出，然后将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹的方程； （2）由已知可得，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据题意得出，结合韦达定理可得出关于、的等式，结合可求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意，设点、，则， 因为点为线段的中点，则，即， 因为点在圆上，所以，即， 因此，点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 由已知可得，设点、， 联立得， 由已知可得，得， 由韦达定理可得，， 因为，即，则，即， 所以，所以，即， 当时，不成立， 所以，代入得， 解得，因此，的取值范围是. 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）若当时，，求实数的取值范围； （3）设实数，满足，证明：. 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） （3） 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，且当时，. 又由（2）知当时，，故可作出，在上的大致图象如下， 除了点，的图象都在的图象的下方， 当时，直线与曲线有两个交点，横坐标分别为，， 直线与曲线有两个交点，横坐标分别为和， 由图可知. 【解析】 【分析】（1）对求导，再利用极值的定义，即可求解； （2）构造函数，根据条件得当时，恒成立，对分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出在区间上的最小值，即可求解； （3）利用（1）和（2）中结果，在同一直角坐标系中作出，，结合条件，数形结合，即可求解. 【小问1详解】 由题可知，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，没有极小值. 【小问2详解】 设，根据题意，当时，恒成立. 又， 若，则，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，不符合题意， 若，令，得或. 若，则恒成立，所以在上单调递增， 又当时，，不符合题意， 若，则，当时，，所以在上单调递增， 当时，，不符合题意 ， 若，则，当时，， 当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以在上成立， 要使在上也成立，只需，即，得， 故的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点晴，本题的关键在第（3），根据（1）和（2）中结果，在同一坐标系中作出，的图象，将问题转化用图形直观反映. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市松树桥中学高2026届高三上期第四次质量检测 数学试题卷 【时间：120分钟 满分：150分】 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则|z|＝（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 在中，若，，对角线的交点为O，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知为等差数列，，则（ ） A. 32 B. 27 C. 22 D. 17 6. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种 7. 已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 已知圆，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的方差为16 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 D. 若事件A与事件B相互独立，，，则 10. 关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A. 所有项的二项式系数和为64 B. 所有项的系数和为0 C. 常数项为 D. 系数最大的项为第3项 11. 若数列满足：存在，使得对任意成立，则称是“受限数列”，的最小值称为的“受限上界”.记的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是受限数列 B. 若等差数列满足，，则是受限数列 C. 若，则是受限数列，其受限上界为3 D. 若，都是受限数列，则也是受限数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，则______． 13. 若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________. 14. 若函数，为奇函数，则参数a的值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式及其单调增区间； （2）若，求不等式的解集. 16. 某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. （1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ （2）若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 17. 如图，四棱锥，平面ABCD，，，．若E点满足，平面交线段PD于F点． （1）求证：； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求D点到平面的距离． 18. 已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）求的极值； （2）若当时，，求实数的取值范围； （3）设实数，满足，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $