精品解析：山东省聊城市聊城运河教育联合体月考2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

2025-2026学年第一学期第二次集中训练 九年级数学试题 时间：120分钟 分值 ：120分 一．选择题（本题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 函数的自变量x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，掌握知识点是解题的关键． 根据分母不为零和平方根的被开方数为非负数，列式求解即可． 【详解】解：∵分母， ∴； ∵分子中的要求； ∴且． 故选C． 2. 如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案. 【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ，米. ， 米. 故选： B . 【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比. 3. 如图， 在中， E是边上一点， 连结相交于点F． 若 则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．四边形是平行四边形，则，，可证明，得到，由进一步即可得到答案． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， 又∵ ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 故选C． 4. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 5. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 6. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入得：， 则反比例函数的解析式为， 所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， 又点在函数的图象上，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 7. 小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（ ） A. 小明家到体育馆的距离为 B. 小明在体育馆锻炼的时间为 C. 小明家到书店的距离为 D. 小明从书店到家步行的时间为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误； 小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误； 小明家到书店的距离为；故选项C正确； 小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误； 故选C． 8. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，正多边形的内角，圆周角定理，连接，求出的度数，根据四边形的内角和为360度求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 连接， 由题意，得：， ∴， ∴； 故选B． 9. 已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． 10. 如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵ ， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴ ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ' ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 二．填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分．只要求写出最后结果） 11. 若，则锐角_______°． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了根据三角函数值求角的度数，根据特殊角的三角函数值可得，求解即可． 【详解】解：∵，为锐角， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，________Pa． 【答案】16000 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为，再代入数值求出，然后把代入，进行求解计算，即可作答． 【详解】解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数． ∴设这个反比例函数的解析式为， 把时，代入，得， 解得， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 13. 超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握运用一元二次方程解决增长率问题成为解题的关键． 4月份价格从元开始降价，如果两个月平均降价率为r，根据“5月份的售价为486元”作为相等关系得到方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得，（不合理舍去）． 所以4，5月份两个月平均降价率为．即． 故答案为：． 14. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是_____． 【答案】3＜m≤5． 【解析】 【详解】分析：根据根的判别式△＞0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围． 详解：依题意得：， 解得3＜m≤5． 故答案是：3＜m≤5． 点睛：本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根． 15. 如图，点、、…在反比例函数的图象上，点、、……在反比例函数的图象上，，且，则（为正整数）的纵坐标为______．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，求出的坐标，作高线，再证明是等边三角形，作高线，设，根据，解方程可得等边三角形的边长和的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点、、…在轴的上方，纵坐标为正数，点、、……在轴的下方，纵坐标为负数，可以利用来解决这个问题． 【详解】过作轴于， ∵，， 是等边三角形， ， ， 和， 过作轴于， ∵， 是等边三角形， 设，则， 中，， ， ∵， 解得：（舍），， ， ， 即的纵坐标为； 过作轴于， 同理得：是等边三角形， 设，则， 中，， ， ∵， 解得：（舍），； ， ， 即的纵坐标为； … （为正整数）的纵坐标为：； 故答案为； 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直角三角形度角的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与方程相结合解决问题． 三．解答题（本题8个小题，共75分.解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）． （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（）把特殊角的三角函数值代入计算即可求解； （）利用公式法解答即可求解； 本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：，，， ∵， ∴， ∴，． 17. 在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由翻折的性质得：， ∴，， ∴， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定： （1）根据四边形是矩形，得出，由翻折可得：，可以得出，即可证出结论； （2）由翻折可得：，根据勾股定理得出，利用得出，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由翻折的性质得：， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由（1）， ∴，即， ∴． 18. 如图， 在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． （1）求证:为的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1） 证明：于点， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 为的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等． （1）利用等边对等角求得，由角平分线的定义求得，可证明，即可证明为的切线； （2）先证明等腰三角形，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 的半径为4， ， ， ∴CB的长是 19. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 20. 图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． （1）当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； （2）已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） 【答案】（1）米； （2）10分钟；米． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，弧长公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，，作，垂足为，根据勾股定理得（米），又，所以，因为与相切，所以，可得，所以，（米），从而可得，所以（米）； （）过点作，交于点．延长，交于点，连接，不妨设米，又因为，所以，则（米），然后通过，可得，则，故有最佳观赏风景的时间为（分钟），最后通过弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：连接，，作，垂足为， 根据题意可知，（米）， 在中，米，， 所以（米）， 因为， 所以， 因为与相切， 所以， 所以， 因为米， 所以， 所以，（米）， 所以， 在中，（米）， 所以，点处的座舱到地面的距离约为米； 【小问2详解】 解：过点作，交于点．延长，交于点，连接，不妨设米， 因为， 所以， 所以（米）， 因为米， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以最佳观赏风景的时间为（分钟）， 所以的长（米）， ∴座舱经过的的长约为米． 21. 如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． （1）求出直线对应的函数表达式； （2）分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）是等腰直角三角形 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； 【小问2详解】 解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 22. 已知抛物线，为实数． （1）如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． （2）如果当时，的最大值为4，求的值． （3）点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案； （2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； （3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案． 【小问1详解】 解：该抛物线经过点， ， 解得， ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：， 对称轴为，函数图象开口向上， ， ，， 当时，取最大值4， ， 解得，； 【小问3详解】 解：， ∴当，即时，， ∴抛物线过定点，且该点在x轴的上方， 由抛物线的对称轴的不同位置，分三种情况： 第一种，当抛物线的对称轴在点的左侧，即时， ∵，抛物线的对称轴右侧的部分，y随x的增大而增大， ∴若该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，则当时，， 解得； 第二种，当抛物线的对称轴在线段上，即时， ∵抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点， 由抛物线的增减性可知，该交点为顶点，则当时，， 解得，，均不满足的前提条件，故舍去； 第三种，当抛物线的对称轴在点的右侧，即时， ∵，抛物线的对称轴左侧的部分，y随x的增大而减小， ∴若该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，则当时，， 解得； 综上，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23. 综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 【答案】（1）；； （2）； （3）的值与α无关，理由如下， 如图， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （4）． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据余弦函数的定义求解即可； （4）同理可证，，，根据，求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）略 （4）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第二次集中训练 九年级数学试题 时间：120分钟 分值 ：120分 一．选择题（本题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 函数的自变量x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 2. 如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 如图， 在中， E是边上一点， 连结相交于点F． 若 则 等于（ ） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 6. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（ ） A. 小明家到体育馆的距离为 B. 小明在体育馆锻炼的时间为 C. 小明家到书店的距离为 D. 小明从书店到家步行的时间为 8. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分．只要求写出最后结果） 11. 若，则锐角_______°． 12. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，________Pa． 13. 超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则______． 14. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是_____． 15. 如图，点、、…在反比例函数的图象上，点、、……在反比例函数的图象上，，且，则（为正整数）的纵坐标为______．（用含的式子表示） 三．解答题（本题8个小题，共75分.解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）． （2）解方程：． 17. 在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 如图， 在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． （1）求证:为的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 19. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 20. 图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． （1）当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； （2）已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） 21. 如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． （1）求出直线对应的函数表达式； （2）分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 22. 已知抛物线，为实数． （1）如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． （2）如果当时，的最大值为4，求的值． （3）点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 23. 综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $