精品解析：内蒙古包头市东河区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

2025−2026学年第一学期期末教学质量调研试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分．考试时间为90分钟． 2．答题前，考生务必先将考场、姓名、座位号、班级等信息填写在答题卡的指定位置，并认真填涂准考证号． 3．答题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目答案标号涂黑． 1. 某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的识别，熟练掌握和运用三视图的识别方法是解决本题的关键． 根据从上面看到的图形，即可判定． 【详解】解：从上往下看，有一条靠近右边的看不到的轮廓线，用虚线表示，此商场的休息椅的俯视图为C， 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，使用配方法解一元二次方程，先将常数项移项，再两边加上一次项系数一半的平方，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3. 如图，矩形在平面直角坐标系内，点的坐标为，则对角线的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，连接，由矩形的性质得到，再由坐标系中点到原点的距离计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点B的坐标为， ∴， 故选：B． 4. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的周长比为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的周长比等于相似比得到答案． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ，． ． ． 与的周长比为， 与的相似比为，即． ∴． 故选：C． 5. 已知点都在反比例函数的图象上，且，则的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小．根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 详解】解：∵，， ∴反比例函数的图象在二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴； 故选A． 6. 如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项两个三角形不相似，符合题意； B.根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； C.根据两个角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； D. 根据两个角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； 故选：A． 7. 按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质及判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 判定出四边形为菱形，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（ ） A. 36 B. 32 C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理解三角形等知识点，熟练掌握判定的方法是解题的关键． 过点作于点，于点，证出，得到，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】过点作于点，于点，如图所示： ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴正方形的面积为：， ∴， 故选：C． 二、填空题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分．请把答案填在答题卡上对应的横线上． 9. 一个矩形的长和宽恰好是方程的两个根，则矩形的面积是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，矩形的面积等于方程两个根的乘积，进行计算，即可作答． 【详解】解：设矩形的长和宽分别为方程的两个根和， ∴根与系数的关系，， ∴矩形的面积为3． 故答案为3 10. 在不同的介质中光的传播速度v（亿米／秒）与介质的折射率n之间成反比例函数关系．光在不同介质中的传播速度如表所示： n 1 … v（亿米／秒） 3 … 若普通玻璃的折射率为，则光在普通玻璃中的传播速度为_____亿米／秒． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，根据反比例函数关系，设，利用表格数据求出常数k，再代入计算v． 【详解】解：∵在不同的介质中光的传播速度v（亿米／秒）与介质的折射率n之间成反比例函数关系．且结合表格数据， ∴设， 把代入，得， ∴， 即， 依题意，把代入，得， 故答案为：2． 11. 如图，菱形中，，，直线交两对边于点，，则的长为____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再利用等面积法列式运算即可． 【详解】解：∵四边形为菱形，，， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴， 解得：， 故答案：． 12. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，从而可得∠ABD=∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG，从而可得∠BEG=∠ABD，进而可得∠BEG=∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC， ∵AE=2cm， ∴BE=AB-AE=6-2=4（cm）， ∵G是EF的中点， ∴EG=BG=EF， ∴∠BEG=∠ABD， ∴∠BEG=∠BDC， ∴△EBF∽△DCB， ∴， ∴， ∴BF=6， ∴EF=（cm）， ∴BG=EF=（cm）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题：本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围； 可能是方程的一个根吗?若是，求出它的另一个根；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得，然后解不等式即可； （2）将代入方程得，解得或，利用得到，然后得出方程，解之可得到方程的另一个根． 【详解】解：（1）方程有两个不相等的实数根， △， 解得． （2）当时，有， 解得． ， ． 可能是方程的一个根． 当时，方程可能化为． 解得或． 方程另一个根是． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．以及根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，． 14. 王老师将1个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球记下颜色后放回，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250 （1）根据表格数据估计从袋中摸出一个球是黄色乒乓球的概率是_____（保留2位小数）； （2）估计袋中白色乒乓球有_____个； （3）甲乙二人相约打乒乓球，并约定：由甲从袋中连续两次摸球（每次摸出后均不放回），若两次都摸到白色乒乓球则甲先发球，否则乙先发球．请用画树状图或列表的方法说明这个约定对双方是否公平． 【答案】（1）0.25 （2）3 （3）公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了频率估算概率，概率的运算，用画树状图或列表法求概率，熟练掌握画树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）根据试验的次数越多，试验的频率就越接近概率寻找即可； （2）利用黄球的概率求出球的总数即可解答； （3）利用列表法求出概率即可． 小问1详解】 解：由题意可得：试验的次数越多，试验的频率就越接近概率； ∵摸球次摸到黄色乒乓球的频率为0.250， ∴根据表格数据从袋中摸出一个球是黄色乒乓球的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：总数， 白色乒乓球个数， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意可列出表格为： 第一次第二次 黄 白 白 白 黄 黄白 黄白 黄白 白 白黄 白白 白白 白 白黄 白白 白白 白 白黄 白白 白白 ∴一共有种可能性，其中两次都摸到白色乒乓球共有种情况， ∴， ∴这个约定对双方是公平的． 15. 小明想通过自己所学的数学知识计算如图所示的河流的宽度．已知河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一点A，在河岸边选定点B和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，连接DE，使得．经测量，米，米，且点E到河岸BC的距离为7.5米．过点A作于点F，请你根据提供的数据计算河流的宽度． 【答案】河流的宽度为10米 【解析】 【分析】通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出河流的宽度． 【详解】解：如解图，过点E作于点G， ， ， ， ． ，， ， ， ，即，解得， 河流的宽度为米． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，掌握利用平行证明三角形相似，结合相似三角形的对应边成比例求解线段长度是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． （1）请直接写出A，B两点的坐标； （2）在该反比例函数的图像上取一点C，连接，直线交射线于点D，若，且相似比为2，求a的值； （3）在（2）的基础下，设直线对应的一次函数为，结合图像直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，当时，，即可得出点的坐标，当时，，解得，即可得出点的坐标； （2）由相似三角形的性质可得，再结合一次函数的性质可得直线的表达式为，设点，求出，从而可得，求出，即，再利用待定系数法求解即可； （3）根据（2）得出，又因为，故运用数形结合思想得，即可作答． 【小问1详解】 解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴， ∵直线分别交x轴，y轴于A，B两点． ∴直线的表达式为， 设点， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵，且相似比2， ∴， ∵， ∴， 即， 将代入反比例函数的解析式可得， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得，， 如图所示： ∵直线对应的一次函数为， ∴当时，则． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的性质，勾股定理，一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数几何综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 17. 某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． （1）求通道的宽是多少米． （2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】（1）3米 （2）上涨40元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是x米，根据题意列出方程，解出x的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨y元，根据题意列出方程，解出y的值，结合优惠大众选择较小的y的值即可解答． 【小问1详解】 解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米． 【小问2详解】 解：设每个车位的月租金上涨元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位， 依题意，得， 解得， 又要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 18. 如图，菱形对角线，交于点，点是的中点，连接并延长，过点作，交的延长线于点，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图1，连接，交于点，若，求菱形的周长． （3）在（2）的条件下如图2，连接，若，求的长． 【答案】（1）四边形是矩形，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质证出，得到，即可判定出四边形是平行四边形，再由菱形的性质得到，即可推出四边形是矩形； （2）证出，利用相似的比值关系求出的长，即可求出菱形的边长推出周长； （3）作于点，则，证出，利用相似三角形的比值关系分别求出和的长，即可利用勾股定理运算求解． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，理由如下： ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线，交于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴ ， ∴菱形的周长； 【小问3详解】 解：如图作于点，则， ∵四边形是菱形 ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理解直角三角形，含角的直角三角形定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年第一学期期末教学质量调研试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分．考试时间为90分钟． 2．答题前，考生务必先将考场、姓名、座位号、班级等信息填写在答题卡的指定位置，并认真填涂准考证号． 3．答题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目答案标号涂黑． 1. 某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是（） A. B. C. D. 3. 如图，矩形在平面直角坐标系内，点的坐标为，则对角线的长为（ ） A. 4 B. C. D. 4. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的周长比为，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点都在反比例函数图象上，且，则的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 7. 按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则大小是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（ ） A. 36 B. 32 C. 16 D. 二、填空题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分．请把答案填在答题卡上对应的横线上． 9. 一个矩形的长和宽恰好是方程的两个根，则矩形的面积是_______． 10. 在不同的介质中光的传播速度v（亿米／秒）与介质的折射率n之间成反比例函数关系．光在不同介质中的传播速度如表所示： n 1 … v（亿米／秒） 3 … 若普通玻璃的折射率为，则光在普通玻璃中的传播速度为_____亿米／秒． 11. 如图，菱形中，，，直线交两对边于点，，则的长为____ 12. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm． 三、解答题：本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围； 可能是方程的一个根吗?若是，求出它的另一个根；若不是，请说明理由． 14. 王老师将1个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球记下颜色后放回，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250 （1）根据表格数据估计从袋中摸出一个球是黄色乒乓球概率是_____（保留2位小数）； （2）估计袋中白色乒乓球有_____个； （3）甲乙二人相约打乒乓球，并约定：由甲从袋中连续两次摸球（每次摸出后均不放回），若两次都摸到白色乒乓球则甲先发球，否则乙先发球．请用画树状图或列表方法说明这个约定对双方是否公平． 15. 小明想通过自己所学的数学知识计算如图所示的河流的宽度．已知河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一点A，在河岸边选定点B和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，连接DE，使得．经测量，米，米，且点E到河岸BC的距离为7.5米．过点A作于点F，请你根据提供的数据计算河流的宽度． 16. 在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． （1）请直接写出A，B两点坐标； （2）在该反比例函数的图像上取一点C，连接，直线交射线于点D，若，且相似比为2，求a的值； （3）在（2）的基础下，设直线对应的一次函数为，结合图像直接写出当时，x的取值范围． 17. 某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． （1）求通道的宽是多少米． （2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 18. 如图，菱形对角线，交于点，点是的中点，连接并延长，过点作，交的延长线于点，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图1，连接，交于点，若，求菱形的周长． （3）在（2）的条件下如图2，连接，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $