黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年度上学期高二期末考试 数学试题 (本试卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.抛物线C:y=x焦点坐标为( ) 4 A.(0 B.1,0) C.(01 D.(0,1 16 16 2.设等差数列{4}的前n项和为Sn,且2a一a1=4,则S5=() A.15 B.20 C.25 D.30 3.若直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2-1=0平行，则a=() A.-1或2 B.-1 C.2 D.-2 4.已知数列{}是等比数列，Sn为其前n项和，若山十2十a3=4,4十5十6=8，则S2等于 () A.40 B.60 C.32 D.50 5已知双曲线C若茶=1a>0b~0的离心率为2，则点（40到c的新近线的距离为( y2 A.2 B.2 C.25 D.2√5 3n十k 6.己知数列{an}的通项公式为an= 2n 若数列{a}为递减数列，则实数k的取值范围为() A.(3,+o) B.(2,+o) C.(1,+o) D.(0,十o) ,y2 7设F·乃是椭圆+3 =1(0<b<2)的左、右焦点，过F的直线1交椭圆于A,B两 点，若AF,+BF,最大值为5，则椭圆的离心率为() A. B.2 c.5-1 D. 3 2 2 8.函数f(x)=nx+ax2+bx,若x=2是f(x)的极小值点，则实数a的取值范围是() A.令+0) B@为 D.(-0,1) 二、多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得0分 9.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点 P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k可以是() A.1 B。2 C。3 D.4 l0.等差数列{an}是递增数列，满足a,=S,前n项和为Sn,下列选择项正确的是( A.d>0 B.41<0 C.当n=4时Sn最小 D.S,>0时n的最小值为8 11.设f'(x)为函数f(x)(x∈R)的导函数，已知f(x)-f(x)=x(x-1)1-e), f(1)=2,则下列结论正确的是() A.y=) 有两个极值点 B.x=1是函数y=) 的极大值点 c.3f(2)>2f3) D.3f(-2)>2f(-3) 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12.直线x+√3y-1=0的倾斜角为 13.已知数列{a,}中，满足4=1a,n-a,=n0m+) 1 (n∈N),则数列{a}的通项公式为 14.函数f(x)=2-ex+mx2有两个极值点，则实数m的取值范围是 四.解答题：本题共5个小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 15.(13分)已知数列{a}满足4=1，a+1=2(n+1)a. (1)证明： 是等比数列； (2)设b,=”,求数列5.}的前n项和T. a, 2 16.(15分)已知函数f(x)=x+二+(2a-1)nx(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性： (2)若函数f(x)的最小值为2，求实数a的值. 1715分》己知双线C等茶-1a>0b>0的距为2W疗，序心车为5 (1)求C的方程： (2②)B点坐标为(2,0)，过x轴上A店，0)的直线1与C交于M,N两点，求BM.BN的值 18.(17分)抛物线C:y2=2px,P点坐标(1,1)，过P点斜率为2的直线与抛物线C交于 A,B两点，AB=15 (1)求C的程： (2)过定点D的直线与抛物线交于两点M，,N,满足k·k加=1，求出满足条件的所有定点 D的坐标 19.(17分)已知函数f(x)=(x+)n(2x+1) (1)当a=0,求f(x)的极值： (2)若x≥0，f(x)≥2x,求a的取值范围： (3)若F(x)=f(x)-2x有两个极值点x,x2,求证：x+x2>0 哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年度上学期高二期末考试 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线焦点坐标为(　　) A． B． C． D． 2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a7－a11＝4，则S5＝(　　) A.15 B.20 C.25 D.30 3. 若直线与直线平行，则(　　) A. B. C. D. 4. 已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　) A.40 B.60 C.32 D.50 5. 已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为(　　) A． B． C． D． 6. 已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　) A.(3，＋∞) B.(2，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0，＋∞) 7. 设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两 点，若最大值为，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 8. 函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是(　　) A． B． C． D． 二、多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分. 在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数可以是(　　) A． B． C． D． 10．等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是(　　) A． B． C．当时最小 D．时的最小值为. 11. .设为函数的导函数，已知，，则下列结论正确的是（ ） A．有两个极值点 B．是函数的极大值点 C． D． 三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.直线的倾斜角为________. 13. 已知数列中，满足，则数列的通项公式为________. 14. 函数有两个极值点，则实数的取值范围是________. 四．解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）已知数列满足，． (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前n项和． 16．（15分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 17.（15分）已知双曲线的焦距为，离心率为. (1)求的方程； (2)点坐标为，过轴上的直线与交于，两点，求的值. 18．（17分）抛物线,点坐标（1，1），过点斜率为2的直线与抛物线C交于A，B两点， (1)求的方程； (2)过定点的直线与抛物线交于两点，，满足，求出满足条件的所有定点的坐标. 19．（17分）已知函数 （1）当，求的极值； （2）若，，求的取值范围； （3）若有两个极值点，求证： 学科网（北京）股份有限公司 $哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年度上学期高二期末考试 数学试题答案 一、选择题 1.C2.B3.B4.B5.C6.D7.A8.A 二、多选题 9.AB 10.ABC 11.BCD 三、填空题 2 13.a,=2-1 14. n 四、解答题 15.（1)由na=2(n+1a,得a4=2n+la, n 所以8=2a,又%=1， n+l n 1 故倍}是首项为1。公比为2的等比数列： (2)由1)得号=1x2=2,则，4=2是. 123 所以工2=20222++ 2-, 所以工 123 2 22+2分+…+” 2 两式相减，得 111 2+2+2京+…+ --2’ 所以工，= 12" 1 1 2 解得，=4-”+2 2-1 16.(1)当a≤0时，f(x在(0，+0)上单调递减： 当a>0时，在日上调诺城，在0日 上单调递减： (2)a的值为或e (1)由题意得f(x)的定义为(0，+0)，且 f(x=a-2+20-1-ar+2a-1x-2.(ax-lx+2 x2tx x2 x2 当a≤0时，当x∈(0，+o)时，∫'x<0,此时fx)在(0，+o）上单调递减： 当a>0时，当0<x<1时，f(x<0,当x>1时，fx)>0, 此时在日小上道调遥塔，在〔o 上单调递减： a 综上所述：当a≤0时，f(x)在(0，+o)上单调递减； 当a>0时，在合+树上单科端塔，在o上年调湿减。 (2)由(1)可得当a≤0时，f(x为减函数则无最小值，所以a>0, 当a>0时，即x=时，取得极个值他无最小值日)a+2a+2a-h。-2。 所以(2a-1(1-lna=0,解得a=二或a=e, 故函数f()的最小值为2，实数a的值为，或e 17.(1)x2-y2=1(2)3 (1)焦距2c=2√2.c=√2 又离心率为√2：=V2:a=1,b=Vc-a2=1 C的方程为x2-y2=1 (2)当曲线C的焦点在x轴上时，C为x2-y2=1 1 设直线N:x=my+2,M(,,N(,) 与x2-y2=1联立得(m2-y2+my-3=0 4 -m y+y2= m2-1 由韦达定理 3 4=m-1 4 9 BM-BN=G-2,-2)+h=(m2+14-2m0y+)+ =4 2一+1 m2-1 444 18.y2=4xD(0,2)(-2,-2) (1)y2=2px,直线AB:y=2x-1,A(x,y),B(x2,y2) 联立得y2-py-p=0，y-y2=Vp2+4p h8=店：而-9-对5-4切 2 .p2+4p-12=0(p-2)(p+6)=0.p=2C的方程为y2=4x (2)MN:x=my+n,M(x3,y3),N(x4,y4) 与y2=4x联立得y2-4my-4n=0 由韦达定理 y+y2=4m y2=-4n ×太o*ke=1:g--D=1(m2-X+mm-m+10+,)+n2-2n=0 (x1-1)(x2-1) .(m2-1)(-4n)+(mn-m+1）4m+(n2-2n)=0.-4m2+4m+n2+2n=0.（n+2m(n-2m+2)=0 n-2m+2=0或n+2m=0, 当n-2m+2=0时，x=my+n=my+2m-2,过定点D(-2,-2) 当n+2m=0时，x=my+n=my-2m,过定点D(0,2) 所有定点D的坐标为(0,2)或(-2，-2) 19.(1)f(x)的极小值为f(0)=0,无极大值 当a=0,定义装为(+四) )=x(2x+):+ 2x+n(2x+) 1 当xe(20)f()<0,f)递减， 当x∈(0，+oo),f'(x)>0,f(x)递增， f(x)的极小值为f(0)=0,无极大值 (2)若x≥0，f(x)≥2x f(x)≥2x20 .a≥0（否则f(-a)<0) 8()=ln(2x+1)-2x x+a 22(x+a)-2x2(x2+a2-a) g'(x)= 2x+1(x+a)2(x+a)2(2x+1） 当a≥1时，g'(x)≥0，g(x)递增，g(x)≥g(0)=0∴.f(x)≥2x 当0<a<1时，x∈(0，Va-a2)时，g'(x)<0,g(x)递减，g(x)<g(0)=0 .f(x)<2x矛盾 当a=0时，f(I)=ln3<2,矛盾 综上所述，a的取值范围为[1，+o0) (3)若F(x)=f(x)-2x有两个极值点x,x2, F'=2(x+@+n(2x+1)）-2有两个零点， 2x+1 令2x+1=t,则1-2a=tlnt-t有两个解，不妨令x<x2 t=2x,+1<t2=2x2+1 h(t)=tlnt-t,h'(t)=lnt,h(t)在(0,1)递减，(1，+oo)递增 .t2>1>t1>0 要证x1+2>0台t1+t2>2台t2>2-t1>1 由h(t)在(1，+o)递增，只要证h(t)=h(2)>h(2-) 令G(t)=h(t)-h(2-t),(0<t<1),则G'(t)=h'(t)+h'(2-t)=ln(2t-t2)<ln1=0 G(t)在(0,1)递减，Gt)>G(1)=0,.G(t)>0∴.h(t)>h(2-t).h(t)>h(2-t) 又h(t)在(1，+oo)递增，t2-t∈(1，+o0).t2>2-t1∴x,+x2>0B4正面 ■ 哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年度上学期 高二期末考试数学答题卡 条码粘贴区 姓名：＿＿＿＿＿＿ 班级：＿＿＿＿＿＿ 考号：＿＿＿＿＿＿＿＿ 一 选择题: 二 多项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ B ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ C ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] [ D ] 三 填空题:（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 13. 14. 四 解答题: (本题共5小题,共77分) 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ ■ ■ 1 2025 HSDFZ 1、考生必须在本页“条码粘贴区”贴好自己的条形码，并用0.5毫米 的黑色签字笔填写好姓名和班级，否则影响考试成绩； 2、选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔 答题，超出黑色边框区域的答案无效；并请注意题号顺序； 3、保持卷面清洁，不要折叠，弄破； 4、选择题填涂样例：正确：▅ 错误：[√] [×] [／] [▂] 注意事项 本区域请勿答题 16.（15分） 15.（13分） B4反面 ■ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ ■ ■ 2 HSDFZ 17.（15分） 18.（17分） 19.（17分） $哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年度上学期高二期末考试 数学试题答案 一、选择题 1.C2.B3.B4.B5.C6.D7.A8.A 二、多选题 9.AB 10.ABC 11.BCD 三、填空题 12g 13.a,=2-1 四、解答题 15.（1)由m1=26n+1a,得a4=2+la n 所以头，又受-1 n+1n 故合}是首项为1，公比为2的等比徽列 2)由1)得%-1x2=2,则，6=2票 1,2,3 所以工=0222*" 2-1, 123 n 所以2+2+++ 2 1 两式相减，得号T三1+上+少 1.n 2+2+2+… 2-1- 2n 1 所以 2 1- 2 解得了=4-n+2 2-1· 16.(1)当a≤0时，f(x)在(0，+n)上单调递减： 当a>0时，f)在合+上单调递增，在Q上单调递减： (2)a的值为或e. (1)由题意得f(x)的定义为(0，+o),且 了e=a是0-+a-2_@-+ x2 当a≤0时，当x∈(0，+o)时，f(x)<0,此时f(x)在(0，+o)上单调递减； 当a>0时，当0<x<1时，f'(x)<0,当x>1时，f()>0, a 此时在石+)上单调运，在 1 上单调递减； a 综上所述：当a≤0时，f(x)在(0，+n）上单调递减： 当a>0时)在合上单递在o日 上单调递减： (2)由(1)可得当a≤0时，f(x)为减函数则无最小值，所以a>0, 当a>0时，即x=上时，f(x)取得极小值也是最小值f a =ax2+2a+(2a-1)n2-2. a 所以(2a-1)1-lna=0,解得a=三或a=e, 故函数()的最小值为2，实数a的值为2或， 17.(1)x2-y2=1(2)3 (1)焦距2c=2W2:c=√5 又离心率为√2￡=2：a=1,b=V2-a=-1 C的方程为x2-y2=1 (2)当曲线C的焦点在x轴上时，C为x2-y2=1 段直线MN:x三w+,M,yV(,) 与r-广=1联立得2-1y2+m-3=0 4 -1m y+y2= m2-1 由韦达定理 4 ,=m2-1 3 9 BM.BN=(-2-2)+y=m+DM42mA+)+4 4 3ar+0+3m 3 、 93.9 3+9=3 m2-1 444 18.y2=4xD(0,2)(-2,-2) (1)y2=2Px,直线AB:y=2x-1,A(x,),B(x,y) 联立得y2-py-p=0,以-y=√p2+4p h压压-与-y5- ∴p2+4p-12=0∴.(p-2(p+6)=0∴.p=2C的方程为y2=4x (2)MN:x=y+n,M(x3,y),N(x4,y4) 与y2=4x联立得y2-4y-4n=0 由韦达定理{ y+y2=4 y2=-4n ke*ke=1D0D-1:om-D%5+0m-m+00y+g)+r-2n=0 (x-1)(x-1) .(m2-10(-4n)+(0mn-m+1)4m+(n2-22)=0∴.-4m2+4m+n2+2n=0∴.(n+2m)(n-2m+2)=0 n-2m+2=0或n+2m=0, 当n-2m+2=0时，x=y+n=y+21-2,过定点D(-2,-2) 当n+2m=0时，x=y+n=y-2,过定点D(0,2) 所有定点D的坐标为(0,2)或(-2，-2) 19.(1)f(x)的极小值为f(0)=0,无极大值 当a=0.定义该为（行o) f(w)=xln(2x+D..f(x)=_2x.+lnQx+D 2x+1 当xe(,f)0遥藏， 当x∈(0，+o),f'(x)>0,f(x)递增， f(x)的极小值为f(O)=0,无极大值 (2)若x≥0，f(x)≥2x f(x)≥2x≥0 ∴a≥0（否则f(-a)<0) 8()=n(2x+1)- 2x x+a g(x)= 22(x+a-2x-2(x2+d2-a) 2x+1(x+a2 (x+a(2x+1) 当a≥1时，g'(x)≥0，g(x)递增，g(x)≥g(0)=0∴.f(x)≥2x 当0<a<1时，x∈(0，Va-a2)时，g(y<0,g()递减，g(x)<g(0)=0 .f(x)<2x矛盾 当a=0时，fI)=ln3<2,矛盾 综上所述，a的取值范围为[1，+o) (3)若F(x)=f(x)-2x有两个极值点x1,x2, F'()= 2x+@+1n(2x+1)-2有两个零点，名 2x+1 令2x+1=t,则1-2a=tlnt-t有两个解，不妨令x<x2 =2x+1<t2=2x2+1 ht)=tnt-t,h(t)=1nt,h(t)在(0,1)递减，1，+o)递增 .t2>1>t1>0 要证x1+x2>0台t1+t2>2台t2>2-t1>1 由h(t)在(1，+o)递增，只要证ht)=ht2)>h(2-t) 令G(t)=h(t)-h(2-t),(0<t<1),则G()=H()+h(2-t)=n(2t-t)<nl=0 G(0在(0,1)递减，G(t)>G(1)=0,∴.G)>0∴.h(t)>h(2-).h()>2-) 又h(t)在(1，+o)递增，t2,2-t∈(1，+0).t2>2-1∴.x+x2>0