精品解析：黑龙江省伊春市嘉荫县乡镇两校联考2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年上学期八年级期末数学试题 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的乘除和加减运算，对每个选项进行计算判断结果的正误． 【详解】解： A选项：∵ ，满足题意要求； B选项：∵ ，不满足题意要求； C选项： ∵ ，不满足题意要求； D选项： ∵ ，不满足题意要求； 故选A． 2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，符合题意； B． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； C． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； D． 该图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选A． 3. 以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（ ） A. 6，4，2 B. 6，3，3 C. 7，3，2 D. 5，5，2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握两边之和大于第三边是解题关键． 根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边，逐项判断即可． 【详解】A．∵，等于第三边6，∴不能构成三角形； B．∵，等于第三边6，∴不能构成三角形； C．∵，∴不能构成三角形； D．∵，∴能构成三角形． 故答案为：D． 4. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，则此三角形是( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】运用因式分解，首先将所给的代数式恒等变形；借助非负数的性质得到a=b=c，即可解决问题． 【详解】∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0， ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2=0； ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0， ∴a﹣b=0，b﹣c=0， ∴a=b=c， ∴△ABC为等边三角形． 故选B． 【点睛】本题考查了因式分解及其应用问题．解题的关键是牢固掌握因式分解的方法，灵活运用因式分解来分析、判断、推理活解答． 5. 分式，的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是分式的最简公分母的确定，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：，， ∴分式，的最简公分母是， 故选：D． 6. 若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（ ） A. 和 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，分式方程无解可能由于化简后的整式方程无解，或解为增根（使分母为零）．先简化方程，再讨论参数的取值． 【详解】解：， ， 即 ， ， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，矛盾， 整式方程无解，原方程无解， 当时，，若此解使分母为零，则原方程无解，当时，即 ， 解得， 当或时，原方程无解， 故选：A． 7. 如图，在长方形中，连接，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线交于点M．若，则的大小为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和基本作图，熟练掌握5种基本作图是解题的关键． 先利用矩形的性质得到，则利用平行线的性质可计算出，再由作法得平分，所以． 【详解】解：在长方形中， ∵，， ∴， 由作法得：平分， ∴． 故选：C． 8. 某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划多植树20棵，实际植树800棵所需时间与原计划植树600棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据“实际植树800棵所需时间与原计划植树600棵所需时间相同”可以列出相应的分式方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 故选：B． 9. 如图，在等腰直角三角形中，，外角平分线交延长线于点D，，垂足是E，若周长是8，则线段的长为（　　） A. B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，得到，，接着证明是等腰直角三角形，得到，则，由三角形周长公式得到，则． 【详解】解：∵在等腰直角三角形中，， ∴， ∵外角平分线交延长线于点D，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵周长是8， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP=CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP=AD：②BF=CP：③AC+CD=AB：④PO⊥BE；⑤BP=2PF．其中正确的是（ ） A. ①③⑤ B. ①②③④ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理与性质，角平分线的定义，垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质逐个分析即可． 【详解】∵AC=BC，∠ACB=∠PCD=90°，CP=CD， ∴，则BP=AD，故①正确； 由得∠PBC=∠DAC，则， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAF=∠PAF， ， 假设， 在和中，， ， ， ， ， 在中，， 又， ，与相矛盾， 则假设不成立，②错误； 在与中，， ∴， ， 即，故③正确； 由得BF=PF， 则，故⑤正确； ，AD平分∠BAC， AF为BP的垂直平分线， OB=OP， 为等腰三角形， ， ， 又AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ， ， ∴， 为等腰直角三角形，且， 即，故④正确； 综上，①③④⑤正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的定义、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，能够根据所学综合分析图中的全等三角形是解题关键． 二、填空题(每小题3分，共30分) 11. 2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步，已知28nm为0.000000028 米，数据0.000000028用科学记数法表示为_________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据0.000000028用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 如图，，使，则增加一个条件是_________．     【答案】（或或）（答案不唯一，写出一个即可） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：利用“”判定，可添加条件； 利用“” 判定，可添加条件或； 利用“” 判定，可添加条件； 故答案为：（或或）． 13. 若，则___________________． 【答案】或3 【解析】 【分析】本题考查了乘方和零次幂．分底数为1和指数为0两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】解：当时，， ∴； 当且时，， 解得； 故答案为：或3． 14. 若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式的求值，涉及因式分解和完全平方公式的应用，掌握因式分解的方法以及完全平方公式的结构特征是解题关键．将已知等式分解因式可得，再利用完全平方公式求出，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ． ， ． 故答案为：． 15. 若，则的值为______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，完全平方公式．由，利用完全平方公式求出的值，再求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 16. 与的乘积中不含x的一次项，则m的值为 _______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法中不含某一项的问题，用多项式乘以多项式的法则进行计算，合并同类项后，x的一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ， ∵与的乘积中不含x的一次项， ∴，解得：； 故答案为：3． 17. 如图，是的中线，点E在边上一点，连接交于点F，且，若，则______________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查利用三角形的中线求面积，连接，设，根据据同高三角形的面积比等于底边比，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线，，， ∴，， 连接，设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：5． 18. 如图，在中，，，点，分别在边，上，则的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于直线的对称点，连接、、，作于点，由，，求得，，则，所以，由，，且，得，即可得出答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接、、，作于点， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，且， ∴， 即， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 19. 已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是分类思想的运用．先作图以及分类讨论，利用等腰三角形的性质进行求解即可 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴7∠A=180°， ∴， 故答案为：或． 20. 如图，已知中，，，，作AC的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第一条线段；作的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第二条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第三条线段；……，如此作下去，则第n条线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意依据垂直平分线性质和等边三角形性质以及60°直角三角形所对应的邻边是斜边的一半得出，，进而总结规律即可得出第n条线段的长. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵垂直平分AC， ∴, ∴, ∴, 同理, ， 可得第n条线段的长为：或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查图形规律，熟练掌握垂直平分线性质和等边三角形性质以及60°直角三角形所对应的邻边是斜边的一半是解题的关键. 三、解答题（60分） 21. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，分解因式，正确计算是解题的关键． （1）先根据乘法公式去小括号，然后合并同类项化简， 最后计算多项式除以单项式即可得到答案； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 22. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）（2）先去分母、将分式方程化为整式方程求解，再检验即可． 【小问1详解】 解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 23. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案． 【详解】解：原式 当时，原式， 故答案是： ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的， （2）写出、、的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作； （2）、、； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，坐标与图形，割补法求面积，掌握轴对称的性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据（1）的图形写出坐标即可； （3）利用割补法求面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积． 25. ，是等边三角形，点在直线上，，交直线于点． （1）当点在边上时，如图，求证：； （2）当点在的延长线上时，如图；当点在的延长线上时，如图，其他条件不变，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明． 【答案】（1） 证明：连接， ，是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． （2）当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，根据等边三角形的性质得到，，，推出，证得，根据全等三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，等量代换即可得到结论； （2）分两种情况讨论，连接，根据等边三角形的性质得到，，，推出，证得，根据全等三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，等量代换即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，， 连接， ，是等边三角形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； 如图，， 连接， ，是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 26. 某商场计划购进一批篮球和足球，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元． （1）篮球和足球的进价各是多少元？ （2）商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少卖出多少个？ （3）商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于43个，问商场有几种进货方案？ 【答案】（1）足球单价为90元，篮球单价为120元 （2）篮球最少要卖33个 （3）有3种方案 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并正确列方程和不等式是解题关键． （1）设足球单价为元，则篮球单价为元，根据“用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等”，列分式方程求解即可； （2）设售出篮球个，则购买足球个，根据“获利超过1300元”列一元一次不等式，再结合整数解求解即可； （3）设购买篮球n个，则购买足球个，根据“不超过10350元”和“篮球不少于43个”，求出的取值范围，即可得解． 【小问1详解】 解：设足球单价为元，则篮球单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则， 答：足球单价为90元，篮球单价为120元； 【小问2详解】 解：设售出篮球个，则售出足球个， 由题意得：， 解得， 为整数， ∴m的最小整数值为33， 故篮球最少要卖33个； 【小问3详解】 解：设购买篮球n个，则购买足球个， 由题意得：， 解得：， ∵篮球不少于43个， ， 的取值可以为43、44、45， ∴有3种方案． 27. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，，点A和点B的坐标分别为和，且a，b满足，平分，交y轴于点D． （1）请直接写出点A，B的坐标． （2）求点D的坐标． （3）在第一象限内是否存在点P，使是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与平面，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）先将原式化为，再根据平方的非负性求解即可； （2）先求出，过点作于点T，由角平分线性质定理得到，设，则，再由面积法得到，即可求解； （3）分两种情况讨论，分别构造“一线三等角”的全等三角形模型求解即可． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 过点作于点T， ∵平分，， ∴，设，则 ∵， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：存在， 当时，如图，过点作轴于点，则， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； 当，时，如图，过点P作轴于点K， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， 综上：存在，点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级期末数学试题 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（ ） A. 6，4，2 B. 6，3，3 C. 7，3，2 D. 5，5，2 4. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，则此三角形是( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 5. 分式，的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（ ） A. 和 B. C. D. 且 7. 如图，在长方形中，连接，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点H，画射线交于点M．若，则的大小为（     ） A. B. C. D. 8. 某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划多植树20棵，实际植树800棵所需时间与原计划植树600棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰直角三角形中，，外角平分线交延长线于点D，，垂足是E，若周长是8，则线段的长为（　　） A. B. 9 C. 8 D. 7 10. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP=CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP=AD：②BF=CP：③AC+CD=AB：④PO⊥BE；⑤BP=2PF．其中正确的是（ ） A. ①③⑤ B. ①②③④ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题(每小题3分，共30分) 11. 2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步，已知28nm为0.000000028 米，数据0.000000028用科学记数法表示为_________ 12. 如图，，使，则增加一个条件是_________．     13. 若，则___________________． 14. 若，，则的值为______． 15. 若，则的值为______． 16. 与的乘积中不含x的一次项，则m的值为 _______． 17. 如图，是的中线，点E在边上一点，连接交于点F，且，若，则______________． 18. 如图，在中，，，点，分别在边，上，则的最小值为 _____． 19. 已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则_______． 20. 如图，已知中，，，，作AC的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第一条线段；作的垂直平分线交AB于点、交AC于点，连接，得到第二条线段；作的垂直平分线交AB于点、交于点，连接，得到第三条线段；……，如此作下去，则第n条线段的长为______． 三、解答题（60分） 21. （1）计算：； （2）因式分解：． 22. 解分式方程： （1）； （2）． 23. 先化简，再求值：，其中． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的， （2）写出、、的坐标； （3）求的面积． 25. ，是等边三角形，点在直线上，，交直线于点． （1）当点在边上时，如图，求证：； （2）当点在的延长线上时，如图；当点在的延长线上时，如图，其他条件不变，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明． 26. 某商场计划购进一批篮球和足球，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元． （1）篮球和足球的进价各是多少元？ （2）商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少卖出多少个？ （3）商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于43个，问商场有几种进货方案？ 27. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，，点A和点B的坐标分别为和，且a，b满足，平分，交y轴于点D． （1）请直接写出点A，B的坐标． （2）求点D的坐标． （3）在第一象限内是否存在点P，使是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $