精品解析：吉林吉林市第二十三中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

吉林市第二十三中学 2026—2027 学年度上学期第一次月考 九 年 级 数 学 试 卷 （人教版 考试范围：第二十一章 一元二次方程、第二十二章 二次函数 满分 120 分 考试时间 120 分钟） 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写清楚． 2．本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟． 3．所有答案均须写在答题区域内，超出区域或写在草稿纸上的答案无效． 4．可以使用不带编程功能的计算器． 一、选择题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程 ，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 对称轴是直线 C. 函数的最大值是 3 D. 当时，y 随 x 的增大而增大 5. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线（）与x轴的交点为，，则关于x的一元二次方程的两个根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 7. 二次函数的最小值为_______． 8. 若 是方程的一个根，则 ______． 9. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 10. 抛物线y=2x2﹣4x+1的对称轴为直线__． 11. 某校九年级举行篮球单循环比赛（每两个班之间比赛一场），共比赛 45 场．设共有 x 个班参赛，根据题意可列出的方程为__________． 三、解答题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 12. 解方程： （1）； （2）． 13. 吉林市某景区 2024 年接待游客 80 万人次，2026 年接待游客达到 115.2 万人次．求这两年该景区接待游客人数的年平均增长率． 14. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，求这个二次函数的解析式． 四、解答题（本题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 15. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根； （2）若方程的两个根恰好是一个矩形的长和宽，且这个矩形的面积为6，求m的值及这个矩形的周长． 16. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）结合图象直接写出：的解集；以及当时，函数值y的取值范围． 17. 如图,某农户准备用长的篱笆靠墙(墙长)围一块矩形菜地,设垂直于墙的一边长为． （1）用含x的式子表示菜地的面积S； （2）当菜地的面积为时,求x的值,并结合实际说明所求的值是否都符合要求． 五、解答题（本题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 18. 某商店经销一种纪念品，进价为每件20元．当售价为每件30元时，每天可售出100件；市场调查发现，售价每上涨1元，每天的销售量就减少5件． （1）设每件售价上涨x元，写出每天所得利润W(元)与x之间的函数关系式； （2）售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ （3）若商店要求每天的利润不低于1120元，结合函数图象说明售价应控制在什么范围内． 19. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C． （1）求A，B，C三点的坐标及顶点D的坐标； （2）求的面积；在抛物线上是否存在点P(不与点C重合)，使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标． 六、解答题（本题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 20. 如图，在矩形中，，．点P从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动；同时点Q从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点C运动．设运动时间为t秒()． （1）用含t的式子表示线段，的长； （2）设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值； （3）是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的六分之一？若存在，求出t的值． 21. 如图，某公园要修建一座抛物线形拱门，拱门底部宽，拱顶距地面．以地面所在直线为x轴，拱门的中线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求这座拱门所在抛物线的解析式； （2）现计划在拱门下方安装一排高的灯柱(垂直于地面)，为不碰到拱门，灯柱应安装在什么范围内？ （3）一辆宽、高的货车想从拱门正中通过，请通过计算说明它能否顺利通过． 七、解答题（本题共 1 小题，共 12 分） 22. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接．点P是抛物线在y轴右侧部分上的一个动点(不与点B重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M，交直线于点N． （1）求A，B，C三点的坐标及直线的解析式； （2）设点P的横坐标为，用含m的式子表示线段的长，并求出的最大值； （3）是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出此时点P的坐标及最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第二十三中学 2026—2027 学年度上学期第一次月考 九 年 级 数 学 试 卷 （人教版 考试范围：第二十一章 一元二次方程、第二十二章 二次函数 满分 120 分 考试时间 120 分钟） 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写清楚． 2．本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟． 3．所有答案均须写在答题区域内，超出区域或写在草稿纸上的答案无效． 4．可以使用不带编程功能的计算器． 一、选择题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】明确一元二次方程的标准形式和各项要求即可求解． 【详解】选项A：方程，只含有一个未知数，且的最高次数是，同时二次项系数， 符合一元二次方程的定义， 选项B：方程中含有两个未知数和，不满足一元二次方程只含有一个未知数的条件， 所以它不是一元二次方程， 选项C：方程是分式方程，因为方程中含有分式，不满足一元二次方程是整式方程的要求， 所以它不是一元二次方程， 选项D：将方程展开，可得，未知数的最高次数是， 不满足一元二次方程未知数最高次数是的条件， 所以它不是一元二次方程． 2. 用配方法解方程 ，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：移项得，两边同加 4 得，即． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】使用判别式进行判断即可． 【详解】因为， 所以方程没有实数根． 4. 对于二次函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 对称轴是直线 C. 函数的最大值是 3 D. 当时，y 随 x 的增大而增大 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于二次函数，，开口向下，选项A错误，对称轴是直线，选项B错误，顶点纵坐标为 3，故最大值为 3，选项C正确；当时， y 随 x 增大而减小，选项D错误． 5. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 6. 抛物线（）与x轴的交点为，，则关于x的一元二次方程的两个根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为，， ∴关于x的一元二次方程的两个根为，． 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 7. 二次函数的最小值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．将二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质，即可得出结果． 【详解】解：， ∵， ∴当时，有最小值为：1； 故答案为：1． 8. 若 是方程的一个根，则 ______． 【答案】5 【解析】 【分析】把方程的解代入方程，解新方程即可． 【详解】解： 是方程的一个根， ， 解得． 9. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】根据题意得， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式.一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 10. 抛物线y=2x2﹣4x+1的对称轴为直线__． 【答案】x=1 【解析】 【详解】解：∵y=2x2﹣4x+1=2（x﹣1）2﹣1， ∴对称轴为直线x=1， 故答案为：x=1． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 11. 某校九年级举行篮球单循环比赛（每两个班之间比赛一场），共比赛 45 场．设共有 x 个班参赛，根据题意可列出的方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：若有个班，每个班都要和除自己之外的个班各赛1场，统计总场次为， ∴根据题意可列出的方程为（或）． 三、解答题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 12. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ，． 13. 吉林市某景区 2024 年接待游客 80 万人次，2026 年接待游客达到 115.2 万人次．求这两年该景区接待游客人数的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】设这两年游客人数的年平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设年平均增长率为 x，依题意得， 即， 解得或（不合实际，舍去）． 所以这两年游客人数的年平均增长率为． 14. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，求这个二次函数的解析式． 【答案】y＝﹣x2+2x+3 【解析】 【分析】用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：∵y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点， ∴， 解得：． 因此，这个二次函数的解析式是y＝﹣x2+2x+3． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题关键是熟练运用待定系数法，准确进行计算． 四、解答题（本题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 15. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根； （2）若方程的两个根恰好是一个矩形的长和宽，且这个矩形的面积为6，求m的值及这个矩形的周长． 【答案】（1） 证明：在方程中， ， ∵， ∴无论m取何实数，方程总有实数根． （2），周长为10 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得，由此即可得证； （2）设两根为a，b，根据根与系数的关系和矩形面积为6，得出，，再根据矩形的周长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设两根为a，b，则． ∵矩形面积为6，方程的两个根恰好是一个矩形的长和宽， ∴，解得：； ∴方程为，解得，均为正数，符合题意，， ∴矩形周长为． 16. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）结合图象直接写出：的解集；以及当时，函数值y的取值范围． 【答案】（1），， （2）①　② 【解析】 【分析】（1）分别令，即可求解； （2）的解集即为二次函数在x轴上方的图象对应的自变量的取值范围，结合二次函数的图象根据自变量的取值范围求对应的函数值即可求解． 【小问1详解】 解：令得， 解得或； 令得． 故，，． 【小问2详解】 解：由图象知，函数值大于0的部分在两交点之间，故的解集为． 当时，， 当时，， ∵， ∴顶点坐标为， 故当时，． 17. 如图,某农户准备用长的篱笆靠墙(墙长)围一块矩形菜地,设垂直于墙的一边长为． （1）用含x的式子表示菜地的面积S； （2）当菜地的面积为时,求x的值,并结合实际说明所求的值是否都符合要求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据矩形面积公式列出解析式即可； （2）根据菜地的面积为，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 又∵平行于墙的一边不能超过墙长，即，解得， ∴． 【小问2详解】 解：根据题意得，即， 解得：或． ∴不符合实际，应取． 五、解答题（本题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 18. 某商店经销一种纪念品，进价为每件20元．当售价为每件30元时，每天可售出100件；市场调查发现，售价每上涨1元，每天的销售量就减少5件． （1）设每件售价上涨x元，写出每天所得利润W(元)与x之间的函数关系式； （2）售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ （3）若商店要求每天的利润不低于1120元，结合函数图象说明售价应控制在什么范围内． 【答案】（1） （2）35元，1125元 （3）34元到元之间 【解析】 【分析】（1）根据每天的销售利润等于销售量乘以单件利润可得关系式； （2）先将关系式配方得出顶点式，再根据二次函数图象的性质即可得出答案； （3）根据题意可得，再求出解集即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得． 【小问2详解】 解：∵， 故当时W最大， 此时售价为(元)，最大利润为1125元． 【小问3详解】 解：令，解得， ∵二次函数的图象开口向下， ∴当函数值不小于1120时，自变量x的取值在对应方程的两个根之间，即， 故售价应控制在34元到元之间． 19. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C． （1）求A，B，C三点的坐标及顶点D的坐标； （2）求的面积；在抛物线上是否存在点P(不与点C重合)，使得与的面积相等？若存在，求出点P的坐标． 【答案】（1），，， （2）面积为3；存在， 【解析】 【分析】（1）分别令，，求出A，B，C三点的坐标，将抛物线解析式转化为顶点式，即可求出顶点D的坐标； （2）根据与面积相等，得出，令，求解即可． 【小问1详解】 解：令得， 解得或， ∴，， 令得， ∴， ∵， ∴顶点； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，点C到x轴距离为3， ∴． ∵与面积相等， ∴, ∴， 由（1）知抛物线最小值为， ∴， 令得， 解得或． ∵对应点C， ∴． 六、解答题（本题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 20. 如图，在矩形中，，．点P从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动；同时点Q从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点C运动．设运动时间为t秒()． （1）用含t的式子表示线段，的长； （2）设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值； （3）是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的六分之一？若存在，求出t的值． 【答案】（1）， （2），最大值为9 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）表示出，再根据二次函数的性质解答即可； （3）根据题意可得，求解即可； 【小问1详解】 解：由运动速度可得． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴当时S最大，最大值为9． 【小问3详解】 解：矩形面积为， 当，即时， 解得或． 又， 故(时点Q已到达点C，舍去)． 21. 如图，某公园要修建一座抛物线形拱门，拱门底部宽，拱顶距地面．以地面所在直线为x轴，拱门的中线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求这座拱门所在抛物线的解析式； （2）现计划在拱门下方安装一排高的灯柱(垂直于地面)，为不碰到拱门，灯柱应安装在什么范围内？ （3）一辆宽、高的货车想从拱门正中通过，请通过计算说明它能否顺利通过． 【答案】（1） （2）距中线不超过的范围内 （3）货车宽，从正中通过时车轮边缘在处， 此时拱门高度， 因为， 所以这辆货车能顺利通过． 【解析】 【分析】（1）根据拱门最高点坐标确定抛物线顶点，结合水面宽度得出函数图象经过的点，利用抛物线顶点式设解析式，代入点的坐标求出系数，即可求出抛物线解析式． （2）令，解答即可； （3）根据货车宽度确定车体边缘对应的横坐标，代入抛物线解析式求出此处拱门高度，与车高对比，判断货车能否通过． 【小问1详解】 解：根据题意可得抛物线顶点坐标为，且过点， 设，把代入得，解得， 故，其中． 【小问2详解】 解：令得，即， 解得， 故灯柱应安装在距中线不超过的范围内． 【小问3详解】 略 七、解答题（本题共 1 小题，共 12 分） 22. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接．点P是抛物线在y轴右侧部分上的一个动点(不与点B重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M，交直线于点N． （1）求A，B，C三点的坐标及直线的解析式； （2）设点P的横坐标为，用含m的式子表示线段的长，并求出的最大值； （3）是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出此时点P的坐标及最大面积． 【答案】（1），，， （2），最大值为1 （3）存在，，最大面积为1 【解析】 【分析】（1）分别令，求出A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）根据题意表示出点P坐标和点N坐标，表示出线段的长，再运用二次函数最值即可求得答案； （3）根据题意表示出，再运用二次函数最值即可求得答案； 【小问1详解】 解：令得，解得， ∴， 令得，故， 设直线为， 把代入得， 解得， 故直线的解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意可得，点P坐标为，点N坐标为， ∴， ∴当时最大，最大值为1． 【小问3详解】 解：把沿分割，其水平宽为， ∴． 由（2）知当时S最大，最大值为1， 此时点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $