精品解析：江苏省盐城市亭湖区二联盟2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

盐城市亭湖区第二联盟2025-2026学年度第一学期作业检查 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、学校、班级、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、单选题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程），进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意 ； C、∵，∴的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、是一元二次方程，故该选项符合题意 ； 故选：D 2. 藤球是一项古老而独特的体育运动项目，有着悠久的历史，又叫“脚踢的排球”．下表是学校藤球队中四名同学成绩的平均数及方差，若要从这四名队员中，选择一名成绩好且状态稳定的选手代表学校参加市藤球赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 分 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差的意义，根据平均数可选出成绩好的同学是乙、丁，再根据方差的意义即可得出答案，解题的关键是理解平均数和方差的意义：平均数是反映一组数据的平均水平；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小． 【详解】解：∵乙、丁两同学的平均数相等，且比甲、丙两同学的高， ∴乙和丁两同学成绩较好，应从乙和丁两同学中选， 又∵丁同学的方差比乙同学的小， ∴丁同学的状态更稳定，应选丁同学， 故选：． 3. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义（形如，其中）进行判断． 【详解】解：二次函数需满足：整式函数，且最高次项为二次． A：，最高次项为一次，不符合二次函数的定义； B：，含有分式，不是整式，不符合二次函数的定义； C：，符合二次函数的定义； D：，最高次项为一次，不符合二次函数的定义； 故选：C． 4. 已知是半径为4的圆内的一条弦，则的长不可能是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解题的关键．根据圆内弦的性质，弦的长度不超过直径，直径为8，因此的长度不能大于8． 【详解】解：由题意知，该圆的直径为8，  圆中最长的弦为直径， ， 选项A中，故的长不可能为9，符合题意， 故选：A． 5. 若是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. C. 2023 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴； 故选C． 6. 如图抛物线，则关于x的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，通过图象确定不等式的解集是解题的关键． 首先明确不等式的解集代表的是抛物线的图象在x轴下方的部分，再根据图象得到解集即可． 【详解】解：由图可知，不等式的解集是． 故选：C 7. 如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，圆周角定理，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，根据圆周角定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∴， ∴该正多边形的边数为10， 故选：C． 8. 如图，二次函数的对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. （的实数） 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴左侧；当与异号时（即），对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴没有交点． 由抛物线的开口方向以及与轴的交点位置可判断A选项；根据拋物线上的点在第二象限可判定B选项；根据抛物线上时的值和时的点在第三象限可判断C选项；由时的值最大，可判定D选项． 【详解】解：由图象可知：， ， ， ∴，故A错误； 时，， ∴由对称知，当时，函数值大于 0 ， 即，故B错误； 由图象知，当时，，当时，， ， ，即 ，故C错误； ∵当时，的值最大．此时， 而当时，， 所以， 故，即，故D正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答 题卡相应位置上） 9. 体育课上五名同学定点投篮（每人投5球）投中的球数1，1，4，3，5的中位数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了中位数，解题的关键是掌握确定中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫作这组数据的中位数． 将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数．数据个数为奇数时，中位数是中间那个将数据作为中位数即可解答． 【详解】解：将数据1，1，4，3，5按从小到大顺序排列为1，1，3，4，5．数据个数为5，是奇数，中位数是第3个数，即3． 故答案为3． 10. 某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列举法，熟练掌握列举法的应用是解题的关键． 通过列举所有等可能抽取结果数和恰好是1名男生和1名女生的结果数，运用概率公式求解即可． 【详解】解：从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人，所有可能的结果有： （男1，男2）、（男1，女）、（男2，女），共3种， 其中恰好是1名男生和1名女生的结果有：（男1，女）、（男2，女），共2种， 因此，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率为, 故答案为：． 11. 我们定义一种新运算：对于任意实数p、q，规定，若关于x的方程（m为常数）有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】5或1 【解析】 【分析】本题考查新定义运算与一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据新运算将方程转化为标准一元二次方程，再利用判别式求解． 先根据新运算定义将方程转化为一元二次方程，再利用一元二次方程有两个相等实数根时判别式为0的性质求解的值． 【详解】根据新运算， 将方程转化为， 整理得， 此方程的判别式， 因方程有两个相等实数根，故， 即， 提取公因式得， 解得或， 验证可知或均满足条件． 故答案为：1或5． 12. 二次函数的函数值与自变量的四组对应值如下表所示： 6.15 6.18 6.21 6.24 0.02 0.02 0.11 则方程有___________个根（填“0”，“1”或“2”） 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、方程与函数的关系；用到的思想是函数与方程思想；方法是利用二次函数的连续性判断函数值的正负变化来确定方程根的个数；解题关键是根据表格中函数值的正负变化，结合二次函数图像是抛物线（最多有两个不同的x值使来判断；易错点是忽略二次函数的连续性以及抛物线的特征，错误判断根的个数． 首先观察表格里x对应的y值，发现当x在不同区间时，y值从负数变为正数，因为二次函数是连续的，所以在这些区间内必然存在使的x值．又因为二次函数的图像是抛物线，最多有两个不同的x值能让，所以可以得出方程有2个根． 【详解】由表格可知，当时，； 当时，，y从正数变为负数． 当时， 当时，y从负数变正数． 由于二次函数图像是抛物线，最多有两个不同的x值使， 所以方程有2个根． 故答案为：2． 13. 如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，连接，首先根据题意可求得，，根据勾股定理即可求得的长，再根据垂径定理即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 14. 若圆锥的底面半径是3，它的侧面展开后的扇形圆心角的度数是，则这个圆锥的全面积是_______．(结果保留π) 【答案】 【解析】 【分析】通过圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，求出母线长，再计算全面积． 本题考查了圆锥的侧面展开，全面积，熟练掌握展开图，求面积公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥的底面半径 ， 则底面积 ； 底面周长 ； 侧面展开扇形的圆心角 ，设母线长为 ，则扇形弧长 ， 由 ， 得 ， 解得 ， 侧面积 ， 全面积 ， 故答案为 ：． 15. 已知，点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_____． 【答案】＜＜ 【解析】 【分析】由抛物线为： 可得抛物线的对称轴为： 而＞抛物线的开口向上，可得当＜时，随的增大而减少，由点与点关于对称，而＜＜，从而可得答案． 【详解】解： 抛物线为： 抛物线的对称轴为： 而＞抛物线的开口向上， 当＜时，随的增大而减少， 点与点关于对称， 而＜＜， ＜＜， 故答案为：＜＜． 【点睛】本题考查的是二次函数的增减性，掌握二次函数的图像与增减性是解题的关键． 16. 如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的内心与外心、三角形内心性质、三角形外心性质、勾股定理，切线长定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过点P作于D、于E、于F，根据三角形的内心性质得到，易得、、得到四边形是正方形，根据勾股定理求出得到，求出得到，进而得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点P作于D、于E、于F， ∵点P是内切圆的圆心， ∴，、、， ∴四边形是正方形， ∵中，，，， ∴， 设，，， 则，解得：， ∴， ∵点O为的外心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） ； （2） ． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）使用配方法进行求解即可； （2）使用因式分解法进行求解即可． 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法与函数平移的特点． （1）设抛物线的解析式为，把点代入，即可求解； （2）根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到， 即平移后的抛物线的解析式为． 19. 已知关于x的方程． （1）若这个方程有实数根，求a的取值范围； （2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根． 【答案】（1） （2），另外一个根为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）设原方程的另外一个根为b，由根与系数的关系可得，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设原方程的另外一个根为b， ∵关于x的方程有一个根是2， ∴由根与系数的关系可得， ∴， ∴另外一个根为． 20. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分．现分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图，两组样本数据的平均数、中位数、众数及方差如表所示： 年级 平均数 (分) 中位数 (分) 众数 (分) 方差 (精确到0.01) 七年级 14.4 16 b 15.04 八年级 a 12 12 16.64 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 _________， _________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由； （3）若该校七年级共有学生420人，请估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数． 【答案】（1）14.4，16 （2）可以推断出七年级学生的安全知识竞赛成绩更好，理由见解析 （3）231 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算方法和意义是正确解答的关键． （1）根据平均数、众数的计算方法进行计算即可； （2）比较平均数、中位数、众数、方差得出答案； （3）求出七年级不低于分的人数所占的百分比即可解答． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可得（分）， 由条形统计图知16分出现的次数最多， ∴； 【小问2详解】 解：可以推断出七年级学生的安全知识竞赛成绩更好， 理由：因为两班平均数相同，而七年级的中位数以及众数均高于八年级，七年级的方差小于八年级的方差， 所以七年级学生的安全知识竞赛成绩更好； 【小问3详解】 解：人， 答：估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数为231人． 21. 某校为了落实“五育并举”的教育举措，课后开设了围棋、航模、书法、阅读、画画五个兴趣小组，学生可以任选一个兴趣小组参加，小明和小阳决定通过抽签的方式选择．抽签规则：将五个兴趣小组的名称分别写在五张完全相同且不透明的卡片正面，并把五张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张卡片，记下名称后放回，小阳再随机抽取一张，记下名称． （1）小明选择围棋兴趣小组的概率是 ； （2）围棋、航模、书法的活动教室都在三楼，阅读、画画的活动教室在二楼，请用画树状图或列表法求出小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵开设了围棋、航模、书法、阅读、画画五个兴趣小组， ∴小明选择围棋兴趣小组的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：把围棋、航模、书法、阅读、画画五个兴趣小组分别记为A、B、C、D、E， 画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的结果有12种， ∴小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的概率为． 22. 某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． （1）降价后超市平均每天可售出______个玩具； （2）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）售价为元，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、二次函数的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个”即可获得答案； （2）根据“利润等于单个玩具利润乘以销售量”，即可获得答案； （3）将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可获得答案． 【小问1详解】 解：玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个， 降价后超市平均每天可售出个玩具， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，可得， 函数关系为， 即， 其中的取值范围是； 【小问3详解】 解：， ， ∵，， 当时，有最大值为， 此时玩具的售价为：（元）， 答：该超市将每个玩具的售价定为元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是元． 23. 如图，在矩形中，点O在对角线上，以的长为半径的圆O与分别交于点E，F，连接，且． （1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，求的半径． 【答案】（1）相切，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，切线的判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，得到，，进而得到，，等边对等角得到，进而推出，平角的定义求出，即可得出结论； （2）勾股定理求出的长，设的半径为，得到，再根据勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：直线与相切，证明如下： 连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴直线与相切； 【小问2详解】 ∵矩形， ∴， ∴，， 设的半径为，则：， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴，解得：； 故的半径为． 24. 如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．该运动员身高1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，设球运动的水平距离为，竖直高度为． （1）如图，抛物线与轴交点坐标为______________，篮筐中心坐标为______________． （2）求与之间的函数关系式； （3）运动员在这次跳投中，跳离地面的高度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图象可直接得出结论； （2）设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得的值． （3）设球出手时，他跳离地面的高度为m，则可得． 【小问1详解】 解：由图象可知，抛物线与轴交点坐标为，篮筐中心坐标为； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为． 由图知图象过以下点：． ， 解得：， 抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：设球出手时，他跳离地面的高度为m， 根据题意可知，， 解得． 答：球出手时，他跳离地面的高度为m． 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式以及性质，利用二次函数解决抛物线形的实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决问题是解题的关键． 25. 如图，点是的内心，点是的外心． （1）请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． （2）试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1） 如图所示，点D为所求： （2） 点是图中的外心，理由如下： 如图，连接， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【解析】 【分析】本题考查了三角形外心与内心，弧与弦的关系，圆周角定理．熟记三角形外心与内心的性质是解题的关键． （1）连接，并延长交于点，连接，由三角形内心的性质可得平分，平分，得到，根据圆周角定理可得，推出，进而求出，即可得到； （2）如图，连接，由（1）知，圆周角定理可得，推出，进而得到点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【小问1详解】 解：∵点是的外心， ∴是的外接圆， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，点是线段上的动点． （1）①________； ②求抛物线的解析式． ③直接写出抛物线解析式顶点坐标（________，________）； （2）过点作直线l垂直于轴，交抛物线于点，求线段的长的最大值，并求出此时点与点的坐标． 【答案】（1）①2；②；③1， （2）线段的最大值为，点的坐标是，点Q的坐标是 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合题，涉及到待定系数法求解析式，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，并利用数形结合的思想． （1）①直接将点代入直线即可求解；②利用待定系数法即可求解；③将函数解析式化为顶点式即可求解； （2）根据题意可设点的坐标，进而可得二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：①将点代入直线， 得 解得：， 故答案为：； ②由①得点 点，在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为； ③由②得 ， ∴抛物线解析式顶点坐标为， 故答案为：1，； 【小问2详解】 解：设点的横坐标为，其中， 点，点， ， ∵， 当时，最大，为， 此时点的坐标是，点Q的坐标是． 27. 19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交轴于点、，则、为方程的两个实数根． （1）【探究】由勾股定理得，，，． 在中，，所以． 化简得：．同理可得： ． 所以、为方程的两个实数根． （2）【运用】在图中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点、． （3）已知点、，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由． （4）【拓展】 在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与交轴有两个交点、，则以点、的横坐标为根的一元二次方程是 ． 【答案】（1） （2） 如图， （3）⊙C与x轴的位置关系为相切 （4） 【解析】 【分析】（1）连接，，利用题干中的解题方法解答即可； （2）作出，，，以点为圆心，为半径画圆，与轴交于，点，则点、为轴上以方程两根为横坐标的点； （3）由题意得：与轴的交点的横坐标为一元二次方程的根，解方程得到一元二次方程的根，则与轴只有唯一的公共点，利用直线与圆相切的定义解答即可； （4）设，，则，，利用题干中的解题方法解答即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理得，，，， 在中，，所以． 化简得：， 连接，，如图， 由勾股定理得，，，， 在中，，所以． 化简得：， 所以、为方程的两个实数根． 故答案为：； 【小问2详解】 作出，，，以点为圆心，为半径画圆，与轴交于，点， 则点、为轴上以方程两根为横坐标的点； 【小问3详解】 ⊙与轴的位置关系为相切．理由： 点、，以为直径作， 则与轴的交点的横坐标为一元二次方程的根， 一元二次方程的根为， 与轴只有唯一的公共点， 与轴的位置关系为相切． 【小问4详解】 以为直径的圆与轴有两个交点、， 设，， ，，， 由勾股定理得，，， 在中，，所以． 化简得：， 同理可得：， 所以、为方程的两个实数根． 以点、的横坐标为根的一元二次方程是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的根，点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键，正确理解题干中的解题方法并熟练运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐城市亭湖区第二联盟2025-2026学年度第一学期作业检查 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、学校、班级、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、单选题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 藤球是一项古老而独特的体育运动项目，有着悠久的历史，又叫“脚踢的排球”．下表是学校藤球队中四名同学成绩的平均数及方差，若要从这四名队员中，选择一名成绩好且状态稳定的选手代表学校参加市藤球赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 分 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是半径为4的圆内的一条弦，则的长不可能是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 5. 若是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. C. 2023 D. 2027 6. 如图抛物线，则关于x的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 或 7. 如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 8. 如图，二次函数的对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. （的实数） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答 题卡相应位置上） 9. 体育课上五名同学定点投篮（每人投5球）投中的球数1，1，4，3，5的中位数为______． 10. 某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是____． 11. 我们定义一种新运算：对于任意实数p、q，规定，若关于x的方程（m为常数）有两个相等的实数根，则m的值为______． 12. 二次函数的函数值与自变量的四组对应值如下表所示： 6.15 6.18 6.21 6.24 0.02 0.02 0.11 则方程有___________个根（填“0”，“1”或“2”） 13. 如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为_____ ． 14. 若圆锥的底面半径是3，它的侧面展开后的扇形圆心角的度数是，则这个圆锥的全面积是_______．(结果保留π) 15. 已知，点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_____． 16. 如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为______． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） ； （2） ． 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式． 19. 已知关于x的方程． （1）若这个方程有实数根，求a的取值范围； （2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根． 20. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为20分，16分，12分和8分．现分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图，两组样本数据的平均数、中位数、众数及方差如表所示： 年级 平均数 (分) 中位数 (分) 众数 (分) 方差 (精确到0.01) 七年级 14.4 16 b 15.04 八年级 a 12 12 16.64 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 _________， _________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由； （3）若该校七年级共有学生420人，请估计该校七年级成绩不低于16分的学生人数． 21. 某校为了落实“五育并举”的教育举措，课后开设了围棋、航模、书法、阅读、画画五个兴趣小组，学生可以任选一个兴趣小组参加，小明和小阳决定通过抽签的方式选择．抽签规则：将五个兴趣小组的名称分别写在五张完全相同且不透明的卡片正面，并把五张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张卡片，记下名称后放回，小阳再随机抽取一张，记下名称． （1）小明选择围棋兴趣小组的概率是 ； （2）围棋、航模、书法的活动教室都在三楼，阅读、画画的活动教室在二楼，请用画树状图或列表法求出小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的概率． 22. 某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． （1）降价后超市平均每天可售出______个玩具； （2）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，在矩形中，点O在对角线上，以的长为半径的圆O与分别交于点E，F，连接，且． （1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，求的半径． 24. 如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．该运动员身高1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，设球运动的水平距离为，竖直高度为． （1）如图，抛物线与轴交点坐标为______________，篮筐中心坐标为______________． （2）求与之间的函数关系式； （3）运动员在这次跳投中，跳离地面的高度． 25. 如图，点是的内心，点是的外心． （1）请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． （2）试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，点是线段上的动点． （1）①________； ②求抛物线的解析式． ③直接写出抛物线解析式顶点坐标（________，________）； （2）过点作直线l垂直于轴，交抛物线于点，求线段的长的最大值，并求出此时点与点的坐标． 27. 19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交轴于点、，则、为方程的两个实数根． （1）【探究】由勾股定理得，，，． 在中，，所以． 化简得：．同理可得： ． 所以、为方程的两个实数根． （2）【运用】在图中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点、． （3）已知点、，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由． （4）【拓展】 在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与交轴有两个交点、，则以点、的横坐标为根的一元二次方程是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $