精品解析：浙江省湖州市长兴县2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试卷

2025 学年第一学期期末练习 九年级数学 试题卷 请考生注意： 1．全卷分卷I与卷II两部分，考试时间为120分钟，试卷满分为120分． 2．答题前，考生务必填写考生信息，试题卷中所有试题的答案填涂或书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效．考试时不允许使用计算器． 3．请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷I 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据形如的函数是二次函数，以此判断即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键． 【详解】解：A. ，是二次函数，符合题意； B. ，不是二次函数，不符合题意； C. 不是二次函数，不符合题意； D. 不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放广告 B. 三角形的内角和等于 C. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上 D. 明天会下雨 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握基本定义是解题的关键. 必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件. 选项B中三角形的内角和等于是几何基本定理，因此是必然事件. 【详解】解：∵ 必然事件是确定会发生的事件； ∵ 三角形的内角和恒等于，是数学公理； ∴ 选项B是必然事件， 选项A、C、D均为随机事件，不一定发生， 故选：B. 3. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：抛物线先向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的函数表达式为：． 故选：D． 4. 已知的半径为3，弦的长为4，则圆心到弦的距离是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于E 连接, 利用垂径定理，勾股定理求解即可. 本题考查了垂径定理及勾股定理，即根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 【详解】解：作于E 连接, ∵,弦的长为4， ∴, 在中, , ∴ , 即圆心O到弦AB的距离为， 故选：B. 5. 已知，相似比为，若的面积为4，则的面积是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可. 本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】解：∵，相似比为， ∴. ∵的面积为4， ∴， ∴. 故选：C. 6. 在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（ ） A. 试验次数越多，越大 B. 试验次数越多，越大 C. 与都可能发生变化 D. 试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【解析】 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，与是第一象限内以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OD上，若，点A的坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．根据与以原点为位似中心，以及，得出与位似比为，再结合点A的坐标为，点D在第一象限，进而求出点D的坐标． 【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形， ， ∵ ∴ ∴与位似比为， 点A坐标为，点D在第一象限， 点D的坐标是，即， 故选：C 8. 如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解． 详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 9. 如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，沿着折叠，使点恰好落在边上点处．若，，则的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则， 证明，列比例式解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质和解方程是解题的关键． 【详解】解：∵等边三角形， ∴，， ∵沿着折叠，使点恰好落在边上点处，，， 根据折叠的性质，得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴ ∴， 解得， 故选：C． 10. 已知二次函数（为常数）．点在函数图象上，其中，点也在函数图象上，且，对于，都有，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由点A存在可得，再根据恒成立，推导出或，结合点A存在条件得的取值范围． 本题考查了二次函数的增减性，解不等式，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在函数图象上，且， ∴ ， 解得； ∵ 函数开口向上，对称轴， ∴到对称轴的距离大，其点对应的函数值也大， ∵， 且， ∴范围内，处取得最大值， ∴ ； ∵点也在函数图象上，且， ∴ ， 由恒成立，得， 化简得，即， 解得或， 结合点A存在条件， ∴ 或； 故选：D． 卷II 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 利用比例的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12. 在一个不透明袋子中，装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率，根据概率的求法求解，找准两点：①全部等可能情况的总数，②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：摸到红球的概率为， 故答案为：． 13. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为___________米． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， （米）， 故答案为：7． 14. 二次函数图象的对称轴过点，该函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】由对称轴过点可得对称轴为，即，从而得到；点 在一次函数上，代入得，即在二次函数上，代入得 ；将代入后化简得；所求表达式可化为 ，故结果为4． 本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与一次函数的交点意义，求代数式的值，熟练掌握对称轴的应用，交点的意义是解题的关键． 【详解】解：二次函数 （）的对称轴方程为； ∵ 对称轴过点， ∴ ，即 ； 点 在一次函数上， ∴ ，即； ∵ 点在二次函数上， ∴ ， 即； 将代入上式，得， ， ， 将代入得，， ∴ ， 故答案为：4． 15. 如图，在中，将沿着弦所在直线折叠，交弦于点，连接．若，则的长度是________． 【答案】2 【解析】 【分析】过点D作于点E，延长交于点F，则点F是点D的对称点，根据直角三角形的性质，解直角三角形，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解答即可． 此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，直角三角形的性质，解直角三角形，圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质，灵活运用含有角的直角三角形性质及是解决问题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，延长交于点F， 点F是点D的对称点， ∵， ∴， ∴， 根据折叠性质，得， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 16. 如图，在中，是的外接圆．为的延长线上一点，连接，交于点，连接．若，当取最大值时，的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点G，得到的外接圆圆心一定在直线上，连接，设，根据勾股定理，得到圆的直径为；证明，得到，当为的直径时，取得最大值，根据三角形相似，勾股定理，解答即可． 本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：过点A作于点G， ∵，, ∴, ∴直线是线段的垂直平分线， ∴的外接圆圆心一定在直线上， 连接， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴, 解得， ∴圆的直径为； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴取的最大值时，取最大值， ∵直径是圆的最大弦， ∴为的直径时最大， ∴的最大值为， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的表达式． （2）求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是利用函数图象上点的坐标特征列方程求解，以及将抛物线与x轴交点问题转化为解一元二次方程． （1）将已知点代入函数解析式，列方程组求出的值，得到二次函数表达式； （2）令，解一元二次方程，得到抛物线与x轴的另一个交点坐标． 【小问1详解】 解：将点，分别代入，得： 即， 将代入，解得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 整理为，因式分解得， 解得， 已知一个交点为，故另一个交点坐标为． 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上． （1）如图①，的值是______； （2）如图②，只用无刻度的直尺，在给定网格中的线段上找一点，使．（保留适当的作图痕迹，不要求写出画法） 【答案】（1） （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由题意知，然后问题可求解； （2）同（1）的方法构造相似三角形，根据相似三角形的性质与判定可直接进行作图． 【小问1详解】 解：由图可知：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：线段上找一点，使，所作图形如下： 19. 在5张相同的小纸条上，分别写有：①；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． （1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 ； （2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表法求概率，解题关键是掌握． （1）利用概率公式求解； （2）利用画树状图或列表法求概率． 小问1详解】 解：∵①；②0；③1；①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀， ∴从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图，如图： 共6种情况，其中抽到的数与文字描述相符合的有2种， ∴抽到的数与文字描述相符合的概率． 20. 如图，在矩形中，是边上的一点，连接，作交边于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，垂直的定义，利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）根据矩形的性质，得，利用，求的长，再结合，解答即可． 本题考查了矩形的性质，垂直的定义，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 21. “一分钟跳绳”是中考体育考试科目之一，近年来受到社会各界的高度重视．某经销商抓住商机，以每件10元的价格购进一种跳绳，销售时该跳绳的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该跳绳的每天销售数量（条）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 … 15 16 17 … 每天销售数量条 … 30 28 26 … （1）求与之间的函数关系式； （2）设销售这种跳绳每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大获利是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价为18元时，每天获利最大，最大获利192元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式的确定，二次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可列出w与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设函数的解析式为， 根据题意，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式． 【小问2详解】 解：设销售这种跳绳每天获利（元）， 根据题意，得 ， ， ∴有最大值， ∵，且点与对称轴的距离越小，函数值越大，且， 故当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：当销售单价为18元时，每天获利最大，最大获利192元． 22. 如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． （1）如图1，连接，求的度数； （2）如图2，若点为的中点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可； （2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形中，∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 23. 定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数互为“关联函数”．两个函数图象构成封闭图形（含边界）叫做“关联区域”．例如：函数与，可以通过消去，得到，移项得，因为，所以它们有两个交点，我们认为函数与是互为关联函数，如图1，阴影部分是关联区域．如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点，当线段长度最大时，该距离叫作“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”． 根据以上信息，完成下列问题： （1）证明：函数与是“关联函数”； （2）求“关联函数”与的“最优关联距离”； （3）若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，涉及二次函数的图象与性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识点． （1）联立两个函数解析式，得到一元二次方程，再由根的判别式判断一元二次方程根的情况，即可判断两个函数图像是否有交点，即可证明； （2）过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象与两点，由题意得，则，再利用二次函数的性质求解最值； （3）由题意得，则，则当时，取得最大值，此时，，则，由题意得有三个整数值，即为，故，再解不等式即可求解． 【小问1详解】 证明：由题意得，， 则， 整理得， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴这两个函数图像有2个交点， ∴函数与是“关联函数”； 【小问2详解】 解：如图，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点， 由题意得， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴“关联函数”与的“最优关联距离”为； 【小问3详解】 解：如图，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点， 由题意得， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，； ， ∴ ∵“关联函数”与恰有三个“最优关联点”， ∴有三个整数值，即为， ∴， 解得， ∴若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，则． 24. 如图1，已知是的直径，四边形内接于，其对角线交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，交于点，若． ①求的值； ②过点作交的延长线于点，若的半径为5，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①2；② 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的判定证明即可； （2）①过点作交于点G，利用平行线分线段成比例，解答即可； ②根据平行线分线段成比例定理，计算得到，不妨设，则，根据勾股定理，得，求得，，过点C作于点K，利用直角三角形的面积性质解答即可． 本题考查了圆的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解方程，熟练掌握圆的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①解：过点作交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∵，， ∴， 不妨设，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 解得，负值舍去； ∴，， 过点C作于点K， 则， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 学年第一学期期末练习 九年级数学 试题卷 请考生注意： 1．全卷分卷I与卷II两部分，考试时间为120分钟，试卷满分为120分． 2．答题前，考生务必填写考生信息，试题卷中所有试题的答案填涂或书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效．考试时不允许使用计算器． 3．请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷I 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放广告 B. 三角形的内角和等于 C. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上 D. 明天会下雨 3. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的半径为3，弦的长为4，则圆心到弦的距离是（ ） A. 5 B. C. D. 5. 已知，相似比为，若的面积为4，则的面积是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 6. 在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（ ） A. 试验次数越多，越大 B 试验次数越多，越大 C. 与都可能发生变化 D. 试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 7. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，与是第一象限内以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OD上，若，点A的坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，沿着折叠，使点恰好落在边上点处．若，，则的边长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（为常数）．点在函数图象上，其中，点也在函数图象上，且，对于，都有，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 卷II 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则的值为______． 12. 在一个不透明袋子中，装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为________． 13. 《九章算术》中记载了一种测量井深方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水面，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为___________米． 14. 二次函数图象的对称轴过点，该函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值是_______． 15. 如图，在中，将沿着弦所在直线折叠，交弦于点，连接．若，则的长度是________． 16. 如图，在中，是的外接圆．为的延长线上一点，连接，交于点，连接．若，当取最大值时，的长度是________． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的表达式． （2）求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标． 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上． （1）如图①，的值是______； （2）如图②，只用无刻度的直尺，在给定网格中的线段上找一点，使．（保留适当的作图痕迹，不要求写出画法） 19. 在5张相同的小纸条上，分别写有：①；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． （1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 ； （2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率． 20. 如图，在矩形中，是边上的一点，连接，作交边于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. “一分钟跳绳”是中考体育考试科目之一，近年来受到社会各界高度重视．某经销商抓住商机，以每件10元的价格购进一种跳绳，销售时该跳绳的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该跳绳的每天销售数量（条）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 … 15 16 17 … 每天销售数量条 … 30 28 26 … （1）求与之间的函数关系式； （2）设销售这种跳绳每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大获利是多少元？ 22. 如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． （1）如图1，连接，求度数； （2）如图2，若点为的中点，且，求的长． 23. 定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数互为“关联函数”．两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”．例如：函数与，可以通过消去，得到，移项得，因为，所以它们有两个交点，我们认为函数与是互为关联函数，如图1，阴影部分是关联区域．如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点，当线段长度最大时，该距离叫作“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”． 根据以上信息，完成下列问题： （1）证明：函数与是“关联函数”； （2）求“关联函数”与的“最优关联距离”； （3）若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，求的值． 24. 如图1，已知是的直径，四边形内接于，其对角线交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，交于点，若． ①求的值； ②过点作交的延长线于点，若的半径为5，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $