第17章特殊三角形 期末复习综合练习题 2025-2026学年冀教版八年级数学上册

2025-2026学年冀教版八年级数学上册《第17章特殊三角形》 期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（   ） A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大 3．如图，中，点D为的中点．点E是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 4．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在等边中，，分别在，上移动，且，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D．不能确定 6．如图，已知在中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 7．如图，中，，，为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于，以下四个结论：①；②当为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．如图，数轴上点A所表示的数是 ． 9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角的度数为 ． 10．等腰，，线段的垂直平分线交于点，交直线于点，若，则的度数是 ． 11．如图，直角三角形中，，，，是边上一点，且，过点作，交边于点，则的周长是 ． 12．如图，在中，点E在边上，，，交的延长线于点D，，，则的长为 ． 13．如图，中，、，点是的中点，，垂足为，交于，、相交于点，则 ． 14．如图，在等边中，平分，，分别为，上的一点，且，当时，则的最小值为 ． 三、解答题 15．在中，D是边上的一点，，，． (1)求的度数； (2)若，，试用a、b表示的周长． 16．如图，在中，，过点A在的外部作直线l，作点C关于直线l的对称点M，连接、，线段交直线l于点N． (1)依题意补全图形； (2)连接，求证：； (3)过点A作于点H，用等式表示线段之间数量关系并证明． 17．如图，在中，点是边上一点，且，点在上，且点到、的距离相等，连接交于点F． (1)试判断的形状； (2)请证明你的结论． 18．如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，，证明： (1)； (2)． 19．（1）如图①，在四边形ABCD中，，E是BC的中点．若AE是的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易说明，得到，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中． AB，AD，DC之间的等量关系是_________． （2）如图②，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点．若AE是的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并说明你的结论． 20．已知：在中，，，过点作于点，点是边上一动点（不含端点、，连接，过点作的垂线交直线于点，交直线于点（如图①． (1)求证：； (2)若点运动到线段上时（如图②，试猜想、的数量关系是否发生变化，请直接写出你的结论； (3)过点作垂直于直线，垂足为点，并交的延长线于点（如图③，找出图中与相等的线段，并证明． 参考答案 1．解：由作图可知：平分，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 2．解：，为的中点， ． 同理． ， 的长度不变． 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，由题意易得，然后可得，则有，进而可得，则问题可求解． 【详解】解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图所示： ∵点D为的中点，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将玻璃杯侧面展开，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将玻璃杯侧面展开如图所示： 由题意可得：，，， ∴， 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，因为，可得． 【详解】解： 为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ． 故选：A． 6．A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，连接，过D作于G，利用角平分线的性质得出，进而证明与全等，进而解答即可． 【详解】解：连接，过D作于G， ∵平分，交的延长线于F， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角性质，分类讨论，熟练掌握是解题的关键． 根据已知得到，根据三角形的外角性质即可得到，判断①；根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形性质即可得到，判断②；根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或，判断③；证明，可得，得到，判断④． 【详解】解：①∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 故①正确； ②∵D为中点，， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ③∵， ∴， ∴ ， ∵为等腰三角形， ∴当时， ∴ ， ∵ ， ∴； 当时， ∴， ∴ ， ∴或 故③错误； ④∵， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故④正确， 综上所述正确的有①②④，共3个． 故选：C． 8．/ 【分析】本题考查了勾股定理与无理数、实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理可得数轴上表示的点与其右侧点之间的距离，再根据数轴的性质解答即可得． 【详解】解：∵数轴上表示的点与其右侧点之间的距离为， ∴数轴上点所表示的数是． 故答案为：． 9．或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，外角性质，分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况，分别求解即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当顶角为钝角时，   ， 则顶角为， 此时的底角为； 如图，当顶角为锐角时，     ， 则顶角为， 此时的底角为； 综上所述，底角的度数为或， 故答案为：或， 10．或 【分析】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理．由于点的位置不确定，需分点在线段上和点在的延长线上两种情况讨论． 【详解】①当点E在线段上时，如图1所示． ∵是的垂直平分线， ∴． 又∵， ∴在中，． ∵点在上， ∴． ②当点在的延长线上时，如图2所示． ∵是的垂直平分线， ∴． 又∵， ∴在中，． ∴． ③当点在线段的延长线上时，如图， 同理可得， ∵， ∴； ∵线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴，与矛盾， ∴此种情况不存在； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 11．16 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，将的周长转化为的和是解题的关键．由直角三角形的性质可得， 由垂直的定义及平角的定义可得， 再结合等腰三角形的性质可得，，即可证明， 再利用三角形的周长公式可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的周长为：． 故答案为：16． 12．4 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 过点C作，交的延长线于点G，延长到点F，使得，可得出，得到；根据等边对等角，得到，从而得到，得到，从而得到，根据等腰三角形的三线合一性质，得到，继而得到，根据勾股定理，得． 【详解】解：如图，过点C作，交的延长线于点G，延长到点F，使得，连接， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 13．60 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线性质、垂直平分线性质及三角形外角定理，解题关键是利用这些性质逐步推导角的度数． 先利用直角三角形斜边中线性质得，推出；再由垂直平分线性质得，推出；接着用三角形外角定理求，最后再次用外角定理得． 【详解】解：在中，，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，是外角， ∴ 在中，是外角， ． 故答案为：60． 14． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识点，能将两线段和的最小值用一条线段表示是解题的关键． 如图，过点C作，使得，连接，则，根据等边三角形的性质可证明可得，则，故当，，三点共线时，的最小值等于的长；然后证明是等腰直角三角形，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点C作，且，连接，则， ∵是等边三角形， ∴，， 平分． ， ， ， ， ， ， 当，，三点共线时，的最小值等于的长， ，， ， 是等腰直角三角形， ． 的最小值为． 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等角对等边，掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）利用外角性质用表示出，由三角形内角和定理得出的度数，由此得出结论． （2）先求出，利用等角对等边求出，即可求出的周长． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：． 16．(1)画图见解析 (2)证明见解析 (3)数量关系为，理由见解析 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质； （1）根据题意补全图形即可； （2）由轴对称的性质可得，进而可得，，通过可得进而得到，最后通过等量代换即可得证； （3）由等腰三角形的性质可得，然后通过，，即可得到. 【详解】（1）解：补全图形如下：点C、点M关于直线l对称， （2）证明：连接，如图所示： ∵点C、点M关于直线l对称， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. （3）解：数量关系为，理由如下： ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴. 17．(1)是等腰三角形 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的判定得到，根据三角形的内角和定理推出，进而得到，因此，即可解答． （2）由（1）即可证明． 【详解】（1）解：是等腰三角形． ∵点到、的距离相等， ∴， ∵， ， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形． （2）证明：∵点到、的距离相等， ∴， ∵， ， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质； （1）根据角平分线的性质可得，可证明，即可求证； （2）证明，可得，即可求证． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 19．（1）；（2），证明见解析 【分析】（1）延长交的延长线于点．由得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，再由得，即可推导出； 【详解】解：（1） 理由：如图①，延长交的延长线于点． ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）． 如图，延长交的延长线于点． 是的中点， ． ， ． 又，， ， ． 是的平分线， ． ， ． 过点作的垂线，垂足为， 则． 在和中 ， ． ， ． 【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形的三边关系等知识，此题综合性较强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 20．(1)见解析 (2)不变． (3)，证明见解析 【分析】（1）如图①，根据等腰直角三角形的性质可以得出，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出，由就可以得出，就可以得出结论； （2）如图②，根据等腰直角三角形的性质可以得出，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出，由就可以得出，就可以得出结论； （3）如图③，根据等腰直角三角形的性质可以得出，根据直角三角形的三角形的性质就可以得出，由就可以得出，就可以得出结论； 【详解】（1）解：， ． ， ，． ， ， ， 在中，，， ． 在和中 ， ， ； （2）解：不变．． 理由：， ． ， ，． ， ， ， 在中，，， ． 在和中 ， ， ； （3）解：， ， ． ， ，． ， ， ， ． 在中，，， ． 在和中 ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $