第15章二次根式 期末复习综合练习题 2025-2026学年冀教版八年级数学上册

2025-2026学年冀教版八年级数学上册《第15章二次根式》期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列二次根式中，最简二次根式是（      ） A． B． C． D． 2．下列各式与可以合并的是（    ） A． B． C． D． 3．的倒数是（） A． B． C． D． 4．若，则的值为（） A．1 B．2 C．3 D．5 5．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．实数在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A． B． C． D． 7．把四张一模一样的长方形纸片按如图所示的方式摆放，形成大正方形，它的面积是．图中空白部分是一个小正方形．如果，那么这个小正方形的周长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．当x 时，在实数范围内有意义． 9．化简二次根式化简的结果为 ． 10．计算的结果是 ． 11．已知 ，则 的值为 ． 12．已知实数满足，则 ． 13．已知，则= ． 14．已知三角形三边之长分别为，，，表示三角形的周长的一半，即．则三角形的面积，这就是著名的海伦公式．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”．若在中，已知，，，请你利用公式求的面积为 ． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．先化简，再求值：，其中． 17．先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 18．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在该区域中间放置一个边长为米的正方形宣传栏（阴影部分）． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置宣传栏的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元/平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 19．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 20．阅读下面计算过程： 试求： (1)的值为___________． (2)试比较：___________． (3)求的值． 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式满足的两个条件逐一判断即可． 【详解】解：A、，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、在中，无平方因数且无分母，是最简二次根式，符合题意； C、，含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 2．C 【分析】本题主要考查二次根式的性质及同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质及同类二次根式是解题的关键；判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后根号内的数相同，先将化简，再逐一检查各选项化简后的结果即可． 【详解】解：∵， ∴选项A：， 选项B：， 选项C：， 选项D：， ∴只有选项C化简后根号内为2，与化简后的被开方数相同，可以合并； 故选C． 3．A 【分析】本题考查倒数的概念，熟练掌握倒数的概念为解题的关键． 求一个数的倒数，即计算其倒数，进行分母有理化，据此计算求解即可． 【详解】解：倒数为， 分子、分母同乘得： 则的倒数为． 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了二次根式的非负性；根据根号下的表达式必须非负，从而确定，代入原方程求出，最后计算的值． 【详解】解：∵和在实数范围内有定义， ∴且， ∴且， ∴． 代入原方程： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了二次根式的运算（加减、乘除），解题的关键是掌握二次根式的运算法则，逐一验证选项的正确性． 分别对每个选项按照二次根式的运算法则计算： 选项A：计算左右两边的值，判断是否相等； 选项B：判断同类二次根式才能合并的规则是否被遵守； 选项C：计算二次根式乘法的结果，判断是否正确； 选项D：计算二次根式除法的结果，判断是否正确． 【详解】解：选项A：，，，等式不成立； 选项B：3是有理数，是无理数，二者不是同类二次根式，不能合并，，等式不成立； 选项C：，，等式不成立； 选项D：，等式成立． 故选D． 6．B 【分析】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握． 先根据数轴得到，则，然后利用二次根式的性质将原式化简为，再化简绝对值，进行合并即可． 【详解】解：由数轴可得，则 ， 故选：B． 7．B 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用以及正方形周长的计算，熟练掌握算术平方根的定义和正方形周长公式是解题的关键． 先根据大正方形面积求出边长，再结合的长度求出长方形的宽，进而得到小正方形的边长，最后计算其周长． 【详解】解：∵ 大正方形的面积是， ∴ 大正方形的边长， ∵ ， ∴ 长方形的宽为， ∴ 小正方形的边长为， ∴ 小正方形的周长为， 故答案为：． 8．且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，由二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出且，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴且， 解得：且， 故当且时，在实数范围内有意义， 故答案为：且． 9． 【分析】根据二次根式的性质，化简计算即可． 本题考查了二次根式的性质，化简计算，熟练掌握性质和化简计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 故 ， 故答案为：． 10．解： ， 故答案为：． 11．解：， ， ， ， ． 12．解：由题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．解：∵， ∴a、b均为负数， ∴ ， 故答案为：． 14．解：∵AB=5，BC=6，CA=7， ∴a=6，b=7，c=5， ∴ ， ∴△ABC的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是理解题中的海伦公式，并能灵活的运用． 15．(1) (2) 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． 16．， 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分母有理化．先计算括号内的，同时把除法化为乘法运算，然后计算，再将，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式= 17．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． （）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 18．(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用： （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【详解】（1）解：， 即的周长为； （2）解： （元） 即购买装饰画需要花费元． 19．(1)，； (2)； (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简与规律相结合，合理运用规律是解题的关键． （1）根据规律运算即可； （2）根据规律运算即可； （3）根据规律运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3） 解：原式 ． 20．(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分母有理化、二次根式的化简求值，弄清分母有理化的方法是解本题的关键． （1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）比较两个根式倒数的大小即可得到答案； （3）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：， ， ∵， ∴ 故答案为：； （3）解： ； 学科网（北京）股份有限公司 $