精品解析：浙江省绍兴市柯桥区联盟学校2025-2026学年上学期九年级期末模拟预测数学试题

2026年浙江省绍兴市柯桥区柯桥区联盟学校 九年级上期末模拟数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球． B 掷一枚质地均匀硬币，正面朝上． C. 若a是实数，则． D. 在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交． 2. 已知⊙O的半径为2，点P在同一平面内，PO=3，则点P与⊙O的位置关系是（ ） A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O外 D. 无法判断 3. 二次函数y＝x2＋4x－5的图象的对称轴为(　　) A. x＝4 B. x＝－4 C. x＝2 D. x＝－2 4. 在同一时刻的阳光下，身高1.6 m的小强的影长是1.2 m，旗杆的影长是15 m，则旗杆的高为（　　） A 16 m B. 18 m C. 20 m D. 22 m 5. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是半圆O的内接四边形，是直径，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则的值为（ ） A. 1：3 B. 2：3 C. 1：4 D. 2：5 8. 如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，AE＝9，则阴影部分的面积为（　　） A. 6π﹣ B. 12π﹣9 C. 3π﹣ D. 9 9. 若二次函数的图象经过三个不同的点，，，则下列选项正确的是（　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在一次课题学习中，某数学兴趣小组受“赵爽弦图”的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形．连结，设，．若，，则矩形与矩形的面积比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则___________. 12. 黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，为线段的黄金分割点，如果的长度为，则的长度为_______．（结果保留根号） 13. 如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则tanA=____. 14. 若扇形的圆心角为，半径为3，则它的弧长为______． 15. 设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 _______． 16. 如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点A的对称点F在对角线上，连接并延长交于点G，若平分，则的值为______，的值为_______． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 今年“五·一”假期时间，扬州大运河博物馆设立A、B、C、D四个志愿者服务岗．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个志愿者服务岗中的任意一个志愿者服务岗的可能性相同． （1）小明被分配到A服务岗做志愿者的概率是______； （2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一个服务岗做志愿者的概率． 19. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图所示，的三个顶点都在正方形网格格点上，请在网格中，按照下列要求，仅用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）作出绕点B顺时针旋转后得到； （2）在线段上找一个点E，使得． 20. 如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连结． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为． （1）当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ （2）在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据：） 22. 为了方便游客，某湿地公园开设了A，B两个观光车租赁点，每个租赁点均有观光车50辆，两个租赁点一天租出观光车数量都为x辆．A租赁点每辆观光车的日租金p（元）与x的函数关系式为，且当元时，观光车可全部租出；B租赁点每辆观光车的日租金固定为350元，A，B两个租赁点一天的租金收入分别为（元），（元）． （1）求b的值，并分别写出，与x之间的函数解析式； （2）设A租赁点一天的租金收入比B租赁点多w元，求w的最大值； （3）为了让利租客，A租赁点决定，每租出一辆观光车返还给租客元现金红包，这样A租赁点一天的租金收入最多比B租赁点多980元，求a的值． 23. 已知二次函数的解析式为． （1）若， ①直接写出二次函数的顶点坐标______； ②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； （2）当时，函数最大值与最小值差为8，求的值． 24. 如图1，以的直角边为直径画，过作斜边的垂线交于点，连结，交于点，交于点，连结． （1）求证：． （2）如图2，当是等腰直角三角形时． ①求的正切值；②求的值． （3）若，设，求关于的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙江省绍兴市柯桥区柯桥区联盟学校 九年级上期末模拟数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球． B. 掷一枚质地均匀硬币，正面朝上． C. 若a是实数，则． D. 在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交． 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可． 【详解】解：A．在一个只装有白球和黑球的袋中摸出红球，这是不可能事件，故A不符合题意； B．掷一枚质地均匀硬币，正面朝上，这是随机事件，故B不符合题意； C．若a是实数，则，这是必然事件，故C符合题意； D．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交，这是随机事件，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 2. 已知⊙O的半径为2，点P在同一平面内，PO=3，则点P与⊙O的位置关系是（ ） A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O外 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到圆心的距离与半径的关系进行判断即可． 【详解】解：∵r=2，d=PO=3，∴d＞r，∴点P在⊙O外． 故选C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键，即d＞r⇔点在圆外，d=r⇔点在圆上，d＜r⇔点在圆内． 3. 二次函数y＝x2＋4x－5的图象的对称轴为(　　) A. x＝4 B. x＝－4 C. x＝2 D. x＝－2 【答案】D 【解析】 【详解】 ， ∴对称轴为x＝－2． 故选D 4. 在同一时刻的阳光下，身高1.6 m的小强的影长是1.2 m，旗杆的影长是15 m，则旗杆的高为（　　） A. 16 m B. 18 m C. 20 m D. 22 m 【答案】C 【解析】 【分析】根据成比例关系可知，人身高与人的影长之比等于旗杆长与旗杆的影长之比，代入数据即可得出答案． 【详解】解：设旗杆高度为x米，有1.6：1.2=x：15， 解得：x=20． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的． 5. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”直接计算． 【详解】解：∵将抛物线向左平移2个单位，得， ∴再向下平移3个单位，得， ∴得到的抛物线解析式为． 故选：A． 6. 如图，四边形是半圆O的内接四边形，是直径，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补，求出的度数，连接，根据圆周角定理，得到，进而求出的度数，再利用圆内接四边形对角互补，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是半圆O的内接四边形，， ∴， 连接， ∵直径，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查圆内接四边形，圆周角定理．熟练掌握圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆周角相等，是解题的关键． 7. 如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则的值为（ ） A. 1：3 B. 2：3 C. 1：4 D. 2：5 【答案】A 【解析】 【详解】∵DE为△ABC的中位线， ∴AE=CE 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS） ∴S△ADE=S△CFE ∵DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC ∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2 ∴S△ADE：S△ABC=1：4 ∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC， ∴S△ADE：S四边形BCED=1：3 ∴S△CEF：S四边形BCED=1：3 故选：A. 8. 如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，AE＝9，则阴影部分的面积为（　　） A. 6π﹣ B. 12π﹣9 C. 3π﹣ D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理得出CE=DE=CD＝3，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系得出∠EOD=60°，进而结合扇形面积求出答案． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E， ∴CE＝DE＝CD＝3． 设⊙O的半径为r， 在直角△OED中，OD2＝OE2+DE2，即， 解得，r＝6， ∴OE＝3， ∴cos∠BOD＝， ∴∠EOD＝60°， ∴，， 根据圆的对称性可得： ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出∠EOD=60°是解题关键． 9. 若二次函数的图象经过三个不同的点，，，则下列选项正确的是（　） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断． 【详解】解：二次函数的图象经过三个不同的点，，， ，关于对称轴对称， 对称轴为直线， 抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， A、若，则对称轴为直线， ， ，故A错误，不符合题意； B、若，则对称轴为直线， ， ，故B正确，符合题意； C、若，则对称轴为直线， ， ，故D错误，不符合题意； D、若，则对称轴为直线， ， ，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10. 在一次课题学习中，某数学兴趣小组受“赵爽弦图”的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形．连结，设，．若，，则矩形与矩形的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由四边形是矩形，，得出，设，，证明用含的式子表示，再根据，推出，，，最后利用勾股定理求出和的长，代入矩形面积计算即可. 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 设，， ∵，，且这四个三角形均为直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴ ，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，锐角三函数，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则___________. 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析：设a=2k，进而用k表示出b的值，代入求解即可． 试题解析：设a=2k，则b=9k． . 考点: 比例的性质． 12. 黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，为线段的黄金分割点，如果的长度为，则的长度为_______．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割：把一条线段分割为两部分，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵ ∴ 故答案为： 13. 如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则tanA=____. 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：如图，△ACD中， ∵∠ADC=90°，CD=2，AD=4， ∴tanA=． 故答案为：． 考点：锐角三角函数的定义． 14. 若扇形的圆心角为，半径为3，则它的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长的计算公式，根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长． 【详解】解：扇形的圆心角为，半径为3， ∴它的弧长为：， 故答案为：． 15. 设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次函数化成顶点式，于是可得其对称轴为直线，由可得抛物线开口向上，然后分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解并验证结果是否符合题意即可． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 分三种情况讨论： ①当时， 即时，此时时，函数有最小值， 将代入，得： ， 解得：， 与相矛盾，不符合题意，故舍去； ②当时， 即时，顶点处取最小值， ， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ； ③当时， 即时，此时时，函数有最小值， 将代入，得： ， 解得：， 与相矛盾，不符合题意，故舍去； 综上，的值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点A的对称点F在对角线上，连接并延长交于点G，若平分，则的值为______，的值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，交于点，作，根据矩形，折叠的性质，推出为等腰三角形，进而得到，即可得到的值，设，证明，推出的长，利用，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点，作， ∵四边形是矩形，与关于直线对称， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则：， ∵折叠， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形与折叠，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求角的正切值．掌握矩形和折叠的性质，添加辅助线构造全等三角形和等腰三角形，是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 今年“五·一”假期时间，扬州大运河博物馆设立A、B、C、D四个志愿者服务岗．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个志愿者服务岗中的任意一个志愿者服务岗的可能性相同． （1）小明被分配到A服务岗做志愿者的概率是______； （2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一个服务岗做志愿者的概率． 【答案】（1） （2）列表见解析，P（同一服务岗） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小明被分配到A服务岗做志愿者的概率是， 故答案：； 【小问2详解】 画表格图如下： 小明 小颖 A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） ∵总共有16种可能的抽取结果，两人在同一服务岗有4种， ∴P（同一服务岗）． 【点睛】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图所示，的三个顶点都在正方形网格格点上，请在网格中，按照下列要求，仅用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）作出绕点B顺时针旋转后得到的； （2）在线段上找一个点E，使得． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了作旋转图形，相似三角形的判定和性质，掌握旋转的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）根据旋转的性质作图即可； （）取格点，使，且，则，进而可得，则点即为所求； 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求． 20. 如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连结． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆心角、弧和弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【小问1详解】 证明：∵D是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 21. 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为． （1）当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ （2）在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据：） 【答案】（1）调整，使得 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． （1）过点B作于点F，求出，根据，即可得出； （2）过点A作于点G，则，根据，的最大仰角为求出的最大值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点B作于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴应该调整，使得． 【小问2详解】 解：如图，过点A作于点G，则， ∵，的最大仰角为 ∴的最大值为：， ∴点到桌面的最大高度为． 22. 为了方便游客，某湿地公园开设了A，B两个观光车租赁点，每个租赁点均有观光车50辆，两个租赁点一天租出的观光车数量都为x辆．A租赁点每辆观光车的日租金p（元）与x的函数关系式为，且当元时，观光车可全部租出；B租赁点每辆观光车的日租金固定为350元，A，B两个租赁点一天的租金收入分别为（元），（元）． （1）求b的值，并分别写出，与x之间的函数解析式； （2）设A租赁点一天的租金收入比B租赁点多w元，求w的最大值； （3）为了让利租客，A租赁点决定，每租出一辆观光车返还给租客元现金红包，这样A租赁点一天的租金收入最多比B租赁点多980元，求a的值． 【答案】（1），； （2）当时，有最大值，最大值为； （3）． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）当元时，观光车可全部租出，即，代入求解可求得；再根据租金收入=每辆观光车的日租金一天租出的观光车数量列式即可求解； （2）根据题意得，再利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得，再利用二次函数的性质得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， 当元时，观光车可全部租出，即， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：根据题意得， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：设A租赁点一天的租金收入比B租赁点一天的租金收入多元， A租赁点一天的租金收入， B租赁点一天的租金收入， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵A租赁点一天的租金收入最多比B租赁点多980元， ∴，即， 解得（舍去）或． 23. 已知二次函数的解析式为． （1）若， ①直接写出二次函数的顶点坐标______； ②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； （2）当时，函数最大值与最小值的差为8，求的值． 【答案】（1）①；② （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． （1）①将m的值代入为，转化为顶点式为，由此求解即可； ②先求出，再根据可得，由此求解即可； （2）将二次函数转化为顶点式为，对对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，当时，函数在区间上单调递减，最大值为，最小值为，根据题意列方程求解，当时，再分和两种情况讨论最小值，由此求解即可． 【小问1详解】 解：①若，则， 则二次函数的顶点坐标为； 故答案为：； ②， ， ，， ， ， 即； 【小问2详解】 ， 抛物线的对称轴为直线， 在中 ①当时， 时，最大值为， 时，最小值为， ， ，（舍去）， ②当时，即时， 时，最大值为， 时，最小值为， 此时，不符合题意； ③当时， 时，最大值为， 时，最小值为， ， （舍去），（舍去）， 综上所述，． 24. 如图1，以的直角边为直径画，过作斜边的垂线交于点，连结，交于点，交于点，连结． （1）求证：． （2）如图2，当是等腰直角三角形时． ①求的正切值；②求的值． （3）若，设，求关于的函数表达式． 【答案】（1）见解析 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查圆的综合应用，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用同弧所对的圆周角相等得到，通过等量代换证明即可； （2）①过点作交延长线于点，连接，设圆的半径为，证明四边形是矩形得到，再求出，最后根据正切的定义可得答案；②设圆的半径为，则，，过点作于点，则，结合，推导出，，即可得到； （3）连接，证明和，推导与的关系即可． 小问1详解】 证明：， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：①如图2所示，过点作交的延长线于点，连接， 设圆的半径为， 是等腰直角三角形，且， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴ 四边形是矩形， ， ∴， ； ②设圆的半径为，则， ∴， ∵， ∴； 如图2所示，过点作于点， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ； 小问3详解】 解：如图所示，连接， 是直径， ， ， ， ； ∵， ∴ ∵， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $