精品解析：辽宁省沈阳市苏家屯区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年度上学期九年级学情调研问卷数学试卷 （本试卷共23小题，满分120分，考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了左视图．左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可． 【详解】解：该几何体的左视图如图所示， 故选：A． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程是一元二次方程，符合题意； D、方程，即方程的未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 3. 一个不透明的袋子中装有2个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，再从中随机摸出1个球．不断重复这一过程，小亮通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则可求出摸到红球的概率，再根据概率计算公式求出球的总数，进而可求出白球的个数． 【详解】解：∵小亮通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右， ∴摸到红球的概率为， ∴球的总数为个， ∴白球的个数为， 即袋子里白球的个数估计是8， 故选：A． 4. 顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位线性质可知：EH是△ADC的中位线，FG是△BAC的中位线，则EH∥AC，FG∥AC，得EH∥FG，同理另两边也平行，证得四边形EFGH是平行四边形，再证明∠FEH=90°，则中点四边形是矩形． 【详解】解：如图， 菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，则AC⊥BD， ∴EH∥AC，FG∥AC， ∴EH∥FG， 同理得EF∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 同理得：四边形ENOM是平行四边形， ∴∠FEH=∠NOM=90°， ∴▱EFGH矩形， ∴顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是矩形； 故选：A． 【点睛】本题考查了中点四边形和菱形的性质，运用三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；先证明中点四边形为平行四边形，再利用菱形对角线互相垂直的特性得出结论． 5. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理．由平行线分线段成比例定理，得，代入已知线段的长度求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 6. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判断． 【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反． 故选：D． 【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 7. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式可判断函数图象分布的象限，以及在每个象限内的增减性，根据三个点的横坐标可判断点A和点B在第三象限，点C在第一象限，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴点A和点B在第三象限，点C在第一象限， ∴， 故选：A． 8. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 9. 如图，设是已知线段，经过点B作，使；连接，在上截取；在上截取．点C就是线段的黄金分割点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，利用勾股定理求出的长，则可求出的长，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10. 如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点B的坐标是，则点G的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．在平面直角坐标系中，根据点B的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点G的横纵坐标并最终求出点G的坐标． 【详解】解：∵点B的坐标是 ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点G坐标为， 故选：D． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 关于x一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根；根据一元二次方程有实数根的条件，需判别式且二次项系数不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 12. 已知菱形的对角线的长分别是和，则菱形的周长等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．先根据题意画出示意图，再根据菱形的性质求出菱形的边长即可算出周长． 【详解】解：如图，在菱形中，， 四边形是蓄形， ， ． 菱形的周长． 故答案为：． 13. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，当气体体积为时，气压是，则P与V之间的函数表达式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设， ∵当气体体积为时，气压是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 2025年，人工智能（）领域持续升温，成为全球科技和经济的核心驱动力．小全和小华准备在比较热门的，豆包，三个软件中随机选择一个下载，他们恰好都选到豆包的概率为______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：设，豆包，分别为、、 列表如下： ∴共有9种可能结果，其中他们恰好都选到豆包的结果有1种， ∴他们恰好都选到豆包的概率为． 故答案为：． 15. 如图，在中，连接对角线AC，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点H， ②分别以点C和H为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点，交于点． 根据以上作图，若，，，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图--复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质．根据作法得平分，垂直平分，得，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【详解】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解： 或 ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴ 17. 准备两组相同的牌，每组两张且大小一样，两组牌的牌面数字分别是1和2，从每组牌中各摸出一张牌，称为一次试验． （1）两张牌的牌面数字和为_______的概率最大； （2）请利用画树状图或列表的方法，求两张牌的牌面数字和等于3的概率． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出对应的树状图是解题的关键． （1）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再求出对应的两数之和的概率，比较即可得到答案； （2）根据（1）所求即可得到答案． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有4种等可能性的结果数，其中和为2的结果数有1种，和为3的结果数有2种，和为4的结果数有1种， ∴和为2的概率为，和为3的概率为，和为4的概率为， ∵， ∴两张牌的牌面数字和为3的概率最大； 故答案为：3． 【小问2详解】 解：由（1）可知两张牌的牌面数字和为3的概率为． 18. 已知：如图，在中，，点D为中点，连接，过点C作，过点B作，交CE于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则四边形的周长为20，则的面积为_______． 【答案】（1）见详解 （2）24 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线等于斜边一半，菱形的性质与判定，勾股定理等知识﹒ （1）先证明四边形为平行四边形，再证明﹒即可得到平行四边形为菱形； （2）根据菱形性质求出，得到，根据勾股定理求出，即可求出﹒ 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D为中点， ∴﹒ ∴平行四边形为菱形； 小问2详解】 解：∵菱形的周长为20， ∴， ∴， 在中，， ∴﹒ 故答案为：24． 19. 某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，每天销售量y（个）与售价x（元/个）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】（1） （2）当售价定为60元时，每天的利润可达到6000元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出y与x的函数表达式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据每天的利润等于每个纪念章的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数表达式为， 由题意得，， 解得， ∴y与x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得或（舍去）， 答：当售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 20. 某实践小组欲测量路灯的高度和路灯与树之间的距离，过程见下表． 主题 测量路灯的高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：让小组成员小明同学站在树的影子的底部，路灯、树的底端与小明的站立点E在同一条直线上， 步骤2：小组成员小刚和小亮分别测得小明的影长为3米，小明的身高为1.75米，他与路灯相距9米． 步骤3：小组成员小强想要测量路灯与树之间的距离，小强同学通过观察发现灯（点B）、树顶D、小明的头顶F这三个点所在的曲线的形状恰好是反比例函数的一支，小强想不用实际测量，根据现有条件能否借助反比例函数的知识求出路灯与树之间的距离 根据表格信息，解决下列问题： （1）求路灯高度； （2）树与路灯相距多少米？ 【答案】（1）7米 （2）6米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用、反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质定理． （1）找出相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可； （2）设路灯顶端的坐标为，则路灯底部坐标为．小明与路灯相距米，故小明站立点的坐标为，小明头顶的坐标为）．设该反比例函数为，代入和：，解得且，解得，所以反比例函数为，最后根据相似三角形的判定与性质得到结论． 【小问1详解】 解：由题意可得， ， 已知米，米，米． ． 解得（米）； 【小问2详解】 解：设路灯顶端的坐标为，小明头顶的坐标为）． 设该反比例函数为，代入和： 解得且， 联立得： 解得， 所以反比例函数为，且． 设树顶坐标为． ， 由题意可得， ， ， 解得或（舍去）， （米）， 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出当时，x的取值范围； （3）在x轴上是否存在一点E，使得以C、A、E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，则可求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）根据（1）所求可求出点C和点D的坐标，则可证明是等腰直角三角形；进而可证明也是等腰直角三角形；再分点A为直角顶点，点E为直角顶点两种情况（可证明点C不能是直角顶点），讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得，解得， ∴反比例函数的表达式为； 把代入得，解得， ∴， 把，代入得， ∴， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知当时，x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； ∵以C、A、E为顶点的三角形与相似， ∴也是等腰直角三角形； 设， ∴，，， 当点A为直角顶点时，则，即，且 ∴ 解得， ∴点E的坐标为； 当点E为直角顶点时，则，即轴， ∴， ∴此时，即此时是等腰直角三角形，满足题意； ∵点E在x轴上，且与x轴不垂直， ∴点C不能为直角顶点； 综上所述，点E的坐标为或． 22. 综合与探究： 如图，矩形绕着点A旋转得到矩形，点B、C、D分别对应点E、F、G． 【问题探究】 （1）如图1，将矩形绕着点A顺时针旋转得到矩形，当点G落在上时，延长交于点H，求证：； （2）在（1）的条件下，连接．若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，若，，当所在直线经过点D时，直接写出的长． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题为旋转综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识﹒ （1）根据旋转性质得到，从而证明，，即可证明； （2）作，垂足为P﹒根据旋转性质得到，，，求出，证明，求出，得到，根据勾股定理即可求出； （3）分当点D在线段上和点D在线段延长线上两种情况分别求出，即可求出的长为或﹒ 【详解】解：（1）证明：∵将矩形绕着点A顺时针旋转得到矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，作，垂足为P﹒ ∵将矩形绕着点A顺时针旋转得到矩形， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ∴在中，； （3）如图2，当点D在线段上时， ∵矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴； 如图3，当点D在线段延长线上时， ∵矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴﹒ ∴的长为或﹒ 23. 【概念感知】 定义：已知是关于自变量x的函数，当时，称函数为函数的“倍差函数”；函数图象上，到两坐标轴距离相等的点，我们称为这个函数的“等距点”． 【概念理解】 （1）求函数的“倍差函数”的函数表达式； （2）在（1）的条件下，求函数的等距点的坐标； 【概念应用】 （3）如图1，点，在反比例函数和的“倍差函数”上，点C是函数的“等距点”，直线交坐标轴于点M、N．连接． ①求函数和的函数表达式； ②求的面积； ③如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 【答案】（1）；（2）函数的等距点的坐标为；（3）①，；②；③点E的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据“倍差函数”的定义求解即可； （2）根据“等距点”的定义列式，据此求解即可； （3）①根据“倍差函数”的定义即可求得；根据题意得到，解方程组即可求解； ②先求得点的坐标和点M的坐标，然后利用三角形面积的和差求解即可； ③设点E的坐标为，用含m的式子表示出，然后利用建立关于m的方程，解方程即可求出答案． 详解】解：（1）由题意得，； （2）由题意得，，解得， ∴函数的等距点的坐标为； （3）①∵的“倍差函数”为， ∴， ∵点，在反比例函数和的“倍差函数”上， ∴， ∴，，即， 解得或（舍去）， ∴点，， ∴； ②∵直线的解析式为， ∴直线与y轴的交点M的坐标为， ∴的面积； ③设点E的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∵，则当时， ∴， 解这个方程，得：， ∴点E的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的综合以及一元二次方程的求解等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期九年级学情调研问卷数学试卷 （本试卷共23小题，满分120分，考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的袋子中装有2个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，再从中随机摸出1个球．不断重复这一过程，小亮通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形 5. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 14 6. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ） A. B. C D. 7. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，设是已知线段，经过点B作，使；连接，在上截取；在上截取．点C就是线段的黄金分割点．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点B的坐标是，则点G的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_______． 12. 已知菱形的对角线的长分别是和，则菱形的周长等于_______． 13. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，当气体体积为时，气压是，则P与V之间的函数表达式为_______． 14. 2025年，人工智能（）领域持续升温，成为全球科技和经济的核心驱动力．小全和小华准备在比较热门的，豆包，三个软件中随机选择一个下载，他们恰好都选到豆包的概率为______________ 15. 如图，在中，连接对角线AC，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点H， ②分别以点C和H为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点，交于点． 根据以上作图，若，，，则线段长为_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16 解方程： （1） （2） 17. 准备两组相同的牌，每组两张且大小一样，两组牌的牌面数字分别是1和2，从每组牌中各摸出一张牌，称为一次试验． （1）两张牌的牌面数字和为_______的概率最大； （2）请利用画树状图或列表的方法，求两张牌的牌面数字和等于3的概率． 18. 已知：如图，在中，，点D中点，连接，过点C作，过点B作，交CE于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，则四边形的周长为20，则的面积为_______． 19. 某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，每天销售量y（个）与售价x（元/个）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 20. 某实践小组欲测量路灯的高度和路灯与树之间的距离，过程见下表． 主题 测量路灯的高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：让小组成员小明同学站在树的影子的底部，路灯、树的底端与小明的站立点E在同一条直线上， 步骤2：小组成员小刚和小亮分别测得小明的影长为3米，小明的身高为1.75米，他与路灯相距9米． 步骤3：小组成员小强想要测量路灯与树之间的距离，小强同学通过观察发现灯（点B）、树顶D、小明的头顶F这三个点所在的曲线的形状恰好是反比例函数的一支，小强想不用实际测量，根据现有条件能否借助反比例函数的知识求出路灯与树之间的距离 根据表格信息，解决下列问题： （1）求路灯高度； （2）树与路灯相距多少米？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出当时，x的取值范围； （3）在x轴上是否存在一点E，使得以C、A、E为顶点三角形与相似，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 综合与探究： 如图，矩形绕着点A旋转得到矩形，点B、C、D分别对应点E、F、G． 【问题探究】 （1）如图1，将矩形绕着点A顺时针旋转得到矩形，当点G落在上时，延长交于点H，求证：； （2）在（1）的条件下，连接．若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，若，，当所在直线经过点D时，直接写出的长． 23. 【概念感知】 定义：已知是关于自变量x的函数，当时，称函数为函数的“倍差函数”；函数图象上，到两坐标轴距离相等的点，我们称为这个函数的“等距点”． 【概念理解】 （1）求函数的“倍差函数”的函数表达式； （2）在（1）的条件下，求函数的等距点的坐标； 【概念应用】 （3）如图1，点，在反比例函数和的“倍差函数”上，点C是函数的“等距点”，直线交坐标轴于点M、N．连接． ①求函数和的函数表达式； ②求的面积； ③如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $