培优点01：极化恒等式与等和线【知识梳理+题型总结】讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学讲义聚焦平面向量核心考点极化恒等式与等和线，按知识梳理（几何意义、推导依据）、题型分类（4大热点题型）、方法总结（规律技巧与易错点）的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练（经典例题+分层练习）环节，帮助学生构建知识网络，突破向量数量积及系数和的求解难点。 资料创新采用几何意义可视化与动态轨迹分析教学法，如极化恒等式通过中点转化将数量积转化为中线与边长关系，培养学生数学眼光与几何直观。设置分层训练（小试牛刀+课后针对训练），结合等和线平移临界位置分析，提升数学思维与逻辑推理能力，助力学生高效突破考点，为教师把控复习节奏提供系统教学方案。

2025-2026年高考二轮专题复习 【培优点01：极化恒等式与等和线】 【知识梳理】 1.极化恒等式：设平面向量，则 在中，为边的中点，则 推导依据： 令，，则，，代入向量形式即得 (1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“长对角线”与“短对角线”平方差的. (2)在平行四边形中，是对角线交点，则： ①（平行四边形形式）； ②（三角形形式）. 已知平面内一组基向量及任一向量，且，若，则三点共线，反之亦成立. 平面内一组基向量及任一向量，且，若点在直线上（或平行于的直线上），且（，且直线直线），则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线. (1)当等和线为直线时，； (2)当等和线在点和直线之间时，； (3)当直线在点和等和线之间时，； (4)当等和线过点时，. 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：利用极化恒等式求向量的数量积】 （24-25高一下河北保定月考）如图，在中，D是的中点，E，F是上的两个三等分点．若，，则的值为（    ）经典例题例题 A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设，结合图形由数量积的运算率和向量加法可得. 【详解】设，． 同理， 所以联立得， 所以． 故选：B 【规律方法总结】 规律方法在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤： (1)取三角形边的中点，连接向量的起点与终点； (2)用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求出中线及第三边的长度，从而求出数量积的值. 注：对于不共起点或不共线的向量需通过平移转化为共起点（共终点）的向量，再利用极化恒等式. （2024湖南长沙一模）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取HF中点O，则 , ，因此，选A. （24-25高一上上海课堂例题）如图，在中，若，，，D、E分别在边、上，且，，点F为的中点，求的值．小试牛刀2 【答案】4 【分析】由向量的线性运算用表示、，再做数量积运算可得答案. 【详解】 ， ， 所以 ． （23-24高三下湖南长沙月考）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ）小试牛刀3 A． B．16 C． D．8 【答案】A 【分析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 【详解】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得 ． 故选：A． 【热点题型2：利用极化恒等式求向量数量积的取值范围】 （安徽省六校联考2025-2026学年高三上学期1月素质检测数学试题）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ）经典例题例题 A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】方法一：建立平面直角坐标系，设 ，写出对应点坐标，根据平面向量数量积坐标运算建立等式计算即可求解；方法二：由极化恒等式列式计算即可. 【详解】方法一：以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：    ，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值为 . 方法二：极化恒等式 设 的中点为 ，则 ， 当 为 中点时， 取得最小值为 . 故选：B 【规律方法总结】 核心考点：极化恒等式的几何转化、动点轨迹下中线/线段长度的取值范围、数量积与几何量的关联 方法技巧： 1.选中点转化：对目标数量积，取线段的中点，利用极化恒等式转化为，将“数量积的取值范围”转化为“的取值范围”. 2.分析的范围：根据动点的轨迹（如线段、圆、折线等），结合几何图形的性质（如圆的半径、线段的长度限制），确定中点到动点的距离的最大值与最小值. 3.代入计算：将的最大值、最小值分别代入极化恒等式，计算得到数量积的取值范围. 易错规避技巧： 1.中点选取错误：需选取目标向量公共端点对应的线段中点，不可随意选取其他线段的中点. 2.轨迹边界遗漏：动点轨迹的边界点（如线段端点、圆的直径端点）往往对应的最值，需完整分析. 3.模长运算错误：极化恒等式中涉及（即），避免误算为. （25-26高二上·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点，且的面积为1，已知是圆上的动点，则的最大值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再根据的面积求出圆心到直线的距离，最后利用向量的运算和圆的性质求出的最大值. 【详解】圆的方程可化为， 所以圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，根据的面积为1， 得，即，所以，即. 设的中点为，则，， 因为，所以 . 由，得, 的最大值为圆心到直线的距离加上圆的半径， 即，所以的最大值为. 故选：B （25-26高二上·河南·月考）已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数．小试牛刀2 (1)设动点M的轨迹是曲线C，求曲线C的方程并指出曲线C是什么曲线； (2)已知点P为曲线C上任意一点，是圆的直径，求的取值范围． 【答案】(1)曲线C的方程为，曲线C是椭圆 (2) 【分析】（1）依题意由距离公式得到方程，整理即可得到动点的轨迹方程； （2）设，根据向量数量积的坐标运算可得，从而由坐标运算求得的值，从而得的取值范围． 【详解】（1）因为，，， 所以由题意得 ， 两边平方并化简，得，所以， 所以曲线C的方程为，曲线C是椭圆； （2）由圆N的方程知，圆N的圆心为，半径为2， 设，则，所以， 因为是圆N的直径，所以， 所以， 因为， 所以， 因为，所以， 即的取值范围是. （25-26高二上·云南曲靖·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，E为边上的动点，则的最小值为 .小试牛刀3 【答案】/ 【分析】由条件式，利用正弦定理结合三角恒等变换求得，进而得到，，，取的中点，结合极化恒等式来处理. 【详解】由和正弦定理，得， 因为，所以，可得， 则，即， 又，则，故，即， 又，则，，所以， 取的中点，则， 由图知，当时，最小，最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：. 【热点题型3：利用等和线求基底系数和的值】 （2024河北衡水二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若，则等于经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先用表示出，再得出和的值. 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，又E为线段AO的中点， ∴， ∴，，即. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的基本定理和线性运算，属于基础题. 【规律方法总结】 规律方法利用等和线求基底系数和的步骤： (1)确定基底； (2)平移直线，作出满足条件的等和线； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的长度. （23-24高一下广东潮州月考）设、分别是的边、上的点，，，.小试牛刀1 (1)若（、为实数），求的值； (2)若（、为实数），求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）借助平面向量基本定理，结合、、三点共线，及、、三点共线求解. 【详解】（1）因为、分别是的边、上的点， ，， 则， 又因为（、为实数），则，， ； （2）， 因为、、三点共线，设，则， 因为、、三点共线，设，即， 所以，， 因为、不共线，则，解得， 所以，，则，, . （23-24高三福建课后作业）设分别是的边上的点,,,若 (为实数),则的值为小试牛刀2 A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】易知，所以.选C. 点睛：点O是直线l外一点，点A，B是直线l上任意两点，求证：直线上任意一点P，存在实数t，使得关于基底{OA,OB}的分析式为 反之，若则A，P，B三点共线（特别地令t=,称为向量中点公式） （24-25高三全国课后作业）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设，可根据向量关系得出，即可得出. 【详解】由题可设， 则， N为AM中点，, 又，，. 故选：A. 【热点题型4：利用等和线求系数范围】 1.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（）.经典例题例题 A.3 B. C. D.2 答案A 解析方法1： 如图，以为原点，以，所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系. 平面直角坐标系，则，，，. 因为动点在以点为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为. 因为，，所以. 所以，所以. 所以圆的方程为. 设点的坐标为. 因为，所以. 所以，. 所以，其中. 因为，所以. 故的最大值为3，故选A. 方法2（等和线）： 根据如图所示，等和线值为1的直线为，过圆上一点作圆的切线使其与平行，此时最大，为. 【规律方法总结】 核心考点：动点轨迹对应的等和线平移、等和线的值与系数和的对应关系、临界位置的等和线分析 方法技巧： 1.确定基准：以为基底，直线为基准等和线（对应系数和）. 2.分析动点约束：明确动点的轨迹（如线段、圆、封闭区域等），梳理轨迹的边界特征. 3.找临界等和线：平移基准等和线，使其与动点轨迹的临界位置（如线段端点、区域边界）相交/相切，得到的临界值（最大值、最小值）. 4.确定范围：结合临界等和线对应的值，得到基底系数和的取值范围. 易错规避技巧： 1.临界位置遗漏：动点轨迹的所有边界点（如线段的两个端点、圆的切线切点）都对应的临界值，需逐一分析. 2.平移方向与的关系混淆：等和线向远离基底公共起点的方向平移时，值增大；向靠近的方向平移时，值减小. 3.忽略轨迹封闭性：若动点轨迹是封闭区域（如三角形、圆），需覆盖所有可能的等和线，避免范围缺失. 如图,给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,点在以为圆心的圆弧上变动.若,其中,则的最大值是（）.小试牛刀1 A.B.2C.D.3 答案B 解析方法1： 如图,以为原点,所在直线为轴,过点且垂直于的直线为轴,建立平面直角坐标系,则,. 设,,所以. 因为,所以. 因此有解得 所以. 因为,所以.当,即时,取得最大值2,故选B. 方法2（等和线）： 如图,过的中点作圆的切线,使其与等和线值为1的直线平行.当点运动至的中点时,有最大值,为. 在平行四边形中，，，，平面内有一点，满足.若（），则的最大值为（）.小试牛刀2 A.B.C.D. 答案B 解析方法1： 如图，依题意知，. 根据条件，. 因为，，与的夹角为，所以. 代入得：. 将变形为：. 由均值不等式，，因此： 故，即，进一步得. 所以的最大值为，故选B. 方法2（等和线）： 设为的中点，则. 所以等和线值为1的直线为. 而在以为圆心，为半径的圆上运动.如图，过点作的垂线，垂足为，交圆于一点.当在此点时，有最大值，为. 答案为B. 边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及其内部的动点.设向量（），则的取值范围是（）.小试牛刀3 A.B.C.D. 分析 如图，设，由等和线结论，过点作直线平行于，交所在直线于点，则.因为，所以.问题转化为求的取值范围，其中点在圆心在线段上、半径为1的圆内（含边界）.通过几何作图找到的最小值和最大值. 详解 由等和线结论，，其中为过点且平行于的直线与的交点.因为，所以. 当圆心在线段上运动时，通过几何作图可知，的最小值为4（此时等和线过点且与圆相切，），的最大值为10（此时等和线过点且与圆相切，）.且可以取到4到10之间的所有值. 所以的取值范围是. 所以选C. 课后针对训练 一．选择题（共5小题） 1．（2024秋•安徽月考）如图，在四边形MNPQ中，已知，，则（　　） A．64 B．42 C．36 D．28 【分析】用表示出，用表示出，联立方程组即可得出结论． 【解答】解：∵，即O为NQ的中点， ∴，两边平方可得：36， ∴2＝200． 同理可得：2400，① 又， ∴2﹣22，即2256，② ①﹣②可得：36． 故选：C． 【点评】本题考查了平面向量的几何运算与数量积运算，属于中档题． 2．（2024•杭州模拟）已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】可画出图形，根据正方形的面积为2可求出边长，结合图形，可得出，进行数量积的运算得出，可设，从而得出，配方便可求出最小值． 【解答】解：如图，，； 正方形的面积为2，则边长为； ∴ ； 设，则； ∴ ； ∴的最小值为． 故选：B． 【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，配方法求最值． 3．（2024春•仙游县校级月考）如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，，则（　　） A． B． C． D． 【分析】由2及，可计算出向量的模；再利用向量的加法法则可得：，，根据数量积的运算法则即可计算出． 【解答】解：∵2，r＝1，∴||． ∴（）•（）•（）． 故选：B． 【点评】本题考查向量加法的三角形法则和共线向量定理等基础知识，同时考查了学生的计算能力．充分理解向量的运算法则和数量积的定义是解题的关键，属于中档题． 4．（2024春•福州期中）在矩形ABCD中，，AD＝2，E为线段BC的中点，F为线段CD上靠近C的四等分点，则的值为（　　） A．4 B．8 C． D．5 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解． 【解答】解：建立如图平面直角坐标系， 则A（0，0），E（2，1），F（，2）， 所以21×2＝8． 故选：B． 【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，属于基础题． 5．（2025秋•兰州月考）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，且λμ，则λ+μ等于（　　） A．1 B． C． D． 【分析】以BA、BD为邻边作平行四边形ABDG，可证出λμ，结合C、F、G三点共线，求出λ+μ＝1，可得答案． 【解答】解：如图，过A作BD的平行线，与CD的延长线相交于点G， 因为AG∥BD，AB∥DG，所以四边形ABDG是平行四边形，可得， 结合，λμ，可得λμ， 因为C、F、G三点共线，所以λ+μ＝1，A项符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、平面向量的线性运算法则等知识，属于基础题． 二．多选题（共1小题） （多选）6．（2025秋•兴平市月考）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧上运动，若，则x+y的取值可以是（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示出，把x+y表示为，利用辅助角公式、三角函数求最值． 【解答】解：如图示，建立平面直角坐标系． 设， 可得：． 由， 可得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 即x+y的取值范围为[1，2]， 结合选项可知，A，B，C中的数值符合， 故选：ABC． 【点评】本题考查向量数量积的运算，属于中档题． 三．填空题（共4小题） 7．已知点A，B在双曲线1上，且线段AB经过原点，点M为圆x2+（y﹣2）2＝1上的动点，则的最大值为　﹣7　 ． 【分析】设A（x，y），B（﹣x，﹣y），M（a，b），则（x﹣a，y﹣b）•（﹣x﹣a，﹣y﹣b）＝a2﹣x2+b2﹣y2，所以求的最大值，只要求出a2+b2的最大值，x2+y2的最小值． 【解答】解：设A（x，y），B（﹣x，﹣y），M（a，b），则 （x﹣a，y﹣b）•（﹣x﹣a，﹣y﹣b）＝a2﹣x2+b2﹣y2， 所以求的最大值，只要求出a2+b2的最大值，x2+y2的最小值， 因为点M为圆x2+（y﹣2）2＝1上的动点， 所以a2+b2的最大值为（2+1）2＝9， 因为点A，B在双曲线1上， 所以x2+y2的最小值为16， 所以的最大值为9﹣16＝﹣7， 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查求的最大值，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，求的最大值，只要求出a2+b2的最大值，x2+y2的最小值是解题的关键． 8．（2024•浙江二模）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是 　2　 ． 【分析】令∠OAD＝θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可 【解答】解：如图令∠OAD＝θ，由于AD＝1故OA＝cosθ，OD＝sinθ， 如图∠BAXθ，AB＝1，故xB＝cosθ+cos（θ）＝cosθ+sinθ，yB＝sin（θ）＝cosθ 故（cosθ+sinθ，cosθ） 同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即（sinθ，cosθ+sinθ）， ∴（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）＝1+sin2θ， 的最大值是2 故答案是 2 【点评】本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标． 9．（2025秋•孝南区校级月考）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若，其中x、y∈R，则x+2y的最大值为　　 ． 【分析】以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，然后结合向量的坐标表示及正弦函数的性质即可求解． 【解答】解：以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy， 则点A（1，0）、，设点， 由于，即， 所以，φ为锐角，且， ∵，则，当时，x+2y取得最大值． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了向量的坐标表示，正弦函数性质的应用，属于中档题． 10．（2024•南通模拟）如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P为△BCD内（含边界）的动点，设αβ（α，β∈R），则α+β的最大值等于 　　 ． 【分析】因为是正方形，所以可考虑建立平面直角坐标系：以O为原点，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，这时候可求出，所以设P（x，y），所以根据已知条件可得：（x，y）＝（2β，α），所以可用x，y表示α，β，并得到，这样求的最大值即可．而x，y的取值范围便是△BCD上及其内部，所以可想着用线性规划的知识求解．所以设z，y，所以z表示直线在y轴上的截距，要求α+β的最大值，只需求截距z的最大值即可，而通过图形可看出当该直线过B点时截距最大，所以将B点坐标代入直线方程，即可得到z的最大值，即α+β的最大值． 【解答】解：分别以边OA，OC所在直线为x，y轴建立如图所实施平面直角坐标系； 则：，设P（x，y），； ∴（x，y）＝α（0，1）+β（2，0）＝（2β，α）； ∴； ∴； 设z，则：y，所以z是直线y在y轴上的截距； 由图形可以看出，当该直线经过B（1，1）点时，它在y轴的截距z最大，最大为； ∴α+β的最大值是． 故答案为：． 【点评】考查通过建立平面直角坐标系，用向量坐标解决向量问题的方法，利用线性规划求最值的方法． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高考二轮专题复习 【培优点01：极化恒等式与等和线】 【知识梳理】 1.极化恒等式：设平面向量，则 在中，为边的中点，则 推导依据： 令，，则，，代入向量形式即得 (1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“长对角线”与“短对角线”平方差的. (2)在平行四边形中，是对角线交点，则： ①（平行四边形形式）； ②（三角形形式）. 已知平面内一组基向量及任一向量，且，若，则三点共线，反之亦成立. 平面内一组基向量及任一向量，且，若点在直线上（或平行于的直线上），且（，且直线直线），则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线. (1)当等和线为直线时，； (2)当等和线在点和直线之间时，； (3)当直线在点和等和线之间时，； (4)当等和线过点时，. 题型分类 知识讲解与常考题型 【热点题型1：利用极化恒等式求向量的数量积】 （24-25高一下河北保定月考）如图，在中，D是的中点，E，F是上的两个三等分点．若，，则的值为（    ）经典例题例题 A． B． C．1 D．2 【规律方法总结】 规律方法在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤： (1)取三角形边的中点，连接向量的起点与终点； (2)用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求出中线及第三边的长度，从而求出数量积的值. 注：对于不共起点或不共线的向量需通过平移转化为共起点（共终点）的向量，再利用极化恒等式. （2024湖南长沙一模）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一上上海课堂例题）如图，在中，若，，，D、E分别在边、上，且，，点F为的中点，求的值．小试牛刀2 （23-24高三下湖南长沙月考）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ）小试牛刀3 A． B．16 C． D．8 【热点题型2：利用极化恒等式求向量数量积的取值范围】 （安徽省六校联考2025-2026学年高三上学期1月素质检测数学试题）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ）经典例题例题 A． B． C． D．0 【规律方法总结】 核心考点：极化恒等式的几何转化、动点轨迹下中线/线段长度的取值范围、数量积与几何量的关联 方法技巧： 1.选中点转化：对目标数量积，取线段的中点，利用极化恒等式转化为，将“数量积的取值范围”转化为“的取值范围”. 2.分析的范围：根据动点的轨迹（如线段、圆、折线等），结合几何图形的性质（如圆的半径、线段的长度限制），确定中点到动点的距离的最大值与最小值. 3.代入计算：将的最大值、最小值分别代入极化恒等式，计算得到数量积的取值范围. 易错规避技巧： 1.中点选取错误：需选取目标向量公共端点对应的线段中点，不可随意选取其他线段的中点. 2.轨迹边界遗漏：动点轨迹的边界点（如线段端点、圆的直径端点）往往对应的最值，需完整分析. 3.模长运算错误：极化恒等式中涉及（即），避免误算为. （25-26高二上·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点，且的面积为1，已知是圆上的动点，则的最大值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·河南·月考）已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数．小试牛刀2 (1)设动点M的轨迹是曲线C，求曲线C的方程并指出曲线C是什么曲线； (2)已知点P为曲线C上任意一点，是圆的直径，求的取值范围． （25-26高二上·云南曲靖·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，E为边上的动点，则的最小值为 .小试牛刀3 【热点题型3：利用等和线求基底系数和的值】 （2024河北衡水二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若，则等于经典例题例题 A． B． C． D． 【规律方法总结】 规律方法利用等和线求基底系数和的步骤： (1)确定基底； (2)平移直线，作出满足条件的等和线； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的长度. （23-24高一下广东潮州月考）设、分别是的边、上的点，，，.小试牛刀1 (1)若（、为实数），求的值； (2)若（、为实数），求的值. （23-24高三福建课后作业）设分别是的边上的点,,,若 (为实数),则的值为小试牛刀2 A．1 B． C． D． （24-25高三全国课后作业）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则的值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．1 【热点题型4：利用等和线求系数范围】 1.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为（）.经典例题例题 A.3 B. C. D.2 【规律方法总结】 核心考点：动点轨迹对应的等和线平移、等和线的值与系数和的对应关系、临界位置的等和线分析 方法技巧： 1.确定基准：以为基底，直线为基准等和线（对应系数和）. 2.分析动点约束：明确动点的轨迹（如线段、圆、封闭区域等），梳理轨迹的边界特征. 3.找临界等和线：平移基准等和线，使其与动点轨迹的临界位置（如线段端点、区域边界）相交/相切，得到的临界值（最大值、最小值）. 4.确定范围：结合临界等和线对应的值，得到基底系数和的取值范围. 易错规避技巧： 1.临界位置遗漏：动点轨迹的所有边界点（如线段的两个端点、圆的切线切点）都对应的临界值，需逐一分析. 2.平移方向与的关系混淆：等和线向远离基底公共起点的方向平移时，值增大；向靠近的方向平移时，值减小. 3.忽略轨迹封闭性：若动点轨迹是封闭区域（如三角形、圆），需覆盖所有可能的等和线，避免范围缺失. 如图,给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,点在以为圆心的圆弧上变动.若,其中,则的最大值是（）.小试牛刀1 A.B.2C.D.3 在平行四边形中，，，，平面内有一点，满足.若（），则的最大值为（）.小试牛刀2 A.B.C.D. 边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及其内部的动点.设向量（），则的取值范围是（）.小试牛刀3 A.B.C.D. 课后针对训练 一．选择题（共5小题） 1．（2024秋•安徽月考）如图，在四边形MNPQ中，已知，，则（　　） A．64 B．42 C．36 D．28 2．（2024•杭州模拟）已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则的最小值为（　　） A． B． C．2 D． 3．（2024春•仙游县校级月考）如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，，则（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•福州期中）在矩形ABCD中，，AD＝2，E为线段BC的中点，F为线段CD上靠近C的四等分点，则的值为（　　） A．4 B．8 C． D．5 5．（2025秋•兰州月考）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，且λμ，则λ+μ等于（　　） A．1 B． C． D． 二．多选题（共1小题） （多选）6．（2025秋•兴平市月考）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧上运动，若，则x+y的取值可以是（　　） A．1 B． C．2 D． 三．填空题（共4小题） 7．已知点A，B在双曲线1上，且线段AB经过原点，点M为圆x2+（y﹣2）2＝1上的动点，则的最大值为　﹣7　 ． 8．（2024•浙江二模）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是 　2　 ． 9．（2025秋•孝南区校级月考）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若，其中x、y∈R，则x+2y的最大值为　　 ． 10．（2024•南通模拟）如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P为△BCD内（含边界）的动点，设αβ（α，β∈R），则α+β的最大值等于 　　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $