精品解析：黑龙江省哈尔滨市第十二中学校2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

哈十二中2025-2026学年度上学期期末考试 高二数学试卷 2026-01 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定集合中的元素，然后由交集定义计算． 【详解】由题意，又， ∴， 故选：A． 2. 若复数，则复数虚部是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘方以及虚部的概念，可得答案. 【详解】由，则其虚部为. 故选：A. 3. 已知，，则（ ） A. 13 B. 14 C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法法则以及向量数量积坐标表示计算即得结果. 【详解】因为，， 所以 故选：B 【点睛】本题考查向量加法、向量数量积坐标运算，考查基本求解能力，属基础题. 4. 某校高一、高二、高三年级学生人数之比为3∶3∶4，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为200的样本，则从高一年级抽取的学生人数为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的特点，先求出高一年级学生人数在总人数中的占比，再用样本容量乘以该占比，即可得到从高一年级抽取的学生人数. 【详解】已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为，那么高一年级学生人数占三个年级总人数的比例为： 现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为$200$的样本，根据分层抽样的计算方法，从高一年级抽取的学生人数为： （人） 从高一年级抽取的学生人数为60人. 故选：A. 5. 若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式化简所求式子，从而求得正确答案. 【详解】. 故选：A 6. 已知母线长为2的圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，由已知求得，进而由勾股定理求得圆锥的高，可求圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为， 根据题意，所以圆锥的高， 则圆锥的体积为. 故选：C． 7. 的内角的对边分别是且满足，则是（　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【详解】分析：利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和与差的正弦函数公式变形后，根据都为三角形的内角，得到为直角，可得出三角形为直角三角形. 详解：利用正弦定理化简已知的等式得： ， 即， 为三角形的内角， ，即， 则为直角三角形，故选B. 点睛：本题考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，以及三角形形状的判断，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 8. 若圆与双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】取其中一条渐近线，由题意，载由双曲线中的关系，可得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为 取其中一条渐近线，即 由条件圆与相切，则 所以，即，所以 所以，则，所以离心率为 故选：A 二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，多选或错选0分，部分选对部分得分） 9. 下列四个选项正确的有（ ） A. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关性越强 B. 一组样本数据47，48，48，49，50，51，52，60，该组数据的第60百分位数为50 C. 决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 若数据的方差为8，则数据的方差为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】逐一结合相关系数、百分位数、决定系数、方差的性质，分析各选项的正误. 【详解】A：样本相关系数绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关性越强，的数值大小不直接决定相关性强弱，故A错误. B：样本量为8，第60百分位数的位置为，向上取整为5，对应数据为50，故B正确. C：决定系数越大，残差平方和越小，模型对数据的拟合效果越好，故C正确. D：由方差性质，新数据的方差为8，得，解得原数据方差为2，故D正确. 故选：BCD 10. 下面统计了某品牌新能源汽车2024年上半年的销售量（单位：万辆）的情况，如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 月销售量万辆 7.3 8.4 9.4 10.2 10.1 若月销售量关于月份的经验回归方程为，则（ ） A. 月销售量与月份呈正相关 B. C. 样本的残差约为 D. 根据该模型，该品牌新能源汽车2024年8月销售量的预测值为11.52万辆 【答案】ABD 【解析】 【分析】由回归方程可判断A；利用回归方程过样本中心点可求得判断B；当时，，可求样本的残差判断C；当时，可求判断D. 【详解】因为经验回归方程中，所以月销售量与月份呈正相关，故A正确． 易知，则，所以，解得，故B正确． 当时，，所以样本的残差约为，故C错误． 当时，，故D正确． 故选：ABD． 11. A、B、C、D、E五名同学安排值日，下列说法正确的是（ ） A. 五人值五天，每人值一天，A、B两名同学需相邻，满足条件的安排方法共有48种 B. 安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有540种安排方法 C. 五人值五天，每人值一天，要求A、B、C三人值日的先后顺序固定，则一共有20种安排方法 D. A、B、C三人需要连续六天值日，每人两天，但每人都不连值两天，一共有30种安排方法 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑即可求解A,根据排列即可求解B，根据分组分配问题即可求解C，利用列举，结合分步乘法计数原理即可求解D. 【详解】对于A,将A、B两名同学看作一个整体，与其他三个同学一起全排列，则共有种情况，故A正确， 对于B，安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有种安排方法,故B错误， 对于C,由于A、B、C三人值日的先后顺序固定，只需要将剩下两名同学安排好即可，故共有种方法，故C正确， 对于D,从三个人中选2个人安排在第一天和第二天，则有种方法，假若前两天值日的人为分别为，则6天的安排有共有5种，故总的安排有,故D正确， 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则_________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用组合数公式求出，再利用排列数公式计算即得. 【详解】由，得，解得， 所以. 故答案为：20 13. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式组可求出结果. 【详解】由函数有意义得， 解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则________. 【答案】（或12.5）. 【解析】 【分析】先利用“抛物线的焦点到准线的距离为”这一性质，确定抛物线方程、焦点坐标和准线方程，再利用抛物线定义转化距离问题，联立直线与抛物线方程后，再次利用定义结合韦达定理求弦长即可. 【详解】由题知：，则抛物线方程为， 所以焦点的坐标为，准线方程为， 设，则，解得， 将代入抛物线方程，得，即，故或， 因为直线过和，则斜率（取 为例，符号不影响结果）， 所以直线方程为，即， 联立直线与抛物线方程得， 代入得 ，化简为 ， 由韦达定理得， 因为，则， 根据抛物线定义，， 因此（或12.5）， 故答案为：（或12.5）. 四.解答题（本题共5道大题，共77分） 15. 某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值以及自习时间在内的学生人数； （2）估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 【答案】（1）； （2）105小时 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率直方图的性质即可求解； （2）利用频率直方图的中点值结合均值算法，可估计总体平均值； （3）利用分层抽样和古典概型公式可求出概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知：，解得， 一个学期自习时间在内的学生人数为； 【小问2详解】 该校学生一个学期自习平均时间 ， 即估计该校每个学生一个学期自习平均时间为105小时； 【小问3详解】 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这4人分别记为A，B，C，D， 一个学期自习时间落在的抽取人数为， 这2人分别记为a，b， 再从这6名学生中随机抽取2名学生的样本空间为： ，共有15个样本点， 其中恰有1名一个学期自习时间落在内的样本点，共8个样本点， 所以抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 16. 已知的展开式中，二项式系数的和为64，求： （1）； （2）含的项； （3）各项系数和. 【答案】（1）6 （2） （3）729 【解析】 【分析】（1）结合题意建立方程，再求解参数即可. （2）利用二项式定理求出展开式通项，再求解所需项即可. （3）利用赋值法求解各项系数和即可. 【小问1详解】 因为二项式系数的和为64， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知，则二项式变为， 由二项式定理可得展开式的通项为， 令，得，故含的项为. 【小问3详解】 令，则各项系数和为. 17. 为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 城市学校 80 总计 100 160 （1）补全上面的列联表； （2）依据小概率的独立性检验，能否判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.005 2706 3.841 7.879 【答案】（1）答案见解析 （2）学校所在区域对智慧课堂的应用有影响. 【解析】 【分析】（1）根据表格数据直接计算即可； （2）利用卡方公式计算出卡方值，再对比表格数据即可. 【小问1详解】 补全的列联表如下： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 40 80 城市学校 60 20 80 总计 100 60 160 【小问2详解】零假设：学校所在区域对智慧课堂的应用无影响. 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，因此能判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响. 18. 已知圆经过坐标原点，且圆心为. （1）求圆的标准方程； （2）已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； （3）过点引圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）根据圆心及过原点，可得半径，即可得方程. （2）根据点到直线的距离公式，可得d，代入弦长公式，即可得到答案. （3）讨论斜率存在和不存在两种情况，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，计算求解，综合分析，即可得答案. 【小问1详解】 因为圆心为，且过原点，所以半径， 则圆的方程为. 【小问2详解】 设圆心到的距离为，则， 所以. 【小问3详解】 当斜率不存在时，过点P的方程为，圆心到的距离为2等于半径，符合题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得 所以切线方程为， 综上所述：切线的方程为和． 19. 已知椭圆的焦点坐标为，椭圆上的点到左焦点的最大距离为3， （1）求椭圆的标准方程 （2）求椭圆被直线截得的弦长； （3）若直线与椭圆交于，两点，当（为坐标原点）时，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆的性质求出即得. （2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式计算得解. （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示列式求出的值. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为，半焦距， 由椭圆上的点到左焦点的最大距离为3，得，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由消去并整理得：， 设弦的两个端点坐标为，则， 所以椭圆被直线截得的弦长. 【小问3详解】 设，， 由消去并整理得：， ，解得， ，，， 由，得， 则，解得，符合题意， 所以的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈十二中2025-2026学年度上学期期末考试 高二数学试卷 2026-01 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则复数的虚部是（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知，，则（ ） A. 13 B. 14 C. D. 30 4. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为200的样本，则从高一年级抽取的学生人数为（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 50 5. 若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知母线长为2的圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 的内角的对边分别是且满足，则是（　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 8. 若圆与双曲线一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，多选或错选0分，部分选对部分得分） 9. 下列四个选项正确的有（ ） A. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关性越强 B. 一组样本数据47，48，48，49，50，51，52，60，该组数据的第60百分位数为50 C. 决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 若数据的方差为8，则数据的方差为2 10. 下面统计了某品牌新能源汽车2024年上半年销售量（单位：万辆）的情况，如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 月销售量万辆 7.3 8.4 9.4 10.2 101 若月销售量关于月份的经验回归方程为，则（ ） A. 月销售量与月份呈正相关 B. C. 样本残差约为 D. 根据该模型，该品牌新能源汽车2024年8月销售量的预测值为11.52万辆 11. A、B、C、D、E五名同学安排值日，下列说法正确的是（ ） A. 五人值五天，每人值一天，A、B两名同学需相邻，满足条件的安排方法共有48种 B. 安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有540种安排方法 C. 五人值五天，每人值一天，要求A、B、C三人值日的先后顺序固定，则一共有20种安排方法 D. A、B、C三人需要连续六天值日，每人两天，但每人都不连值两天，一共有30种安排方法 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则_________．（用数字作答） 13. 函数的定义域为______． 14. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则________. 四.解答题（本题共5道大题，共77分） 15. 某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值以及自习时间在内的学生人数； （2）估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率. 16. 已知的展开式中，二项式系数的和为64，求： （1）； （2）含的项； （3）各项系数和. 17. 为了推动智慧课堂普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 城市学校 80 总计 100 160 （1）补全上面的列联表； （2）依据小概率的独立性检验，能否判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.005 2.706 3.841 7.879 18. 已知圆经过坐标原点，且圆心为. （1）求圆的标准方程； （2）已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； （3）过点引圆的切线，求切线的方程. 19. 已知椭圆的焦点坐标为，椭圆上的点到左焦点的最大距离为3， （1）求椭圆的标准方程 （2）求椭圆被直线截得的弦长； （3）若直线与椭圆交于，两点，当（为坐标原点）时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $