精品解析：广东省深圳市南头中学2025-2026学年高三上学期适应性考试数学试题

南头中学2025~2026学年度第一学期高三适应性考试 数学 命题人：高三数学备课组 审核人：高三数学备课组 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名､考生号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，.若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知是等边三角形，设，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，且都在第一象限，若轴，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 6. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 分别是等差数列的前项和，则（ ） A. 是等差数列 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 11. 已知定义在复数集C上的函数，，其中为虚数单位，记的模为，则（ ） A. B. C. 的实部的最大值为 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为______. 13. 已知双曲线的右焦点为，点在的右支上，为关于轴的对称点，若直线的斜率分别为，，则的离心率为______. 14. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知． （1）求角C； （2）若，点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值． 16. 如图，在四棱锥中，平面. （1）证明：平面PAC. （2）在线段BC上是否存在一点，使点到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17. 在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中． （1）若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率． 实际有雷 实际无雷 总计 检测到有雷 40 24 64 检测到无雷 10 26 36 总计 50 50 100 （2）对任意一次测试，证明：． （3）若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果． 18. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点在椭圆上. （1）求的方程. （2）过点作直线交于两点，过原点作直线的平行线交于两点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 若函数满足条件：函数的定义域为，且，，，当时，都有，则称为区间上的“型函数”. （1）若是“型函数”，求实数的最大值； （2）若函数不是上的“型函数”，求实数的取值范围； （3）在数列中，，，若是“型函数”，且正整数的个数为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南头中学2025~2026学年度第一学期高三适应性考试 数学 命题人：高三数学备课组 审核人：高三数学备课组 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名､考生号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，然后根据并集的定义判断答案. 【详解】由题意可知，， 又因为集合 所以 故选：C 2. 复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出复数，在根据复数的几何意义可解. 【详解】，复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3. 已知向量，.若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两向量垂直的坐标关系运算得解. 【详解】由，得，解得. 故选：D. 4. 已知是等边三角形，设，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的投影向量公式即可得出答案. 【详解】由题可得，， 所以向量在上的投影向量为， 故选：B. 5. 已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，且都在第一象限，若轴，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由轴，得到，根据，得到所以，结合，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为轴，所以， 又因为，所以，可得得，所以， 因为，所以，得. 故选：A. 6. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形弧长公式及等差数列求和公式计算即可. 【详解】由题意每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1， 则第段圆弧的半径为，弧长记为，则， 所以. 故选：D． 7. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合三角函数知识，即可得到与的大小关系，通过构造函数，利用单调性即可推导出与的大小关系，进一步比较即可. 【详解】由三角函数线知识可知，当时，， 故. 令， 则 故在上单调递减，则. 故，即，故. 综上，. 故选：A. 8. 已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件可分别得到关于和的关系式，再利用将关系式变形得到和，最后借助函数的单调性即可求解. 【详解】是的根，，即，① 是的根，，即， 存在函数使得，，② 是定义在上的增函数，在上单调递增， 由①②可得， ， 又，即， ，即. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 分别是等差数列的前项和，则（ ） A. 是等差数列 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由等差数列的性质及前项和性质进行求解． 【详解】设等差数列的公差分别为， 则， 所以是等差数列，A正确； ，故B错误； 设， 则， 又， 所以. 可设， 所以， 所以，故C正确； 成等差数列， 又， 所以，所以，故D错误. 故选：AC 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角函数的周期性来判断ACD，利用正弦函数的单调性来判断B. 【详解】选项A：由题意可知，函数的最小正周期，所以，A正确. 选项B：当时，，所以在上不单调，B错误. 选项C：若，则或，所以的最小值为，C正确. 选项D：若，则，，所以的最小值为，D错误. 故选：AC. 11. 已知定义在复数集C上的函数，，其中为虚数单位，记的模为，则（ ） A. B. C. 的实部的最大值为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由，结合裂项法求和，可判定A正确；化简得到，根据虚数不能比较大小，可判定B错误；求得的最大值为，可判定C错误；对于D，由，求得，结合，可判定D正确. 【详解】对于A，由， 所以， 所以A正确； 对于B，由函数， 代入，可得， 可得 因为为含有的虚数，而为实数，所以不能比较大小，所以B不正确； 对于C，由的实部为，可得 由函数在上为单调递增函数，当时，取得最大值，所以C错误； 对于D，由，可得， 所以， 取，可得，因为，此时满足， 即成立，所以D正确. 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求. 【详解】由题意可得，故， 故展开式的第四项为, 故系数为， 故答案为： 13. 已知双曲线的右焦点为，点在的右支上，为关于轴的对称点，若直线的斜率分别为，，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，连接，求得和，设，，由正弦定理得到，结合，得到，，再由余弦定理，列出方程，得到，即可求得双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接， 因为为关于轴的对称点，若直线的斜率分别为， 可得直线的倾斜角为，则， 又由的斜率为，可得，所以， 在中，设，， 由正弦定理得，即，可得， 又由双曲线的定义，可得，所以，. 在中，由余弦定理得， 整理得，即，解得（舍去）， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 14. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的几何意义求数量积的取值范围. 【详解】设向量在向量上的投影向量为，则，如图， 过作，垂足为，过作，垂足为． 当在、处时，最小，最小值为； 当在、处时，最大，最大值为． 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知． （1）求角C； （2）若，点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值． 【答案】（1）； （2）4 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和，，得到，求出； （2）在（1）基础上，得到，其中，由三角形面积公式得到方程，求出 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 又， 所以，即， 因为，所以，故，即， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 又CD为的平分线，故， 其中，由三角形面积公式得， ， 又， 显然，即， 解得. 16. 如图，在四棱锥中，平面. （1）证明：平面PAC. （2）在线段BC上是否存在一点，使点到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 法一， 在直角梯形ABCD中，， 因为，所以，所以. 又因为平面ABCD，所以. 因为，所以平面PAC. 法二， 以为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则. 设平面PAC的法向量为， 因为，所以 取，得. 又，所以，即与共线， 所以平面PAC. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）法一，根据勾股定理证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理得证，法二，建空间直角坐标系，利用向量证明即可； （2）法一，假设存在一点，使点到平面PCD的距离为，设，利用等体积法求解，法二，根据向量法利用点面距离求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一 假设存在一点，使点到平面PCD的距离为，设， 即，连接DE，EP， 因为， 所以. 因为平面ABCD，所以，则， 由（1）知平面PAC，则. 由，得，解得， 因此线段BC上存在一点，当时，点到平面PCD的距离为. 法二， 设平面PCD的法向量为， 因为，所以 取，得. 设，点到平面PCD的距离为， 因为，所以，解得， 所以， 因此线段BC上存在一点，当时，点到平面PCD的距离为. 17. 在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中． （1）若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率． 实际有雷 实际无雷 总计 检测到有雷 40 24 64 检测到无雷 10 26 36 总计 50 50 100 （2）对任意一次测试，证明：． （3）若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果． 【答案】（1）；． （2） ， 要证明， 需证明． 等式右边： ． 等式左边： 因为， 所以 ． 等式左右两边相等，因此成立． （3） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可； （2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可； （3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可. 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，因为， 所以（1）中机器人的检测效果一般． 18. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点在椭圆上. （1）求的方程. （2）过点作直线交于两点，过原点作直线的平行线交于两点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）由题意可确定，再设出椭圆的方程，将代入椭圆方程，结合，可求得，进而确定椭圆方程； （2）分为 “斜率为”与“斜率不存在或斜率存在但不为0”两种情况进行讨论：①当斜率为0时，重合，可求得；②当斜率不存在或斜率存在但不为0时，分别将与与椭圆方程进行联立，再利用弦长公式分别表示出与，可求得.综上，可确定. 【小问1详解】 抛物线的焦点，则 又在椭圆上，将点代入椭圆方程得. 解得，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①若直线的斜率为，则与重合，， 又因为，即，此时； ②若直线的斜率不存在或斜率存在但不为0，则可设其方程为，则平行线的方程为 联立与椭圆方程，消去得 设，则， 由弦长公式，可得 ， 联立与椭圆方程，消去得，解得， 由对称性及弦长公式，可得， 因此，此时. 综上所述，存在常数，使得恒成立，. 19. 若函数满足条件：函数的定义域为，且，，，当时，都有，则称为区间上的“型函数”. （1）若是“型函数”，求实数的最大值； （2）若函数不是上的“型函数”，求实数的取值范围； （3）在数列中，，，若是“型函数”，且正整数的个数为，证明：. 【答案】（1） （2） （3） 由题意可得，，，， 设的值分别为，且，. 若，则当，即时，，所以， 又，故；（提示：意味着只有1个正整数，使得是“型函数”，因此根据“型函数”的定义可得，若，则的值就不会只有1个） 当时，由题意可得，，，（提示：的值只有1个，因此） 所以， 则，又，故. 若，则，，，， 当时，由题意得， 当时，由题意得，，且， 又，所以. 故恒成立， 所以，，，， 所以，（累加法的应用） 所以， 又，所以，又，所以. 综上，. 【解析】 【分析】（1）根据“型函数”的定义求解即可； （2）结合“型函数”的定义，将问题转化为在上存在解，且为解集的子集，结合导数可求 a的范围； （3）结合“型函数”以及数列的知识证明即可. 【小问1详解】 由题可得， 易知，令，得， 所以当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增. 所以，，当时，都有， 故实数的最大值为. 【小问2详解】 由“型函数”的定义可知，若函数是上的“型函数”， 则在存在递减区间， 故在上存在解，且为解集的子集， 由题可得， 设，， 则. 当时，，为上的增函数，则，不合题意， 当时，若，， 则为上的减函数，则，合题意， 若，当时，， 则为上的增函数，则，不合题意， 故函数是上的“型函数”，则， 故函数不是上的“型函数”，则. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $