精品解析：广东省深圳市南头中学2025-2026学年高三上学期适应性考试数学试题

南头中学2025~2026学年度第一学期高三适应性考试 数学 命题人：高三数学备课组 审核人：高三数学备课组 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名､考生号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，然后根据并集的定义判断答案. 【详解】由题意可知，， 又因为集合 所以 故选：C 2. 复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出复数，在根据复数的几何意义可解. 【详解】，复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3. 已知向量，.若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两向量垂直的坐标关系运算得解. 【详解】由，得，解得. 故选：D. 4. 已知是等边三角形，设，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的投影向量公式即可得出答案. 【详解】由题可得，， 所以向量在上的投影向量为， 故选：B. 5. 已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，且都在第一象限，若轴，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由轴，得到，根据，得到所以，结合，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为轴，所以， 又因为，所以，可得得，所以， 因为，所以，得. 故选：A. 6. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形弧长公式及等差数列求和公式计算即可. 【详解】由题意每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1， 则第段圆弧的半径为，弧长记为，则， 所以. 故选：D． 7. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合三角函数知识，即可得到与的大小关系，通过构造函数，利用单调性即可推导出与的大小关系，进一步比较即可. 【详解】由三角函数线知识可知，当时，， 故. 令， 则 故在上单调递减，则. 故，即，故. 综上，. 故选：A. 8. 已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件可分别得到关于和的关系式，再利用将关系式变形得到和，最后借助函数的单调性即可求解. 【详解】是的根，，即，① 是的根，，即， 存在函数使得，，② 是定义在上的增函数，在上单调递增， 由①②可得， ， 又，即， ，即. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 分别是等差数列的前项和，则（ ） A. 是等差数列 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由等差数列的性质及前项和性质进行求解． 【详解】设等差数列的公差分别为， 则， 所以是等差数列，A正确； ，故B错误； 设， 则， 又， 所以. 可设， 所以， 所以，故C正确； 成等差数列， 又， 所以，所以，故D错误. 故选：AC 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角函数的周期性来判断ACD，利用正弦函数的单调性来判断B. 【详解】选项A：由题意可知，函数的最小正周期，所以，A正确. 选项B：当时，，所以在上不单调，B错误. 选项C：若，则或，所以的最小值为，C正确. 选项D：若，则，，所以的最小值为，D错误. 故选：AC. 11. 已知定义在复数集C上的函数，，其中为虚数单位，记的模为，则（ ） A. B. C. 的实部的最大值为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由，结合裂项法求和，可判定A正确；化简得到，根据虚数不能比较大小，可判定B错误；求得的最大值为，可判定C错误；对于D，由，求得，结合，可判定D正确. 【详解】对于A，由， 所以， 所以A正确； 对于B，由函数， 代入，可得， 可得 因为为含有的虚数，而为实数，所以不能比较大小，所以B不正确； 对于C，由的实部为，可得 由函数在上为单调递增函数，当时，取得最大值，所以C错误； 对于D，由，可得， 所以， 取，可得，因为，此时满足， 即成立，所以D正确. 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求. 【详解】由题意可得，故， 故展开式的第四项为, 故系数为， 故答案为： 13. 已知双曲线的右焦点为，点在的右支上，为关于轴的对称点，若直线的斜率分别为，，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，连接，求得和，设，，由正弦定理得到，结合，得到，，再由余弦定理，列出方程，得到，即可求得双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接， 因为为关于轴的对称点，若直线的斜率分别为， 可得直线的倾斜角为，则， 又由的斜率为，可得，所以， 在中，设，， 由正弦定理得，即，可得， 又由双曲线的定义，可得，所以，. 在中，由余弦定理得， 整理得，即，解得（舍去）， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 14. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的几何意义求数量积的取值范围. 【详解】设向量在向量上的投影向量为，则，如图， 过作，垂足为，过作，垂足为． 当在、处时，最小，最小值为； 当在、处时，最大，最大值为． 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知． （1）求角C； （2）若，点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值． 【答案】（1）； （2）4 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和，，得到，求出； （2）在（1）基础上，得到，其中，由三角形面积公式得到方程，求出 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 又， 所以，即， 因为，所以，故，即， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 又CD为的平分线，故， 其中，由三角形面积公式得， ， 又， 显然，即， 解得. 16. 如图，在四棱锥中，平面. （1）证明：平面PAC. （2）在线段BC上是否存在一点，使点到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）法一，根据勾股定理证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理得证，法二，建空间直角坐标系，利用向量证明即可； （2）法一，假设存在一点，使点到平面PCD的距离为，设，利用等体积法求解，法二，根据向量法利用点面距离求解即可 【小问1详解】 法一， 在直角梯形ABCD中，， 因为，所以，所以. 又因为平面ABCD，所以. 因为，所以平面PAC. 法二， 以为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则. 设平面PAC的法向量为， 因为，所以 取，得. 又，所以，即与共线， 所以平面PAC. 【小问2详解】 法一 假设存在一点，使点到平面PCD的距离为，设， 即，连接DE，EP， 因为， 所以. 因为平面ABCD，所以，则， 由（1）知平面PAC，则. 由，得，解得， 因此线段BC上存在一点，当时，点到平面PCD的距离为. 法二， 设平面PCD的法向量为， 因为，所以 取，得. 设，点到平面PCD的距离为， 因为，所以，解得， 所以， 因此线段BC上存在一点，当时，点到平面PCD的距离为. 17. 在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中． （1）若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率． 实际有雷 实际无雷 总计 检测到有雷 40 24 64 检测到无雷 10 26 36 总计 50 50 100 （2）对任意一次测试，证明：． （3）若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果． 【答案】（1）；． （2） ， 要证明， 需证明． 等式右边： ． 等式左边： 因为， 所以 ． 等式左右两边相等，因此成立． （3） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可； （2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可； （3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可. 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，因为， 所以（1）中机器人的检测效果一般． 18. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点在椭圆上. （1）求的方程. （2）过点作直线交于两点，过原点作直线的平行线交于两点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）由题意可确定，再设出椭圆的方程，将代入椭圆方程，结合，可求得，进而确定椭圆方程； （2）分为 “斜率为”与“斜率不存在或斜率存在但不为0”两种情况进行讨论：①当斜率为0时，重合，可求得；②当斜率不存在或斜率存在但不为0时，分别将与与椭圆方程进行联立，再利用弦长公式分别表示出与，可求得.综上，可确定. 【小问1详解】 抛物线的焦点，则 又在椭圆上，将点代入椭圆方程得. 解得，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①若直线的斜率为，则与重合，， 又因为，即，此时； ②若直线的斜率不存在或斜率存在但不为0，则可设其方程为，则平行线的方程为 联立与椭圆方程，消去得 设，则， 由弦长公式，可得 ， 联立与椭圆方程，消去得，解得， 由对称性及弦长公式，可得， 因此，此时. 综上所述，存在常数，使得恒成立，. 19. 若函数满足条件：函数的定义域为，且，，，当时，都有，则称为区间上的“型函数”. （1）若是“型函数”，求实数的最大值； （2）若函数不是上的“型函数”，求实数的取值范围； （3）在数列中，，，若是“型函数”，且正整数的个数为，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“型函数”的定义求解即可； （2）结合“型函数”的定义，将问题转化为在上存在解，且为解集的子集，结合导数可求 a的范围； （3）结合“型函数”以及数列的知识证明即可. 【小问1详解】 由题可得， 易知，令，得， 所以当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增. 所以，，当时，都有， 故实数的最大值为. 【小问2详解】 由“型函数”的定义可知，若函数是上的“型函数”， 则在存在递减区间， 故在上存在解，且为解集的子集， 由题可得， 设，， 则. 当时，，为上的增函数，则，不合题意， 当时，若，， 则为上的减函数，则，合题意， 若，当时，， 则为上的增函数，则，不合题意， 故函数是上的“型函数”，则， 故函数不是上的“型函数”，则. 【小问3详解】 由题意可得，，，， 设的值分别为，且，. 若，则当，即时，，所以， 又，故；（提示：意味着只有1个正整数，使得是“型函数”，因此根据“型函数”的定义可得，若，则的值就不会只有1个） 当时，由题意可得，，，（提示：的值只有1个，因此） 所以， 则，又，故. 若，则，，，， 当时，由题意得， 当时，由题意得，，且，又，所以. 故恒成立， 所以，，，， 所以，（累加法的应用） 所以， 又，所以，又，所以. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南头中学2025~2026学年度第一学期高三适应性考试 数学 命题人：高三数学备课组 审核人：高三数学备课组 （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名､考生号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，.若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知是等边三角形，设，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，且都在第一象限，若轴，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 6. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 分别是等差数列的前项和，则（ ） A. 是等差数列 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 11. 已知定义在复数集C上的函数，，其中为虚数单位，记的模为，则（ ） A. B. C. 的实部的最大值为 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为______. 13. 已知双曲线的右焦点为，点在的右支上，为关于轴的对称点，若直线的斜率分别为，，则的离心率为______. 14. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知． （1）求角C； （2）若，点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值． 16. 如图，在四棱锥中，平面. （1）证明：平面PAC. （2）在线段BC上是否存在一点，使点到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17. 在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中． （1）若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率． 实际有雷 实际无雷 总计 检测到有雷 40 24 64 检测到无雷 10 26 36 总计 50 50 100 （2）对任意一次测试，证明：． （3）若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果． 18. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点在椭圆上. （1）求的方程. （2）过点作直线交于两点，过原点作直线的平行线交于两点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 若函数满足条件：函数的定义域为，且，，，当时，都有，则称为区间上的“型函数”. （1）若是“型函数”，求实数的最大值； （2）若函数不是上的“型函数”，求实数的取值范围； （3）在数列中，，，若是“型函数”，且正整数的个数为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $