精品解析：广东省湛江市雷州市第八中学教育集团 2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级12月份月考数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 中国瓷器积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分瓷器上的图案设计精美，极富变化、下面瓷器上的图案中，是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 随着自主研发能力的增强，上海微电子发布消息称已经成功研发出了工艺的国产沉浸式光刻机，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点与点关于y轴对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 7 D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若则下列结论中不成立的是（ ） A. B C. DA平分 D. 6. 如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 缩小3倍 B. 不变 C. 扩大3倍 D. 扩大9倍 7. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①是直角三角形；②；③；④．四个结论中成立的是（ ） A ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分式 有意义的条件是_____． 12. 分解因式：______． 13. 计算：________． 14. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以_________．(写出一个即可) 15. 如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为__________． 三、解答题（5+6+8，共19分） 16. 计算：． 17. 计算∶ （1）； （2）． 18. （1）解方程：； （2）先化简、再求值：，其中． 四、解答题（8+8+8，共24分） 19. 如图，在中． （1）利用尺规作图，作出边上垂直平分线，分别交，于点D，E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接．若，，求的度数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为，点的坐标为点的坐标为，点的坐标为． （1）作出关于轴对称的其中分别是，，的对应点，不要求写作法； （2）在轴上找一点，使得的值最小要求写作法 21. 某商店4月份购进一批T恤衫，进价合计3200元．由于该T恤衫十分畅销，商店又于5月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计6800元，数量是4月份的2倍，但每件进价涨了2.5元． （1）求商店4月份购进T恤衫多少件？ （2）这两批T恤衫开始都以每件60元出售，到6月初，商店把剩下的40件打九折出售，很快售完，求商店共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？ 五、解答题（10+10+12，共32分） 22. 已知和都是等边三角形，连接、． （1）求证：； （2）延长与交于点，若，求证：是的中点． 23. 从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是_________（请选择正确的一个） A． B． C． （2）若，求的值； （3）计算：． 24. 如图，是等腰直角三角形，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． （1）如图，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标为______． （2）如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，问与有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图，直角边的两个端点在两坐标轴上滑动，使点在第二象限内，过点作轴于点，在滑动的过程中，为定值，求出这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级12月份月考数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 中国瓷器积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分瓷器上的图案设计精美，极富变化、下面瓷器上的图案中，是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 随着自主研发能力的增强，上海微电子发布消息称已经成功研发出了工艺的国产沉浸式光刻机，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 3. 已知点与点关于y轴对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的两点的坐标特征，掌握这一特征是关键． 若两点关于y轴对称，则其横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此则可求得结果． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴ 故选：A． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，涉及同底数相乘，同底数相除，积的乘方以及单项式乘以多项式，熟练掌握相关运算法则、正确计算是解题的关键． 【详解】解：A、，原计算错误，故该选项不符合题意； B、，原计算错误，故该选项不符合题意； C、，原计算错误，故该选项不符合题意； D、，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，若则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. DA平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠E＝∠C，再逐个判断即可． 【详解】解：A．∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE，故本选项不符合题意； B．如图，∵△ABC≌△ADE， ∴∠C＝∠E， ∵∠AOE＝∠DOC，∠E＋∠CAE＋∠AOE＝180°，∠C＋∠COD＋∠CDE＝180°， ∴∠CAE＝∠CDE， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＝∠CDE，故本选项不符合题意； C．∵△ABC≌△ADE， ∴∠B＝∠ADE，AB＝AD， ∴∠B＝∠BDA， ∴∠BDA＝∠ADE， ∴AD平分∠BDE，故本选项不符合题意； D．∵△ABC≌△ADE， ∴BC＝DE，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 6. 如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小3倍 B. 不变 C. 扩大3倍 D. 扩大9倍 【答案】C 【解析】 【分析】把分式中的x，y都扩大3倍，化简后与原式比较即可． 【详解】解：把分式中的x，y都扩大3倍，得 ， ∴分式的值扩大3倍． 故选C． 【点睛】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 7. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式值为零的条件；根据分式的值为0即分子为0，分母不为0，据此解答即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得：． 故选：A． 8. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线 ∴AD=CD，∠ACD=∠A=50° ∵平分 ∴∠ACB=2∠ACD=100° ∴∠B=180°-100°-50°=30° 故选：B． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 9. 已知，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．将两边同时平方后可得出，然后整体代入即可求解． 【详解】解∶∵， ∴，即， ∴ 又， ∴， 即， 故选：C． 10. 如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①是直角三角形；②；③；④．四个结论中成立的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，过E作于F，可得，运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质可得，；运用点E是的中点即可判断③是否正确；运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质即可判断②④是否正确；运用即可判断①是否正确 【详解】解：过E作于F，如图， ∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 而，，故③错误； 在和中， ， ∴， ∴，，，故②正确； ∴，故④正确； ∴，即是直角三角形，故①正确． 因此正确的有①②④， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分式 有意义的条件是_____． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】解：∵分式有意义， ∴x﹣1≠0，即x≠1． 故答案为x≠1． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式，再用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法和平方差公式分解因式，正确找出公因式和熟练掌握平方差公式是解题的关键． 13. 计算：________． 【答案】10 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键． 14. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_________．(写出一个即可) 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形判定定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 首先根据已知条件，再结合全等三角形的判定方法来添加合适的条件，使得两个三角形全等即可． 【详解】解：∵点B，E，C，F在同一条直线上，，，即已知一组等边和一组等角， ∴若添加，即可满足， 故答案为：(答案不唯一)． 15. 如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵P为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为7． 故答案为：7． 三、解答题（5+6+8，共19分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先算乘方以及绝对值以及指数幂，再算加减法，即可求解． 【详解】解：原式 ． 17. 计算∶ （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法以及整式的运算． （1）先根据同底数幂的乘法，再根据幂的乘方、积的乘方计算，接着根据同底数幂的除法计算，最后合并同类项计算即可； （2）先根据平方差公式计算，再根据单项式乘以多项式计算，最后合并同类项计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. （1）解方程：； （2）先化简、再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式的化简求值，熟练掌握解分式方程的一般步骤，化简分式的步骤顺序与法则，代入计算求值，是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可； （2）先根据分式的混合计算顺序和法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解：（1） 方程两边同时乘以得：， ， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （2） ， 当时，原式． 四、解答题（8+8+8，共24分） 19. 如图，在中． （1）利用尺规作图，作出边上的垂直平分线，分别交，于点D，E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接．若，，求的度数． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理． （1）分别以点B，点C为圆心大于长为半径画弧，两弧相交于两点，连接圆弧的交点，与交点E，交点D，垂直平分线即为所求； （2）利用线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理即可求得结果． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为，点的坐标为点的坐标为，点的坐标为． （1）作出关于轴对称的其中分别是，，的对应点，不要求写作法； （2）在轴上找一点，使得的值最小要求写作法 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型． （1）根据点、、的坐标分别找出关于轴对称的对应点坐标，然后顺次连接即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，点即为所求作． 【小问1详解】 解；如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，找出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求作． 21. 某商店4月份购进一批T恤衫，进价合计3200元．由于该T恤衫十分畅销，商店又于5月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计6800元，数量是4月份的2倍，但每件进价涨了2.5元． （1）求商店4月份购进T恤衫多少件？ （2）这两批T恤衫开始都以每件60元出售，到6月初，商店把剩下的40件打九折出售，很快售完，求商店共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？ 【答案】（1）80件 （2）4160元 【解析】 【分析】本题考查分式方程解决实际问题 （1）设商店4月份购进T恤衫x件，则5月份购进了件，4月份每件进价为元，5月份每件进价元，根据“每件进价涨了2.5元”即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据利润等于销售收入减去进价总计即可列式求解． 【小问1详解】 解：设商店4月份购进T恤衫x件，则5月份购进了件． 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：商店4月份购进T恤衫80件． 【小问2详解】 解：依题意：5月份的购进T恤衫：（件） （元） 答：商店共获毛利润4160元． 五、解答题（10+10+12，共32分） 22. 已知和都是等边三角形，连接、． （1）求证：； （2）延长与交于点，若，求证：是的中点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定等知识； （1）根据已知条件得出，根据即可证明，可得． （2）如图，过点作交的延长线于点．证明，推出，可得结论． 【小问1详解】 证明：和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ； 【小问2详解】 证明：如图，过点作交的延长线于点． ， ，， ， ， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 即为的中点． 23. 从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是_________（请选择正确的一个） A． B． C． （2）若，求的值； （3）计算：． 【答案】（1）B （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查乘法公式与图形面积计算，整式的混合运算，理解图示，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据图形中阴影部分面积的计算方法，两图中阴影部分面积相等即可求解； （2）运用平方差公式计算即可求解； （3）运用平方差公式展开，再运用有理数的乘法运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：图1的阴影部分的面积为，图2阴影部分的面积，两个图形中阴影部分面积相等， ∴， 故选：B； 【小问2详解】 解：∵， ∴； 【小问3详解】 解： ． 24. 如图，是等腰直角三角形，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． （1）如图，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标为______． （2）如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，问与有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图，直角边的两个端点在两坐标轴上滑动，使点在第二象限内，过点作轴于点，在滑动的过程中，为定值，求出这个定值． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，证，得出，求出，即可得出答案； （2）延长交的延长线于点，先证是等腰三角形，得出，再证，得出，即可得出结论； （3）过点作于点，先证四边形是长方形，得出，再证，得出，推出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点， 则， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 在和中， ， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， ， ， 点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：与的数量关系为：，理由如下： 如图，延长交的延长线于点， 轴平分，， 等腰三角形，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 则， 轴， 四边形是长方形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质、同角的余角相等、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $