12.6 等腰三角形 课件 2025-2026学年北京版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形与等边三角形，系统梳理性质、判定及面积公式。通过节前复习导图以层级结构和红色标注、虚线箭头连接知识，构建从等腰到等边的学习支架，帮助学生明晰前后知识脉络。 其亮点在于采用一题多设问（如例1含7问覆盖计算、证明等）和回归教材证明（三种方法证“三线合一”），结合几何直观与推理能力。通过对比表格、分步证明培养学生数学思维，助力学生系统掌握知识，教师可提升教学效率。

第十二章 三角形 　等腰三角形 2025北京数学 节前复习导图 等腰三角形 等边三角形 的性质与判定 等腰三角形 的性质与判定 性质 判定 面积公式 性质 判定 面积公式 包含 特殊 考点精讲 考点 1 等腰、等边三角形的性质与判定   图形 等腰三角形 等边三角形   图形 性质 等腰三角形 1. 两腰_______，两底角_______； （等边对______） 2. 等腰三角形的______________、______________、______________相互重合(简写成“三线合一”)； 3. 是轴对称图形，有____条对称轴 等边三角形 1. 具有等腰三角形的所有性质； 2. 三条边__________； 3. 三个角相等，且每个角都等于_______； 4. 是轴对称图形，有____条对称轴 相等 相等 等角 顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高线 1或3 相等 60° 3   图形 面积 等腰三角形 S＝ah，其中a是底边长，h是底边上的高 等边三角形 S＝ah＝________，a是等边三角形的边长，h是任意边上的高 a2   图形 判定 等腰三角形 1. 有__________相等的三角形是等腰三角形(等腰三角形的定义)； 2. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简写成“ ”) 等边三角形 1. ________都相等的三角形是等边三角形；(等边三角形的定义) 2. ________都相等的三角形是等边三角形； 3. 有一个角等于_____的等腰三角形是等边三角形 两条边 60° 等角对等边 三条边 三个角 核心考点突破 例1 在△ABC中，AB＝AC. (1)若△ABC的一个内角为80°，则∠B的大小为　　　　　　　； 50°或80° 【解法提示】当∠A＝80°时，∠B＝∠C＝＝50°； 当∠B＝∠C＝80°时，∠A＝180°－∠B－∠C＝20°. 综上所述，∠B的度数为50°或80°. 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC. (2)若AB＝4，∠BAC＝120°，则BC的值为　　　　； 【解法提示】如解图①，过点A作AM⊥BC于点M， ∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4， ∴∠BAM＝∠CAM＝∠BAC＝60°， ∴∠B＝∠C＝30°，BM＝CM， 在Rt△ACE中，∠AMB=90°，∠B＝30° AM＝AB＝2， 由勾股定理，得BM＝＝2. BC＝2BM＝4， 解图① A B C M 4 例1 在△ABC中，AB＝AC. (3)若△ABC的周长为16，一边长为6，则BC的长为　　　　； 4或6 【解法提示】当AB＝AC＝6时，∵△ABC的周长为16， ∴BC＝16－AB－AC＝4. ∵AB－AC＜BC＜AB＋AC，符合三角形三边关系， ∴BC＝4符合题意；当BC＝6时， ∵△ABC的周长为16，∴AB＋AC＝16－6＝10，∴AB＝AC＝5. ∵AB－AC＜BC＜AB＋AC，符合三角形三边关系， ∴BC＝6符合题意． 综上所述，BC的长为4或6. (4)若∠BAC＝60°，AB＝2，则△ABC的面积为　　　　； 【解法提示】如解图②，过点A作AH⊥BC于点H， ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴AH＝AB·sin B＝2×sin 60°＝. ∴S△ABC＝BC·AH＝×2×＝. 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC. 解图② (5)如图，延长BC至点D，使得CD＝AC，CE平分∠ACD交AD于点E，若AB＝5，AD＝8，则CE的长为　　　　； 图 3 例1 在△ABC中，AB＝AC. 【解法提示】∵AB＝AC，∴AC＝CD＝5， ∴△ACD是等腰三角形． ∵CE平分∠ACD， ∴CE⊥AD，AE＝DE＝AD＝4. 在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE＝＝3. (6)如图②，F是AB上一点，FG⊥BC于点G，延长GF交CA的延长线于点H，求证：△AHF为等腰三角形； 图② 证明：∵HG⊥BC， ∴∠C＋∠H＝90°，∠B＋∠BFG＝90°. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠BFG＝∠H. ∵∠HFA＝∠BFG，∴∠H＝∠HFA， ∴△AHF为等腰三角形； 例1 在△ABC中，AB＝AC.  (7)如图③，若∠C＝2∠A，BP平分∠ABC交AC于点P，求证：AP＝BC. 图③ (7)证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C. 又∵∠C＝2∠A， ∴∠ABC＋∠C＋∠A＝180°， ∴ 5∠A＝180° ∴∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°. 例1 在△ABC中，AB＝AC. ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC＝36°， ∴∠A＝∠ABP， ∴AP＝BP. ∵∠C＝72°， ∴∠BPC＝∠A＋∠ABP＝72°， ∴∠C＝∠BPC， ∴BC＝BP， ∴AP＝BC. 图③ 回归教材 (2023房山区一模)下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，选择其中一种完成证明. 等腰三角形性质定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简记为：三线合一). 方法一　已知：如图①，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC. 求证：BD＝CD，AD⊥BC. 图① 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(SAS)， ∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝×180°＝90°， ∴ AD⊥BC. 方法二　已知：如图②，△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点. 求证：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC. 图② 证明：∵点D为BC的中点， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(SSS)， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝×180°＝90°， ∴AD⊥BC. 方法三　已知：如图③，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC.求证：BD＝CD，∠BAD＝∠CAD. 图③ 证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD. 2.小明同学在学习完直角三角形之后，发现直角三角形中当一个角是30°时， 30°角的对边等于斜边的一半。你能帮小明完成证明吗？ 已知：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，           求证：BC= AB. 例2 在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边BC，AC上一点. (1)如图①，若AD是BC边上的中线，边AC的垂直平分线与AC交于点E，与AD交于点F，连接BF.若∠BAC＝50°，求∠FBD的度数；  图① ∵AB＝AC，∠BAC＝50°， ∴∠ABC＝∠AC×(180°－∠BAC)＝65°. (1)解：如图 ，连接CF， ∵AD是BC边上的中线， ∴AD垂直平分BC，且AD平分∠BAC， ∴BF＝CF，∠BAF＝∠BAC＝25°. ∵EF垂直平分线段AC， ∴AF＝CF， ∴AF＝BF， ∴∠ABF＝∠BAF＝25°， ∴∠FBD＝∠ABC－∠ABF＝65°－25°＝40°； 图① （2）如图②，点D是BC边上一点，过点D作DE⊥于E， 过点D作DF⊥AB于F , 过点C作CG⊥AB于点G， 求证：DF＋DE＝CG； 图② ②证明：如图 ，连接AD， ∵AB＝AC，， ∴△ABC是等腰三角形． ∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， ∴AB·CG＝AB·DF＋AC·DE， ∴DF＋DE＝CG. AB＝AC (3)如图③，若BE平分∠ABC，DE平分∠BEC，用等式表示线段CD，BE，CE之间的数量关系，并证明. 图③ (3)解：CD＋CE＝BE， 证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C. ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE. ∴∠C＝2∠CBE. AB＝AC ∵DE平分∠BEC，∴∠CED＝∠BED. 如图，在BE上取一点F，连接DF，使得∠FDB＝∠CBE， ∴∠DFE＝∠CBE＋∠FDB＝2∠CBE，BF＝DF， ∴∠C＝∠DFE. 在△CDE和△FDE中， ∴△CDE≌△FDE(AAS)， ∴CE＝FE，CD＝FD， ∴CD＝BF，∴CD＋CE＝BF＋FE＝BE. 图④ F