12.6 等腰三角形（等边三角形的性质与判定）（题型专练）数学北京版2024八年级上册

12.6 等腰三角形（等边三角形的性质与判定） 题型一 利用等边三角形的性质求角的度数 1．（24-25八年级上·北京·期中）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段上有一动点，分别以、为边在同方向作等边和等边，连接，交于点，连接，交于点，连接，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（） A．①②⑤ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，是等边三角形，D为边上一点，以为边作等边，连接．若，则的度数是 ． 4．（24-25八年级上·北京·期中）如图，等边三角形，为边上一点，，点在边上且，连接，交于点． (1)求的度数； (2)在线段上截取，连接交于，请你用等式表示与的数量关系，并证明． 题型二 利用等边三角形的性质求线段长度 5．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在等边中，，点D在上，点F在上，且，，，则的长为 6．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如图，在等边中，是边上的高线，且，E是的中点，如果点P在上运动，那么的最小值是 ． 7．（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，在边长为2的等边中，点，，分别是，，上的动点，则周长的最小值为 ． 8．（24-25八年级上·北京海淀·期中）等边三角形中，为直线上一动点，以为边在右侧作等边，连接， (1)如图1，在延长线上，求的度数． (2)若，则_________． 题型三 证明等边三角形 9．（21-22八年级上·北京·期末）如图，E是的平分线上一点，于C，于D，连接交于点F，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 10．（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知：如图，平分，，交的延长线于点，且．求证：是等边三角形．    11．（23-24八年级上·北京海淀·开学考试）已为，，是的三边长． (1)若，，满足．试判断的形状； (2)化简： 12．（22-23八年级上·北京·期末）如图，在中，D为边上一点，于F，延长交于E．若．    (1)求证：为等边三角形； (2)若D是的中点，求的值．   题型一 利用等边三角形的性质求最值 13．（24-25八年级上·北京·期中）如图，等边中，点D，E分别是边的中点，点是AD上的一个动点，当最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·北京·期中）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．6.5 B．7 C．8.5 D．10 15．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在等边中，点、在边上，并且满足，连接、，点为上一动点，连接、．      （1）当最短时，测量 ；（精确到） （2）若，则在点从运动到的过程中，最短时， ． 16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，已知，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度，的周长的最小值是 ．    题型二 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题 17．（24-25八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，，． (1)求证：是等边三角形； (2)过点作射线，在直线两侧，在上截取，连接，取中点，连接交于点． 依题意补全图形； 判断线段与的数量关系，并证明你的结论． 18．（20-21八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，，点为轴上一动点，以为边作等边，延长交轴于点． （1）求证：； （2）的度数是 ；（直接写出答案，不需要说明理由．） （3）当点运动时，猜想的长度是否发生变化？如不变，请求出的长度；若改变，请说明理由． 19．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． (1)若的面积为，在线段上存在点； ①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______； ②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标； (2)如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求，，的数量关系． 20．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在第一、二象限，轴于点，连接、、，且． (1)如图1，若，，，探究、之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若，，探究线段、之间的数量关系，并证明你的结论． 题型三 探究等边三角形中的折叠问题 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，和都是边长为的等边三角形，点，分别在边，上，将沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，则的长度是（   ） A．1 B． C． D． 23．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，是等边三角形，是边上的高，点在上，且，现将沿直线折叠得到，连接，则的度数是 ． 24．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点A与边中点F重合，折痕为，分别交边、边于点D、点E． ①求的度数．②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形． 纸片，，折叠该纸片，使点A落在边上的点F处，折痕为，分别交边、边于点D、点E．若，，求的长度． (3)深度探究 如图3，折叠（、为锐角）纸片，使点A落在的下方点F处，折痕分别交边、边于点D、点E，线段与分别交于点M、点N，若，点D、点F到的距离相等，求证：． 题型四 探究等边三角形中的三角板问题 25．（2020·河北保定·一模）如图，将一个三角板，绕点A按顺时针方向旋转，连接，且，则线段（　　）    A．﹣ B． C． D．1 26．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在学习了轴对称后，小华在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有角的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角中，，点E，P分别在斜边和直角边上，则的最小值是 ． 27．（2023·吉林长春·一模）两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放．将两个三角板抽象成如图②所示的△和△，点B、C、D依次在同一条直线上，连接．若，,则点A到直线的距离为 ．    28．（2024·吉林·模拟预测）如图，在中，，，．将一块直角三角板中角的顶点D放在边上移动，使角的两边分别与的边相交于点E、F，且使始终与垂直． 【感知】如图①，若点F与点C重合，则的长为__________； 【探究】如图②，若移动点D，使，求的长； 【拓展】如图③，延长交直角三角板的最短边所在的直线于点G，连接，若，则的最小值为__________． 题型五 探究等边三角形中的动态问题 29．（23-24八年级上·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． (1)若的面积为，在线段上存在点； ①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______； ②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标； (2)如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求证． 30．（24-25八年级上·北京·期中）在中，，，D点是边上一点，E为边上一点，连接，． (1)如图1，，点D为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点F，延长至P，使得，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点E为定点，，连接，点M为线段上的一个动点，且满足，当取得最小值时，直接写出的值（用和表示）． 31．（2021·北京海淀·二模）已知，，点A在边上，点P是边上一动点，．以线段为边在上方作等边，连接，再以线段为边作等边（点C、P在的同侧），作于点H．    (1)如图1，．①依题意补全图形；②求的度数； (2)如图2，当点P在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 32．（21-22八年级上·广东江门·阶段练习）如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，． (1)当　　时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 题型六 探究等边三角形中线段或角度之间的关系 33．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，已知等边，点在边上，，点是点关于直线的对称点，点在上满足，延长交于点．    (1)直接写出和的度数（用含的式子表示）； (2)探究线段、、满足的等量关系，并证明； (3)若，为中点，连接．当最短时，直接写出此时的值． 34．（20-21八年级上·江苏无锡·阶段练习）等边的两边、所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，，．当点M、N分别在直线、上移动时，探究之间的数量关系以及的周长Q与等边的周长L的关系．    (1)如图①，当点M、N在边、上，且时，之间的数量关系式为______；此时的值是______； (2)如图②，当点M、N在边、上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； (3)如图③，当点M、N分别在边、的延长线上时，若，试用含x、L的代数式表示Q．   35．（24-25八年级上·四川乐山·期末）在等边的两边所在直线上分别有两点为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． (1)如图1，当点在边上，且时，之间的数量关系是 ；此时 ； (2)如图2，点在边上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； (3)如图3，当分别在边的延长线上时，若，则 （用、表示）． 36．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图（1），点P是等边三角形内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与周长的关系．记， 的周长． (1)从特殊情形入手： ①若点P在的中心，如图（2），此时l与c的关系为________； ②若点P在的一条高上，如图（3），此时①中的结论还成立吗？请说明理由． (2)若点P不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决，请直接在图（4）中画出解决问题所需的所有辅助线． 37．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，，，，连接交于点，且． 求证：． 如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系； 如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点作，交的延长线于点，将转化为，进而转化为和之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图④，在等边中，是上的一点，过点作于点，延长至点，连接交于点，此时恰好是的中点．求证：．      【学以致用】 （3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点，，其中是的中点，连接，若，求的长． 题型七 等边三角形中的多结论问题判断正误 38．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在等边中，，点在AB上，且，点是边上一动点，，且．有下面三个结论：①为等边三角形；②点到直线的距离不变；③当时，最小．所有正确结论的序号为（   ） A．③ B．①② C．①③ D．①②③ 39．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，F为的中点，与交于点G，与交于点H，，．给出如下结论：①平分；②；③；④，其中正确结论的为（　　） A．①③④ B．②③ C．①④ D．①②③④ 40．（22-23八年级上·北京大兴·期中）如图，与都是等边三角形，和相交于点，连接下面结论中，；；不是的平分线；所有正确结论的序号是 ． 41．（22-23八年级上·北京·期末）如图，等腰中，，，于点D，点E在的延长线上，点F在线段上，且．有下面四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中所有正确结论的序号是 ． 42．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 43．（24-25八年级上·北京·期中）已知，平面内线段，点C，M，N，满足：，，，连接，D为的中点，连接、． (1)如图1，当点C在线段上时，直接写出与的位置关系． (2)如图2，当点C在线段上方时，若，求的度数． (3)线段从图2的位置出发，绕着点顺时针转到线段下方，且使线段同时落在和的内部，在运动的过程中，下列说法始终正确的有______． 平分 44．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图1，是等边三角形的边所在直线上一点，是边所在直线上一点，且与不重合，若．则称为点关于等边三角形的反称点，点称为反称中心．    在平面直角坐标系中， (1)已知等边三角形的顶点的坐标为，点在第一象限内，反称中心在直线上，反称点在直线上． ①如图2，若为边的中点，在图中作出点关于等边三角形的反称点，并直接写出点的坐标： ； ②若，求点关于等边三角形的反称点的坐标； (2)若等边三角形的顶点为，，反称中心在直线上，反称点在直线上，且，请直接写出点关于等边三角形的反称点的横坐标的取值范围： （用含的代数式表示） 45．（23-24八年级上·北京西城·期中）（1）如图①，在边长为的等边中，点为上一点，，过作，垂足为，点是线段上一动点，以为边向右作等边． （）过点作于，证明：． （）当点从点运动到点时，求点运动的路径长． （2）如图，在长方形中，，，．为上一点，且，为边上的一个动点，作顶角的等腰，连接，求的最小值．（提示：等腰直角三角形的三边长，，满足）    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.6 等腰三角形（等边三角形的性质与判定） 题型一 利用等边三角形的性质求角的度数 1．（24-25八年级上·北京·期中）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，由等边三角形和平角的性质可得，可得，得到，再将代入可求解． 【详解】解：如图， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段上有一动点，分别以、为边在同方向作等边和等边，连接，交于点，连接，交于点，连接，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（） A．①②⑤ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，平行线的判定，解本题的根据是判断出．由等边三角形的性质先判断出，，从而得出①②正确，再判断出得出③正确，再判断出，得出④错误，⑤正确． 【详解】解：等边和等边， ，，， ， ， 在和中 ， ， ，，故①②正确， 在和中 ， ， ，，故③正确 ， 是等边三角形， ， ， ；故⑤正确 是等边三角形， ， ， ．故④错误， 即：正确的有①②③⑤； 故选：B． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，是等边三角形，D为边上一点，以为边作等边，连接．若，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据证明得，从而可得结论． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·北京·期中）如图，等边三角形，为边上一点，，点在边上且，连接，交于点． (1)求的度数； (2)在线段上截取，连接交于，请你用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先根据等边三角形的性质得到，再证明出得到，再根据三角形内角和定理得到的度数； （2）在上取点使，延长作交延长线于使，证明出和，进而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：三角形为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 在上取点使， 又 ，， ， ，， ， ， 延长作交延长线于使， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， 又， ， 又，， ， ， ． 题型二 利用等边三角形的性质求线段长度 5．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在等边中，，点D在上，点F在上，且，，，则的长为 【答案】5 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理、平角定义求出， 利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）如图，在等边中，是边上的高线，且，E是的中点，如果点P在上运动，那么的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系求最值： 根据等边三角形可得，那么，即最小值为，根据面积法可得． 【详解】解：连接， ∵在等边中，是边上的高线，且，E是的中点， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，即为， ∵，， ∴， 故答案为：6． 7．（24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，在边长为2的等边中，点，，分别是，，上的动点，则周长的最小值为 ． 【答案】3 【分析】连接，作点关于，的对称点，，连接，，，分别交，于点，，连接，，此时的周长最小，最小值为的长，再根据垂线段最短，得到时，的值最小，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，作点关于，的对称点，，连接，，，分别交，于点，，连接，，此时的周长最小，最小值的长．过点A作于点． ，，， ， ， ， ∴， ∴ ， ， 最小时，的值最小， 当时，的值最小， 此时， ∴， ∴ 的最小值为3， 的周长的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决最短问题，属于中考常考题型． 8．（24-25八年级上·北京海淀·期中）等边三角形中，为直线上一动点，以为边在右侧作等边，连接， (1)如图1，在延长线上，求的度数． (2)若，则_________． 【答案】(1) (2)5或11 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）先证明，再由全等三角形的性质结合等边三角形的性质，即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，结合（1）的结论可得答案． 【详解】（1）解：与都是等边三角形， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ； （2）解：当在边上，如图： 为等边三角形， ， 由（1）得， ， 当在左侧时，如图： 同理可证， ， 综上所述，的长为5或11， 故答案为：5或11． 题型三 证明等边三角形 9．（21-22八年级上·北京·期末）如图，E是的平分线上一点，于C，于D，连接交于点F，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含直角三角形的性质； （1）求出，证明，可得，再根据等边三角形的判定得出结论； （2）根据含直角三角形的性质求出，，进而可得的长． 【详解】（1）证明：∵点E是的平分线上一点，，，垂足分别是C，D， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 10．（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知：如图，平分，，交的延长线于点，且．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定，平行线的性质是解答此题的关键． 先由得，再根据角平分线的定义得，然后根据平行线的性质得，，进而得，据此可得出结论． 【详解】证明：， ， 平分， ， ， ，， ， 是等边三角形． 11．（23-24八年级上·北京海淀·开学考试）已为，，是的三边长． (1)若，，满足．试判断的形状； (2)化简： 【答案】(1)等边三角形 (2) 【分析】（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）解：， 且， ， 为等边三角形； （2），，是的三边长， ，，， 原式 ． 【点睛】此题考查三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． 12．（22-23八年级上·北京·期末）如图，在中，D为边上一点，于F，延长交于E．若．    (1)求证：为等边三角形； (2)若D是的中点，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余求得，再根据三角形的外交性质求得，由等角对等边得，即可证明结论成立； （2）连接，由（1）得，，先由等腰三角形的三线合一得，进而根据等角对等边得，在中，根据直角三角形的性质即可得，即可求得． 【详解】（1）证明：∵于F， ∴， ∵， ∴在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：连接，如下图，    由（1）得，，， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定，等边三角形的判定，直角三角形的两锐角互余以及直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半以及三角形的外角，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 题型一 利用等边三角形的性质求最值 13．（24-25八年级上·北京·期中）如图，等边中，点D，E分别是边的中点，点是AD上的一个动点，当最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】解：等边中，点，分别是、的中点，如图，连接，与交于点， ，，， ， ， 即长就是的最小值， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 故答案为：D． 14．（24-25八年级上·北京·期中）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．6.5 B．7 C．8.5 D．10 【答案】B 【分析】作点E关于射线的对称点，连接，当点F、P、三点共线，且时，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，连接，如图，则， ， 当点F、P、三点共线，且时，的值最小，即为的长，则， ∵是等边三角形， ， 在中，， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键． 15．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在等边中，点、在边上，并且满足，连接、，点为上一动点，连接、．      （1）当最短时，测量 ；（精确到） （2）若，则在点从运动到的过程中，最短时， ． 【答案】 1 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形的外角，两点之间线段最短问题． （1）作点Q关于直线的对称点，连接，交于点N， 根据“两点之间线段最短”可知，此时最短，测量出即可； （2）连接，根据题意证明，结合点Q关于直线的对称点，证明，因此，进而证明是等边三角形，根据“两点之间线段最短”可知，要使最短，则、、三点共线，此时，又因为，即最小，过点A作于点P，此时最小，由，是等边三角形，得，再结合，，即可求出答案． 【详解】解：（1）作点Q关于直线的对称点，连接，交于点N，此时最短， 则测量； （2）连接， 在等边中，， ， ， 点Q关于直线的对称点， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 要使最短，则、、三点共线，此时， ， 即最小， 过点A作于点P，此时最小， 为等边三角形， ， ， 此时P、Q重合， ，是等边三角形， ， ， ， ， ， 最短时，， 故答案为：1． 16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，已知，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度，的周长的最小值是 ．    【答案】 【分析】分别作出点关于，两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与，的交点即为所确定的点；连接，，，由轴对称的性质得：，，，证得是等边三角形，即可得到结论． 【详解】解：①分别作点关于，的对称点，；连接，，分别交，于点、点，则此时的周长最小． 连接，，， 由轴对称的性质得：， ，， ， ， 是等边三角形， ，，， ∴， 的周长， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了轴对称最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点． 题型二 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题 17．（24-25八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，，． (1)求证：是等边三角形； (2)过点作射线，在直线两侧，在上截取，连接，取中点，连接交于点． 依题意补全图形； 判断线段与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)画图见解析； ，理由见解析． 【分析】（）由，得，又，则根据有一个角是的三角形是等边三角形的判定方法即可求证； （）根据题意画图即可； 在上截取，由等腰三角形的性质得出，又是等边三角形，通过性质及角度和差可得，，，，然后证明，再根据性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：如图， 解：，理由如下： 如图，在上截取， ∵， ∴， ∵为中点，， ∴平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了按要求画图，三角形内角和定理，全等三角的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 18．（20-21八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，，点为轴上一动点，以为边作等边，延长交轴于点． （1）求证：； （2）的度数是 ；（直接写出答案，不需要说明理由．） （3）当点运动时，猜想的长度是否发生变化？如不变，请求出的长度；若改变，请说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）不变， 【分析】（1）由题意易得△OPB≌△APC，然后根据三角形全等的性质可求证； （2）由（1）可直接进行求解； （3）由题意易得∠EAO=60°，则有∠AEO=30°，进而根据直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴AP=OP，∠APO=60°， ∵△PBC是等边三角形， ∴PB=PC，∠BPC=60°， ∵∠APB是公共角， ∴∠OPB=∠APC， ∴△OPB≌△APC（SAS）， ∴OB=AC； （2）解：由（1）可得△OPB≌△APC， ∴∠BOP=∠CAP， ∵∠BOP=60°， ∴∠CAP=60°， 故答案为60°； （3）解：不变，AE=8，理由如下： 由（2）得：∠CAP=60°， ∵∠OAP=60°， ∴∠EAO=60°， ∴∠AEO=30°， ∵， ∴OA=4， ∴AE=2OA=8． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系与图形的综合、等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握平面直角坐标系与图形的综合、等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 19．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． (1)若的面积为，在线段上存在点； ①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______； ②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标； (2)如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求，，的数量关系． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】（1）①根据三角形的面积公式得出，继而根据三角形的面积公式，得出的面积，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出，进而得出点的坐标； ②过点作轴，交轴于点，过点作于点，证明，根据全等三角形的性质即可得出； （2）先证明是等边三角形，在上取点，，根据则是等边三角形，证明，即可得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵点，点均在坐标轴上， ∴，则， ∵的面积为， ∴，则， ∴， 如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， 故答案为：；； ②如图所示，过点作轴，交轴于点，过点作于点， ∵点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， 如图所示，在上取点，， ∵， 则是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在第一、二象限，轴于点，连接、、，且． (1)如图1，若，，，探究、之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若，，探究线段、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质及其判定，全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，掌握相关性质定理，正确添加辅助线进行证明是解题关键； （1）过点作轴于，利用定理证明，从而得到 ，，然后利用等腰直角三角形的判定与性质得到，即，从而求出，的关系； （2）在轴上取一点，使得，根据含角的等腰三角形是等边三角形判定，是等边三角形，然后利用定理证明，从而得到，，然后利用含的直角三角形的性质求证． 【详解】（1）解：如图1，过点作轴于， 则 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ， ∵，则， 又 ∴ ∴ ∴ ∴． （2）如图2，在轴上取一点，使得 ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴   ∵   ∴是等边三角形 ∴   ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 题型三 探究等边三角形中的折叠问题 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系． 根据等边三角形的性质可得，再根据折叠的性质，即可得，从而得到阴影部分图形的周长为：，即可求解． 【详解】解：∵等边三角形的边长为， ∴， ∵将沿直线折叠，点A落在点处， ∴， ∴阴影部分图形的周长为： ． 故选：A 22．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，和都是边长为的等边三角形，点，分别在边，上，将沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，则的长度是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据和都是边长为的等边三角形，得到，即可得到，即可得到，利用勾股定理求出，在中，设，则，利用勾股定理求解即可 【详解】解：连接，如图， ∵和都是边长为的等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∵是边长为的等边三角形，为的中点， ∴，， 在中， ， 根据翻折变换可知， ∵，， ∴ 在中，设，则， ∴，即 解得， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，平行线的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 23．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，是等边三角形，是边上的高，点在上，且，现将沿直线折叠得到，连接，则的度数是 ． 【答案】 【分析】先由等边三角形性质得到，进而由等腰三角形三线合一性质可得，，再结合折叠性质得到，，从而由邻补角定义、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理得到，最后数形结合即可得到． 【详解】解： 是等边三角形， ， 是等边三角形，是边上的高， 由等腰三角形三线合一性质可得，， 将沿直线折叠得到， ，，， ，， 在等腰中，，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查求角度，涉及等边三角形性质、折叠性质、等腰三角形的判定与性质、邻补角定义、三角形内角和定理等知识，数形结合，准确表示出各个角度之间的关系是解决问题的关键． 24．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点A与边中点F重合，折痕为，分别交边、边于点D、点E． ①求的度数．②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形． 纸片，，折叠该纸片，使点A落在边上的点F处，折痕为，分别交边、边于点D、点E．若，，求的长度． (3)深度探究 如图3，折叠（、为锐角）纸片，使点A落在的下方点F处，折痕分别交边、边于点D、点E，线段与分别交于点M、点N，若，点D、点F到的距离相等，求证：． 【答案】(1)①；②见解析 (2)10 (3)见解析 【分析】（1）①根据等边三角形的性质结合折叠的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质，折叠的性质及角的等量代换，得到，设 ，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）作，分别交于．证明，得到，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵等边三角形，F为中点， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形． （2）解：∵， ∴， ∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则 在中，， ∴， 解得：， ∴． （3）证明：作 ，，分别交于K，G，H． ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 题型四 探究等边三角形中的三角板问题 25．（2020·河北保定·一模）如图，将一个三角板，绕点A按顺时针方向旋转，连接，且，则线段（　　）    A．﹣ B． C． D．1 【答案】A 【分析】连接，延长交于点，由旋转的性质可得，，，可得是等边三角形，可证是的垂直平分线，由勾股定理可求的值，即可求解． 【详解】解：如图，连接，延长交于点， ，， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ，，， 是等边三角形 ，且， 是的垂直平分线， ， ， ，，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，证明是的垂直平分线是本题的关键． 26．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在学习了轴对称后，小华在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有角的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角中，，点E，P分别在斜边和直角边上，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查最短路径问题及等边三角形的性质，利用轴对称将的最小值转化为线段长是解题的关键．作点B关于的对称点，过作交于点P，则的最小值为求出即可． 【详解】解：如图：作点B关于的对称点，过作交于点P， 连接， 由题意可得两块完全相同的含有的三角板可以拼成一个等边三角形， ∴， ，当点、P、E共线，且时取等号， 的最小值为， ，， ， ∴的最小值为6， 故答案为：6． 27．（2023·吉林长春·一模）两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放．将两个三角板抽象成如图②所示的△和△，点B、C、D依次在同一条直线上，连接．若，,则点A到直线的距离为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，首先根据等边三角形的性质得，，，，进而可得出，据此可依据“”判定和全等，从而得出，进而得，然后过点A作于点H，在中，利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点A作，垂足为H，    ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：． ∴点A到直线的距离为． 故答案为：． 28．（2024·吉林·模拟预测）如图，在中，，，．将一块直角三角板中角的顶点D放在边上移动，使角的两边分别与的边相交于点E、F，且使始终与垂直． 【感知】如图①，若点F与点C重合，则的长为__________； 【探究】如图②，若移动点D，使，求的长； 【拓展】如图③，延长交直角三角板的最短边所在的直线于点G，连接，若，则的最小值为__________． 【答案】【感知】；【探究】；【拓展】 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、勾股定理、含的直角三角形的性质等知识． （1）根据垂直的定义求出，根据直角三角形的性质得到，即可证明是等边三角形，根据含的直角三角形的性质求出，根据等边三角形的性质求出，从而得,进而根据勾股定理计算即可求解； （2）根据平行线的性质得到，根据含的直角三角形的性质、等边三角形的性质计算，得到答案； （3）先求出，由，得到，则，由得到当且仅当三点共线时，取得最小值，即为的长，进一步利用勾股定理和含的直角三角形的性质求出即可． 【详解】感知： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； 在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴设，则， ∴ ，解得：， ∴； 故答案为： 探究：∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴，，， ∴． 拓展：∵，． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当且仅当三点共线时，取得最小值，即为的长， 此时， ∵， ∴ ∴， 即的最小值为． 故答案为： 题型五 探究等边三角形中的动态问题 29．（23-24八年级上·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，点，点均在坐标轴上，点是轴负半轴上的一动点，连接，． (1)若的面积为，在线段上存在点； ①如图1，填空：的面积为______，点的坐标为______； ②如图2，点在轴负半轴上．连接，，若，求点坐标； (2)如图3，若，在第四象限内有一动点，连接，，，且．求证． 【答案】(1)①； ；② (2)见解析 【分析】（1）①根据三角形的面积公式得出，继而根据三角形的面积公式，得出的面积，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出，进而得出点的坐标； ②过点作轴，交轴于点，过点作于点，证明，根据全等三角形的性质即可得出 （2）先证明是等边三角形，在上取点，，根据则是等边三角形，证明，即可得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵点，点均在坐标轴上， ∴，则 ∵的面积为， ∴，则 ∴， 如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，   ， ∵ ∴ 又， ∴ ∴ ∵点，点 ∴， 故答案为：； ； ②如图所示，过点作轴，交轴于点，过点作于点， ∵点； ∴ 又 ∴， ∴ ∴， ∴ （2）∵ ∴， 又∵， ∴ ∴是等边三角形， 如图所示，在上取点，， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 30．（24-25八年级上·北京·期中）在中，，，D点是边上一点，E为边上一点，连接，． (1)如图1，，点D为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点F，延长至P，使得，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点E为定点，，连接，点M为线段上的一个动点，且满足，当取得最小值时，直接写出的值（用和表示）． 【答案】(1)6 (2)①图见详解；②，证明见详解 (3) 【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，计算，再由含角的直角三角形的性质可得，从而可得的长； （2）①依题意补全图形即可； ②先证，再证即可得到； （3）看见，考虑构造逆等线全等模型，过点A作，使，先证得到，从而将转化为，当N、D、C三点一线时，取得最小值，再利用角得和差求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴是等边三角形， ∵D为中点， ∴， ， ， ∴， ； （2）解：①补全图形如图所示． ②解：，证明如下： 连接， ，， ∴是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ， ， ∴是等边三角形， ，． ，，， ， 在和中， ， ∴， ， ； （3）解：过点A作，使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ， ∴当N、D、C三点一线时，取得最小值，如图所示， ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 31．（2021·北京海淀·二模）已知，，点A在边上，点P是边上一动点，．以线段为边在上方作等边，连接，再以线段为边作等边（点C、P在的同侧），作于点H．    (1)如图1，．①依题意补全图形；②求的度数； (2)如图2，当点P在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；②90度 (2)，见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键． （1）①根据题意，即可画出图形；②根据，可得答案； （2）连接，利用可证明，得，再得出，从而解决问题． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求；    ②∵是等边三角形， （2），证明如下： 如图，连接，    由②可知，是等边三角形， ∵是等边三角形， 在中，， 32．（21-22八年级上·广东江门·阶段练习）如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，． (1)当　　时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 【答案】(1) (2)当为或时，是直角三角形 (3)的长度不变化，为 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由题意可得，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解； （2）分两种情况：当时，当时，分别利用直角三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）过点作交的延长线于，证明，得出，，证明，得出，求出，即可得解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，设点的运动时间为，， ∴； （2）解：∵是直角三角形， ∴分两种情况：当时，如图： 则， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图： 则， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形； （3）解：的长度不变化，为， 如图，过点作交的延长线于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长度不变化，为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型六 探究等边三角形中线段或角度之间的关系 33．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，已知等边，点在边上，，点是点关于直线的对称点，点在上满足，延长交于点．    (1)直接写出和的度数（用含的式子表示）； (2)探究线段、、满足的等量关系，并证明； (3)若，为中点，连接．当最短时，直接写出此时的值． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)1 【分析】（1）利用等边三角形的性质可得，结合角的和差运算可得，再利用三角形的外角的性质可得； （2）连接，在上截取，连接．证明， 再证明，可得，，可得．再证明，可得，再结合线段的和差可得结论； （3）如图，过作于，连接，，则，证明，，求解，，结合当，重合时，最小，则最小，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，而， ∴， ∵， ∴； （2）； 证：连接，在上截取，连接． ∵点是点关于直线的对称点， ∴，． ∵， ∴， ∴，．    ∵为等边三角形， ∴，． 在与中 ∵，，， ∴， ∴，， ∴． ∵，，， ∴． 又∵， ∴ ∴， ∴． （3）如图，过作于， 连接，，则， ∵为的中点，， ∴， ∵点是点关于直线的对称点， ∴， ∵，则， ∴， 当，重合时，最小，则最小， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 34．（20-21八年级上·江苏无锡·阶段练习）等边的两边、所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，，．当点M、N分别在直线、上移动时，探究之间的数量关系以及的周长Q与等边的周长L的关系．    (1)如图①，当点M、N在边、上，且时，之间的数量关系式为______；此时的值是______； (2)如图②，当点M、N在边、上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； (3)如图③，当点M、N分别在边、的延长线上时，若，试用含x、L的代数式表示Q． 【答案】(1)， (2)（1）问的两个结论仍然成立，证明见解析 (3)，见解析 【分析】（1）先证是等边三角形，再证，然后根据特殊直角三角形的性质即可求出、、之间的数量关系； （2）在的延长线上截取，可证，可得，再证，由全等三角形的性质可得结论仍成立； （3）在上截取，连接，可证，可得，然后证得，可证，即可得出．据此计算即可求解． 【详解】（1）解：、、之间的数量关系， 此时， 理由如下：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，， ， ，， ，，， ，是等边三角形， ， ， ， ； （2）解：猜想：结论仍然成立， 证明：如图，在的延长线上截取，连接，    ，，， ， ，，， ，， ， ， ， 的周长为：， ； （3）证明：如图，在上截取，连接，    同（2）可证， ， ，， ， ， 又，， ， ， ， ． ∵等边的周长为L， ∴， 的周长 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，综合性强，难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法． 35．（24-25八年级上·四川乐山·期末）在等边的两边所在直线上分别有两点为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系． (1)如图1，当点在边上，且时，之间的数量关系是 ；此时 ； (2)如图2，点在边上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； (3)如图3，当分别在边的延长线上时，若，则 （用、表示）． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，综合性强，难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法. （1）先证是等边三角形，再证然后根据特殊直角三角形的性质即可求出、、之间的数量关系； （2）在的延长线上截取，可证，可得，再证△，由全等三角形的性质可得结论仍成立； （3）在上截取，连接，可证△，可得，然后证得∠，可证，即可得出，据此计算即可求解. 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：，； （2）（1）问的两个结论还成立； 证明：如图②，在的延长线上截取，连接， ，， ， ， ∴， ， ， ∵， ， ， 的周长为：， ； （3）如图③，在上截取，连接， 同（2）可证， ， ∴， ， ， ， 又， ， ， ， ， ∵等边的周长为， ， 的周长 ， ∴， 故答案为：． 36．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图（1），点P是等边三角形内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与周长的关系．记， 的周长． (1)从特殊情形入手： ①若点P在的中心，如图（2），此时l与c的关系为________； ②若点P在的一条高上，如图（3），此时①中的结论还成立吗？请说明理由． (2)若点P不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决，请直接在图（4）中画出解决问题所需的所有辅助线． 【答案】(1)①；②此时①中的结论仍成立，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由等边三角形中心的可得，，，由此计算即可得解；②由等边三角形的性质可得，，，证明得出，即可推出，从而即可得解； （2）过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点，由（1）可得， 由图可得四边形和四边形是矩形，由矩形的性质可得，，，证明，得出，从而可得，进一步得出，即可得解． 【详解】（1）解：①∵点在等边的中心， ∴点为三角形三条中线的交点， ∴，，， ∴； ②成立，理由如下： ∵为等边三角形，是的高， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：如图，过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点， 由（1）可得， ∵， ∴ ∴四边形是矩形，同理四边形是矩形， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 37．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，，，，连接交于点，且． 求证：． 如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系； 如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点作，交的延长线于点，将转化为，进而转化为和之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图④，在等边中，是上的一点，过点作于点，延长至点，连接交于点，此时恰好是的中点．求证：．      【学以致用】 （3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点，，其中是的中点，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）分别根据平行线的性质以及全等三角形的判定与性质即可证明结论； （2）过D作，则，先说明是等边三角形，再结合三线合一的性质可得，再证明得到即可证明结论； （3）过A作交于G，连接，先证明可得，再证明可得，然后证明 可得，即是直角三角形；由勾股定理可得，再根据题意可得，进而完成解答． 【详解】解：（1）证明：①如图①：选择丞丞同学的解题思路： ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②选择霖霖同学的解题思路： 如图②：同①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图④：过D作，则， ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴，即， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴． （3）如图⑤：过A作交于G，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， ∵，， ∴，即， ∴，即． 题型七 等边三角形中的多结论问题判断正误 38．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在等边中，，点在AB上，且，点是边上一动点，，且．有下面三个结论：①为等边三角形；②点到直线的距离不变；③当时，最小．所有正确结论的序号为（   ） A．③ B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】由旋转的性质得出，由等边三角形的判定可得出结论；在上取点，使，连接，，证明是等边三角形，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，证出点在过点且平行于直线的直线上，过点作于点，因为为定点，当点与点重合时，最小，由②得是等边三角形，，此时与M重合，，故③是错误的．本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： 将线段绕点逆时针旋转得到线段，且． ， 又， 是等边三角形， 故①是正确的； 在上取点，使，连接，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点在过点且平行于直线的直线上， 即根据平行线之间距离相等，点到直线的距离不变； 故②是正确的； 过点作于点， 为定点， 当点与点重合时，最小， 由②得是等边三角形， 此时与M重合， ， 故③是错误的； 故选：B． 39．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，F为的中点，与交于点G，与交于点H，，．给出如下结论：①平分；②；③；④，其中正确结论的为（　　） A．①③④ B．②③ C．①④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据已知先判断，则，可判断①，结合含角的直角三角形的性质和中点的定义可判断④，由等边三角形的性质得出，接着证得，则，再由，得出四边形为平行四边形而不是菱形，即有不成立，根据平行四边形的性质得出，即可判断②③，从而得到答案． 【详解】解：、是等边三角形， ，，， ， ，， 为的中点， ， ， 即在与中， ， ， ，， ∴，即平分， 故①正确， 由①知，． ∵． ∴，即． ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵，， ∴，故④正确； ∵，， ，， ， ， 由①知，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，，， ∴， ∴四边形不是菱形， ∴不成立，故②说法不正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， 则，故③说法正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解决本题需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择． 40．（22-23八年级上·北京大兴·期中）如图，与都是等边三角形，和相交于点，连接下面结论中，；；不是的平分线；所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明是解本题的关键． 由“”可证，可得；由全等三角形的性质可得，由外角的性质和三角形内角和定理可得；由全等三角形的性质可得，由三角形面积公式可得，由角平分线的性质可得平分；由全等三角形的性质可得，由“”可证，由全等三角形的性质得出，证明是等边三角形，可得，可得，即可求解． 【详解】解：∵与都是等边三角形， ∴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， ∵， ∴，故正确； 如图，过点A作，， ∵， ∴， ∵，， ∴平分，故错误； 如图，在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 41．（22-23八年级上·北京·期末）如图，等腰中，，，于点D，点E在的延长线上，点F在线段上，且．有下面四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据等边对等角，求出的度数，即可判断①；易证，，即可判断②；连接，先根据三角形的内角和求出，再证明，可得出，求出，即可判断③； 根据三角形三边之间的关系，即可判断④． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ②∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴ 与不全等， 故②不正确； ③连接， ∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可得 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； 故③正确； ④由③可知，是等边三角形； ∴， 在中，， ∴， 故④不正确； 综上：正确的有①③； 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了等腰三角的性质，三角形的内角和，等边三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握相关内容并灵活运用是解题的关键． 42．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得； （2）由，，且，证明，而，，可证明，得，，可推导出，则是等边三角形； （3）由等腰直角三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得，，而，，所以，可证明，得，，推导出，因为，点是的中点，所以，则 ，所以，． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； （2）证明：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （3）解：∵与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， ∵，且点也是的中点， ∴， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴， ∴的面积为． 【点睛】此题是三角形综合题，重点考查等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，证明是解题的关键． 43．（24-25八年级上·北京·期中）已知，平面内线段，点C，M，N，满足：，，，连接，D为的中点，连接、． (1)如图1，当点C在线段上时，直接写出与的位置关系． (2)如图2，当点C在线段上方时，若，求的度数． (3)线段从图2的位置出发，绕着点顺时针转到线段下方，且使线段同时落在和的内部，在运动的过程中，下列说法始终正确的有______． 平分 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长交延长线于点，由同旁内角互补两直线平行可得，由两直线平行内错角相等可得，利用可证得，于是可得，，即为中点，利用等式的性质可推出，由三线合一即可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，，利用可证得，于是可得，，利用多边形内角和问题及三角形的内角和定理可推出，进而利用可证得，于是可得，，又可证得为等边三角形，于是有，进而可得，于是得解； （3）延长至点，使得，连接，，利用可证得，于是可得，，，利用多边形内角和问题及三角形的内角和定理可推出，进而利用可证得，于是可得，，由等边对等角可得，由三线合一可得，故说法正确；由三线合一可知，平分，而，故说法错误；由各三角形之间的面积关系可得，故说法错误；由各角之间的和差关系可得，故说法正确；综合以上，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，延长交延长线于点， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 为中点， ，， ， 即：， 为等腰三角形， 又为中点， ； （2）解：如图，延长至点，使得，连接，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ； （3）解：如图，延长至点，使得，连接，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰三角形，， 又， ， 故说法正确； 由三线合一可知，平分， 而， 故说法错误； ， ， ， ， 故说法错误； ， 故说法正确； 综上，在运动的过程中，上述说法始终正确的有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同旁内角互补两直线平行，两直线平行内错角相等，全等三角形的判定与性质（和），等式的性质，三线合一，多边形内角和问题，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 44．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图1，是等边三角形的边所在直线上一点，是边所在直线上一点，且与不重合，若．则称为点关于等边三角形的反称点，点称为反称中心．    在平面直角坐标系中， (1)已知等边三角形的顶点的坐标为，点在第一象限内，反称中心在直线上，反称点在直线上． ①如图2，若为边的中点，在图中作出点关于等边三角形的反称点，并直接写出点的坐标： ； ②若，求点关于等边三角形的反称点的坐标； (2)若等边三角形的顶点为，，反称中心在直线上，反称点在直线上，且，请直接写出点关于等边三角形的反称点的横坐标的取值范围： （用含的代数式表示） 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①过点作，垂足为，根据等边三角形的性质可得，，即可求，即可求点坐标； ②分点与坐标原点重合或点在边的延长线上两种情况讨论，根据反称点定义可求点的坐标； （2）分点在的延长线上或在的延长线上，根据含角直角三角形的性质，可求的值，即可求点的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：①如图2，过点作，垂足为，   ， ， ∵点的坐标为， ， ∵点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点坐标， 故答案为：； ②∵等边三角形的两个顶点为，， ， ． 是等边三角形的边所在直线上一点，且， ∴点与坐标原点重合或点在边的延长线上， 如图4，若点与坐标原点重合，   ， ． 是边所在直线上一点，且与不重合， 点坐标为， 如图4，若点在边的延长线上，     ， ． 为等边三角形， ． ． ． ， ∴点与点重合． 这与题目条件中的与不重合矛盾，故这种情况不合题意， 综上所述：； （2）解：，， ， ， ， ∴点在的延长线上或在的延长线上， 如图点在的延长线上，过点作，过点作，   ，， ，， ， ， ， ， ， 点的坐标为， ， 如图点在的延长线上，过点作，    同理可求：点的横坐标的取值范围：， 综上所述：点的横坐标的取值范围：或， 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，坐标与图形，含角直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 45．（23-24八年级上·北京西城·期中）（1）如图①，在边长为的等边中，点为上一点，，过作，垂足为，点是线段上一动点，以为边向右作等边． （）过点作于，证明：． （）当点从点运动到点时，求点运动的路径长． （2）如图，在长方形中，，，．为上一点，且，为边上的一个动点，作顶角的等腰，连接，求的最小值．（提示：等腰直角三角形的三边长，，满足）    【答案】（1）（i）见解析；（ii）点F运动的路径长为4；（2）． 【分析】（1）（i）证明，可得；（）以为一边向右作等边三角形，连接，以为一边向右作等边三角形，连接，证明，则，，再说明，且，则点在线段上运动，即可求出点运动的路径长为； （2）将线段绕点顺时针旋转到，作射线，连接交于点，证明，得，说明点在以点为端点且与平行的射线上运动，当时，线段最短，求出此时的长即可． 【详解】（1）（i）证明： ∵，， ∴， ∵是边长为5等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图①乙，以为一边向右作等边三角形，即，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴连接，以为一边向右作等边三角形，连接， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 由（）得， ∴， ∵，且， ∴点在线段上运动， ∵当点与点重合时，则点与点重合；当点与点重合时，点与点重合， ∴点运动的路径长为． （2）如图②，将线段绕点E顺时针旋转到，作射线，连接交于点K，    ∵作顶角的等腰， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点G在以点L为端点且与平行的射线上运动， ∴当时，线段最短， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、直角三角形的判定、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$