河北省唐山市第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

唐山市第一中学2025-2026学年第一学期12月月考试卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 的展开式中常数项是，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 函数的图象的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 5. 已知O为坐标原点，过双曲线C：（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10 m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ） A. B. C. D. 7. 设数列的前项和为，，且，则的最小值为（ ） A. B. 14 C. 9 D. 8 8. 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，且，则（ ） A. B. C. 在上恰有4个零点 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 10. 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 11. 正方体的棱长为2，线段上有两个动点E、F，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等 D. 点P是平面内一点，若，则点P的轨迹长度是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且与平行，则______. 13. 的展开式中的系数是240，则实数的值为__________. 14. 甲乙丙丁四人打循环赛，每两人之间都有一场比赛．已知乙丙丁三人胜率完全相同，而甲水平较高，面对三人时的胜率均为，每场比赛胜者得一分，败者得零分，总分最高或同为最高者并列冠军．问：甲拿到冠军的概率是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高校为了解学生在一周内参与志愿服务的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参与志愿服务的次数，现随机抽取了50名同学，统计在某一周参与志愿服务的数据，结果如下表： 一周参与志愿服务次数 1 2 3 4 5 6 合计 男生人数 4 6 6 4 3 2 25 女生人数 1 1 3 5 9 6 25 合计 5 7 9 9 12 8 50 （1）若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”，其余的称为“一般参与”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系； 性别 志愿服务 合计 一般参与 积极参与 男生 女生 合计 （2）若将一周参与志愿服务达到6次的同学称为“最美志愿者”，在样本的8名“最美志愿者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 记 为数列 的前 项和. 已知 . （1）证明: 是等差数列； （2）若 为 和 的等比中项，求 的最大值. 17. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的动点，且. （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的余弦值. 18. 已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆Γ的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）不重合的两直线，过点且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，，不与坐标轴平行或重合，并满足． ①试判断两直线，的斜率关系并写出证明过程； ②若两直线，的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点． 19. 已知函数（）. （1）讨论的单调性； （2）设的导函数为，若有两个不相同的零点，. ①求实数的取值范围； ②证明：. 唐山市第一中学2025-2026学年第一学期12月月考试卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） 性别 志愿服务 合计 一般参与 积极参与 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系 （2） Y 0 1 2 P 期望为 【16题答案】 【答案】（1）， ， ， 化简得: ， ，， 是以公差为的等差数列. （2） 【17题答案】 【答案】（1）以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图所示）. 设，则. 所以， 又∵，∴. （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）①斜率之积为1或 ，证明如下； 与斜率存在且不为零，不妨设的方程为， 联立，消去y，可得， 设 ， ，分别为的斜率，则， ， 所以， 在的表达式中用“”代换“”可得， 所以，则， 所以，得， 所以或． ②由①，M是AB中点，则， ，即， 将代换为，则， 法1：直线MN为， 即，则直线MN恒过定点得证． 法2：记定点为点T，则，MN过定点得证. 【19题答案】 【答案】（1）若，在为增函数；若，在上为增函数；在上为减函数． （2）①； ②证明：易知， 不妨设，由①知． 要证，即证． 因为在上为减函数， 所以只要证． 又，即证． 设函数． 所以，所以在为增函数. 所以，所以成立． 从而成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $