精品解析：甘肃省武威市天祝藏族自治县第一中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

2025~2026学年度第一学期期末考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号;回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：湘教版选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（ ） A. 7 B. 12 C. 81 D. 64 2. 数列，则该数列的第n项为（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 90 C. D. 30 5. 以为圆心，且过点的圆的标准方程为（ ） A B. C. D. 6. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知圆C：，定点，点A为圆C上任意一点，若点P满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在等比数列{}中，，则{}的公比可能为（ ） A. B. C. 2 D. 4 10. 以下四个命题表述正确是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与互相垂直，则实数 C. 已知直线与平行，则或 D. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为或 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为C的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 双曲线C的渐近线方程为 C. 过点M且与双曲线C只有一个公共点的直线有1条 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点且斜率为的直线一般式方程为______． 13. 双曲线的离心率为_________. 14. 已知数列满足，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，过F的直线l与C交于A，B两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线l的倾斜角为，求. 16. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于M，N两点，且，求的值． 17. 已知等差数列的首项为5，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 已知公比为的等比数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 19. 已知椭圆：左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当直线过的左焦点时，． （1）求的标准方程； （2）若为坐标原点，面积为，求直线的方程； （3）记直线与直线的交点为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号;回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：湘教版选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（ ） A. 7 B. 12 C. 81 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座， 即每人去听一个讲座共有种选择，则三人各选一个讲座种数为． 故选：D． 2. 数列，则该数列的第n项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过数列的规律总结出数列的第n项即可 【详解】设该数列为， 则 以此类推可得， 故选：D 3. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化椭圆的方程为，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】由椭圆化为标准方程为， 可得，则，可得，且焦点在轴上， 所以椭圆的焦点坐标为. 故选：C. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 90 C. D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得展开式的通项，确定的值，代入即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 令，可得的系数为. 故选：C. 5. 以为圆心，且过点的圆的标准方程为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆心和过点求出半径，再利用圆的标准方程即可得解. 【详解】由题可知，，所以圆的半径， 又以为圆心，所以圆的标准方程为：， 故选：D． 6. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据两平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】因为，即， 所以与之间的距离为， 故选：A 7. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】抛物线，其准线方程为：，因为，且点在上， 由抛物线定义可知，点到直线的距离为3， 因为与平行，且距离为2，所以点到直线的距离为5. 故选：C 8. 已知圆C：，定点，点A为圆C上任意一点，若点P满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将点轨迹方程表示出来，即以为圆心，为半径的圆，再根据圆外一点到圆上点的距离范围求解即可. 【详解】设，，由得：， 即，解得：，即， 又因为点A为圆C上任意一点，所以， 化简整理得：．故点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆， C点坐标， 而的取值范围为，经计算易知. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在等比数列{}中，，则{}的公比可能为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比数列的通项即可求解. 【详解】因为在等比数列{}中，， 设等比数列的公比为，则，所以， 故选：. 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与互相垂直，则实数 C. 已知直线与平行，则或 D. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为或 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，求出各直线的斜率，依次判断各选项的正误. 【详解】对A，直线恒过定点，所以A错误； 对B，若，则，解得，所以B正确； 对C，若，则有，即，解得或， 当时，，，所以符合题意， 当时，，所以符合题意，所以C正确； 对D，当直线过原点时，方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为：，又因为过点，所以，解得，所以直线方程为，所以D正确. 故选：BCD 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为C的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 双曲线C渐近线方程为 C. 过点M且与双曲线C只有一个公共点的直线有1条 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据双曲线定义分析判断；对于B：根据双曲线方程求得，即可求解渐近线方程；对于C：根据直线与双曲线的位置关系以及渐近线的性质分析判断；对于D：可知在双曲线的渐近线上方，结合双曲线定义分析判断. 【详解】由双曲线C的方程可知：，且焦点在x轴上， 则，双曲线的渐近线方程为，故B正确； 对于选项A：由双曲线的定义可得，故A正确； 对于选项C：当过M的直线与双曲线相切时，有两条直线与双曲线只有一个公共点； 当过M的直线与渐近线平行时，也有两条直线与双曲线只有一个公共点， 所以过M点且与双曲线只有一个公共点的直线有4条，故C错误； 对于选项D：由选项A可得：， 因为在双曲线的渐近线上方， 则， 当且仅当M，P，三点共线时，取得等号，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点且斜率为的直线一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意写出直线的点斜式方程，化简即可得解． 【详解】由直线的点斜式方程，可得，整理得. 故答案为：. 13. 双曲线离心率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 【详解】由题意可知该双曲线的离心率为. 故答案为： 14. 已知数列满足，，则______． 【答案】70 【解析】 【分析】利用累加法，结合等差数列求和即可得到通项，从而可求解. 【详解】因为，所以， 累加可得： ， 则． 故答案为：70 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，过F的直线l与C交于A，B两点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线l的倾斜角为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线性质求解即可； （2）由已知得出直线方程，联立直线与抛物线，由韦达定理结合抛物线焦半径公式求解. 【小问1详解】 由抛物线的性质知，，故抛物线； 【小问2详解】 由直线l的倾斜角为，则斜率为，直线方程为， 设， 联立，整理得， 则，，故 16. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于M，N两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到，解之即可； （2）利用弦长公式求得，进而得到，易得的值. 【小问1详解】 方程可化为， ∵此方程表示圆， ∴，即，即. 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 由弦长公式及，得，解得， ∴，得． 17. 已知等差数列首项为5，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可求出等差数列的公差，即可求得答案； （2）结合（1）的结果可得的表达式，利用错位相减法求和，即可得答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，由，， 得，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 所以两式相减得 ， 所以． 18. 已知公比为的等比数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由基本量法求出，然后求出通项公式即可. （2）先求出，然后再裂项，最后求和. 【小问1详解】 由，有，① 又由，有，② ①②得， 整理，解得或， 由，可得， 可得数列的通项公式为； 【小问2详解】 由， 有， 所以 ． 19. 已知椭圆：的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当直线过的左焦点时，． （1）求的标准方程； （2）若为坐标原点，的面积为，求直线的方程； （3）记直线与直线的交点为，求的最小值． 【答案】（1） （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件得到关于的等量关系，再结合的关系进行求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系将的面积表示出来，结合的面积为，求出直线的斜率，即可得到直线的方程； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用，，在同一条直线上得到，利用，，在同一条直线上，所以，结合根与系数的关系得到，即，所以点在直线上，即可求出的最小值． 【小问1详解】 由题意知， 解得，，， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意知直线的方程为，设，， 由，得， 所以，解得， 所以，， 所以， 又点到直线的距离， 所以的面积， 解得或，所以或或或， 所以直线的方程为或或或； 【小问3详解】 由题意知直线的方程为，设，， 由，得， 所以，解得， 所以，， 设，因为，，在同一条直线上，所以， 又，，在同一条直线上，所以， 所以， 所以，所以点在直线上， 所以． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $