精品解析：山东省日照市曲阜师范大学附属中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年度第一学期单元检测 九年级数学试题 分值：120分；时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，判断四条线段是否成比例，求出最小数与最大数的乘积及中间两个数的乘积，若乘积相等则四条线段成比例，反之不成比例，据此判断即可求解，掌握比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段成比例，该选项符合题意； 故选：． 2. 如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握比例的运算，平行线分线段成比例的知识是解题的关键． 3. 下列各组条件中，一定能推得与相似的是（ ） A. 且 B. ∠A＝∠B且； C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案． 【详解】解：如图， A、和是同一个三角形的内角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； B、不是两个三角形对应相等的角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误； C、由可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可以判断出与相似，故此选项正确； D、且，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误； 故选：C． 4. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可. 【详解】因为⊙O的直径为分米，则半径为分米，⊙O的面积为平方分米； 正方形的边长为分米，面积为1平方分米； 因为豆子落在圆内每一个地方是均等的， 所以P（豆子落在正方形ABCD内）． 故答案为A． 【点睛】此题主要考查几何概率的意义：一般地，如果试验的基本事件为m，随机事件A所包含的基本事件数为n，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）=，熟记概率公式是解题的关键． 5. 对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（　　） A. 函数图象位于第一、三象限 B. 若，，是图象上三个点，则 C. 函数值y随x的增大而增大 D. P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数的性质是解决本题的关键． 根据可判断该函数所在象限，由此可判断A选项；根据反比例函数的增减性可判断BC选项，设出点P坐标，由三角形面积公式即可求解面积为定值． 【详解】解：A选项，∵， ∴可知函数图象位于第一、三象限，故该选项正确； C选项，∵该函数图象位于第一、三象限， ∴在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，故该选项错误； B选项，∵该函数在每个象限内，函数值y随x的增大而减小， 又∵，则， 又∵，则， ∴，故该选项正确； D选项，设点P的坐标为函数， ∴，是定值，故该选项正确．   故选：C ． 6. 如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①，②，③，其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，设正方形的边长为，则，据此得到，再由，可证明，得到，，进而证明，则可证明得到，，由勾股定理得到，则，可得，，可得，据此可得答案． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵点是的中点，， ∴， ∴， 由正方形的性质可得， ∴，故①正确； ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，故②正确； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， 故选：D． 7. 在中，是高，矩形的顶点P、N分别在、上，在边上，若，，且，则矩形的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质确定平行线，证明，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， 设， 则． ∴， 解得． ∴矩形的周长为， 故选：A． 8. 一种燕尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，图3是其在打开状态时的示意图（数据如图，单位：），则从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由题意得，， ， ， ， ， 点，之间的距离减少了， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数的图象上，过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，与交于点P，函数的图象过点P．连接，若图中的阴影面积为7，则k的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是利用反比例函数的几何意义表示出阴影部分的面积．过点作轴，过点作轴，用四边形、四边形、四边形、和的面积结合反比例函数的几何意义表示阴影部分的面积，再求的值； 【详解】解：过点作轴，过点作轴， 点A，B在函数的图象上，点在函数的图象上， 则，，， 阴影部分的面积为， ， ； 故选． 10. 在如图的正方形网格图中，、、、都是格点，、相交于点，则的比值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键，设小正方形的边长为，由相似三角形的判定和性质可求，的长，通过证明，可得，可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于，过点作于，设与的交点为，与交于点，小正方形的边长为1， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 二、填空题 11. 若，则=____ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，引入未知数是解题的关键． 首先设，即可根据比例的性质得到，，进而代入即可求解． 【详解】解：设， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 已知函数是反比例函数，则m的值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，关键是将一般式转化为的形式．根据反比例函数的定义，即，只需令且即可． 【详解】解：根据题意， ， 又，， 所以． 故答案为：． 13. 如图，反比例函数经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为，面积为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握菱形的性质，正确求出点坐标是解题关键．过点作轴于，根据菱形的性质，结合菱形周长和面积得出，，利用勾股定理求出，即可得出，得出，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得答案． 【详解】解：如图，过点作轴于， ∵该菱形的周长为，面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过菱形的顶点， ∴， ∴． 故答案为： 14. 如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过______秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】秒或秒 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．设在开始运动后第秒，与相似，由题意表示出，，，分两种情况考虑：当，时，；当，时，，分别由相似得比例，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果． 【详解】解：设在开始运动后第秒，与相似， 由题意得：cm，cm，cm， 分两种情况考虑： 当，时，； ， 即， 解得：， 当秒时，与相似； 当，时，， ∴，即， 解得：， 当秒时，与相似， 综上，当秒或2秒时，与相似． 故答案为：秒或秒 15. 如图，和都是等腰直角三角形，，点是正半轴上一点，点是反比例函数的图象上一点，点是上一点，与该反比例函数的图象交于点．与的面积之差________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，数形结合，熟练掌握反比例函数的性质，设参数求解是解题的关键． 设点，点A的坐标为，则，得出，，根据得出m、n的关系，得出，表示出，，再求出结果即可． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴轴，， ∴点A的横纵坐标相同， 设点A的坐标为，点，则， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ， ∴ ． 故答案为：8． 三：解答题 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点） （1）以点为位似中心，将放大到原来的倍，则点的对应点的坐标为________，并在第四象限内画出​； （2）________ 【答案】（1） 或，在第四象限内画​如下： （2） 【解析】 【分析】（）根据位似变换的性质解答即可求解； （）根据位似图形和相似图形的性质解答即可求解； 本题考查了位似变换，画位似图形，相似三角形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵以点为位似中心，将放大到原来的倍， ∴点的对应点的坐标为或，即或， 如图所示，即为所求， 故答案为：或， 【小问2详解】 解：∵和关于原点位似，位似比为， ∴，且相似比为， ∴， 故答案为：． 17. 锐锐参加市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用（使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项） （1）如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是__________. （2）如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是__________. （3）如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用画树状图或者列表的方法来分析他顺利通关的概率. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，第一道肯定能对，第二道对的概率为，即可得出结果； （2）由题意得出第一道题对的概率为，第二道题对的概率为，即可得出结果； （3）用树状图得出共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，即可得出结果． 【详解】（1）第一道肯定能对，第二道对的概率为， 所以锐锐通关的概率为； （2）锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为，第二道题对的概率为，所以锐锐能通关的概率为×＝； （3）锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A，B表示剩下的第一道单选题的2个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示： 共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况， ∴锐锐顺利通关的概率为. 18. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，求树的高度． 【答案】树的高度为11.8米. 【解析】 【分析】设树高为h米，根据题意树的高度减去台阶的高所形成的影子长为4.4+0.2（米），然后根据在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，列出方程，求解即可. 【详解】设树高为h米， 由题意得， 则0.4(h－0.3)＝4.6， 解得：h＝11.8（米）. 答：树的高度为11.8米. 【点睛】利用影长测量物体的高度，其原理为：测量不能到达顶部物体的高度，通常利用相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高和影长的比相等”的原理解决. 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，且过点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求不等式的解集； （3）如果点是轴上的一点，且的面积是，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为； （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用（表达式求解、不等式解集、三角形面积计算），熟练掌握函数图象的交点与函数表达式的关系、利用图象解不等式、三角形面积的坐标计算方法是解题的关键． （1）将点代入反比例函数求，再用点横坐标求，最后将、代入一次函数求、； （2）根据函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时的范围； （3）先求一次函数与轴交点，设坐标，利用三角形面积公式列方程求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴反比例函数表达式为， 把代入，得， ∴， 把、代入得 ， 解得，， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵由图象可知，当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，，， ∴不等式的解集为； 【小问3详解】 解：设一次函数与轴交点为，令，得， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， ， ， 当时，； 当时，． 点的坐标为或． 20. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是直线的一部分；当时，图象是反比例函数图象的一部分． （1）第分钟的注意力指标值为___________； （2）求y与x之间的函数关系式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 能，理由如下： 当时，，解得， ，解得， 即当时，学生的注意力指标都不低于36， （分钟） ， 张老师能确保学生在听这道题的讲解时注意力指标都不低于36． 【解析】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的应用和待定系数法求函数解析式，正确理解函数图象是解题的关键． （1）根据图象，当时间为分钟时，指标为； （2）用待定系数法分别求出当，和的函数表达式； （3）当时，求出对应的值，再计算注意力指标不低于36的时间与17分钟比较即可求解． 【小问1详解】 解：根据图象可得，当时，， 故答案为； 【小问2详解】 根据图象可得，，， 当时，设反比例函数解析式为， 过， ，解得， 反比例函数解析式为， 当时，， ，则， 当时，段函数解析式为， 当，设段函数解析式为， 过，， ，解得， 段函数解析式为， 综上：y与x之间的函数关系式为； 【小问3详解】 略 21. 如图，内接于，是的直径，过点C作的切线交的延长线于点D，于点E，的延长线交于F，交于点G，． （1）求证：； （2）判断与是否相似，并说明理由； （3）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是⊙O的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （2） ，理由如下： ∵是的直径，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径，是的切线， ∴ 则 即 ∵， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质可得，由，可证，可得； （2）由是的直径，可知，又因为，可知，再结合圆周角定理以及切线的性质得，再证明，即可求出答案； （3）先证明为等边三角形，结合勾股定理算出，运用面积公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得， ∵， ∴， ∵ ∴为等边三角形， ∴， 则， ∴的面积． 【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为 ． （1）求的值和直线的解析式； （2）求的面积 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数、一次函数与几何的综合、待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式． (1)把点的坐标代入即可求出的值；用待定系数法求出直线的解析式； (2)利用反比例函数的解析式求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，延长交轴于点，连接，根据直线的解析式求出点的坐标，即可得到的长度，根据即可求出结果，其中的高是点的纵坐标，的高是点的纵坐标． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过线段的端点， ， 解得：， 设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是； 【小问2详解】 解：如下图所示，延长交轴于点，连接， 由(1)可知反比例函数的解析式是， 当时，可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 点的坐标是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期单元检测 九年级数学试题 分值：120分；时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组条件中，一定能推得与相似的是（ ） A. 且 B. ∠A＝∠B且； C. 且 D. 且 4. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（　　） A. 函数图象位于第一、三象限 B. 若，，是图象上三个点，则 C. 函数值y随x的增大而增大 D. P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值 6. 如图，在正方形中，点是的中点，点是上的一点，且，连接、、，下列结论：①，②，③，其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 7. 在中，是高，矩形的顶点P、N分别在、上，在边上，若，，且，则矩形的周长为（　　） A. B. C. D. 8. 一种燕尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，图3是其在打开状态时的示意图（数据如图，单位：），则从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数的图象上，过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，与交于点P，函数的图象过点P．连接，若图中的阴影面积为7，则k的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 在如图的正方形网格图中，、、、都是格点，、相交于点，则的比值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若，则=____ 12. 已知函数是反比例函数，则m的值为__________ 13. 如图，反比例函数经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为，面积为，则的值为________． 14. 如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过______秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 15. 如图，和都是等腰直角三角形，，点是正半轴上一点，点是反比例函数的图象上一点，点是上一点，与该反比例函数的图象交于点．与的面积之差________． 三：解答题 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点） （1）以点为位似中心，将放大到原来的倍，则点的对应点的坐标为________，并在第四象限内画出​； （2）________ 17. 锐锐参加市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用（使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项） （1）如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是__________. （2）如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是__________. （3）如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用画树状图或者列表的方法来分析他顺利通关的概率. 18. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，求树的高度． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，且过点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求不等式的解集； （3）如果点是轴上的一点，且的面积是，求点的坐标． 20. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是直线的一部分；当时，图象是反比例函数图象的一部分． （1）第分钟的注意力指标值为___________； （2）求y与x之间的函数关系式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由． 21. 如图，内接于，是的直径，过点C作的切线交的延长线于点D，于点E，的延长线交于F，交于点G，． （1）求证：； （2）判断与是否相似，并说明理由； （3）若，求的面积． 22. 如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为 ． （1）求的值和直线的解析式； （2）求的面积 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $