专题05 数据的分析（期末复习讲义+9重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材青岛版

专题05 数据的分析（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平均数 题型02 加权平均数 题型03 中位数 题型04 众数 题型05 选择合适的统计量 题型06 四分位数 题型07 方差 题型08 箱线图 题型09 数据的分析综合解答题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平均数 掌握加权平均数的计算，理解“权”的实际意义。 多以选择题、填空题形式出现，分值约3—4分。 中位数与众数 理解各自适用场景，不受极端值影响的特性。 综合题的一个小问，或考察应用合适的统计量进行分析，并作出决策，3-5分。 四分位数与箱线图 四分位数：会求第25、50、75百分位数。 箱线图：能识别图中最小值、四分位数、中位数、最大值及异常值。 重点考查概念理解，如“根据箱线图判断说法正误”，约3-4分。 方差、标准差 方差：掌握公式，方差越大数据波动越大；能用方差评估稳定性。组内离差平方和：理解分组数据中反映组内差异的指标。 考查概念理解，如“已知方差判断稳定性”，约3-4分。 知识点01 平均数 1.算术平均数 1）算术平均数：一般地，有n个数x1，x2，…，xn，那么=.简称平均数. 算术平均数反映了这一组数据的集中趋势，表示了这组数据的平均水平. 注：当任一数据变化时，都会影响算术平均数. 2）结论：若=；=. 则：①x1±y1，x2±y2，…，xn±yn的平均数为±；②x1，y1，x2，y2…，xn，yn的平均数为（+）. ③ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b. ∵ax1，ax2，…，axn的平均数为a； ∴x1+b，x2+b，…，xn+b的平均数为+b. 2.加权平均数 加权平均数：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是ω1，ω2，…，ωn，则叫做这n个数的加权平均数．前面求算术平均数，是将每个数据认为同等重要，即每个数据的权重都是1. 注意：计算平均数时注意分辨是算术平均数还是加权平均数，两者计算方法有差异，不能混淆. 知识点02 中位数与众数 1.中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，如果数据是奇数个，则处于中间的数为中位数；若数据是偶数个，则中间两个数据的平均数为中位数. 注：①所有数据需排列（从大到小或从小到大）；②中位数有可能不是这组数据中的数；③中位数反映了中间水平. 2.众数：一组数据中出现次数最多的数据. 注：①众数不一定唯一；②众数反映了一组数据中的趋势量，即数据出现频次最高的量. 知识点03 四分位数与箱线图 1.在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，记为m25，m50，m75，统称四分位数。它们把一组数据分为个数相等的四部分。 2.用一组数据中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值来反映数据分布的中心位置和散布范围的统计图。画法为先找出这5个值，用横线对应，连接下四分位数和上四分位数画出“箱体”，再将最小值和最大值与“箱体”相连，中位数在“箱体”中间。箱线图可粗略观察数据是否对称，不受异常值影响。 知识点04 方差、标准差 1.方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.通常用“”表示，即 结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2. 方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定. 2.标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 题型一 平均数 答｜题｜模｜板 已知一样本数据，4，5，5，6，m的平均数为5，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 解：数据，4，5，5，6，m的平均数为5， ，解得， 则数的值为． 【典例1】．已知n个数据的和为108，平均数为12，则n为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用平均数的计算公式直接计算即可求解． 【详解】解：∵n个数据的和为108，平均数为12， ∴． 【变式1】．已知一组数据：3，4，5，x，7，若这组数据的平均数是5，则x的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：由题意可得： 解得. 【变式2】.黄河流域某河段年均流量变化数据，若一组数据28，32，30，x，34的平均数为31，则x的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】D 【分析】根据平均数计算公式列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得 解得． 题型二 加权平均数 答｜题｜模｜板 某中学开展“盐都少年”主题演讲比赛，评委从演讲内容、语言表达、形象风度三个维度打分，三项得分按照权重5∶3∶2计算选手最终综合成绩．选手小辰的三项得分依次为：92分、88分、84分，则小辰的最终成绩为（     ） A．88分 B．89.2分 C．90分 D．91.6分 解：∵ 三项权重比为 ，权重总和为 ， ∴ 小辰的最终成绩为 分 ， 因此小辰的最终成绩为89.2分． 【典例1】．某校学生期末的综合成绩是由作业成绩、平时测试成绩、期末考试成绩按照的比计算所得，小东的作业成绩为95分，平时测试成绩为85分，期末考试成绩为90分，则小东的期末综合成绩为（     ） A．90.5分 B．89.5分 C．90分 D．87.5分 【答案】B 【详解】解：小东的期末综合成绩为（分）． 【变式1】．某银行招聘大堂经理，需从专业能力、沟通服务、应急处理三个核心维度考评应聘人员，三个维度的权重占比为，最终考评得分由加权计算得出．应聘人员张婷在这三个维度的得分为专业能力94分、沟通服务92分、应急处理88分，则张婷的最终考评得分为（     ） A．91.6分 B．91.3分 C．90.8分 D．92.4分 【答案】A 【分析】根据给定的权重比，套用加权平均数公式计算即可得到最终结果． 【详解】解：∵三个维度的权重比为，张婷三个维度的得分分别为94分，92分，88分， ∴最终得分为： ， ∴张婷的最终考评得分为91.6分． 【变式2】．一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均为百分制，然后按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的两名选手的单项成绩如下表所示，则两人的综合成绩（     ） 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 甲 80 90 90 乙 85 85 90 A．甲高 B．乙高 C．一样高 D．无法比较 【答案】B 【分析】根据给定权重分别计算两名选手的综合成绩，比较大小即可得到结果． 【详解】解：甲的综合成绩： 乙的综合成绩： ∵ ∴乙的综合成绩更高． 题型三 中位数 答｜题｜模｜板 一组数据：3，5，，7，9的平均数是6，则这组数据的中位数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 解：这组数据，，，，的平均数是，则，解得， 将这组数据从小到大排序为，，，，， 数据个数为奇数，中位数是排序后最中间的数，即第个数， 中位数为． 【典例1】．已知某班名同学在周日进行锻炼的时间分别为（单位：时）：，，，，，，，．这组数据的中位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将数据从小到大排序后，根据中位数定义计算，数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数． 【详解】将原数据从小到大排序得：，，，，，，，． 这组数据共有个，位于第位和第位的数为和， 中位数为． 【变式1】．某位同学射击练习次的成绩为：，，，，，．则这次成绩的中位数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中位数的定义，先将数据从小到大排序，再根据数据个数为偶数，计算中间两个数的平均数即可得到结果． 【详解】解：这次成绩从小到大排列为：，，，，，， ∴中位数为排序后第个数和第个数的平均数， ∴这次成绩的中位数是：． 【变式2】．小徐每月利用人工智能（）软件针对错题，出同类型变式题巩固的次数分别为：5，12，12，15，19，12，5，则这组数据的中位数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．19 【答案】B 【分析】先将数据按从小到大的顺序排列，再根据数据个数为奇数，取中间的数作为中位数即可． 【详解】解：将数据从小到大排序为5，5，12，12，12，15，19，数据个数为7（奇数），中位数为排序后第个数，即为12． 题型四 众数 答｜题｜模｜板 为了解学生的体质健康水平，国家每年都会进行中小学生体质健康测试和抽测复核．在某次抽测复核中，某校九(1)班10名男生引体向上测试的成绩(单位：个)如下：7，11，10，11， 6， 14， 11， 10， 11， 9．这组数据的众数是（     ） A．11 B．10.5 C．10 D．2 解：∵在这组数据：7，11，10，11，6，14，11，10，11，9中，11出现的次数最多，共出现4次， ∴这组数据的众数为11． 【典例1】．某校学生诗词争霸赛中，7位评委对其中一位选手的打分为：96，92，96，94，95，88，96．这组数据的众数是（    ） A．92 B．94 C．95 D．96 【答案】D 【分析】按照众数定义统计各数据出现次数，找到出现次数最多的数据即可得到结果． 【详解】解：∵88，92，94，95各出现1次，96出现3次， ∴96是这组数据中出现次数最多的数，即这组数据的众数是96． 【变式1】．幼儿园老师带着一群小朋友在公园里玩游戏，他们的年龄分别是（单位：岁）：，，，，，，，，，，这组数据的众数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此即可解答． 【详解】解：在这组数据中，4出现次，出现次，出现次，6出现的次数最多，则这组数据的众数是． 【变式2】.．已知一组数据的平均数是1，则这组数据的众数是（    ） A．1 B．5 C． D．2 【答案】A 【分析】根据数据的平均数是1，得到，解得，结合众数的定义解答即可． 本题考查了平均数，众数，熟练掌握两数的定义是解题的关键． 【详解】根据数据的平均数是1，得到， 解得， 所以众数为1 故选A． 题型五 选择合适的统计量 答｜题｜模｜板 小明在3月份随机统计了7天同一时段通过某路口的汽车流量如下： 汽车流量（辆） 天数（天） 如果要估算3月份在这个时段通过该路口的汽车总流量，小明需要计算这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 解：∵ 估算3月份总流量，需要先得到该时段平均每天通过路口的汽车流量，再乘以3月份天数得到总流量． 平均数反映一组数据的平均水平，中位数反映数据的中间水平，众数是一组数据中出现次数最多的数据，方差反映数据的波动大小． ∴ 只有平均数可用于得到平均日流量，估算总流量，因此选A． 【典例1】．某商场上月空调的销售情况如表所示：商场经理决定本月增加库存时多加一些品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（     ） 品牌 销售量/台 260 140 300 480 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【详解】解：从表格数据可知，品牌空调的销售量(480台)高于其他所有品牌，是销量最高的品牌，众数表示一组数据中出现次数最多的数，对应本题情境中代表销量最高、最受欢迎的品牌，而平均数反映平均销售量，中位数反映销售量的中间水平，方差反映数据的波动程度，都无法直接体现哪个品牌最畅销，故经理的决定可以用众数解释． 【变式1】．运动会期间，某班要从9名跑成绩各不相同的同学中，选4名参加的接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．下四分位数 【答案】B 【详解】解：∵9名同学成绩各不相同，将成绩按从优到劣（跑步时间由短到长）排序后，前4名可入选， 又∵9个数据的中位数是排序后第5个数据，恰好是入选与未入选的分界成绩， ∴同学将自身成绩与中位数对比，若成绩优于中位数（时间更短）则入选，反之则未入选， ∵平均数易受极端值影响、众数在本题无意义（成绩均不同），下四分位数均无法直接判断是否进入前4名， ∴老师只需公布中位数． 故选：B． 【变式2】．某班25名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表： 成绩 171及以下 172 173 174 175及以上 人数 1 4 8 □ ○ 因污损导致数据不完整，仍能分析出本次测试成绩的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【详解】解：∵总共有25名学生，中位数是将数据从小到大排列后第13个数据． 又∵171及以下有1人，172有4人，173有8人，． ∴第13个数据是173，中位数为173，不受缺失数据影响． ∵平均数、方差需要所有数据的具体信息，缺失数据无法确定这两个统计量． 又∵成绩为174次及以上的人数未知，无法判断哪个成绩出现次数最多，所以众数无法确定． ∴能分析出的统计量是中位数． 故选：B． 题型六 四分位数 答｜题｜模｜板 九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 【典例1】．将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为（    ）    A．140 B．150 C．163 D．180 【答案】C 【详解】解：根据箱线图可知，则该组数据的上四分位数为163． 【变式1】.“幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第三四分位数是（     ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据位于数据序列位置处的数，也称为上四分位数，通过排序、计算位置、确定对应数据三步求解． 【详解】解：数据重新排序为：5，5，6，7，8，9， ∵第三四分位数即第75%位置的数，， 当计算结果为非整数时，取比该数大的最小整数对应的位置，即第5个数据， ∴这组数据的第三四分位数是第5个数8． 【变式2】．老师记录了全班40名学生跳绳的次数，绘制了箱线图如图，则跳绳次数的上四分位数是（     ） A．162 B．144 C．136 D．132 【答案】B 【详解】解：由箱线图可知，跳绳次数的上四分位数是144． 题型七 方差 答｜题｜模｜板 已知一组数据，x，0，11，的平均数是0，则这组数据的方差是________． 解：由题意得：， ， 数据的方差 【典例1】．已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 【答案】8 【详解】把数据1，3，5，7，9每个数加10得到新数据11，13，15，17，19， 因为一组数据加上同一个常数，方差不变，故方差仍为8． 【变式1】.某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为和，则与的大小关系是____________（填，或）． 测试次数 1 2 3 4 5 甲 5 10 9 3 8 乙 8 6 8 6 7 【答案】 【详解】解：甲的平均数为， 甲的方差为； 乙的平均数为， 乙的方差为； ， ． 【变式2】．甲、乙两队进行足球点球大赛，两队所得的平均分数相同，其中甲所得分数的方差为15，乙所得分数如下：3，4，5，10，8，则成绩比较稳定的是________． 【答案】乙 【分析】先求出乙的平均数，然后求出乙的方差，最后比较甲、乙的方差即可得出结论. 【详解】解：乙的平均数为：； 乙的方差为： ； ∵ ∴， ∴成绩较为稳定的是乙． 题型八 箱线图 答｜题｜模｜板 某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． （1）解：把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， ∴最小值是60，第一四分位数是70，中位数是，第三四分位数是96，最大值是100； (2)甲组的箱线图如图所示： (3)根据箱线图和四分位数，可知甲组数据跨度大更分散，乙组数据紧凑更集中 【典例1】．某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求a，m，b． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． (3)根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 【答案】(1)，， (2)；或93， (3)甲、乙两组成绩中位数相同，甲组成绩的差距（波动）大于乙组 【详解】（1）解：将甲组成绩从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 则第一四分位数：，向上取整为第3个数据，则， 第二四分位数： 第三四分位数：，向上取整为第8个数据，则； （2）解：乙组共10个数据，由箱线图可得：乙组成绩最小值为70，最大值为96， 由表格知，乙组第一四分位数为80，第三四分位数为93， 则将乙组成绩从小到大排列后，第3个数据为80，第8个成绩为93， 第二四分位数（中位数）为90，即排序后第5、6个数的平均数为90， 将乙组成绩（除外）从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，95，96 若在第4个位置，则中位数为，不符合题意； 若在第5个位置，则中位数为，即，由于，则不可能位于第5个位置上， 若在第6个位置，则中位数为，即， 若在第7个位置，则中位数为，此时可以为93， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 因此，或93、； （3）解：由于甲、乙两组成绩的中位数相同，均为90，整体中等水平相当；但甲组成绩范围更大（最低60，最高100），成绩分布更分散，两极分化更明显；乙组第一四分位数高于甲组，且成绩更集中，说明乙组中等及偏下水平的成绩更好，整体成绩更稳定，乙组整体成绩优于甲组． 【变式1】．社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有、两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 方差 A 48 48 58.01 B 49.5 332.25 (1)上述表中，________，________，________； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数，，；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数并将箱线图补充完整； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【答案】(1)，  25和40 ， (2)B阅览室的，，，绘制箱线图如图所示： (3)社区应该挑选阅览室，理由：因为阅览室的中位数大于阅览室，由方差和箱线图可以看出，阅览室过去10周周末上午的预约人数波动更小，所以社区应该挑选阅览室A． 【详解】（1）解：A阅览室预约人数的平均数； 根据折线图， B阅览室预约人数为25和40的出现次数最多，因此众数和； 将B阅览室预约人数从小到大顺序排列，第5个数为40，第6个数为55，因此中位数为； 故答案为：，和40，； （2）解：由题意，B阅览室预约人数的四分位数为，，； （3）略 【变式2】．甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数 (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【答案】(1)第一四分位数：70，第二四分位数：90，第三四分位数：96 (2)如图所示： (3)根据箱线图和四分位数，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中．（答案不唯一） 【分析】（1）把甲的成绩从小到大排列，第二四分位数为第5，第6个数的平均数，第一四分位数为第3个数，第三四分位数为第8个数； （2）将3个四分位数及最大和最小值在图中画出即可； （3）结合箱线图及四分位数，比较成绩的离散程度即可． 【详解】（1）解：把甲的成绩从小到大排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，故第二四分位数（中位数）：，第一四分位数：70，第三四分位数：96； （2）略； （3）略． 题型九 数据的分析综合解答题 答｜题｜模｜板 为深入落实文旅文创融合发展战略，厚植青少年家乡文化情怀，河南省教育厅、省文化和旅游厅联合开展“豫韵文化·少年传承”主题实践活动．某校为检验活动效果，了解学生对河南文旅文创相关知识的掌握情况，采取自愿报名的方式组织了专项知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩中各随机抽取10名学生的成绩（满分10分，6分及以上为合格，9分及以上为优秀），并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七、八年级学生成绩（单位：分） 七年级：7，5，8，9，6，8，7，8，7，5； 八年级：5，6，7，6，6，9，6，10，6，9. b．七、八年级学生成绩统计图 c．七、八年级学生成绩统计表 组别 平均分/分 中位数/分 方差 合格率 优秀率 七年级 7 八年级 7 6 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中______；______；______（填“”“”或“”）． (2)小军同学说：“在这次竞赛中我得了7分，在我们年级参赛学生内排名中游！”观察上面表格，判断小军是七年级还是八年级的学生，并说明理由． (3)结合上表统计量，你认为哪个年级的参赛学生对文创文旅知识的掌握情况更好？请说明理由． （1）解：把七年级成绩从小到大排序：，共10个数据，中位数是第5、6个数的平均数：， ∴， 八年级成绩中，9分及以上（优秀）的有共3人，优秀率， 根据方差公式计算：七年级方差， 八年级方差， ∴． (2)小军是七年级学生， 理由：中位数代表一组数据的中游水平： 七年级中位数为分，八年级中位数为分，小军得分分，称自己排名中游，符合七年级的中位数情况，因此小军是七年级学生． (3)八年级掌握情况更好， 理由： 七、八年级平均分相同，八年级的合格率（）、优秀率（）都高于七年级，说明八年级达到合格、优秀标准的学生更多，因此对文旅文创知识的掌握情况更好．（若回答七年级，理由为平均分相同，七年级方差更小，成绩更稳定，也合理，常规结论为八年级） 【典例1】．为了解我校学生阅读的情况，现从九年级随机抽取了部分学生，对他们一周阅读的时间进行了调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 请根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)请直接写出本次共调查了________名学生，本次调查的学生一周阅读的总时间数据的中位数为________，平均数为________； (2)通过计算补全条形统计图； (3)若该校有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校一周阅读的时间小于6小时的学生有多少名． 【答案】(1)50，6，6 (2)见解析 (3)300名 【分析】（1）由阅读时间为的人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得a的值，依据中位数和平均数的定义求解即可； （2）求出的人数，进而补全条形统计图即可； （3）总人数乘以样本中一周阅读的时间小于人数所占比例即可. 【详解】（1）解：本次调查的总人数为（名）， 中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为、，所以这组数据的中位数为； 这组数据的平均数为； （2）解：（名）， 补图如下： （3）解：（名）， 答：该校一周阅读的时间小于6小时的学生有300名. 【变式1】．今年央视春晚节目《武》别出心裁，独树一帜，“人机共武”为文化传承搭建了新的桥梁，不仅“武”出了精彩的节目，更是“武”出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 机器人台数（台） 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 A型号 和 B型号 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中 ， ； ； (2)若该省共投放市场的A型号智能机器人有80台、B型号智能机器人有台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？ 【答案】(1)，， (2)3200万件． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；运用加权平均数的计算公式求解即可； （2）分别求出A型和B型号智能机器人分别分拣的快递件数，再求和即可． 【详解】（1）解：B型号的智能机器人每天可分拣20万件的机器人有5台，数量最多， 故众数； A型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是15，15， 故中位数， （万件）， 表中的值为15． （2）解：（万件）， 估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有3200万件． 【变式2】．某银行理财有A和B两个团队，对其年上半年负责经营的项理财产品的收益率（）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）； A：，，，，，，，，，，， B：，，，，，，，，，，， A团队和B团队产品收益率的相关数据（） 团队 A a B b c 请根据以上信息解答下列问题： (1)______，_______，______． (2)如图为团队A，B负责经营的理财产品收益率的箱线图，请在图中“（     ）”内填写相应数据，根据箱线图，从总体经营效益和稳健度两方面对A，B两个团队的经营水平作出评价，并选择合适理财团队． 【答案】(1)，， (2)，，，，通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的相等，故可知两个团队的经营效益基本一样，但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动性大，团队B的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财产品更合适． 【分析】（1）根据四分位数的公式分别列式计算下四分位数、中位数、上四分位数，即可求解； （2）根据箱线图即可得出结论． 【详解】（1）解： ， ， （2）解：由（1）及题意可知 如图，通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的相等，故可知两个团队的经营效益基本一样，但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动性大，团队B的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财产品更合适． 期末基础通关练（测试时间：12分钟） 1．（山东省济宁市嘉祥县2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题）已知一组数据的平均数为3，方差为2，那么数据的平均数与方差分别是（   ） A．3，2 B．5，8 C．5，4 D．3，8 【答案】B 【分析】本题考查平均数公式及方差公式，根据题中的平均数为3，方差为2，运用平均数公式及方差公式表示出来，然后代值表示数据的平均数与方差即可得到答案，熟记平均数公式及方差公式是解决问题的关键． 【详解】解：一组数据的平均数为3，方差为2， ，； 数据的平均数是； 方差是 ， ， 故选：B． 2．（山东省济宁市邹城市2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷）习总书记提出：“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书正当时，莫负好时光，如图的折线统计图反映了某学习小组名学生的课外阅读量．则本组学生课外阅读量的中位数和众数依次是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查折线统计图、中位数、众数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．分别根据折线统计图和中位数、众数定义求解即可． 【详解】解：学生课外阅读量的本数为：，，，，，，，，，，，，， 中间的数据为， 中位数为 ， 出现次数最多的数据为， 众数为． 故选：B． 3．（山东省滨州邹平市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）对某个科技研发团队全体成员的年龄进行统计，整理得到如下统计表： 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 年龄段（岁） 频数（人） 由统计可知，这个团队成员年龄的中位数落在第______组的年龄段内． 【答案】二 【详解】解：由题意得共有（个）， 故中位数是按从小到大排列后第、第两个数的平均数， ∵第、第两个数均在第二组， ∴这组数据的中位数落在第二组， 故答案是：二． 4．（山东省临沂市郯城县2024--2025学年八年级下学期期末考试数学试题）某校评选优秀班集体，从“学习”、“纪律”、“卫生”三个方面综合打分，其中“学习”占、“纪律”占、“卫生”占，某班这三项得分依次为93，80，85，则该班三项综合得分为__________分． 【答案】87.5 【分析】本题主要考查了加权平均数，分别用三项的得分乘以各自所占的百分比，再相加可得答案． 【详解】解：（分）， 所以该班三项综合得分为87.5分． 故答案为：87.5． 5．（山东省临沂市临沭县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷）在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为，，为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，三款机器人的得分（满分为分）分别为分、分、分，运动能力测试由位专业测试员根据一系列动作任务进行打分，每位测试员最高打分，运动能力测试成绩为各位测试员打分之和．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 和 任务：______，______，______； 【数据分析与运用】 任务：通过图表信息，可判断______（填“”“”或“”）款机器人运动能力测试得分更稳定； 任务：若按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你计算款机器人的综合成绩； 任务：结合以上信息，对三款机器人的性能进行评价（写出一条即可） 【答案】任务：，，；任务：；任务：分；任务：见解析 【详解】解：任务：由折线统计图可知，款机器人测试员打分从低到高排列为：， 款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，款机器人运动能力得分出现次数最多的是分， ， 分， 款机器人的运动能力测试成绩为分； 故答案为：，，； 任务：由折线统计图可知，款机器人的得分波动比款机器人的得分波动小， ， 又由表知，， ∴款机器人运动能力测试的方差最小，即款机器人运动能力测试得分更稳定， 任务：款机器人的综合成绩为分； 任务：在图象识别能力测试中，三款机器人的得分分别为分、分、分，说明款机器人图象识别能力较强；运动能力测试的方差最小的是款机器人，说明款机器人运动能力的稳定性较好；款机器人测试员打分的中位数最高，说明款机器人运动能力整体较好． （答案不唯一） 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（山东省临沂市临沭县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷）某校践行“五育并举”，期末时李梅的五育得分如表所示，则对于这5个数据，下列说法错误的是（   ） 项目 德 智 体 美 劳 得分 9 8 6 9 8 A．众数是9 B．中位数是8 C．平均数是8 D．方差是 【答案】A 【分析】本题考查平均数、中位数、众数和方差的计算，逐一计算各选项即可判断错误选项． 【详解】解：A、数据中9和8各出现2次，故众数为8和9，原说法错误，符合题意； B、数据排序后为6、8、8、9、9，中间数为第3个数据8，故中位数是8，原说法正确，不符合题意； C、平均数为，原说法正确，不符合题意； D、方差为，原说法正确，不符合题意； 故选A． 2．（山东省滨州邹平市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占，计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表： 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 甲 85 95 95 乙 95 85 95 根据以上信息，下面对两人最后得分（或名次）结论正确的是（   ） A．甲得91分 B．乙得91分 C．甲获得第一名 D．乙比甲高2分 【答案】B 【分析】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是认真审题从题目中抽取出有效信息． 根据加权平均数计算即可． 【详解】解：选手甲的最后得分是， 选手乙的最后得分是， 由上可知选手乙获得第一名，选手甲获得第二名． 故选：B． 3．（山东省临沂市兰山区2024--2025学年八年级下学期数学期末试卷）已知数据的平均数为3，方差为2，则数据，的平均数为_____________，方差为_____________． 【答案】 9 8 【分析】此题考查了方差和平均数，当数据都乘上一个数时，平均数也乘上这个数，方差变为这个数的平方倍，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减上这个数，方差不变，即数据的波动情况不变．根据平均数和方差的计算公式或者根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案． 【详解】解：∵数据的平均数是3， 即， ∴ ， 即数，的平均数是； ∵数据的方差是2， 即， ∴ ， ∴数，的方差是； 故答案为：9，8． 4．（山东省日照市新营中学2024-2025学年八年级下学期期末模拟数学试题）甲、乙、丙三人在“学习强国”平台进行答题，在连续两个月份中分别随机抽取五天统计当天的答题积分，如下表所示： 第一个月 第二个月 平均分 方差 平均分 方差 甲 45.2 52.6 49.2 56.4 乙 50.8 67.5 48.3 62.7 丙 43.1 56.9 48.6 62.5 其中，第二个月平均分提高且成绩更稳定的人是_______． 【答案】甲 【分析】本题考查方差与平均数，解题的关键是理解方差及平均数的意义，属于中考常考题型．方差是反映一组数据波动大小的一类特征数，方差越大，数据的波动就越大，方差越小，数据的波动就越小，据此求解即可． 【详解】解：先分别比较甲、乙、丙三人第一个月与第二个月的平均分与方差变化： 甲： 平均分变化：，平均分提高（增加4.0分）． 方差变化：，方差增大，成绩更不稳定． 乙： 平均分变化：，平均分下降（减少2.5分）． 方差变化：，方差减小，成绩更稳定． 丙： 平均分变化：，平均分提高（增加5.5分）． 方差变化：，方差增大，成绩更不稳定． 第二个月平均分提高的有甲与丙，甲与丙中成绩更稳定的人是甲， 故答案为：甲． 5．（山东省济宁市邹城市2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷）月日是世界读书日，为激发学生对阅读的热情，某校组织了一场课外知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取名同学的竞赛成绩（单位：分，满分分），并进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，并分为A、B、C、D四个等级：，，，），下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩的数据是： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级抽取的学生竞赛成绩在B等的数据是： ，，，，，，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出，，的值； (2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的课外知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有人、八年级有人参加了此次课外知识竞赛，分及以上为优秀，请估计七、八年级参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数共有多少？ 【答案】(1)，， (2)八年级，理由见解析 (3)人 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及用样本估计总体，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键． （1）分别根据众数、中位数的定义即可求出，，的值； （2）从平均数、中位数、众数的角度分析即可得出结论； （3）用总人数乘样本中七、八年级不低于分人数所占百分比即可． 【详解】（1）解：在七年级抽取名同学的竞赛成绩中，出现的次数最多，故众数； 把七年级抽取名同学的竞赛成绩从小到大排列，排在第10位和第11位的两个数都是，故中位数； 八年级抽取的学生竞赛成绩小于80分的人数为（人）， 把八年级抽取名同学的竞赛成绩从小到大排列，排在第10位和第11位的两个数分别是，，故中位数； ∴综上所述，，，； （2）解：八年级学生的课外知识掌握较好，理由如下： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，但八年级抽取的学生竞赛成绩的众数、中位数都大于七年级的，故八年级学生的课外知识掌握较好； （3）解：八年级不低于分人数所占百分比为：， （人）， 答：估计七、八年级参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数大约共有人． 期末综合拓展练（测试时间：18分钟） 1．（山东省日照市岚山区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题）下表是在某次比赛中，7位评委对某参赛选手的评分统计表．如果去掉一个最高分和一个最低分后，将剩余5位评委的评分再重新进行统计，那么表中的数据一定不发生（   ） 众数 中位数 平均数 方差 8.5 8.4 8.5 0.25 A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 【答案】C 【分析】本题考查了方差，算术平均数，中位数和众数．根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，而方差，众数和平均数均可能发生变化． 故选：C． 2．（山东省滨州市阳信县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题）某校八年级1班开展宪法知识竞赛，现抽取7位同学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图，根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是（   ） A．平均数为81分 B．众数为88分 C．中位数为85分 D．方差为19.6 【答案】C 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．分别根据平均数、众数、中位数和方差的定义解答即可． 【详解】解：将数据重新排列76，82，85，85，86，88，90， A、平均数为分，此选项不符合题意； B、众数为85分，此选项不符合题意； C、中位数为85分，此选项符合题意； D、方差为，此选项不符合题意； 故选：C． 3．（山东省德州市庆云县2024—2025学年下学期期末考试八年级数学试题）校合唱团现共有30名队员，下表是该社团成员的年龄分布统计表： 年龄（单位：岁） 12 13 14 15 频数（单位：名） 6 14 x 对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（     ） A．平均数、中位数 B．平均数、方差 C．众数、中位数 D．众数、方差 【答案】C 【分析】本题主要考查了频数分布表、统计量的知识，熟练掌握相关的知识是解题的关键．根据频数分布表，分析众数、中位数、平均数及方差是否随x的变化而变化即可． 【详解】总人数验证：，总人数固定； 众数：13岁的频数始终为14，无论x如何变化，均为最大频数，故众数为13岁，不变； 中位数：数据从小到大排列后，第15、16个数据均在13岁（前6个为12岁，第个为13岁），中位数为岁，不变； 平均数：计算得平均数为，随x变化而变化； 方差：因平均数变化且数据分布随x改变，方差随之变化； 综上，众数和中位数不随x改变， 故选：C． 4．（山东省临沂市沂南县2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷）年月日至日是第二十五个全国科技活动周为提高学生对科创的热情，某校举行了“缤纷科技节”活动，组织全校七、八年级学生进行了科创知识竞赛现分别从七、八年级学生中随机抽取名学生，并统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】： 七年级名学生的竞赛成绩：，，，，，，，，，； 八年级名学生的竞赛成绩：，，，，，，，，，； 【分析数据】：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)求所抽取的八年级学生成绩的方差，并估计哪个年级学生的竞赛成绩更整齐； (3)比赛规定成绩分及以上为优秀，若该校七年级学生共人，八年级学生共人，请估计这两个年级的学生中竞赛成绩达到优秀的学生总人数． 【答案】(1)，和 (2)八年级的方差是，八年级学生的竞赛成绩更整齐 (3)人 【分析】本题考查中位数、众数、平均数、方差，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，掌握方差的计算公式 （1）根据七年级名同学测试成绩求出的值，根据众数的定义可得的值； （2）先根据方差的定义计算出八年级的方差，再比较七、八年级的方差大小，结合方差的意义即可得出答案； （3）用各年级人数乘对应的比例，然后相加即可． 【详解】（1）解：将七年级抽样成绩重新排列为：，，，，，，，，，， 中位数， ∵和出现的次数最多，故众数和， 故答案为：，和； （2）解：八年级的方差是： ， ∵， 八年级学生的竞赛成绩更整齐； （3）解： (人)， 答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有人． 5．（山东省临沂市沂南县2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷）某校举办了“安全主题系列活动”，要求每个班派一名代表参加本次活动八（1）班陈老师从全班学生中经过层层筛选，决定从以下两名同学中选一名学生参加比赛如表是班上两名同学参加各项活动的测试成绩（单位：分）： 选手 主题活动项目 在线学习 知识竞赛 演讲比赛 甲 乙 (1)如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？ (2)如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按，，的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？ 【答案】(1)乙将被选中 (2)甲将被选中 【分析】本题考查了加权平均数，解题的关键是根据加权平均数的计算方法来解答 （1）根据加权平均数的计算方法进行解答即可； （2）根据按，，的比例计算出两人的成绩，再进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意，两人的测试成绩如下： 甲的测试成绩为：分， 乙的测试成绩为：分， ， 乙将被选中； （2）根据题意，两人的测试成绩如下： 甲的测试成绩为分， 乙的测试成绩为分， ， 甲将被选中． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数据的分析（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 平均数 题型02 加权平均数 题型03 中位数 题型04 众数 题型05 选择合适的统计量 题型06 四分位数 题型07 方差 题型08 箱线图 题型09 数据的分析综合解答题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平均数 掌握加权平均数的计算，理解“权”的实际意义。 多以选择题、填空题形式出现，分值约3—4分。 中位数与众数 理解各自适用场景，不受极端值影响的特性。 综合题的一个小问，或考察应用合适的统计量进行分析，并作出决策，3-5分。 四分位数与箱线图 四分位数：会求第25、50、75百分位数。 箱线图：能识别图中最小值、四分位数、中位数、最大值及异常值。 重点考查概念理解，如“根据箱线图判断说法正误”，约3-4分。 方差、标准差 方差：掌握公式，方差越大数据波动越大；能用方差评估稳定性。组内离差平方和：理解分组数据中反映组内差异的指标。 考查概念理解，如“已知方差判断稳定性”，约3-4分。 知识点01 平均数 1.算术平均数 1）算术平均数：一般地，有n个数x1，x2，…，xn，那么=.简称平均数. 算术平均数反映了这一组数据的集中趋势，表示了这组数据的平均水平. 注：当任一数据变化时，都会影响算术平均数. 2）结论：若=；=. 则：①x1±y1，x2±y2，…，xn±yn的平均数为±；②x1，y1，x2，y2…，xn，yn的平均数为（+）. ③ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b. ∵ax1，ax2，…，axn的平均数为a； ∴x1+b，x2+b，…，xn+b的平均数为+b. 2.加权平均数 加权平均数：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是ω1，ω2，…，ωn，则叫做这n个数的加权平均数．前面求算术平均数，是将每个数据认为同等重要，即每个数据的权重都是1. 注意：计算平均数时注意分辨是算术平均数还是加权平均数，两者计算方法有差异，不能混淆. 知识点02 中位数与众数 1.中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，如果数据是奇数个，则处于中间的数为中位数；若数据是偶数个，则中间两个数据的平均数为中位数. 注：①所有数据需排列（从大到小或从小到大）；②中位数有可能不是这组数据中的数；③中位数反映了中间水平. 2.众数：一组数据中出现次数最多的数据. 注：①众数不一定唯一；②众数反映了一组数据中的趋势量，即数据出现频次最高的量. 知识点03 四分位数与箱线图 1.在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，记为m25，m50，m75，统称四分位数。它们把一组数据分为个数相等的四部分。 2.用一组数据中的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值来反映数据分布的中心位置和散布范围的统计图。画法为先找出这5个值，用横线对应，连接下四分位数和上四分位数画出“箱体”，再将最小值和最大值与“箱体”相连，中位数在“箱体”中间。箱线图可粗略观察数据是否对称，不受异常值影响。 知识点04 方差、标准差 1.方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.通常用“”表示，即 结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2. 方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定. 2.标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 题型一 平均数 答｜题｜模｜板 已知一样本数据，4，5，5，6，m的平均数为5，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 解：数据，4，5，5，6，m的平均数为5， ，解得， 则数的值为． 【典例1】．已知n个数据的和为108，平均数为12，则n为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】．已知一组数据：3，4，5，x，7，若这组数据的平均数是5，则x的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】.黄河流域某河段年均流量变化数据，若一组数据28，32，30，x，34的平均数为31，则x的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 题型二 加权平均数 答｜题｜模｜板 某中学开展“盐都少年”主题演讲比赛，评委从演讲内容、语言表达、形象风度三个维度打分，三项得分按照权重5∶3∶2计算选手最终综合成绩．选手小辰的三项得分依次为：92分、88分、84分，则小辰的最终成绩为（     ） A．88分 B．89.2分 C．90分 D．91.6分 解：∵ 三项权重比为 ，权重总和为 ， ∴ 小辰的最终成绩为 分 ， 因此小辰的最终成绩为89.2分． 【典例1】．某校学生期末的综合成绩是由作业成绩、平时测试成绩、期末考试成绩按照的比计算所得，小东的作业成绩为95分，平时测试成绩为85分，期末考试成绩为90分，则小东的期末综合成绩为（     ） A．90.5分 B．89.5分 C．90分 D．87.5分 【变式1】．某银行招聘大堂经理，需从专业能力、沟通服务、应急处理三个核心维度考评应聘人员，三个维度的权重占比为，最终考评得分由加权计算得出．应聘人员张婷在这三个维度的得分为专业能力94分、沟通服务92分、应急处理88分，则张婷的最终考评得分为（     ） A．91.6分 B．91.3分 C．90.8分 D．92.4分 【变式2】．一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均为百分制，然后按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的两名选手的单项成绩如下表所示，则两人的综合成绩（     ） 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 甲 80 90 90 乙 85 85 90 A．甲高 B．乙高 C．一样高 D．无法比较 题型三 中位数 答｜题｜模｜板 一组数据：3，5，，7，9的平均数是6，则这组数据的中位数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 解：这组数据，，，，的平均数是，则，解得， 将这组数据从小到大排序为，，，，， 数据个数为奇数，中位数是排序后最中间的数，即第个数， 中位数为． 【典例1】．已知某班名同学在周日进行锻炼的时间分别为（单位：时）：，，，，，，，．这组数据的中位数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．某位同学射击练习次的成绩为：，，，，，．则这次成绩的中位数为（     ）． A． B． C． D． 【变式2】．小徐每月利用人工智能（）软件针对错题，出同类型变式题巩固的次数分别为：5，12，12，15，19，12，5，则这组数据的中位数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．19 题型四 众数 答｜题｜模｜板 为了解学生的体质健康水平，国家每年都会进行中小学生体质健康测试和抽测复核．在某次抽测复核中，某校九(1)班10名男生引体向上测试的成绩(单位：个)如下：7，11，10，11， 6， 14， 11， 10， 11， 9．这组数据的众数是（     ） A．11 B．10.5 C．10 D．2 解：∵在这组数据：7，11，10，11，6，14，11，10，11，9中，11出现的次数最多，共出现4次， ∴这组数据的众数为11． 【典例1】．某校学生诗词争霸赛中，7位评委对其中一位选手的打分为：96，92，96，94，95，88，96．这组数据的众数是（    ） A．92 B．94 C．95 D．96 【变式1】．幼儿园老师带着一群小朋友在公园里玩游戏，他们的年龄分别是（单位：岁）：，，，，，，，，，，这组数据的众数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】.．已知一组数据的平均数是1，则这组数据的众数是（    ） A．1 B．5 C． D．2 题型五 选择合适的统计量 答｜题｜模｜板 小明在3月份随机统计了7天同一时段通过某路口的汽车流量如下： 汽车流量（辆） 天数（天） 如果要估算3月份在这个时段通过该路口的汽车总流量，小明需要计算这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 解：∵ 估算3月份总流量，需要先得到该时段平均每天通过路口的汽车流量，再乘以3月份天数得到总流量． 平均数反映一组数据的平均水平，中位数反映数据的中间水平，众数是一组数据中出现次数最多的数据，方差反映数据的波动大小． ∴ 只有平均数可用于得到平均日流量，估算总流量，因此选A． 【典例1】．某商场上月空调的销售情况如表所示：商场经理决定本月增加库存时多加一些品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（     ） 品牌 销售量/台 260 140 300 480 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式1】．运动会期间，某班要从9名跑成绩各不相同的同学中，选4名参加的接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．下四分位数 【变式2】．某班25名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表： 成绩 171及以下 172 173 174 175及以上 人数 1 4 8 □ ○ 因污损导致数据不完整，仍能分析出本次测试成绩的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 题型六 四分位数 答｜题｜模｜板 九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 【典例1】．将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为（    ）    A．140 B．150 C．163 D．180 【变式1】.“幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第三四分位数是（     ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 【变式2】．老师记录了全班40名学生跳绳的次数，绘制了箱线图如图，则跳绳次数的上四分位数是（     ） A．162 B．144 C．136 D．132 题型七 方差 答｜题｜模｜板 已知一组数据，x，0，11，的平均数是0，则这组数据的方差是________． 解：由题意得：， ， 数据的方差 【典例1】．已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 【变式1】.某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为和，则与的大小关系是____________（填，或）． 测试次数 1 2 3 4 5 甲 5 10 9 3 8 乙 8 6 8 6 7 【变式2】．甲、乙两队进行足球点球大赛，两队所得的平均分数相同，其中甲所得分数的方差为15，乙所得分数如下：3，4，5，10，8，则成绩比较稳定的是________． 题型八 箱线图 答｜题｜模｜板 某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． （1）解：把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， ∴最小值是60，第一四分位数是70，中位数是，第三四分位数是96，最大值是100； (2)甲组的箱线图如图所示： (3)根据箱线图和四分位数，可知甲组数据跨度大更分散，乙组数据紧凑更集中 【典例1】．某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求a，m，b． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． (3)根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 【变式1】．社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有、两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 方差 A 48 48 58.01 B 49.5 332.25 (1)上述表中，________，________，________； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数，，；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数并将箱线图补充完整； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【变式2】．甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数 (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 题型九 数据的分析综合解答题 答｜题｜模｜板 为深入落实文旅文创融合发展战略，厚植青少年家乡文化情怀，河南省教育厅、省文化和旅游厅联合开展“豫韵文化·少年传承”主题实践活动．某校为检验活动效果，了解学生对河南文旅文创相关知识的掌握情况，采取自愿报名的方式组织了专项知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩中各随机抽取10名学生的成绩（满分10分，6分及以上为合格，9分及以上为优秀），并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七、八年级学生成绩（单位：分） 七年级：7，5，8，9，6，8，7，8，7，5； 八年级：5，6，7，6，6，9，6，10，6，9. b．七、八年级学生成绩统计图 c．七、八年级学生成绩统计表 组别 平均分/分 中位数/分 方差 合格率 优秀率 七年级 7 八年级 7 6 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中______；______；______（填“”“”或“”）． (2)小军同学说：“在这次竞赛中我得了7分，在我们年级参赛学生内排名中游！”观察上面表格，判断小军是七年级还是八年级的学生，并说明理由． (3)结合上表统计量，你认为哪个年级的参赛学生对文创文旅知识的掌握情况更好？请说明理由． （1）解：把七年级成绩从小到大排序：，共10个数据，中位数是第5、6个数的平均数：， ∴， 八年级成绩中，9分及以上（优秀）的有共3人，优秀率， 根据方差公式计算：七年级方差， 八年级方差， ∴． (2)小军是七年级学生， 理由：中位数代表一组数据的中游水平： 七年级中位数为分，八年级中位数为分，小军得分分，称自己排名中游，符合七年级的中位数情况，因此小军是七年级学生． (3)八年级掌握情况更好， 理由： 七、八年级平均分相同，八年级的合格率（）、优秀率（）都高于七年级，说明八年级达到合格、优秀标准的学生更多，因此对文旅文创知识的掌握情况更好．（若回答七年级，理由为平均分相同，七年级方差更小，成绩更稳定，也合理，常规结论为八年级） 【典例1】．为了解我校学生阅读的情况，现从九年级随机抽取了部分学生，对他们一周阅读的时间进行了调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 请根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)请直接写出本次共调查了________名学生，本次调查的学生一周阅读的总时间数据的中位数为________，平均数为________； (2)通过计算补全条形统计图； (3)若该校有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校一周阅读的时间小于6小时的学生有多少名． 【变式1】．今年央视春晚节目《武》别出心裁，独树一帜，“人机共武”为文化传承搭建了新的桥梁，不仅“武”出了精彩的节目，更是“武”出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 机器人台数（台） 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 A型号 和 B型号 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中 ， ； ； (2)若该省共投放市场的A型号智能机器人有80台、B型号智能机器人有台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？ 【变式2】．某银行理财有A和B两个团队，对其年上半年负责经营的项理财产品的收益率（）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）； A：，，，，，，，，，，， B：，，，，，，，，，，， A团队和B团队产品收益率的相关数据（） 团队 A a B b c 请根据以上信息解答下列问题： (1)______，_______，______． (2)如图为团队A，B负责经营的理财产品收益率的箱线图，请在图中“（     ）”内填写相应数据，根据箱线图，从总体经营效益和稳健度两方面对A，B两个团队的经营水平作出评价，并选择合适理财团队． 期末基础通关练（测试时间：12分钟） 1．（山东省济宁市嘉祥县2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题）已知一组数据的平均数为3，方差为2，那么数据的平均数与方差分别是（   ） A．3，2 B．5，8 C．5，4 D．3，8 2．（山东省济宁市邹城市2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷）习总书记提出：“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书正当时，莫负好时光，如图的折线统计图反映了某学习小组名学生的课外阅读量．则本组学生课外阅读量的中位数和众数依次是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（山东省滨州邹平市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）对某个科技研发团队全体成员的年龄进行统计，整理得到如下统计表： 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 年龄段（岁） 频数（人） 由统计可知，这个团队成员年龄的中位数落在第______组的年龄段内． 4．（山东省临沂市郯城县2024--2025学年八年级下学期期末考试数学试题）某校评选优秀班集体，从“学习”、“纪律”、“卫生”三个方面综合打分，其中“学习”占、“纪律”占、“卫生”占，某班这三项得分依次为93，80，85，则该班三项综合得分为__________分． 5．（山东省临沂市临沭县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷）在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为，，为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，三款机器人的得分（满分为分）分别为分、分、分，运动能力测试由位专业测试员根据一系列动作任务进行打分，每位测试员最高打分，运动能力测试成绩为各位测试员打分之和．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 和 任务：______，______，______； 【数据分析与运用】 任务：通过图表信息，可判断______（填“”“”或“”）款机器人运动能力测试得分更稳定； 任务：若按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你计算款机器人的综合成绩； 任务：结合以上信息，对三款机器人的性能进行评价（写出一条即可） 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（山东省临沂市临沭县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷）某校践行“五育并举”，期末时李梅的五育得分如表所示，则对于这5个数据，下列说法错误的是（   ） 项目 德 智 体 美 劳 得分 9 8 6 9 8 A．众数是9 B．中位数是8 C．平均数是8 D．方差是 2．（山东省滨州邹平市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占、演讲能力占、演讲效果占，计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表： 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 甲 85 95 95 乙 95 85 95 根据以上信息，下面对两人最后得分（或名次）结论正确的是（   ） A．甲得91分 B．乙得91分 C．甲获得第一名 D．乙比甲高2分 3．（山东省临沂市兰山区2024--2025学年八年级下学期数学期末试卷）已知数据的平均数为3，方差为2，则数据，的平均数为_____________，方差为_____________． 4．（山东省日照市新营中学2024-2025学年八年级下学期期末模拟数学试题）甲、乙、丙三人在“学习强国”平台进行答题，在连续两个月份中分别随机抽取五天统计当天的答题积分，如下表所示： 第一个月 第二个月 平均分 方差 平均分 方差 甲 45.2 52.6 49.2 56.4 乙 50.8 67.5 48.3 62.7 丙 43.1 56.9 48.6 62.5 其中，第二个月平均分提高且成绩更稳定的人是_______． 5．（山东省济宁市邹城市2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷）月日是世界读书日，为激发学生对阅读的热情，某校组织了一场课外知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取名同学的竞赛成绩（单位：分，满分分），并进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，并分为A、B、C、D四个等级：，，，），下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩的数据是： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级抽取的学生竞赛成绩在B等的数据是： ，，，，，，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出，，的值； (2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的课外知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有人、八年级有人参加了此次课外知识竞赛，分及以上为优秀，请估计七、八年级参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数共有多少？ 期末综合拓展练（测试时间：18分钟） 1．（山东省日照市岚山区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题）下表是在某次比赛中，7位评委对某参赛选手的评分统计表．如果去掉一个最高分和一个最低分后，将剩余5位评委的评分再重新进行统计，那么表中的数据一定不发生（   ） 众数 中位数 平均数 方差 8.5 8.4 8.5 0.25 A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 2．（山东省滨州市阳信县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题）某校八年级1班开展宪法知识竞赛，现抽取7位同学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图，根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是（   ） A．平均数为81分 B．众数为88分 C．中位数为85分 D．方差为19.6 3．（山东省德州市庆云县2024—2025学年下学期期末考试八年级数学试题）校合唱团现共有30名队员，下表是该社团成员的年龄分布统计表： 年龄（单位：岁） 12 13 14 15 频数（单位：名） 6 14 x 对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（     ） A．平均数、中位数 B．平均数、方差 C．众数、中位数 D．众数、方差 4．（山东省临沂市沂南县2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷）年月日至日是第二十五个全国科技活动周为提高学生对科创的热情，某校举行了“缤纷科技节”活动，组织全校七、八年级学生进行了科创知识竞赛现分别从七、八年级学生中随机抽取名学生，并统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】： 七年级名学生的竞赛成绩：，，，，，，，，，； 八年级名学生的竞赛成绩：，，，，，，，，，； 【分析数据】：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)求所抽取的八年级学生成绩的方差，并估计哪个年级学生的竞赛成绩更整齐； (3)比赛规定成绩分及以上为优秀，若该校七年级学生共人，八年级学生共人，请估计这两个年级的学生中竞赛成绩达到优秀的学生总人数． 5．（山东省临沂市沂南县2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷）某校举办了“安全主题系列活动”，要求每个班派一名代表参加本次活动八（1）班陈老师从全班学生中经过层层筛选，决定从以下两名同学中选一名学生参加比赛如表是班上两名同学参加各项活动的测试成绩（单位：分）： 选手 主题活动项目 在线学习 知识竞赛 演讲比赛 甲 乙 (1)如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？ (2)如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按，，的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $