精品解析：吉林省吉林市龙潭区吉化第三中学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026上学期初二年级期末质量检测 数学学科 一、填空题（每小题2分，共12分） 1. 下图是天气预报中的图形，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小明有两根的木棒，他想以这两根木棒为边做一个三角形，还需再选用的木棒长为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果分式有意义，那么x满足（ ） A B. C. D. 5. 下列约分正确的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，数学活动课上，为测量学校与河对岸农场之间的距离，在学校附近选一点，用测量仪器测得，，，则学校与农场之间的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 计算：__________． 8. 已知点和点关于轴对称，则_______． 9. 华为麒麟芯片采用了最新的米的工艺制程，将数用科学记数法表示为_______． 10. 如图，点是的中点，若，，，可以判定与全等，则这两个三角形全等的判定依据是____________（填字母）． 11. 已知，，则的值为________． 12. 已知（x﹣3）（x＋2）＝x2＋mx﹣6，则m的值为______． 13. 如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为______． 14. 如图，是直角三角形，，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交边的延长线于点，则的周长为______． 15. 将直角三角板ABC（其中，）与直角三角板DEF（其中）按图中的方式放置，其中B，C，F三点在一直线上且，则______°． 三、解答题（每小题5分，共20分） 16. 因式分解： 17. 解方程：-=0 18 阅读下列解题过程，回答问题． 化简： 解：原式① ② ③ ④ （1）以上计算过程从第_________步开始出现错误； （2）从②步到③步应用同分母分式加减法的法则：分母_________，分子_________； （3）化简后正确结果是__________． 19. 先化简，再求值：，其中，． 四、解答题（每小题7分，共28分．） 20. 已知：如图，点E，A，C在同一直线上，，，．求证：． 21. 如图，在中，，的平分线交于点E，，．求的度数． 22. 一次课堂练习，小红做了如下四道因式分解题：①；②；③；④ （1）小红做错的或不完整的题目是__________（填序号）； （2）把（1）题中题目的正确答案写在下面． 23. 图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，B两点均在格点上，在给定的网格中 （1）在图①中，画出以AB为底边的等腰△ABC，并且点C为格点． （2）在图②中，画出以AB为腰的等腰△ABD，并且点D为格点． （3）在图③中，画出以AB为腰的等腰△ABE，并且点E为格点，所画的△ABE与图②中所画的△ABD不全等． 五、解答题（每小题8分，共16分） 24. 生活中的数学：某校计划为初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳． （1）这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的____________性； （2）图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 25. 某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg产品？ 根据以上信息，解答下列问题． （1）小华同学设乙型机器人每小时搬运kg产品，可列方程为______．小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为小时，可列方程为______． （2）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程． 六、解答题（每小题10分，共20分） 26. 如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D，C，并且AC=BD，AE=BF，连接CE． （1）求证：AE∥FB； （2）若DC=DE，∠A=25°，求∠AEC的度数． （3）若DC=DE，∠A=α，则∠AEC=_________（用含α的式子表示）． （4）若∠A=30°，DE=m，则BF=_________（用含m的式子表示）． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上的一点，且． （1）求的长； （2）如图①，若点在轴上，且是等边三角形，则点的坐标是____________； （3）如图②，点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，点速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒． ①当是直角三角形时，求的值； ②当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026上学期初二年级期末质量检测 数学学科 一、填空题（每小题2分，共12分） 1. 下图是天气预报中的图形，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故选项错误，不合题意； B．不是轴对称图形，故选项错误，不合题意 C．是轴对称图形，故选项正确，合题意； D．不是轴对称图形，故选项错误，不合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 小明有两根的木棒，他想以这两根木棒为边做一个三角形，还需再选用的木棒长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出再选用的木棒长的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设再选用的木棒长为， 由题意得，，即， ∴只有C选项中木棒长符合题意， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括幂的乘方、积的乘方、单项式乘以单项式、完全平方公式等． 根据幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、单项式乘以单项式运算法则、完全平方公式、以及合并同类项法则一一判断即可． 【详解】解：A、∵ ≠ ，∴ A错误； B、∵，∴ B正确； C、∵，∴ C错误； D、∵和不是同类项，不能合并，∴ D错误； 故选：B． 4. 如果分式有意义，那么x满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义，则分母不为零，据此得到，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 5. 下列约分正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了约分，根据分式的性质逐项分析即可得解，熟练掌握分式的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、，故约分错误，不符合题意； B、，故约分错误，不符合题意； C、，故约分正确，符合题意； D、，故约分错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，数学活动课上，为测量学校与河对岸农场之间的距离，在学校附近选一点，用测量仪器测得，，，则学校与农场之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质．直接利用直角三角形的性质得出，进而利用直角三角形中所对直角边是斜边的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 计算：__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂．根据零指数幂的法则，任何非零数的零次方都等于1即可求解． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：1． 8. 已知点和点关于轴对称，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于轴对称的点的坐标，关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程求出m、n，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 9. 华为麒麟芯片采用了最新的米的工艺制程，将数用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000000007的左边起第一个不为零的数字7前面的0有9个， 所以0.000000007=7×10-9． 故答案为：7×10-9． 【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 10. 如图，点是的中点，若，，，可以判定与全等，则这两个三角形全等的判定依据是____________（填字母）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：． 11. 已知，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及因式分解、解二元一次方程组等知识，由题中所给等式，利用因式分解化简后联立方程组求解得到的值，代入代数式即可得到答案，根据条件与所求代数式的关系变形化简求值是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 联立方程组得，解得， ， 故答案为：． 12. 已知（x﹣3）（x＋2）＝x2＋mx﹣6，则m的值为______． 【答案】-1 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，从而得出m＝-1． 【详解】解：∵， ∴m＝-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查了整式乘法运算，正确计算出，是解题的关键． 13. 如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质．此题由两角相等可以确定是角的平分线，利用角平分线的性质即可得解． 【详解】解：∵， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 14. 如图，是直角三角形，，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交边的延长线于点，则的周长为______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质．由作图知，由等腰三角形的性质知，利用含角的直角三角形的性质求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：，，， ∴， 由作图知， ， ∴， ∴的周长为， 故答案为：18． 15. 将直角三角板ABC（其中，）与直角三角板DEF（其中）按图中的方式放置，其中B，C，F三点在一直线上且，则______°． 【答案】15 【解析】 【分析】由，可求得，再根据三角形的外角性质求得 【详解】解： 故答案为：15 【点睛】本题考查了互余的概念、三角形的外角性质，解题的关键是要发现与的关系． 三、解答题（每小题5分，共20分） 16. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数4，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 17. 解方程：-=0 【答案】x= 【解析】 【分析】方程两边同乘以x(x+3)，得到整式方程，解整式方程，把得到的根代入最简公分母检验即可． 【详解】解：x＋3－5x=0 4x=3 x= 检验：当x= 时，x（x+3）≠0 ，故x= 是原方程的根． 【点睛】本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 18. 阅读下列解题过程，回答问题． 化简： 解：原式① ② ③ ④ （1）以上计算过程从第_________步开始出现错误； （2）从②步到③步应用同分母分式加减法的法则：分母_________，分子_________； （3）化简后正确的结果是__________． 【答案】（1）① （2）不变，相加减 （3） 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式相加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据异分母分式相加减的步骤作答即可； （2）根据同分母分式加减法的法则进行作答即可； （3）直接根据异分母分式相加减的运算法则计算就可． 【小问1详解】 以上计算过程从第①步开始出现错误， 故答案为：①； 【小问2详解】 从②步到③步应用同分母分式加减法的法则：分母不变，分子相加减， 故答案为：不变，相加减； 【小问3详解】 化简： 解：原式 ， 故答案为：． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，乘法公式，先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代入计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 四、解答题（每小题7分，共28分．） 20. 已知：如图，点E，A，C在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定和性质．首先根据可得，再利用定理判定，根据全等三角形的性质可得． 【详解】证明：∵， ， 在和中， ， ， ． 21. 如图，在中，，的平分线交于点E，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识点，先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据垂直的定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，． ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 22. 一次课堂练习，小红做了如下四道因式分解题：①；②；③；④ （1）小红做错的或不完整的题目是__________（填序号）； （2）把（1）题中题目的正确答案写在下面． 【答案】（1）②④；（2）①,②,③,④. 【解析】 分析】（1）根据提取公因式和公式法因式分解进行判断即可； （2）根据取公因式和公式法因式分解对（1）中错误的因式分解即可； 【详解】解：（1）①，正确； ②，故②错误； ③，正确； ④，故④错误； 故答案为②④； ①； ②； ③， ④； 故答案为：①；②；③；④. 【点睛】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键. 23. 图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，B两点均在格点上，在给定的网格中 （1）在图①中，画出以AB为底边的等腰△ABC，并且点C为格点． （2）在图②中，画出以AB为腰的等腰△ABD，并且点D为格点． （3）在图③中，画出以AB为腰的等腰△ABE，并且点E为格点，所画的△ABE与图②中所画的△ABD不全等． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析； （3）作图见解析． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的定义作出图形即可； （2）根据等腰三角形的定义作出图形即可； （3）根据等腰三角形的定义以及题目要求作出图形即可． 【小问1详解】 解：如图①中，△ABC即为所求； 【小问2详解】 解：如图②中，△ABD即为所求； 小问3详解】 解：如图③中，△ABE即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握利用数形结合的思想解决问题． 五、解答题（每小题8分，共16分） 24. 生活中的数学：某校计划为初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳． （1）这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的____________性； （2）图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 【答案】（1）稳定 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，三全等三角形的判定和性质，线段中点的定义，正确理解全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质回答即可． 【小问1详解】 解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性质， 故答案为：稳定； 【小问2详解】 是的中点， ， ， ， ． 25 某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg产品？ 根据以上信息，解答下列问题． （1）小华同学设乙型机器人每小时搬运kg产品，可列方程为______．小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为小时，可列方程为______． （2）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程． 【答案】（1）；；（2）乙型机器人每小时搬运30kg产品，见解析． 【解析】 【分析】（1）设乙型机器人每小时搬运xkg产品，则甲型机器人每小时搬运（x＋10）kg产品，根据甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等，即可得出关于x的分式方程；设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，根据甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，即可得出关于y的分式方程； （2）根据小华同学的解题思路，解分式方程即可得出结论． 【详解】解：（1）设乙型机器人每小时搬运xkg产品，则甲型机器人每小时搬运（x＋10）kg产品， 依题意得：； 设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时， 依题意得：． 故答案为：；； （2）设乙型机器人每小时搬运kg产品，根据题意可得： ， 解得：， 经检验得：是原方程的解，且符合题意， 答：乙型机器人每小时搬运30kg产品． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 六、解答题（每小题10分，共20分） 26. 如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D，C，并且AC=BD，AE=BF，连接CE． （1）求证：AE∥FB； （2）若DC=DE，∠A=25°，求∠AEC的度数． （3）若DC=DE，∠A=α，则∠AEC=_________（用含α的式子表示）． （4）若∠A=30°，DE=m，则BF=_________（用含m的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）∠AEC=20°；（3） 45°-α；（4）2m． 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADE=∠BCF=90°，证明，根据全等三角形的性质即可得到∠A=∠B，根据平行线的判定即可得到结论； （2）由等腰直角三角形的性质得出∠DCE=∠CED=45°，由三角形外角的性质得出答案 （3）根据题意可得是等腰直角三角形，可得，再根据三角形的外角性质可得结论； （4）根据直角三角形的性质得到AE=2m，再由BF=AE可得结论． 【详解】解：（1）∵AC=BD， ∴AC+CD=BD+CD， 即AD=BC． 在Rt△ADE和Rt△BCF中， ∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）． ∴∠A=∠B． ∴AE∥FB． （2）∵ED⊥AB， ∴∠ADE=90°. ∵∠A=25°， ∴∠AED=65°. ∵DC=DE， ∴∠CED=45°. ∴∠AEC=∠AED—∠CED=65°—45°=20°. （3）∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ 故答案为：45°—α. （4）∵ED⊥AB， ∴是直角三角形 ∵∠A=30°，DE=m， ∴ 由（1）得Rt△ADE≌Rt△BCF ∴ 故答案为：2m. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，解此题的关键是推出△AED≌△BFC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上的一点，且． （1）求的长； （2）如图①，若点在轴上，且是等边三角形，则点的坐标是____________； （3）如图②，点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒． ①当是直角三角形时，求的值； ②当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）①或；②或 【解析】 【分析】（）由可得，再根据直角三角形的性质求出即可； （）设点的坐标为，由等边三角形的性质可得，进而列出方程即可求解； （）①由题意可得，，即得，分和两种情况，根据直角三角形的性质列出方程解答即可求解；②分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，根据等边三角形和等腰三角形的性质分别列出方程解答即可； 本题考查了坐标与图形，等腰三角形的定义，等边三角形的性质和判断，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设点的坐标为， ∵是等边三角形， ∴， 即， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①由题意可得，，， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； 当时，则， ∴， 即， 解得； 综上，当是直角三角形时，的值为或； ②当点在线段上时， ∵是等腰三角形时，， ∴是等边三角形， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时，， ∵是等腰三角形， ∴， 即， 解得， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $