精品解析：辽宁省抚顺市六校协作体2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由并集和补集定义即可计算求解. 【详解】由题可得，又全集， 所以. 故选：B 2. 若复数为纯虚数，则实数（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的运算化简复数，由纯虚数定义求得. 【详解】， 由题意可知，则， 当时，为纯虚数. 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分为和两种情况对化简，结合不等式的性质即可进行判断. 【详解】当时，不等式可化为， 此时，，， 当时，不等式可化为， 此时，，， 故A，B，C错误，D正确. 故选：D. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和值域分析判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，且， 可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故BC错误； 又因为，则，故D错误； 故选：A. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦函数和正弦函数的性质，结合充分性和必要性的定义进行运算判断即可. 【详解】当时，可得，或， 当时，， 当时，， 因此由不一定能推出. 当时，可得， 则有， 因此由不一定能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据图象判断的解析式，列方程即可. 【详解】作出函数的图象，如图， 由图可知，若，则分别在轴的负半轴与正半轴上， 所以， 所以，解得. 故选：A. 7. 已知直线与轴、轴分别交于，两点，与圆交于，两点，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离和半径，可得，再求出，即可求出结果. 【详解】在直线中，令，得，故，令，得，故， 所以， 圆心到直线的距离，所以， 由，得，化简得，解得. 故选：C. 8. 现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（ ） A. 2千克 B. 3千克 C. 5千克 D. 7千克 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的首项和公差，根据已知条件列出不等式，再结合总质量求出首项的最小值，进而得到最重盒子质量的最小值. 【详解】依题意设十个盒子的质量构成的等差数列为，首项为，公差为（）， 则这十个盒子的质量分别为：， 则前三位盒子总质量为：， 后三位盒子总质量为：， 依题意可得：，化简得：， ，即， 由，且， 所以，有，解得， 又因为是关于的减函数， 当取最大值时，取得最小值，. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（ ） A. B. C. D. 设为内一点（含边界），的最小值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，延长交于点，先证明四边形为平行四边形，进而求解判断即可；对于B，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，结合B，根据平面向量的数量积的定义及运算律求解判断即可；对于D，分析易得当位于点时，最小，进而求解判断即可. 【详解】对于A，延长交于点， 由题意可得，，所以四边形为平行四边形， 而，为等边三角形，四边形为三个全等的等腰梯形， 则，， 所以，故A正确； 对于B，由于，则， 所以，故B正确； 对于C，由B知，，且为等边三角形，边长为4， 所以，故C错误； 对于D，由， 因为表示在的投影，显然，当位于点时，投影最小， 由于，，则， 所以， 则，即的最小值为6，故D正确. 故选：ABD 10. 若为锐角，，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题设易得，进而分为奇数、偶数，两种情况讨论求解即可. 【详解】由， 则或， 即或， 由于不可能为锐角，则， 当为奇数时，由， 因为，则， 所以， 则； 当为偶数时，由， 即，因为，则， 所以， 则. 综上所述，的值可能为，. 故选：CD 11. 已知函数是定义在上的可导函数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则是的极值点 B. 若在上单调递增，则函数在上单调递减 C. 若函数在上单调递增，则在上单调递减 D. 若在上单调递增，在上单调递减，则函数在上单调递增，在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数为常数函数即可判断A；先由函数单调性得到时，再分析时函数的导数即可判断B；由题意得以及时，进而得到时，进而即可求解判断C；由题意得到时，时，分析导函数并结合选项C即可求解判断D. 【详解】若函数为常数函数，满足，但不是的极值点，故A错误； 因为在上单调递增，所以当时， 当时，，所以，所以， 所以函数在上单调递减，故B正确； 易得函数，函数在上单调递增，则， 则当时，，，则， 所以在上单调递减，故C正确； 若在上单调递增，在上单调递减， 则时，时，， 当时，则，则， 所以函数在上单调递增，由选项C得函数在上单调递减，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数在上单调递增，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的单调性以及周期性分析求解即可. 【详解】因为，则， 且，则，， 若函数在上单调递增， 注意到函数的最小正周期，且， 则，解得. 故答案为：. 13. 已知函数没有零点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】函数没有零点可以转化为函数与直线无交点，求出函数的值域即可求出答案. 【详解】函数没有零点， 即无解， 可化为， 即函数与直线无交点， 因为，所以， 若函数与直线无交点，则，解得， 所以若函数没有零点，则. 故答案为：. 14. 已知直线与平面所成的角为，直线与直线垂直，则直线与平面所成角的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用底面是等腰直角三角形的直三棱柱为模型，结合直线与平面所成的角的意义并讨论极端情况即可求出范围. 【详解】如图，在直三棱柱中，，平面平面， 平面平面，直线在平面内的投影是直线， 则直线与平面所成的角都是， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面， 不妨令直线为直线，平面为平面，直线在平面内，， 此时满足直线与平面所成的角为， 当与平行或重合时，直线与平面所成的角取得最大值，最大值为； 当与平行或重合时，直线与平面所成的角取得最小值，最小值为， 所以直线与平面所成角的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆，直线过定点． （1）求点的坐标； （2）若直线与圆相切，求的值； （3）若直线与圆交于点，且，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）将直线方程整理，提取参数，列方程组可得定点的坐标； （2）根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离为半径列方程求解即可； （3）因为弦长的一半、半径、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理列方程可得圆心到弦的距离，再根据点到直线的距离公式可求. 【小问1详解】 因为直线的方程为，即对任意的实数恒成立， 所以，解得，所以直线过定点， 即点的坐标为． 【小问2详解】 如图，当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离为半径2， 即，解得. 【小问3详解】 如图，取的中点，由圆的性质知. 在中，由勾股定理知， 即，解得， 即圆心到直线的距离为，所以， 解得. 16. 如图，在四面体中，平面，是等边三角形，，是的中点. （1）证明：. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的性质和判断证明平面，再由线面垂直的性质定理证明结论； （2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用法向量夹角的三角函数关系计算. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以. 又为等边三角形，且为的中点，所以， 因为平面，平面，， 所以平面，又平面，所以. 【小问2详解】 以A为坐标原点，AC为轴，过A且与AC垂直的直线为轴，AB为轴建立如图空间直角坐标系. 设，则，，，，， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以. 设二面角的平面角为， 则， 所以. 所以二面角的正弦值为. 17. 如图，在边长为2的等边中，为内一点，. （1）若，求的面积； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理求得PC，再利用三角形的面积公式求解； （2）设，得到，，然后利用正弦定理及差角公式求解即得. 【小问1详解】 在中，，，， 由余弦定理得：， 即，解得， 所以； 【小问2详解】 在中，因为，， 则，设，则，， 在中，由正弦定理得，即， 即，即，则， 所以. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系把转化成关于的递推公式，再构造等比数列可得答案； （2）利用分组求和可得答案； （3）由（2）可得到，利用单调性可得到其最值，即得答案. 【小问1详解】 由 ，当  时，，解得 ； 当  时，， 整理得 ， 即 故数列  是首项为 、公比为  的等比数列， 所以 因此 【小问2详解】 由 . ， 【小问3详解】 由（2）知， 由，知 易知  单调递减， 所以， 而  单调递增，所以， ， 只需， 即. 故  的取值范围是 . 19. （1）求函数的单调递增区间； （2）若存在使得对任意，都有，求的最小值； （3）已知，且，求的最值． 【答案】（1）；（2）；（3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）直接求导得，再令其大于0，解出即可； （2）分和讨论即可； （3）求导得，再分和讨论即可. 【详解】（1）. 令，得，解得. 故的单调递增区间为. （2），若，则. 若，则， 所以的最大值的最小值为0，即的最小值为0. （3）令函数， ①当时，，， 所以在上单调递增. . 因为， 所以， 当且仅当，时，等号成立. ②当时，令，得或，即或. 当时，. 当时，， 所以，. 当时，若， 则，所以. 若，则， 所以，所以. 故当时，在上单调递减，在上单调递增. ， 当且仅当，即时，等号成立，此时. 故. . 因为，所以， ， 当且仅当时，等号成立，此时. 因为，所以的最大值为，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数为纯虚数，则实数（ ） A. 3 B. 5 C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与轴、轴分别交于，两点，与圆交于，两点，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（ ） A. 2千克 B. 3千克 C. 5千克 D. 7千克 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（ ） A. B. C. D. 设为内一点（含边界），的最小值为6 10. 若为锐角，，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是定义在上的可导函数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则是的极值点 B. 若在上单调递增，则函数在上单调递减 C. 若函数在上单调递增，则在上单调递减 D. 若在上单调递增，在上单调递减，则函数在上单调递增，在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数在上单调递增，则______. 13. 已知函数没有零点，则______. 14. 已知直线与平面所成的角为，直线与直线垂直，则直线与平面所成角的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆，直线过定点． （1）求点的坐标； （2）若直线与圆相切，求的值； （3）若直线与圆交于点，且，求的值． 16. 如图，在四面体中，平面，是等边三角形，，是的中点. （1）证明：. （2）求二面角的正弦值. 17. 如图，在边长为2的等边中，为内一点，. （1）若，求的面积； （2）若，求的值. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若，求的取值范围． 19. （1）求函数的单调递增区间； （2）若存在使得对任意，都有，求的最小值； （3）已知，且，求的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $