精品解析：江苏省连云港市新海初级中学2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试卷(1)

九年级数学检测反馈（13） 【夯基固本】（4×10+8+10） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，利用设k法求解更简便． 根据已知条件得出，设，，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：， 设，， ； 故答案为：D． 2. 已知P是线段的黄金分割点，且，那么值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握“黄金分割点中较短线段与较长线段的比值为”是解题的关键．根据黄金分割点的定义，利用黄金比的关系来求解的值． 【详解】解：∵ P是线段的黄金分割点，且， ∴ ， 故选：C． 3. 如图，在中，点D，E分别在边，上，那么下列条件中，不能判断、相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案． 【详解】解：A、，，可根据两角相等证明，不符合题意； B、，，，可根据两角相等证明，不符合题意； C、，，不能证明，符合题意； D、，，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键． 4. 如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例． 根据平行线分线段成比例定理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得：． 故选：C． 5. 如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，由，可得，，由，可得，，再进一步分析判断即可． 【详解】∵， ∴，，故A不符合题意； ∵， ∴，， ∴，故B不符合题意；C符合题意； ∵，， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 6. 已知线段，，那么线段，的比例中项___________． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的概念，熟练掌握“比例中项的平方等于另外两个数的乘积”是解题的关键．直接根据比例中项的公式计算即可． 【详解】解：根据比例中项的定义，有，即， 代入，，得， （取正值）． 故答案为：． 7. 两个相似三角形相似比为，较小三角形周长为，则较大三角形周长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比计算即可． 【详解】解：设较大的三角形的周长为， 这两个相似三角形的相似比为， 这两个三角形的周长比为， 较小的三角形的周长为， ， ， 故答案为：． 8. 如图，、分别是的边、上的点，，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．证明，得出；证明，，得到，由相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解∶， ， ， ， ，， ， ； 故答案为：． 9. 在中，，，点D在边上，且，点E在上，当______时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 10. 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE=_______． 【答案】. 【解析】 【详解】由圆周角定理可知，∠E=∠C， ∵∠ABE=∠ADC=90°，∠E=∠C， ∴△ABE∽△ACD. ∴AB:AD=AE:AC， ∵AB=4，AC=5，AD=4， ∴4:4=AE:5， ∴AE=5， 故答案为5. 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是证出△ABE∽△ACD. 11. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）在图1中．将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出； （2）在图2中，在线段上画一个点M，使． 【答案】（1） 所作如图所示： （2） 所作点M如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质，熟练掌握位似图形及相似三角形的性质是解题的关键； （1）根据位似图形的性质可直接进行求解； （2）根据相似三角形的性质可进行求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 12. 如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG=x mm，EF=y mm． （1）写出x与y的关系式； （2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值． 【答案】（1）y=120-x；（2）当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法是错误的. x=40mm，y=60mm时，矩形EGHF的面积最大，最大面积为2400平方毫米． 【解析】 【分析】（1）易证△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求解； （2）矩形EGHF的面积S=xy，根据（1）中y与x的函数关系式，即可得到S与x之间的函数关系，根据函数的性质即可求解； 【详解】根据已知条件易知：EF∥BC，AD⊥EF，PN=GH=ymm，DK=EG=xmm， ∴△AEF∽△ABC． 从而有,即, ∴y=120-x； （2）设矩形EGHF的面积为S，则S=xy， 即S=x（120-x）， 当x=-=40时，S有最大值为2400 此时y==60 ∴x=40mm，y=60mm时，矩形EGHF的面积最大，最大面积为2400平方毫米． 故当矩形当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法是错误的.为正方形时S最大，这个说法是错误的. 【点睛】本题主要运用了相似三角形的性质，对应边的比等于对应高的比，同时考查了二次函数最值的求法. 【能力提炼】（4+4+8+10） 13. 如图，和表示两根立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得MH∥AB，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴△ABM∽△DCM， ∴===，（相似三角形对应高的比等于相似比）， ∵MH∥AB， ∴△MDH∽△ADB， ∴==， ∴=， 解得MH=6． 故答案为6． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比． 14. 如图，将等边三角形纸片折叠，使点A落在边上的D处，为折痕．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，由条件可以得出 设就有设 根据相似三角形的性质就可以表示出，再根据就可以求出与的数量关系，从而求出结论，解答时运用相似三角形的性质建立方程求解是关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠可知：与关于对称， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， 故选：C． 15. 九年级（3）班数学探究小组在学习了《利用相似三角形测高》后，打算利用所学知识测量学校旗杆的高度．如图，标杆，两杆之间的距离，E，G，B成一线；从G处退行到H处，人的眼睛贴着地面观察A点，A，F，H三点也成一线；从E处退行到C点，从C观察A点，A，D，C三点也成一线，求的值和旗杆的高度． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解，相似三角形实际应用等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，得出，再证明，得出，从而可得出，于是可求得，进而求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵G处退行到H处， ∴， ∵从E处退行到C点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 故的值为和旗杆的高度． 16. △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A＝∠D＝90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上． （1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE； （2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论． 【答案】 （1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠MBE＝45°，∴∠BME+∠MEB＝135° 又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝45° ∴∠NEC+∠MEB＝135° ∴∠BME＝∠NEC， 而∠B＝∠C＝45°， ∴△BEM∽△CNE． （2）能，△ECN∽△MEN， 证明：与（1）同理△BEM∽△CNE， ∴． 又∵BE＝EC， ∴， 在△ECN与△MEN中有， 又∠ECN＝∠MEN＝45°， ∴△ECN∽△MEN． 【解析】 【分析】（1）由△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，易得∠BME＝∠NEC，又由∠B=∠C=45°，即可证得△BEM∽△CNE； （2）与（1）同理△BEM∽△CNE，可得，又由BE=EC，即可得，然后由∠ECN=∠MEN=45°，证得△ECN∽△MEN． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 【素养提升】（4+12） 17. 如图，在矩形内放置5个大小相同的正方形，且四个点分别在矩形的四条边上．要求的值，只要知道下面哪条线段的长？（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 如图：作于点M，则四边形、四边形都是矩形，所以，可证明，则，所以，则，所以只要知道线段的长，即可求出的值． 【详解】解：如图：作于点M，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形、四边形都是矩形， ∴， 设每个正方形的边长都是m，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴要求的值，只要知道线段的长即可． 故选：A． 18. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）如图，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为______，位置关系为______；（直接写出答案） （2）如图，把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）在（）的条件下，小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案） 【答案】（1），； （2） 解：，，理由如下： 如图，设与交于，与交于点， ∵，，， ∴，， ∵四边形和四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（）延长交于，交于，由四边形、四边形为正方形，则，，，然后证明，再通过性质即可求解； （）设与交于，与交于点，由四边形和四边形为矩形，则，所以，证明，然后通过相似三角形性质即可求解； （）连接，，由（）知，，，，由勾股定理得，，然后通过即可求解． 【小问1详解】 解：如图，延长交于，交于， ∵四边形、四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案是：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，， 由（）知，，，， ∴，， 由（）知， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和全等三角形的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学检测反馈（13） 【夯基固本】（4×10+8+10） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 已知P是线段的黄金分割点，且，那么值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点D，E分别在边，上，那么下列条件中，不能判断、相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 5. 如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知线段，，那么线段，的比例中项___________． 7. 两个相似三角形相似比为，较小三角形周长为，则较大三角形周长为______cm． 8. 如图，、分别是的边、上的点，，若，则的值为_____． 9. 在中，，，点D在边上，且，点E在上，当______时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 10. 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE=_______． 11. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）在图1中．将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出； （2）在图2中，在线段上画一个点M，使． 12. 如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG=x mm，EF=y mm． （1）写出x与y的关系式； （2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值． 【能力提炼】（4+4+8+10） 13. 如图，和表示两根立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度________． 14. 如图，将等边三角形纸片折叠，使点A落在边上的D处，为折痕．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 15. 九年级（3）班数学探究小组在学习了《利用相似三角形测高》后，打算利用所学知识测量学校旗杆的高度．如图，标杆，两杆之间的距离，E，G，B成一线；从G处退行到H处，人的眼睛贴着地面观察A点，A，F，H三点也成一线；从E处退行到C点，从C观察A点，A，D，C三点也成一线，求的值和旗杆的高度． 16. △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A＝∠D＝90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上． （1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE； （2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论． 【素养提升】（4+12） 17. 如图，在矩形内放置5个大小相同的正方形，且四个点分别在矩形的四条边上．要求的值，只要知道下面哪条线段的长？（ ） A. B. C. D. 18. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）如图，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为______，位置关系为______；（直接写出答案） （2）如图，把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）在（）的条件下，小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $