精品解析：河南省周口市西华县文远学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度初中九年级12月份数学考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 如图所示的几何体，从上面看，得到的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 镜片焦距x的值越大，近视眼镜的度数y的值越小 B. 图中曲线是反比例函数的图象（其中一支） C. 当焦距x为时，近视眼镜度数y约为300度 D. 对于每一个镜片焦距x，都有唯一近视度数y与它对应 3. 如图所示，中，E、F、D分别是边上的点，且满足，则与的面积比为（　　） A. B. C. D. 4. 函数与在同一坐标系的图象是（　　） A B. C. D. 5. 在中，，于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的平分线与边上的中线互相垂直，并且，则（ ） A. 7 B. C. D. 6 7. 如图，在中，，绕顶点C逆时针旋转得到，使点 D 落在 边上，连接 ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG=（ ） A. 1：3 B. 3：1 C. 1：9 D. 9：1 9. 下图是一个几何体的立体图及其三视图，则这个几何体的俯视图是( ) A. B. C. D. 10. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（　　） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 第II卷（非选择题） 二、填空题 11. 已知，且a＋b＝22，则a值为____________． 12. 已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于 象限． 13. 如图，在中，，点在边的延长线上，且，垂足为点，如果，，，那么________． 14. 如图，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点． （1）若，则的度数为______． （2）若，则值为______． 15. 如图，将沿BC边上的中线AD平移到的位置，已知的面积为18，阴影部分三角形的面积为2．若，则等于______． 三、解答题 16. 计算：． 17. 如图，这是由4个完全相同的小正方体组成的几何体．请分别在网格中画出从正面、左面和上面看到的形状图． 18. 如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： （1）反比例函数上的解析式； （2）的面积． 19. 某天，当太阳移动到屋顶斜上方时，太阳光线EF与地面成60°角，房屋的窗户AB的高为1.5米，现要在窗户外面的上方安装一个水平遮阳篷AC，当AC的宽在什么范围时，太阳光这时能直接射入室内？ 20. 如图，在中，是延长线上一点，与交于点． （1）求证：； （2）设和的面积分别为，若，求的值． 21. 在平整的地面上，有一个由9个完全相同的小立方块搭成的几何体，每个小正方体的棱长均为， 如图所示． （1）请画出这个几何体从三个方向看到的形状图； （2）如果在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体从上面看和从左面看到的形状图不变，添加小正方体的方法共有______种． （3）请在下图中画出两种添加小正方体后，从正面看到的几何体的形状图．    （4）将原几何体露出的表面部分涂成红色，那么红色部分的面积______． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）连接，，求面积． 23. 如图，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接DE． （1）求证△BEC∽△ADC； （2）求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度初中九年级12月份数学考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 如图所示的几何体，从上面看，得到的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的线条都应表现在俯视图中． 【详解】解：从上面看共有两圆圈，都是实线． 故选：B． 2. 近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 镜片焦距x的值越大，近视眼镜的度数y的值越小 B. 图中曲线是反比例函数的图象（其中一支） C. 当焦距x为时，近视眼镜的度数y约为300度 D. 对于每一个镜片焦距x，都有唯一的近视度数y与它对应 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可以判断． 【详解】解：∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）为反比例函数关系， ∴当x的值增大时，y的值随之减小，故A正确，不符合题意； 图中曲线是反比例函数的图象（其中一支），故B正确，不符合题意； 当焦距x为时，近视眼镜的度数y约为333度，故C不正确，符合题意； 当焦距x时，不存在近视度数y与它对应，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数的性质是解题关键． 3. 如图所示，中，E、F、D分别是边上的点，且满足，则与的面积比为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质； 先根据题干条件证明，得出，进而可得，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，中边上的高与中边上的高之比为， ∴， ∴中边上的高与中边上的高之比为， ∴ 则 ； 故选B. 4. 函数与在同一坐标系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象，分类讨论：当时，则，当时，则，得出反比例函数的图象及二次函数的图象，进而可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：当时，则， 反比例函数图象经过一、三象限，二次函数开口向下，且与y轴交于正半轴， 当时，则，反比例函数图象经过二、四象限，二次函数开口向上，且与y轴交于负半轴， 则满足条件的图象为： ， 故选B． 5. 在中，，于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定与性质等知识点，在图中观察并找出相似三角形是解题的关键． 利用直角三角形的两个锐角互余可证得，，于是可得，进而可证得，根据相似三角形的性质可得，于是得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 6. 如图，的平分线与边上的中线互相垂直，并且，则（ ） A. 7 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，得到，取的中点F，连接，由三角形中位线定理得到，则，得，求出，则，由勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】解：∵的平分线与边上的中线互相垂直， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 取的中点F，连接， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，构造中位线是解题的关键． 7. 如图，在中，，绕顶点C逆时针旋转得到，使点 D 落在 边上，连接 ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】现根据旋转证得，即，然后过点作于点F，则，根据三角形的面积求出长，然后利用勾股定理求出即可解题． ∴， 由旋转可知：，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 过点作于点F，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，作辅助线构造“三线合一”是解题的关键． 8. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG=（ ） A. 1：3 B. 3：1 C. 1：9 D. 9：1 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】先证明△EFG∽△BAG，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题. 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB，CD∥AB， ∵DE=EF=FC， ∴EF：AB=1：3， ∵CD∥AB， ∴△EFG∽△BAG， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和灵活运用平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键. 9. 下图是一个几何体的立体图及其三视图，则这个几何体的俯视图是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】俯视图是从上往下看到的图形，结合选项进行判断即可. 【详解】解：所给图形的俯视图是六边形， 故选：B. 【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，掌握俯视图是从上往下看得到的图形是解答此题的关键. 10. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（　　） A. 当时， B. 当时， C 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，根据四个选项中的范围，逐一分析，结合反比例函数的增减性判断出函数值的大小． 【详解】解：反比例函数，函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当时，，都在第一象限，当时，即时，有，即，故A错误； 当时，，关于原点的对称点为，则，都在第一象限，若，则，即，故B错误； 当时，，此时，都在第一象限， ∵， ∴，， ∴， ∴，即，故C正确； 当时，，在第三象限，取关于原点的对称点，此点在第一象限，也在第一象限， ∴， ∴， ∴，即，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，不等式的基本性质，关于原点对称的点的坐标特征，根据反比例函数的图象比较函数值的大小，解题关键是将不同象限的点利用关于原点对称化为同一象限的点求解． 第II卷（非选择题） 二、填空题 11. 已知，且a＋b＝22，则a的值为____________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意设=k（k≠0），得出a=6k，b=5k，求出k的值，然后求出a的值即可． 【详解】设=k（k≠0）， 则a=6k，b=5k， ∵a+b=22， ∴6k+5k=22， ∴k=2， ∴a=6k=6×2=12． 故答案为：12． 【点睛】此题考查了比例的性质，根据题意设出a=6k，b=5k是解题的关键． 12. 已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于 象限． 【答案】二、四． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据反比例函数中k的符号判断图象所在象限．根据点求出，再由可知，反比例函数图象在第二、四限． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴函数图象位于第二，四象限． 故答案为二、四． 13. 如图，在中，，点在边的延长线上，且，垂足为点，如果，，，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，推出，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 14. 如图，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点． （1）若，则的度数为______． （2）若，则值为______． 【答案】 ①. ##30度 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定等知识： （1）由折叠得根据可得结论； （2）设分别表示出证明，得出根据得出进而即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴ 由折叠得 ∴在中， ∴， 故答案为：； （2）设　 ∴ ∴ ∵G是的中点， ∴， 如图， ∵ ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴， 由折叠得， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 15. 如图，将沿BC边上的中线AD平移到的位置，已知的面积为18，阴影部分三角形的面积为2．若，则等于______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平移的性质，，得，，，，根据相似三角形的性质，通过证明，，推导得，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意，，，，，如下图 ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平移、相似三角形、三角形中线知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解． 三、解答题 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，根据零指数幂和特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，这是由4个完全相同的小正方体组成的几何体．请分别在网格中画出从正面、左面和上面看到的形状图． 【答案】见解析 【解析】 【分析】三视图的具体画法及步骤为：①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题主要考查了画三视图，画立体图形三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图．要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线． 18. 如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： （1）反比例函数上的解析式； （2）的面积． 【答案】（1） （2）的面积是2 【解析】 【分析】本题考查的知识点是正比例函数以及反比例函数图象上点的坐标． （1）根据题意A的纵坐标为2，代入，求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值； （2）分别求出和即可求解． 【小问1详解】 解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交点A的纵坐标为2， ， 解得：， 把代入，得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：轴，垂足是C， ， ∵点A和点B关于原点对称， ， ∴，， ∴， 的面积是2． 19. 某天，当太阳移动到屋顶斜上方时，太阳光线EF与地面成60°角，房屋的窗户AB的高为1.5米，现要在窗户外面的上方安装一个水平遮阳篷AC，当AC的宽在什么范围时，太阳光这时能直接射入室内？ 【答案】AC的宽小于0.87米时，太阳光这时能直接射入室内 【解析】 【分析】根据题意，找到能直接照射的临界点即设AC的宽为x时，太阳光恰恰能直接射入室；由平行投影的知识与三角函数的定义可得 =tan60°，将AB=1.5代入可得x的值，再由实际情况，可得AC的范围． 【详解】解：设AC的宽为x时，太阳光恰恰能直接射入室； 根据题意有，∠ACB＝60°，且AB＝1.5； 根据平行投影的知识可得：＝tan60°＝ ； 故x＝≈0.87. 答：AC的宽小于0.87米时，太阳光这时能直接射入室内． 【点睛】该题通过投影的知识结合图形相似的性质巧妙地求出灯泡离地面的距离，考查的是平行投影性质在实际生活中的应用． 20. 如图，在中，是延长线上一点，与交于点． （1）求证：； （2）设和的面积分别为，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，再根据平行线的性质得到，然后根据相似三角形的判定方法可得到结论； （2）由相似三角形的性质求出三角形与三角形的比值及三角形与三角形的比值，则可求出答案． 【小问1详解】 证明：四边形为平行四边形， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 同理可得， 设，则，， ， ． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定． 21. 在平整的地面上，有一个由9个完全相同的小立方块搭成的几何体，每个小正方体的棱长均为， 如图所示． （1）请画出这个几何体从三个方向看到形状图； （2）如果在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体从上面看和从左面看到的形状图不变，添加小正方体的方法共有______种． （3）请在下图中画出两种添加小正方体后，从正面看到的几何体的形状图．    （4）将原几何体露出的表面部分涂成红色，那么红色部分的面积______． 【答案】（1）画图见解析 （2）4 （3）画图见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，求几何体的表面积，较强的空间想象能力是解答本题的关键． （1）由已知条件可知，主视图有4列，每列小正方形数目分别为1，3，1，1；左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2；俯视图有4列，每列小正方形数目分别为1，2，1，2．据此可画出图形； （2）根据从上面看和从左面看到的形状图不变解答即可； （3）任选2个位置画图即可； （4）用露出面的个数一个面的面积进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：添加的位置如图所示， 故答案为：4． 【小问3详解】 解：如图所示， 【小问4详解】 解： 故答案为：． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）连接，，求的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数中的三角形面积问题，根据数形结合思想求解是解题的关键． （1）根据待定系数法求得反比例函数，再求得B点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数； （2）根据，只需根据一次函数求得的长度，即可解答． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴， ∴，． ∴，， 则， 解得：， ∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与x轴交于点C， 令，则，解得：， ∴点C的坐标为， ∴． 23. 如图，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接DE． （1）求证△BEC∽△ADC； （2）求证． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】(1)由AD⊥BC，BE⊥AC可证∠ADC=∠BEC=90°，又∠C=∠C，故△BEC∽△ADC； （2）通过证明△BEC∽△ADC与△CDE∽△CAB可证得结论. 【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC ∴∠ADC=∠BEC=90° 又∵∠C=∠C ∴△BEC∽△ADC （2）证明：∵△BEC∽△ADC ∴ ∴ 又∵∠C=∠C ∴△CDE∽△CAB ∴. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $