精品解析：辽宁省大连市沙河口区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025~2026学年度第一学期质量检测 九年级数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 绿色环保，人人参与．下列环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．根据中心对称图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，找出各选项中的中心对称图形，即可得到答案． 【详解】解：．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形，故该选项符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 明天太阳从东方升起 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的，据此逐项分析即可求解． 【详解】解：A、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； B、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件，不符合题意； D、太阳从东方升起是自然规律，是必然事件，符合题意． 故选：D． 3. 函数的图象大致是（ ） A.     B.     C.     D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数， ∵， ∴两支曲线分别位于第二、四象限内， 故选A． 4. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据可得，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 5. 如图，在中，，，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．结合已知条件，根据余弦的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故选：D． 6. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】解：A、，开口向下，原说法错误； B、对称轴是直线，原说法错误； C、顶点坐标为，说法正确； D、当时，y随x的增大而减大，原说法错误； 故选：C． 7. 如图，等边三角形内接于，点是上一点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了圆内接四边形的性质及等边三角形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．首先根据等边三角形的性质计算出，再根据圆内接四边形的对角互补可得答案． 【详解】解：是等边三角形， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 故选：A． 8. 如图，在中，，．以为圆心长为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，求扇形面积等知识，先根据等腰直角三角形的性质得出，再根据扇形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵以为圆心长为半径画圆， ∴， 故选C． 9. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为轴，出水口为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱在空中运行路线是抛物线（单位：）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴交点的横坐标差的绝对值，据此解答即可． 【详解】解：令， 解得：或， 所以抛物线与x轴交于点和， ∴水喷出的最远水平距离是米． 故选D． 10. 如图，线段是半圆的直径，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交半圆于点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基本概念，垂直平分线的做法，等边三角形的判定和性质以及弧长公式，连接和，则，根据作图知垂直平分，则，即可判定为边长为3的等边三角形，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：连接和，如图， 则， 根据作图知垂直平分，则， ∵， ∴为边长为3的等边三角形， ∴， 则的长是， 故选：A． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将抛物线的图象向上平移3个单位，则平移后抛物线的函数表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线的图象向上平移3个单位后得到新的图象，那么平移后抛物线的函数表达式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数图像的平移，掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键． 12. 反比例函数的图象在每个象限内的函数值随的增大而减小，请写出一个符合条件的的整数值是________． 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数大于时，函数图象在每个象限内随的增大而减小，可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内随的增大而减小， ∴， ∴， 因此符合条件的的整数值可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 要用圆形铁片截出一个边长为的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质．正方形的外接圆圆心是其对角线的交点，正方形的两对角线互相垂直、平分．本题的实质是求出正方形外接圆的半径，其半径就是正方形对角线的一半，据此即可求解． 【详解】解：如图，四边形是正方形，是正方形外接圆，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， 故， 即， ∴选用的圆形铁片的半径至少是． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知点，，，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质计算，即可得出点A的坐标． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴相似比为， ∵，且点A在第四象限， ∴， 则点的坐标是， 故答案为：． 15. 如图，在边长为4的等边中，，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质、等边三角形的判定和性质和勾股定理的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 由得出和为等边三角形，再由相似三角形的性质得出，进而得出，代入计算即可得出，过点D作于点F，可得、和，再利用勾股定理求得． 【详解】解：∵， ∴，为等边三角形， ∴， ∴， ∵等边边长为4， ∴， 过点D作于点F，如图， 则，，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊三角函数值的混合运算以及解一元二次方程等知识． （1）先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘法，最后再计算加减法． （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ， ， ，． 17. 有一款蓄电池，该蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象和几组数据如下图表所示． 3 4 6 8 10 9 6 4.5 （1）求出这个反比例函数解析式； （2）直接写出上表中的、的值； （3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】（1） （2）， （3）用电器可变电阻应控制在3.6以上的范围内 【解析】 【分析】此题考查求反比例函数解析式，反比例函数的应用， （1）利用待定系数法求函数解析式； （2）将自变量代入解析式求函数值即可； （3）列不等式解答即可． 【小问1详解】 电流是电阻的反比例函数，设， 图象经过， ， 解得， ； 【小问2详解】 ，， ， 【小问3详解】 ，， ， ， 答：用电器可变电阻应控制在3.6以上范围内． 18. 某校9年1班把学生分成人数相同的A，B，C三个学习小组，班主任张老师用电脑将每名学生进行随机分组．甲、乙两位学生是学习上的好伙伴，特别希望能分在同一个小组． （1）若甲同学想分在A小组，则甲同学分在A组的概率是________； （2）请用画树状图法或列表法中的一种方法，求甲、乙两位同学分到同一个小组的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：有A，B，C三个小组，“甲同学分到A组”有一种情况， 则“甲同学分在A组”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由上可得，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学分到同一个小组的可能性有3种， ∴甲、乙两位同学分到同一个小组的概率． 19. 某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中旗杆的高度 “平面镜”方案 “测角仪”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与旗杆底部位于同一水平地面处； ②测量，两点间的距离； ③在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到旗杆顶部； ④测量，两点间的距离； ⑤测量到地面的高度． ①选取与旗杆底部位于同一水平地面的处； ②测量，两点间的距离； ③站在处，用测角仪测量从眼睛处看旗杆顶部的仰角； ④测量到地面的高度． 测量数据 ①； ②； ③． ①； ②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③参考数据：；；． （1）请你根据“平面镜”方案，直接写出旗杆的高度； （2）请你根据“测角仪”方案，求出旗杆的高度（结果保留整数）． 【答案】（1） （2）旗杆高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理和锐角三角函数是解题的关键． （1）可证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； （2）可证明四边形是矩形，得到，，再解直角三角形求出的长，进而可求出的长． 【小问1详解】 解：在“平面镜”方案中，∵均与地面垂直， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 答：旗杆的高度为； 【小问2详解】 解：在“测角仪”方案中，由题意知：于， ∵均与地面垂直， 四边形是矩形， ，， 在中，，． ， ， 答：旗杆的高度约为． 20. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长．设垂直于墙的边长为，即，矩形菜园的面积为． （1）求与之间的函数表达式； （2）当为何值时，矩形菜园的面积最大，并求出菜园的最大面积． 【答案】（1） （2）当的值是7.5时，矩形菜园的面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，得到等量关系，注意配方法求最值在实际中的应用． （1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的边长为 ，根据题意列出函数，即可求解； （2）根据题意得，利用二次函数的最值，即可求解． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的边长为 ， ∵墙长， ∴，解得， 根据题意得，； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， ∵，； ∴当时，的值最大，即菜园的面积最大，最大面积是 ． 21. 如图，是的直径，点，，是上三点，连接，，，，过点作，与的延长线相交于点． （1）如图，求证：是的切线； （2）如图，若是的中点，与相交于点，当半径为，时，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由圆周角定理得，根据平行线的性质可得，然后通过切线的判定即可求证； （）连接，，通过圆周角定理得，然后证明，在中，设，则，，根据勾股定理得，求出的值即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，设，则，， 根据勾股定理，得， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，切线的判定，等角的余角相等，等角对等边等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与抛物线：组成图象，图象与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，点是图象上动点，设点的横坐标是． （1）求抛物线的顶点坐标和线段的长； （2）当点在抛物线上，过点作轴，与抛物线相交于点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值： （3）若图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，求的取值范围． 【答案】（1），2 （2）1或3 （3）或 【解析】 【分析】（1）将函数一般式化为顶点式，即可得顶点，令，则，当时，，解得，即可求得； （2）将抛物线函数化为顶点式得对称轴为直线，由对称性即可知，结合平行四边形的性质得，即，解方程即可； （3）①当点在抛物线上时，即，结合抛物线的顶点和点坐标，以及最高点与最低点纵坐标之差，列方程求解即可；②当点在抛物线上时，即，结合抛物线的顶点和点坐标，以及最高点与最低点纵坐标之差，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线 ， 顶点为． 令，则， 当时，， 解得，，， ∴， ； 【小问2详解】 解：如图， ∵抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 轴 点与点关于直线对称， ． 以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ， 即，解得：， 的值是1或3； 【小问3详解】 解：①当点在抛物线上时，即， 抛物线的顶点为点坐标为， 图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3， 最高点是抛物线的顶点为，最低点纵坐标为， 当时，，解得：，（舍去） ， ②当点在抛物线上时，即 抛物线的顶点为，点坐标为，， 图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3， 最高点是抛物线的顶点为，最低点纵坐标为1， 当时，，解得：，， 综上，或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和平行四边形的性质，绝对值的意义，以及解二元一次方程方程，解题的关键是熟悉二次函数的性质． 23. 在四边形中，点是直线上一点，连接，． （1）如图1，若四边形为正方形，当点在线段上时，求证：； （2）如图2，若四边形为菱形，延长与边相交于点，与的延长线相交于点，连接，当时，求证：； （3）若四边形为矩形，，，过点作，与直线相交于点，与直线相交于点，； ①如图3，当在边上时，求的长； ②当在的延长线上时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】题目主要考查特殊四边形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，解三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据正方形的性质及全等三角形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质得出，，再由全等三角形的判定和性质确定，继续利用全等三角形的判定得出，即可证明； （3）①延长与相交于点F，根据矩形的性质及全等三角形的判定得出，再由平行线分线段成比例确定，利用相似三角形的判定和性质得出，，然后求解即可； ②过点E作延长线于点H交于点K，根据矩形的性质得出，，，再由相似三角形的判定和性质得出，利用全等三角形的判定和性质得出，，再由平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，结合图形，利用三角函数及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ， ； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ； 【小问3详解】 解：①延长与相交于点F， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ， ∵，即点M为的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ， ， ， 在中，， ； ②如图所示：过点E作的延长线于点H交于点K， ∵为矩形，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期质量检测 九年级数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 绿色环保，人人参与．下列环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 明天太阳从东方升起 3. 函数图象大致是（ ） A.     B.     C.     D. 4. 如图，直线，，则长为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 8 5. 如图，在中，，，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x增大而减小 7. 如图，等边三角形内接于，点是上一点，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，．以为圆心长为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 9. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为轴，出水口为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱在空中运行路线是抛物线（单位：）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，线段是半圆的直径，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交半圆于点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将抛物线图象向上平移3个单位，则平移后抛物线的函数表达式为_____． 12. 反比例函数的图象在每个象限内的函数值随的增大而减小，请写出一个符合条件的的整数值是________． 13. 要用圆形铁片截出一个边长为的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知点，，，则点的坐标是________． 15. 如图，在边长为4的等边中，，若，则的长为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 有一款蓄电池，该蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象和几组数据如下图表所示． 3 4 6 8 10 9 6 4.5 （1）求出这个反比例函数解析式； （2）直接写出上表中的、的值； （3）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 18. 某校9年1班把学生分成人数相同的A，B，C三个学习小组，班主任张老师用电脑将每名学生进行随机分组．甲、乙两位学生是学习上的好伙伴，特别希望能分在同一个小组． （1）若甲同学想分在A小组，则甲同学分在A组的概率是________； （2）请用画树状图法或列表法中的一种方法，求甲、乙两位同学分到同一个小组的概率． 19. 某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中旗杆的高度 “平面镜”方案 “测角仪”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与旗杆底部位于同一水平地面的处； ②测量，两点间的距离； ③在处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至处，眼睛刚好从镜中看到旗杆顶部； ④测量，两点间的距离； ⑤测量到地面的高度． ①选取与旗杆底部位于同一水平地面的处； ②测量，两点间的距离； ③站在处，用测角仪测量从眼睛处看旗杆顶部的仰角； ④测量到地面的高度． 测量数据 ①； ②； ③． ①； ②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③参考数据：；；． （1）请你根据“平面镜”方案，直接写出旗杆的高度； （2）请你根据“测角仪”方案，求出旗杆的高度（结果保留整数）． 20. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长．设垂直于墙的边长为，即，矩形菜园的面积为． （1）求与之间的函数表达式； （2）当为何值时，矩形菜园的面积最大，并求出菜园的最大面积． 21. 如图，是的直径，点，，是上三点，连接，，，，过点作，与的延长线相交于点． （1）如图，求证：是的切线； （2）如图，若是的中点，与相交于点，当半径为，时，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与抛物线：组成图象，图象与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，点是图象上动点，设点的横坐标是． （1）求抛物线的顶点坐标和线段的长； （2）当点在抛物线上，过点作轴，与抛物线相交于点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值： （3）若图象位于，两点之间部分（包括，两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，求的取值范围． 23. 在四边形中，点是直线上一点，连接，． （1）如图1，若四边形正方形，当点在线段上时，求证：； （2）如图2，若四边形为菱形，延长与边相交于点，与的延长线相交于点，连接，当时，求证：； （3）若四边形为矩形，，，过点作，与直线相交于点，与直线相交于点，； ①如图3，当在边上时，求的长； ②当在的延长线上时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $