精品解析：辽宁省大连市沙河口区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

沙河口区2024~2025学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试卷 参考公式：抛物线的顶点坐标公式为． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，根据三视图可知这个立体图形的名称为（ ） A. 圆锥 B. 三棱锥 C. 圆柱 D. 长方体 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图，掌握常见几何体的三视图特征是解题关键． 根据圆锥的三视图特征判断即可． 【详解】解：由图形可得：其主视图和俯视图为三角形，左视图为圆，符合圆锥的三视图特征， 故选：A． 2. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、第二象限 B. 第一、第三象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟记反比例函数中，当时，图象在第一、第三象限；当时，图象在第二、第四象限，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：反比例函数中，， 反比例函数的图象位于第一、第三象限， 故选：B． 3. 抛物线的顶点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键． 根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点是， 故选：D． 4. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 任画一个三角形，其内角和是 B. 在单词中任选一个字母，字母为“b” C. 某射击运动员射击一次，命中靶心 D. 在通常情况下，加热到时，水沸腾 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事件为必然事件，一定不会发生的事件为不可能事件，可能发生也可能不发生的事件为随机事件，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是不可能事件，不符合题意； B、是不可能事件，不符合题意； C、是随机事件，符合题意； D、是必然事件，不符合题意； 故选C． 5. 如图，是的直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 根据是的直径得出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 已知，其相似比为，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似的平方解答． 【详解】解：，其相似比为，则与的面积之比为 故选：D． 7. 如图，中，，，，下列关于的结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题关键． 先计算出，得出，即可判断． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，已知，，那么下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AC：CE=BD：DF=1：2，然后利用比例性质对各选项进行判断． 【详解】解：∵AB∥CD∥EF， ∴AC：CE=BD：DF=1：2， 即CE=2AC， ∴AC：CE=1：3，CE：EA=2：3． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 9. 如图，河堤横断面迎水坡的坡度，堤宽米，则坡面的长度是（ ） A. 米 B. 30米 C. 米 D. 10米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是银师的关键． 根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：迎水坡的坡度， ， 米， 米， 由勾股定理得：（米， 故选：A． 10. 做随机抛掷一枚质地均匀的纪念币的试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（精确到0.001） 0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.521 下面有4个推断：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，所以当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次；④表格空白处的数值是0.520．其中合理推断的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，深刻理解频率与概率之间的关系是解题的关键：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出某一随机事件的概率，我们可以通过多次重复试验，用所得的频率来估计事件的概率．也就是说，通过大量重复试验，可以用频率估计概率（大量反复试验下频率稳定值即概率）． 根据频率与概率之间的关系逐一分析判断即可得出答案． 【详解】解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，本推断不合理； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，本推断合理； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，本推断合理； ④表格空白处的数值是，本推断合理； 综上，合理的推断有：， 故选：． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，将代入计算可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若点，在抛物线上，则与的大小关系为________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 分别求出与的值，再比较大小即可． 详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，正五边形内接于，则________． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键． 根据正多边形和圆的性质进行计算即可求解， 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， 故答案为：72． 14. 如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列式． 设的长度为，则，即可得出． 【详解】解：设的长度为，则， 由题意得，， 故答案为：． 15. 如图，正六边形内接于，点P在上且点P与点A，点B不重合，连接，，，用等式表示、、之间的数量关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考了查正多边形与圆，全等三角形判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 由正六边形内接于，得到，，在上截取，根据全等三角形的性质得到，，求得，过作于，根据直角三角形的性质得到，，求得，等量代换得到结论． 【详解】解：正六边形内接于， ，， 在上截取， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 过作于， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16 已知反比例函数． （1）若该函数经过，求k的值； （2）若该函数图象的每一支上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用待定系数法求解； （2）构建不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，把代入解析式， 得，， 解得，； 【小问2详解】 解：函数图象的每一支，y随x的增大而减小， ， 解得，． 17. 在中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，解此题的关键是熟练掌握解直角三角形和勾股定理． 先求出，再根据勾股定理求得． 【详解】解：中，， ， ， 由勾股定理，， ． 18. 如图，某文具店有一个材质均匀，可以自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，分别写有“铅”“钢”“规”“笔”“圆”字样．顾客购物满60元便可获得两次“有效随机转动”（转盘停止后，指针指向字样，这样的转动为一次“有效随机转动”）的机会，奖品分别是：铅笔、钢笔和圆规． 获奖规则如下： 完成两次“有效随机转动”后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品一个；不相同时，不能获得任何奖品． 根据以上规则，解决下列问题： 小明根据本店购物小票参与了两次“有效随机转动”，用列表或画树状图等方法，求他经过两次“有效随机转动”后获奖的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握列表或树状图求概率的方法是解题的关键． 先根据题意列表，然后由列表得到所有等可能的情况数，即可求解． 【详解】解;列表： 第1次 第2次 铅 钢 笔 圆 规 铅 （铅，铅） （铅，钢） （铅，笔） （铅，圆） （铅，规） 钢 （钢，铅） （钢，钢） （钢，笔） （钢，圆） （钢，规） 笔 （笔，铅） （笔，钢） （笔，笔） （笔，圆） （笔，规） 圆 （圆，铅） （圆，钢） （圆，笔） （圆，圆） （圆，规） 规 （规，铅） （规，钢） （规，笔） （规，圆） （规，规） 由表可以看出，经过两次“有效随即转动”，可能出现的结果有25种，并且它们出现的可能性相等，获奖的结果有6种，即（铅，笔），（钢，笔），（笔，铅），（笔，钢），（圆，规），（规，圆）． ∴P（获奖）． 19. 太空漫步机是小区里常见的健身器材．双手握住扶手，两脚踩在踏板上，前后摆动双腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转．如图1，静止时踏板连杆与立柱看作共线，长为0.2米．图2为运动时漫步机的示意图，当绕着点A旋转到时，测得，此时点C距离地面的高度为0.45米．求摆动一步的路程的长度（精确到0.1米，参考数据：，，，）． 【答案】摆动一步的路程约为0.8米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式，圆的性质，矩形的性质与判定，熟练应用锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点C作于点H，先求出，再根据四边形是矩形得出，利用求出，最后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：过点C作于点H， 在中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 即， 解得，， （米）， 答：摆动一步的路程约为0.8米． 20. 如图，内接于，是直径，的平分线交于点且．过点D作的切线，与的延长线相交于点． （1）求证：； （2）若的半径为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，继而得到，即可得到结论； （2）连接，过点作于点，得到，求出，继而求出，，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的切线 是直径， ， 平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点． 平分，， 是直径 ， ， ， 在中，， ， 由（1）知， ， ， ， 在中，， ，， ， 在中，， ． 21. 一寸光阴一寸金，光阴指时间，寸是长度单位，长度单位怎能表示时间呢？其实这句格言蕴含着丰富的数学道理．图1是土圭，在中国古代，利用土圭观察它正午时影子的长短，再根据影长的变化来确定季节的变化，这样就能用长度单位表示时间了．为了解土圭法，某校在一次综合与实践活动中进行实地测量．如图2，产生日影的杆子垂直于地面．在夏季的某天正午，杆子在太阳光线照射下形成影子；在冬季的某天正午，杆子在太阳光线照射下形成影子．若，尺，尺，求杆子的高度． 【答案】杆子的高度为8尺 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 先推出，进而证得，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，， ， 又， ， 又， ， ， ， （尺）， 答：杆子的高度为8尺． 22. 在中，，，平分交于点D． （1）如图1，若设，求的长度（用含a的式子表示）； （2）求的值； （3）如图2，的延长线与的垂直平分线相交于点E，在延长线上取点F使，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据，求出的长，再根据勾股定理即可求出的长； （2）过点D作于点H，则．根据角平分线的性质得出，再根据即可推出结果； （3）连接，过点E作，分别垂直于，，垂足为P，Q．求出，证明得出，再证明得出，可推出结果． 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得， 【小问2详解】 解：过点D作于点H，则． 平分，， 由（1）， 在中， 【小问3详解】 解：连接，过点E作，分别垂直于，，垂足为P，Q． 设，则， 由（2）可知， 平分 ，分别垂直于，，垂足为P，Q． 又 ， 又 ∴ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 如图，抛物线与直线交于点和点B． （1）求m和b的值； （2）求点B的坐标； （3）直接写出不等式解集； （4）点M是第一象限内一点且． ①尺规作图：在图中画出满足条件的点M的集合（保留作图痕迹，不写画法）； ②当点M在抛物线的对称轴上时，求点M的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） （4）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）把分别代入一次函数和二次函数解析式，求出，即可； （2）联立一次函数和二次函数解析式求出点B的坐标即可； （3）根据得出，结合图象找出直线在二次函数上面时，x的取值范围，即可得出答案； （4）①过点B作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线，两条垂线交于点E，以点E为圆心，为半径画圆，则点M在第一象限中的上； ②根据作图可知，抛物线的对称轴交于两点，上面的交点即为点M，连接，，，则与抛物线对称轴交于点C，证明四边形为矩形，得出，，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：把分别代入得： ， 解得：， 把分别代入得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴二次函数解析式为，一次函数解析式为， 联立， 解得：，， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 解：由得， 根据函数图象可知：当时，一次函数在二次函数的上面， ∴不等式的解集为； 【小问4详解】 解：①如图，点M在第一象限中的上； 过点B作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线，两条垂线交于点E，以点E为圆心，为半径画圆，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴点B在上， ∵， ∴在第一象限中的上任意取一点M，则； ②， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 由图可知，抛物线的对称轴交于两点，上面的交点即为点M，连接，，，则与抛物线对称轴交于点C，如图所示： 根据解析①可知：轴，轴，， ∴垂直于抛物线的对称轴，即， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 根据勾股定理得：， ∴， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，圆周角定理，勾股定理，矩形的判定和性质，求二次函数解析式，尺规作垂线，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沙河口区2024~2025学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试卷 参考公式：抛物线的顶点坐标公式为． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，根据三视图可知这个立体图形的名称为（ ） A. 圆锥 B. 三棱锥 C. 圆柱 D. 长方体 2. 反比例函数图象位于（ ） A. 第一、第二象限 B. 第一、第三象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限 3. 抛物线的顶点是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 任画一个三角形，其内角和是 B. 在单词中任选一个字母，字母为“b” C. 某射击运动员射击一次，命中靶心 D. 在通常情况下，加热到时，水沸腾 5. 如图，是直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，其相似比为，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，，，下列关于的结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，，那么下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，河堤横断面迎水坡的坡度，堤宽米，则坡面的长度是（ ） A. 米 B. 30米 C. 米 D. 10米 10. 做随机抛掷一枚质地均匀的纪念币的试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（精确到0.001） 0.530 0.512 0529 0.517 0.522 0.519 0.521 下面有4个推断：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，所以当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次；④表格空白处的数值是0.520．其中合理推断的序号是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 若点，在抛物线上，则与的大小关系为________（填“”，“”或“”）． 13. 如图，正五边形内接于，则________． 14. 如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为________． 15. 如图，正六边形内接于，点P在上且点P与点A，点B不重合，连接，，，用等式表示、、之间的数量关系是________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 已知反比例函数． （1）若该函数经过，求k的值； （2）若该函数图象的每一支上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围． 17. 在中，，，，求的长． 18. 如图，某文具店有一个材质均匀，可以自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，分别写有“铅”“钢”“规”“笔”“圆”字样．顾客购物满60元便可获得两次“有效随机转动”（转盘停止后，指针指向字样，这样的转动为一次“有效随机转动”）的机会，奖品分别是：铅笔、钢笔和圆规． 获奖规则如下： 完成两次“有效随机转动”后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品一个；不相同时，不能获得任何奖品． 根据以上规则，解决下列问题： 小明根据本店购物小票参与了两次“有效随机转动”，用列表或画树状图等方法，求他经过两次“有效随机转动”后获奖的概率． 19. 太空漫步机是小区里常见的健身器材．双手握住扶手，两脚踩在踏板上，前后摆动双腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转．如图1，静止时踏板连杆与立柱看作共线，长为0.2米．图2为运动时漫步机的示意图，当绕着点A旋转到时，测得，此时点C距离地面的高度为0.45米．求摆动一步的路程的长度（精确到0.1米，参考数据：，，，）． 20. 如图，内接于，是直径，的平分线交于点且．过点D作的切线，与的延长线相交于点． （1）求证：； （2）若的半径为，求的长． 21. 一寸光阴一寸金，光阴指时间，寸是长度单位，长度单位怎能表示时间呢？其实这句格言蕴含着丰富的数学道理．图1是土圭，在中国古代，利用土圭观察它正午时影子的长短，再根据影长的变化来确定季节的变化，这样就能用长度单位表示时间了．为了解土圭法，某校在一次综合与实践活动中进行实地测量．如图2，产生日影的杆子垂直于地面．在夏季的某天正午，杆子在太阳光线照射下形成影子；在冬季的某天正午，杆子在太阳光线照射下形成影子．若，尺，尺，求杆子的高度． 22. 在中，，，平分交于点D． （1）如图1，若设，求长度（用含a的式子表示）； （2）求的值； （3）如图2，的延长线与的垂直平分线相交于点E，在延长线上取点F使，用等式表示和的数量关系，并证明． 23. 如图，抛物线与直线交于点和点B． （1）求m和b的值； （2）求点B的坐标； （3）直接写出不等式的解集； （4）点M是第一象限内一点且． ①尺规作图：在图中画出满足条件的点M的集合（保留作图痕迹，不写画法）； ②当点M在抛物线的对称轴上时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$