精品解析：黑龙江省哈尔滨市香坊区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试卷

2025—2026学年度上学期教育质量综合评价学业发展水平监测数学学科（八年级） 考生须知： 1.本试卷共27道题，满分120分，考试时间为120分钟． 2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“准考证号码”在答题卡上填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 3.考生作答时，请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4.选择题必须用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题用黑色字迹书写笔在答题卡上作答，否则无效． 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在，，，，中，分式有（ ） A 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 如图，在中，点E为边中点，于D，平分，则的重心一定在（ ） A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 5. 如果等腰三角形的一边长为2，一边长为5，那么它的周长是（ ） A. 14 B. 9 C. 9或12 D. 12 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ） A. BD=CE B. AD=AE C. DA=DE D. BE=CD 7. 如果把分式中的，都变为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 变为原来的2倍 C. 变为原来的 D. 变为原来的 8. 如图（1），在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（），把余下的部分拼成一个平行四边形，如图（2），此过程可以验证的公式是（ ） A. B. C. D. 9. 科学活动小组同学去距离学校千米的科技馆参观．一部分同学骑自行车先出发，过了分钟后，其余同学乘坐大巴车出发，结果他们同时到达．已知大巴车的行驶速度是自行车速度的倍，求自行车的速度．若设自行车的速度为千米时，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P是线段上方一动点，，，当最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 据了解，某种常见的梨花花粉直径约为0.0000205米，该数值用科学记数法表示为______． 12. 若分式有意义，则取值范围是_______． 13. 点关于轴对称点的坐标为______． 14. 计算的结果是_________． 15. 把多项式因式分解的结果是_______． 16. 若，，则_______． 17. 如图，把长方形沿折叠，得到，交于点F，平分，若，则长为_______． 18. 如图，在中，，，平分交于，于，且，则的周长是________． 19. 等腰中，，边的垂直平分线交边于点D，连接，若为等腰三角形，则的度数为_______． 20. 如图，中，，利用直尺和圆规作图：（1）以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于．（2）以点为圆心，以线段长为半径作弧与上一步作弧交于点，连接并延长交延长线于点．（）（3）分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交延长线于点，连接，，过点作于点．则下列说法中：；；；．其中正确的有_______．（填序号） 三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图，都是正方形网格，其中的小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点在格点上．按下列要求画图： （1）在图1中画以为腰的等腰（顶点在格点上），且使的面积为4． （2）在图2中画以为腰的等腰（顶点在格点上），且使的面积为3． （3）如图2，图（2）中关于某条直线对称得到的是（点，，，分别对应点A，B，D），其中点的位置如图所示，请在图2中画出． 24. 某商店在哈尔滨冰雪旅游季期间，利用2000元资金购进一批围巾，很快售完．于是商店再次用5000元购进同样的围巾，第二批购进的数量是第一批的2倍，且每条围巾进价比第一批多5元． （1）求第一批围巾的进价为每条多少元？ （2）第一批围巾的售价为每条40元，销售第二批围巾时，商店决定拿出一部分围巾按第一批销售单价的七五折让利销售，其余售价不变．当全部售完后，要使这两批围巾的销售总利润不少于4200元，商店打折销售的围巾最多为多少条？ 25. 【阅读理解】将完全平方公式适当地变形，可以解决某些数学问题．例：若，，求的值． 解：∵，，∴，， ∵，∴， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则______； 【类比应用】（2）若，求的值； 【思维拓展】（3）如图，线段，点D是线段上的一点，分别以，为边作正方形和正方形，连接，，过点D作于N，延长交于M，若两正方形的面积和，求的面积． 26. 如图，等腰中，，点D，E分别在边和上，连接，相交于点F，．进行如下探究． （1）探究一，再添加什么条件可得到结论？ ①如图1，有同学发现当再添加条件时，则，请你完成证明． ②如图2，也有同学发现当再添加条件平分时，则，请你完成证明． （2）探究二，如图3，当时，过点C作交延长线于点K，取中点M，过M作交延长线于点G．若，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，连接，． （1）如图1，直接写出的面积为______．（用含，的式子表示） （2）如图，点在的延长线上，连接，过点作⟂交延长线于，连接，若，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，在的延长线上取点，连接．在直线下方有点，连接，，．若，，，，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期教育质量综合评价学业发展水平监测数学学科（八年级） 考生须知： 1.本试卷共27道题，满分120分，考试时间为120分钟． 2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“准考证号码”在答题卡上填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 3.考生作答时，请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4.选择题必须用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题用黑色字迹书写笔在答题卡上作答，否则无效． 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，合并同类项，积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 根据同底数幂乘法，幂的乘方，合并同类项，积的乘方法则分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，正确； C、和不是同类项，无法合并，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 2. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握其定义是解题的关键，如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义对各选项图形逐个分析判断即可得解． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合； C选项中的图形能找到这样一条直线，使图形沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 3. 在，，，，中，分式有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式，逐一判断各表达式即可，熟知分式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵分式是分母中含有字母的代数式， ∴的分母含字母，是分式； 是整式，不是分式； 的分母是常数，不含字母，不是分式； 的分母含字母，是分式； 的分母含字母，是分式， ∴分式有个， 故选：． 4. 如图，在中，点E为边中点，于D，平分，则的重心一定在（ ） A 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了重心的定义，根据定义即可求解． 【详解】解：∵中线的交点叫重心，而其中在中，只有线段是的中线， ∴的重心一定在线段上． 故选：B． 5. 如果等腰三角形的一边长为2，一边长为5，那么它的周长是（ ） A. 14 B. 9 C. 9或12 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系，掌握相关的知识点是解题的关键． 根据等腰三角形的定义，两边可能相等，需结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断有效性，再计算其周长． 【详解】解：∵等腰三角形有两边相等， ∴作分类讨论：①腰为2，底为5；②腰为5，底为2， 对于①：三边为2、2、5， ∵， 不满足三角形三边关系， ∴该情况不存在， 对于②：三边为5、5、2， ∵，， ∴满足三角形三边关系， ∴周长为， 故选D． 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ） A. BD=CE B. AD=AE C. DA=DE D. BE=CD 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误，不符合题意； B、添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故本选项错误，不符合题意； C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故本选项正确，符合题意； D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误，不符合题意． 故选C． 7. 如果把分式中的，都变为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 变为原来的2倍 C. 变为原来的 D. 变为原来的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的性质．先将，都变为原来的2倍，然后根据分式的性质化简，即可求解． 【详解】解：中的，都变为原来的2倍，得： ， 这个分式的值不变，故A正确． 故选：A． 8. 如图（1），在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（），把余下的部分拼成一个平行四边形，如图（2），此过程可以验证的公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，用代数式表示各个图中阴影部分的面积是得出答案的关键．分别表示图（1）和图（2）中阴影部分的面积即可得出答案． 【详解】解：图（1）中阴影部分的面积为：， 图（2）中阴影部分的面积为， 因此有． 故选：C． 9. 科学活动小组同学去距离学校千米的科技馆参观．一部分同学骑自行车先出发，过了分钟后，其余同学乘坐大巴车出发，结果他们同时到达．已知大巴车的行驶速度是自行车速度的倍，求自行车的速度．若设自行车的速度为千米时，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设自行车的速度为千米时，则大巴车速度为千米时，利用时间关系列分式方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设自行车的速度为千米时，则大巴车速度为千米时， 根据题意得：， ∴， 故选：． 10. 如图，点P是线段上方一动点，，，当最小时，度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称性质，等腰三角形的判定与性质，平行线之间距离处处相等，外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出点P到的距离是，则点P在直线上，且，与之间的距离是，作点A 关于直线的对称点，记为点，证明是等腰直角三角形，，故，则当最小值时，即点P与点C重合，，即可作答． 【详解】解：∵点P是线段上方一动点，，， ∴， 即点P到的距离是， ∴点P在直线上，且，与之间的距离是， 依题意，作点A 关于直线的对称点，记为点， 连接交直线于点， 即，，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 则， 则当最小时，即点P与点C重合， ∴， 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 据了解，某种常见的梨花花粉直径约为0.0000205米，该数值用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：0.0000205用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则，即． 故答案为： 13. 点关于轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标的相反数为， 因此对称点的坐标为， 故答案为：． 14. 计算的结果是_________． 【答案】 【解析】 15. 把多项式因式分解的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与平方差公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式的结构特征是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式分解． 【详解】解：原式==． 故答案为：． 16. 若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法法则，将 表示为 ，再代入已知值计算． 【详解】解：由同底数幂的除法法则，．已知 ，，所以 ． 故答案为：． 17. 如图，把长方形沿折叠，得到，交于点F，平分，若，则长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；由折叠的性质和等腰三角形的判定及性质得，由直角三角形的特征得 ，可得，即可求解． 【详解】解：在长方形中，， ，， ，， 由折叠得， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 解得； 故答案为：． 18. 如图，在中，，，平分交于，于，且，则的周长是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长，即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出的周长是解题的关键． 【详解】解：，平分，， ， 在和中， ， ， ， 的周长， ， ， ， ， ， ， 的周长是． 故答案为：． 19. 等腰中，，边的垂直平分线交边于点D，连接，若为等腰三角形，则的度数为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可以求得，然后分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 若，则， ∵，， ∴，矛盾，故不可能； 若，则， 在中， ，即， ∴， 又，， ∴， 解得； 若，则， 又， ∴，， 解得， 综上，为或， 故答案为：或． 20. 如图，中，，利用直尺和圆规作图：（1）以点为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于．（2）以点为圆心，以线段长为半径作弧与上一步作弧交于点，连接并延长交延长线于点．（）（3）分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交延长线于点，连接，，过点作于点．则下列说法中：；；；．其中正确的有_______．（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，作线段垂直平分线，角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握以上性质定理是解题的关键．根据作图步骤可知，，垂直平分，从而可判断，过点作交延长线于点，通过证明，根据三角形外角的性质结合角的等量代换即可判断，通过证明，根据线段的和差关系进行等量代换即可判断． 【详解】解：根据作图步骤可知，，垂直平分，故正确； ，故正确； 如图，过点作交延长线于点， ， 平分， ， ，， 在和中， ， ， ， ，故正确； 在和中， ， ， ，即，故正确； 综上，正确的说法有． 故答案为：． 三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算； （1）先进行幂运算，再进行乘法运算，即可求解； （2）先利用完全平方公式和多项式乘以多项式运算，再进行加减运算，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，负整数指数幂和零指数幂，掌握分式的加减乘除运算法则是解题的关键；先将原分式进行化简，化简之后再将x的值代入即可． 详解】解：原式 ， ， 原式． 23. 如图，都是的正方形网格，其中的小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点在格点上．按下列要求画图： （1）在图1中画以为腰的等腰（顶点在格点上），且使的面积为4． （2）在图2中画以为腰的等腰（顶点在格点上），且使的面积为3． （3）如图2，图（2）中的关于某条直线对称得到的是（点，，，分别对应点A，B，D），其中点的位置如图所示，请在图2中画出． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3）画图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）根据等腰三角形的定义结合的面积为4作出图形即可； （2）根据等腰三角形的定义结合的面积为3作出图形即可； （3）根据对称的性质作出图形即可． 【小问1详解】 解：如图1，为所求； ，符合题意； 【小问2详解】 解：如图2．为所求； ，符合题意； 【小问3详解】 解：如图2．为所求． 24. 某商店在哈尔滨冰雪旅游季期间，利用2000元资金购进一批围巾，很快售完．于是商店再次用5000元购进同样围巾，第二批购进的数量是第一批的2倍，且每条围巾进价比第一批多5元． （1）求第一批围巾的进价为每条多少元？ （2）第一批围巾的售价为每条40元，销售第二批围巾时，商店决定拿出一部分围巾按第一批销售单价的七五折让利销售，其余售价不变．当全部售完后，要使这两批围巾的销售总利润不少于4200元，商店打折销售的围巾最多为多少条？ 【答案】（1）第一批围巾的进价为每条20元 （2）商店打折销售的围巾最多为80条 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是， （1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【小问1详解】 解：设第一批围巾的进价为每条x元， 根据题意得：， 方程两边乘得：， 解得， 检验：当时， ∴原分式方程的解为． 答：第一批围巾的进价为每条20元． 【小问2详解】 解：设商店打折销售的围巾为a条， ，， ， 解得：， 答：商店打折销售的围巾最多为80条． 25. 【阅读理解】将完全平方公式适当地变形，可以解决某些数学问题．例：若，，求的值． 解：∵，，∴，， ∵，∴， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则______； 【类比应用】（2）若，求的值； 【思维拓展】（3）如图，线段，点D是线段上的一点，分别以，为边作正方形和正方形，连接，，过点D作于N，延长交于M，若两正方形的面积和，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等；能熟练利用完全平方公式的变形进行求解是解题的关键． （1）由完全平方公式得，代入计算，即可求解； （2）由完全平方公式得，代入计算，即可求解； （3）设，，通过完全平方公式变形求得，，正方形和正方形，由判定，结合全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解：， ， ， ． （3）解：设，， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∵，正方形和正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴（）， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ． 26. 如图，等腰中，，点D，E分别在边和上，连接，相交于点F，．进行如下探究． （1）探究一，再添加什么条件可得到结论？ ①如图1，有同学发现当再添加条件时，则，请你完成证明． ②如图2，也有同学发现当再添加条件平分时，则，请你完成证明． （2）探究二，如图3，当时，过点C作交延长线于点K，取中点M，过M作交延长线于点G．若，，求的长． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）结合等边三角形的性质，由判定，由全等三角形的性质，即可得证； ②在上取点P使，由判定，结合全等三角形的性质和等腰三角形的判定及性质得，即可得证； （2）连接，在上取点N，使，由判定，由全等三角形的性质得，， 设，，由直角三角形的特征得，即可求解． 【小问1详解】 ①证明：，， ∴为等边三角形， ， ， ， （）， ． ②证明：在上取点P使， ∵， ， ∴， ， （）， ， ∴，， 平分， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接，在上取点N，使， ∵，， ∴，， ， ， ∴， ， （）， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设，， ， 在中，， ， M是中点， ∴， ， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的性质直角三角形的特征，平行线的性质，三角形外角的性质等；能添加恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，，连接，． （1）如图1，直接写出的面积为______．（用含，的式子表示） （2）如图，点在的延长线上，连接，过点作⟂交延长线于，连接，若，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，在的延长线上取点，连接．在直线下方有点，连接，，．若，，，，求点的坐标． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先确定点坐标，再结合、坐标，利用三角形面积公式计算． （2）通过角度关系推导的内角，结合垂直条件证明边相等． （3）通过角度变换构造全等三角形，利用全等性质和线段关系推导的长度，进而得到点坐标． 【小问1详解】 解：∵点，，点在轴正半轴， ∴， ∴， ∵点在轴负半轴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， 延长到，使， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 过作轴于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、三角形面积公式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．熟练掌握角度关系推导、全等三角形的构造与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $