精品解析：辽宁省盘锦市兴隆台区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

兴隆台区2025--2026学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 注意：所有试题必须在答题纸上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是用5个相同立方体搭成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知：如图，在中，是直径，弦垂直平分半径，交于点，连接、．有下面三个推断：①；②；③．其中正确的推断的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则x满足方程（　　） A. B. C. D. 6. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD上的点，AE交BD于点F，交BC延长线于点G，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，，有下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长是9．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（    ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______． 12. 若和是反比例函数图象上两点，则_________． 13. 如图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为______． 14. 如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，，则______． 15. 关于二次函数，以下说法：①函数图象的开口向上；②二次函数的最小值为1；③该函数图象的对称轴为直线；④当时，随的增大而减小；⑤是二次函数图象上一点，若，则或；正确的有___________．（填写正确的序号） 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）解方程：． （2）计算：． 17. 我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查学生有______名；补全条形统计图； （2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率． 18. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象相交于点、点，且点的横坐标为2，点的纵坐标为，过点A作轴于点B，的面积为4． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与轴交于点C，求的度数； （3）结合图象直接写出，当时，的取值范围． 19. 小明和小红相约周末游览公园，如图，，，，，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的北偏西方向且米，景点位于景点的东南方向，景点位于景点的北偏西方向，景点位于景点的正东方向米处．（参考数据：，，） （1）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） （2）小明和小红同时从景点出发，小红沿着的路线前往景点，小明沿着的路线前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知小明步行的速度为60米分，小红步行的速度为50米/分，请通过计算说明谁先到达景点． 20. 如图，是直径，点为劣弧中点，弦、相交于点，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长度． 21. 某商店销售一种中性笔，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，这种中性笔的月销售量（支）是售价（元/支）的一次函数，其售价（元/支）、月销售量（支）、月销售利润（元）的部分对应值如下表． 售价（元/支） 30 32 月销售量（支） 200 180 月销售利润（元） 2000 2160 （1）中性笔的进价为_____元，关于的函数关系式为_____； （2）该商店销售这种中性笔的售价定为多少元时，每个月可获得最大销售利润？最大的月销售利润是多少元？ 22. （1）特殊发现 如图1，正方形与正方形的顶点重合，分别在边上，连接，则有： ①_____； ②直线与直线所夹的锐角等于_____度； （2）理解运用 将图1中的正方形绕点逆时针旋转，连接． ①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，若三点在同一直线上，且过边的中点，求出的长； （3）拓展延伸 如图4，点是正方形的边上一动点（不与、重合），连结，沿将翻折到的位置，连接并延长与的延长线交于点，连接，若，则的值是_____． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”：若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． （1）直线上的“友好点”坐标为_____； （2）若“友好二次函数”的图象与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； （3）若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限．当时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴隆台区2025--2026学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 注意：所有试题必须在答题纸上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B中图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C中图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 2. 如图是用5个相同的立方体搭成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：从上面看易得第一层有3个正方形，第二层最右边有一个正方形． 故选：B． 【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是关键． 3. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4. 已知：如图，在中，是直径，弦垂直平分半径，交于点，连接、．有下面三个推断：①；②；③．其中正确的推断的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】①连接，根据作图过程可证得为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；②根据弦垂直平分半径可得，根据垂径定理可判断；③根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可判断． 【详解】解：连接， ∵弦垂直平分半径， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵弦垂直平分半径， ∴， 根据垂径定理可知， ∴， ∴，①正确； ∵弦垂直平分半径， ∴， 根据垂径定理可知，，，②正确； ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴，③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键． 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则x满足方程（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 设每天遗忘的百分比为x，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为x， 则根据题意可得：， 故选：D． 6. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移变化，熟练掌握平移的规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 【详解】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为：． 故选：B． 7. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD上的点，AE交BD于点F，交BC延长线于点G，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，得到与，利用相似比及即可得出结论． 【详解】解：在平行四边形ABCD中，， ， ， ， ，可设， 在平行四边形ABCD中，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及“8”型的相似三角形是解决问题的关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 9. 在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，，有下列结论：①；②；③是等边三角形；④的周长是9．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得，，再利用旋转的性质得，，则，根据平行线的判定可对①进行判断；由绕点B逆时针旋转得到，那么，，根据等边三角形的判定方法得到为等边三角形，可对③进行判断；根据等边三角形的性质得，，然后说明，则，可对②进行判断；最后利用，和三角形周长定义,可对④进行判断． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴，①正确； ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴，， ∴为等边三角形，③正确， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，②错误； ∵，， ∴的周长，④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，熟练掌握并运用旋转的性质是关键． 10. 如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（    ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用矩形的性质得到四边形周长，然后根据二次函数的性质解决问题． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴四边形周长， ∴当时，四边形周长有最大值，最大值为， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 直接利用概率公式计算可得． 【详解】解：∵一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球， ∴从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是白球的概率为， 故答案：． 12. 若和是反比例函数图象上的两点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数图象与性质，由是反比例函数图象上的点，可得反比例函数为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数图象上的点， ∴， ∴反比例函数为， ∵是反比例函数图象上的点， ∴， 解得：． 故答案为： 13. 如图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到，进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，记与轴的交点为， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】由折叠可知，，进而得到，由同角的余角相等可得，则，在中，，以此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ，，， 根据折叠的性质可得，，， ， ， ， ， ， 在中，，即， 解得：． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，解题关键是利用矩形和折叠的性质推理论证得出，进而利用锐角三角函数解决问题． 15. 关于二次函数，以下说法：①函数图象的开口向上；②二次函数的最小值为1；③该函数图象的对称轴为直线；④当时，随的增大而减小；⑤是二次函数图象上一点，若，则或；正确的有___________．（填写正确的序号） 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数的图象及性质等．根据二次函数的顶点形式，判断开口方向、对称轴、最值及增减性；对于不等式，求解满足条件的自变量范围． 【详解】解∶∵， ∴， 故图象开口向上，①正确； 函数图象的顶点坐标是，最小值为 5，故②错误； 对称轴为直线 ，故③正确； 当 时，函数值随自变量增大而增大，故④错误； 由 得 ，即 ，解得 或 ，故⑤正确． 故答案为①③⑤． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、特殊角三角函数值，负整数幂，二次根式的加减运算，熟练掌握解一元二次方程的方法和特殊角的三角函数值是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可得； （2）先代入特殊角三角函数值，计算负整数幂，算术平方根，化简绝对值，再计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， 解得； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______名；补全条形统计图； （2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率． 【答案】（1）；详见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图以及概率公式的综合运用，读懂统计图是解题的关键． （1）根据条形统计图和扇形统计图，先用篮球的人数算出总人数再补全即可； （2）根据“排球”人数占总人数的比例求出圆心角度数； （3）通过树状图列出所有可能的组合，从而得到概率． 【小问1详解】 被调查的学生有（名）， 足球人数：（名）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 ， 故答案为：． 【小问3详解】 共有种等可能的结果，甲和乙同时被选中的结果有种， 甲和乙同时被选中的概率． 18. 如图，已知反比例函数与一次函数的图象相交于点、点，且点的横坐标为2，点的纵坐标为，过点A作轴于点B，的面积为4． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若一次函数的图象与轴交于点C，求的度数； （3）结合图象直接写出，当时，的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为： （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）求出点的纵坐标，确定反比例函数解析式，利用反比例函数解析式求点坐标，进而求解； （2）由一次函数解析式求点坐标，再求、，可证明是等腰直角三角形，即可得解； （3）根据图象解题即可． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 把代入中，得， ∴， ∵点的纵坐标为， 令，解得：， ∴， 把、代入，得： ， 解得：， ∴， 综上所述，反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：对于，当时，， ∴， 则， ∴在中，， ∴是等腰直角三角形， 故； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，或． 19. 小明和小红相约周末游览公园，如图，，，，，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的北偏西方向且米，景点位于景点的东南方向，景点位于景点的北偏西方向，景点位于景点的正东方向米处．（参考数据：，，） （1）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号） （2）小明和小红同时从景点出发，小红沿着的路线前往景点，小明沿着的路线前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知小明步行的速度为60米分，小红步行的速度为50米/分，请通过计算说明谁先到达景点． 【答案】（1）景点与景点之间的距离为米 （2）小红先到达景点 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，矩形的判定与性质； （1）过作于点，分别解，即可得到答案； （2）过点作交于点．证明四边形是矩形，再分别计算两人的路程，进一步计算时间可得答案． 【小问1详解】 解：过作于点． 由题意得，，， 在中，，， ， 中，， ， （米） 答：景点与景点之间距离为米． 【小问2详解】 解：过点作交于点． 由题意得，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ，， ， 小明到达所用时间： 分钟 小红到达所用时间： 分钟 小红先到达景点． 20. 如图，是直径，点为劣弧中点，弦、相交于点，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质、切线的性质与证明以及等腰三角形的性质．掌握并利用圆的性质和切线的性质是解题的关键． （1）由题意连接，得出，进而得出，可得，即可证明； （2）连接，由点为劣弧中点，得，进而得，最后即可求出求的长度． 【小问1详解】 证明：连接，如图1所示， 点为劣弧中点， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， 是直径， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接， 点为劣弧中点， ， ， ， ， ， ， 的长度为． 21. 某商店销售一种中性笔，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，这种中性笔的月销售量（支）是售价（元/支）的一次函数，其售价（元/支）、月销售量（支）、月销售利润（元）的部分对应值如下表． 售价（元/支） 30 32 月销售量（支） 200 180 月销售利润（元） 2000 2160 （1）中性笔的进价为_____元，关于的函数关系式为_____； （2）该商店销售这种中性笔的售价定为多少元时，每个月可获得最大销售利润？最大的月销售利润是多少元？ 【答案】（1） ， （2） 售价定为35元时，每个月可获得最大销售利润2250元． 【解析】 【分析】本题考查综合应用题，涉及一元一次方程解应用题、一次函数解应用题、二次函数解应用题、由二次函数图象与性质求最值，理解题意，根据要求准确列出得出方程、函数是解决问题的关键． （1）设进价为元/支，由销售表列方程求解即可得到答案；设关于的函数关系式为，将代入关系式列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设该商店销售这种中性笔的利润为，由题意，得到，根据二次函数图象与性质求最值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设进价为元/支， 则由销售表可得， 解得， 则中性笔的进价为元； 设关于的函数关系式为， 将代入关系式可得， 解得， 则关于的函数关系式为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设该商店销售这种中性笔的利润为， 由题意可得 ， ， 二次函数图象开口向下，当时，有最大值，最大值为， 答：售价定为35元时，每个月可获得最大销售利润2250元． 22. （1）特殊发现 如图1，正方形与正方形的顶点重合，分别在边上，连接，则有： ①_____； ②直线与直线所夹的锐角等于_____度； （2）理解运用 将图1中的正方形绕点逆时针旋转，连接． ①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，若三点在同一直线上，且过边的中点，求出的长； （3）拓展延伸 如图4，点是正方形的边上一动点（不与、重合），连结，沿将翻折到的位置，连接并延长与的延长线交于点，连接，若，则的值是_____． 【答案】（1）①，②；（2）①（1）中的结论仍然成立，理由见解析，②；（3）3 【解析】 【分析】（1）①连接，，利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；②利用等腰直角三角形的性质解答即可； （2）①连接，，利用正方形的性质，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；②连接，，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可； （3）过点作于点，连接，，，与交于点，利用折叠的性质，正方形的性质，等腰三角形的三线合一的性质，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：（1）①连接，，如图， ∵四边形和四边形为正方形， ∴， ∴B，F，D三点在一条直线上． ∵，， ∴和为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵B，F，D三点在一条直线上，， ∴直线与直线所夹的锐角等于． 故答案为：； （2）①（1）中的结论仍然成立，理由如下： 连接、，如图， ∵四边形和四边形为正方形， ∴，， ∴和为等腰直角三角形， ，，， ∴，， ∴， ∴； 延长，交于点，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即直线与直线所夹的锐角等于， ∴（1）中的结论仍然成立； ②连接，，如图，     ∵四边形为正方形， ∴． 由①知：， ∴． ∵边的中点为O， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）过点作于点，连接，，，与交于点，如图， ∵四边形为正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，，． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， ∴． 由（2）①的结论可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”：若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． （1）直线上的“友好点”坐标为_____； （2）若“友好二次函数”的图象与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； （3）若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限．当时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“友好点”的定义设该坐标为，再代入，求解即可； （2）根据“友好二次函数”的定义，设顶点为，继而得出该函数的解析式为，再推出与轴交点为，再代入求解即可； （3）设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点，确定“友好该二次函数”的解析式为，得到函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，当时，函数有最小值，得，求解即可；当，即时，函数的最小值为，不符合题意；当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，则当时，函数有最小值，得，求解即可． 【小问1详解】 解：设直线上“友好点”的坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上“友好点”坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵函数是“友好二次函数”，设它的顶点为， ∴， ∵“友好二次函数”的图象与轴的交点是“友好点”， ∴与轴交点为， 将代入中，得：， 解得：，， 当时，； 当时，， ∴这个“友好二次函数”的表达式为或； 【小问3详解】 设“友好二次函数”的解析式为，且图象过点， ∴， 解得，， ∵这个“友好二次函数”的图象顶点在第一象限， ∴， ∴， ∴， ∵“友好二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当，即时，函数的最小值为， ∴不存在最小值为； 当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查“友好点”的新定义，函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，二次函数与直线的交点等知识点．掌握新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $