精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市建华区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

黑龙江省齐齐哈尔市建华区2025-2026学年九年级上学期1月期末 数学试题 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B中、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C中、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析．不可能事件是概率为0的事件，即绝对不会发生的事件． 选项A、B为随机事件，可能发生；选项C为必然事件；选项D违反三角形内角和定理，故为不可能事件． 【详解】解：A． 投掷一枚硬币，正面向上为随机事件，可能发生； B． 射击运动员射击一次，命中靶心为随机事件，可能发生； C． 任意画一个圆，它是轴对称图形为必然事件； D． 任意画一个三角形，其内角和是为不可能事件． 故选：D． 3. 下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，左视图即为从左面看到的图形，据此即可解答． 【详解】解：它的左视图是． 故选：A． 4. 对于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 5. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据概率求数量，根据题意得出数字有个，数字有2个，则数字只有个，结合选项，即可求解． 【详解】解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为， ∴数字有个，数字有2个，则数字只有个 选项A中数字有2个，符合题意 故选：A． 6. 定义运算：，例如：，则关于的方程的根的情况为( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数由的值确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．根据运算定义将方程转化为二次方程，计算判别式并分析其恒正，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即． 判别式． ∵， ∴恒成立． ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 7. 如图，已知是的直径，CD是的弦，，垂足为．若，，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 先根据垂径定理求出，勾股定理求得，再根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：是的直径，⟂． ，， ∴， ． 故选：C． 8. 如图，在四边形中，，将绕点顺时针旋转后，点的对应点恰好与点重合，得到，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；连接，如图，根据旋转的性质得，，，再判断为等边三角形得到，，从而有，然后利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：连接，如图， 绕点顺时针旋转后，点的对应点恰好与点重合，得到， ，，， 为等边三角形， ，， ， ， 在中，=， ． 故选：C． 9. 如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，点P，点Q分别是上的点，且．设的面积为y，的长为x，则y关于x的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出，则根据勾股定理可得，则为等边三角形，过点P作于点H，则，最后根据三角形的面积公式求出y的表达式即可． 【详解】解：∵，E为的中点，则， 在中，， 同理可得， 故为等边三角形，则， ∵，则， 在中，过点P作于点H， 则， 则， ∵， ∴该函数为开口向下的抛物线，时，y的最大值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法，以及求二次函数最值的方法． 10. 如图，拋物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④当时，，⑤点，在抛物线上，且，当时，．其中正确结论的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数图象可知：，，，得出，故①正确；将点，代入，得出：，再求出，故②不正确；根据函数图象可得，故③正确；根据对称轴为直线，求函数最大值，结合函数图象求得最小值即可判断④，根据抛物线开口向下，离对称轴较近的函数值大，即可求解． 【详解】解：根据二次函数图象可知：，，， ∴， ∴，故①正确； 将点，代入得出：， 得出：， ∴， 再代入得出：，故②不正确； 由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为， ， ∵， ∴，，， ∵抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 当时，取得最大值，最大为 当或时，取得最小值为 ∴当时，，故④错误， ⑤点，在抛物线上，且， 当时， 即， 又∵抛物线开口向下， ∴，故⑤正确 正确的个数是3个， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 某班学生到齐齐哈尔市博物馆参加研学活动，博物馆为同学们准备了“卜奎第一福”系列“五福临门”中的三款文创产品——“金榜题名”、“平步青云”、“吉祥如意”，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则小军、小强两位同学同时抽到“金榜题名”的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法求概率．列表得出共有9种等可能的结果，其中小军、小强两位同学同时抽到“金榜题名”的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“金榜题名”、“平步青云”、“吉祥如意”的三款文创产品分别记为、、， 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中小军、小强两位同学同时抽到“金榜题名”的结果有1种， ∴小军、小强两位同学同时抽到“金榜题名”的概率是. 故答案为：． 12. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键，根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长列式计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得， 即圆锥的底面圆的半径为 故答案为：10 13. 已知，点在边上，过点的直线与边相交于点，若，，，当与相似时，的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的对应边成比例，分两种情况讨论，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：①当时·，即， 所以； ②当时，，即, 所以. 综上所述，或． 故答案为：或． 14. 如图，，以为圆心，2为半径画弧，分别交，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 15. 如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=______． 【答案】6． 【解析】 【分析】根据点P（6，3），可得点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB的面积为12，列出方程求出k的值． 【详解】∵点P（6，3）， ∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3， 代入反比例函数得， 点A的纵坐标为，点B的横坐标为， 即AM=，NB=， ∵S四边形OAPB=12， 即S矩形OMPN-S△OAM-S△NBO=12， 6×3-×6×-×3×=12， 解得：k=6． 故答案为：6． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，，都在直线上，连接，，，，，分别交，，，，，于点，．设，的面积分别为，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、图形的规律与探索，解决本题的关键是分别计算出和的面积，根据这两个三角形的形状与面积之间的关系找出规律，根据规律得出结果．根据一次函数的解析式可得点的坐标是，设点的坐标是，根据正方形的四条边都相等可得，从而求出正方形的边长为，根据正方形的对边相互平行，可知，根据相似三角形的性质求出，从而可得，利用三角形的面积公式可以求出，同理可以求出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，且相似比为，根据规律可得． 【详解】解：当时，， 点的坐标是， 点在直线上， 设点的坐标是， 则点的坐标是，点的坐标是， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， 的坐标是， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； 设点的坐标为， 则点的坐标是，点的坐标是， ， 四边形是正方形， ，， ， 解得：， ， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 的坐标是，的坐标是， ， 的坐标是，点的坐标是， ， ，， ， 又四边形和均为正方形， 轴，轴， ， ， ，且相似比为， ， 当时，， 同理可证，且相似比为， 则， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共7道大题，共72分） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，化简绝对值，进行计算即可求解． 【详解】解： 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法和公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴或 解得： 【小问2详解】 解： ∵， ∴ 解得： 19. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴、轴交于、B两点，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的函数解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数的图象上．当的面积与的面积相等时，点的坐标为____________． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求和的值；分两种情况求的坐标． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）联立反比例函数与一次函数解析式求得两交点的坐标，进而根据函数图象，即可求解． （3）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数的图象过， ， ， ∴ 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； ∴ 【小问2详解】 解：联立 解得：或 ∴一次函数与反比例函数的两个交点分别为， 根据函数图象可知，等式的解集为或 【小问3详解】 解：当时，， ， 四边形是正方形， ， 当在反比例函数的图象右半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 当在反比例函数的图象左半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 综上的坐标为或． 20. 如图，在矩形中，于点，且与边交于点，与边的延长线交于点． （1）图中与相似的三角形有____________个； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质等相关知识，熟练掌握矩形的性质是解答此题的关键． （1）根据矩形的性质和已知可得，再寻找图中等于的三角形，根据相似三角形的判定，即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴①， 又，，则② 又∵， ∴ ∴③， 同理可得，则④，⑤ ∵ ∴ ∴⑥，⑦，⑧ 综上所述，图中与相似的三角形有个， 故答案为： 【小问2详解】 解：在矩形中，，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ 21. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，点在优弧上，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ． ． ， ． ∵， ． ． ． 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，特殊角的三角函数值，求弧长． （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到．根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到．求得．进而可得，然后根据得出，进而求得，最后根据弧长公式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ． ． ∴． ． ． ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的长为：． 22. 数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型及其迁移运用”为主题的数学活动，对三角形的相似进行了深入研究． （1）提出问题 如图1，在菱形中，，是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，易知与的关系为____________，进而求出的度数为___________． （2）类比探究 如图，在正方形中，对角线、相交于点，是上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． ①求的度数； ②当时，求的长． （3）迁移运用 如图3，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右侧作，使， ①线段的取值范围是； ②当点到的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）①；② （3）①，的长为或 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，根据旋转性质，证明是等边三角形，再证明，得到． （2）连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，证明，得到，结合解答即可． ②根据正方形的性质，得到，继而得到， 解答即可． （3）①先证明,进而判断出在射线上运动，确定的最小值与最大值时，点的位置，根据点在两点时，求得的长，即可求得得范围； ②过点作，交的延长线于点H，过点作于点M，利用三角形相似的判定和性质，特殊角三角函数值，分类思想解答即可． 【小问1详解】 解：∵菱形中，， ∴，， ∵绕点顺时针旋转得到． ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：；． 【小问2详解】 ①解：连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵绕点顺时针旋转得到． ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． ②当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①如图，设交于点， ∵， ∴, ∴点在射线上运动， ∴当时，取得最小值， 即当重合时，重合， ∴ 当重合时，如图， 在矩形中，，， 又∵， ∴ ∴ ∵，， ∴ 解得：， ∵ ∴三点共线， ∴ 在中， ∴ 故答案为：． 过点作，交的延长线于点H，过点作于点M， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点到的距离为，，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线． 过点作于点G， ∵点到的距离为，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，特殊角的三角函数应用，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题的关键． 23. 如图1，抛物线经过点，，并交轴于另一点，点在第一象限的拋物线上，连接，交直线于点，连接，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求的最大值； （3）当时，点坐标为____________； （4）如图2，为直线上的一点，且，当的周长最小时，点坐标为_________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）令时，求得抛物线与x轴的交点坐标，从而可得，作轴，交于点F，证明，可得，即可知当最大时，的值最大，利用待定系数法求直线的解析式，设、，求得，即可得出当时，取最大值，从而求得结果； （3）作关于的对称点，连接,则,，证明得出,根据题意得出在上，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解； （4）过点作，且得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，作关于的对称点，连接，，则，同理可得，设直线，交于点，根据题意可得，即重合时，的周长最小，设的上方上一点，且得，进而确定点的位置，当与点重合时，满足题意，则在直线上，求得直线的解析式为，进而联立抛物线解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点、， ∴把点、代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：∵时，，解得：，， ∴， ∴， 如图，作轴，交于点F， ∵轴， ∴, 又∵， ∴， ∴， ∵是定值， ∴当最大时，的值最大， 设直线的解析式为：， ∵点，在直线上， 把点，代入可得，，解得：， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为：，则点F的坐标为：， ∴， ∴当时，取最大值， ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：如图，作关于的对称点，连接,则,， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵，则， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴在上， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴点坐标为； 【小问4详解】 解：∵直线的解析式为：， 过点作，且 则直线的解析式为 设， ∴，解得 ∴点 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， 作关于的对称点，连接，，则， 则， ∴的周长为 ∴当在上时，的周长最小 设直线，交于点，即重合时，的周长最小 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式 联立 解得： ∴ ∵直线的解析式为：， 设的上方上一点，且， ∴ 解得：或（舍去） ∴ ∴当与点重合时，满足题意，则在直线上 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、二次函数图象与x轴交点坐标、相似三角形的判定与性质、二次函数最值，轴对称的性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省齐齐哈尔市建华区2025-2026学年九年级上学期1月期末 数学试题 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 任意画一个三角形，其内角和是 3. 下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 对于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 5. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 定义运算：，例如：，则关于的方程的根的情况为( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数由的值确定 7. 如图，已知是的直径，CD是的弦，，垂足为．若，，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，将绕点顺时针旋转后，点的对应点恰好与点重合，得到，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，点P，点Q分别是上的点，且．设的面积为y，的长为x，则y关于x的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，拋物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④当时，，⑤点，在抛物线上，且，当时，．其中正确结论的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 某班学生到齐齐哈尔市博物馆参加研学活动，博物馆为同学们准备了“卜奎第一福”系列“五福临门”中的三款文创产品——“金榜题名”、“平步青云”、“吉祥如意”，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则小军、小强两位同学同时抽到“金榜题名”的概率是____________． 12. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为____． 13. 已知，点在边上，过点的直线与边相交于点，若，，，当与相似时，的长为____________． 14. 如图，，以为圆心，2为半径画弧，分别交，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则____________． 15. 如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．四边形，，，，都是正方形，顶点，，，，都在轴上，顶点，，，，，都在直线上，连接，，，，，分别交，，，，，于点，．设，的面积分别为，，则____________． 三、解答题（本题共7道大题，共72分） 17. 计算：； 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴、轴交于、B两点，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的函数解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数的图象上．当的面积与的面积相等时，点的坐标为____________． 20. 如图，在矩形中，于点，且与边交于点，与边的延长线交于点． （1）图中与相似的三角形有____________个； （2）若，，求的长． 21. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，点在优弧上，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，，求的长． 22. 数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型及其迁移运用”为主题的数学活动，对三角形的相似进行了深入研究． （1）提出问题 如图1，在菱形中，，是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，易知与的关系为____________，进而求出的度数为___________． （2）类比探究 如图，在正方形中，对角线、相交于点，是上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． ①求的度数； ②当时，求的长． （3）迁移运用 如图3，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右侧作，使， ①线段的取值范围是； ②当点到的距离为时，请直接写出的长． 23. 如图1，抛物线经过点，，并交轴于另一点，点在第一象限的拋物线上，连接，交直线于点，连接，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求的最大值； （3）当时，点坐标为____________； （4）如图2，为直线上的一点，且，当的周长最小时，点坐标为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $